高考球问题：球的表面积和体积课件

3
球的表面积和体积
高等于底面半径的旋转体体积对比
R
V圆 锥
1 3 R 3
2 3 3 3 V半球 ? R V圆 柱 R 3 3
V球
4 3 R 3
S球 4 R
2
题型一、球的表面积和体积
例1 圆柱的底面直径与高都等于球的直径.
(1) 求球的体积与圆柱体积之比；
(2) 证明球的表面积等于圆柱的
练习2 1.一个几何体的三视图(单位:m)如图所示,则 该几何体的体积为 (18+9π) m3.
2.如图是一个几何体的三视图,则该几何体的 表面积为 (2+ 5 )π .
题型三、与球相关的“切”“接”问题
例3 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a, 它的各个顶点都在球O的球面上，问球O的表 面积。Fra bibliotek练习1
8.用一平面去截球所得截面的面积为 2π,已知球心 到该截面的距离为 1,则该球的体积是( C ) (A)
3
π
(B)2
3
π
(C)4
3
π
(D) 4
3
3
π
9.在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们 的面积分别为49πcm2 和400 πcm2 ，求球的表 面积。 2500 πcm2
练习1
10.(2013 高考新课标全国卷Ⅰ)如图,有一个水平放置的 透明无盖的正方体容器,容器高 8 cm,将一个球放在容器 口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为( A ) (A) 500π cm3 (B) 866π cm3
分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图 形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。 D A D1 A1 B C A C1 B1 D1 O C1 B1 D B C

2 048π D. 3
cm3
反思与感悟 (1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题 转化为平面中圆的问题. (2)解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成 的直角三角形，即R2＝d2＋r2.
跟踪训练3 用一平面去截球所得截面的面积为2π，已知球心到该截 面的距离为1，则该球的表面积为_1_2_π___. 解析 用一平面去截球所得截面的面积为2π， 所以小圆的半径为 2， 已知球心到该截面的距离为1， 所以球的半径为 3， 所以球的表面积为 4π( 3)2＝12π.
积为
√A. 32π
B.13π
C.23π
D.2 3 2π
D. 8∶ 27
解析 由两球的体积之比为8∶27，
可得半径之比为2∶3，
故表面积之比是4∶9. (2)两个半径为1的铁球，熔化成一个球，则这个大球的半径为_3__2__.
解析 设大球的半径为R，由题意得
43πR3＝2×43π×13，得 R＝3 2.
类型二 与球有关的三视图问题
例2 一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是半 径为1的圆，且这个几何体是实心球体的一部分，则这个几何体的表面 积为_4_π__. 解析 由已知可得，该几何体是四分之三个球， 其表面积是四分之三个球的表面积和两个半径与 球的半径相等的半圆的面积之和，因为R＝1， 所以 S＝34×4×π×12＋2×12×π×12＝4π.
类型一 球的体积和表面积
例1 (1)已知球的表面积为64π，求它的体积； 解 设球的半径为R，则4πR2＝64π，解得R＝4， 所以球的体积 V＝43πR3＝43π·43＝2356π. (2)已知球的体积为5300π，求它的表面积. 解 设球的半径为 R，则43πR3＝5300π，解得 R＝5， 所以球的表面积S＝4πR2＝4π×52＝100π.

【解析】 ①当截面在球心的同侧时， 如图所示为球的轴截面，由球的截面性质 知，AO1∥BO2，且 O1、O2 分别为两截面圆的圆 心，则 OO1⊥AO1， OO2⊥BO2，设球的半径为 R. ∵π· O2B2＝49π，∴O2B＝7. ∵π·O1A2＝400π，∴O1A＝20. 设 OO1＝x，则 OO2＝x＋9.
6 12 a.
【答案】
6 12 a
探究 4 (1)正多面体存在内切球且正多面体的中心为内切球 的球心．
(2)求多面体内切球半径，往往可用“等体积法”． V 多＝S 表·R 内切·13.
(3)正四面体内切球半径是高的14，外接球半径是高的34. (4)并非所有多面体都有内切球(或外接球)．
思考题 4 半径为 R 的球的外切圆柱(球与圆柱的侧面、两
【答案】 27π
(2)求棱长为 1 的正四面体外接球的体积．
【解析】 设 SO1 是正四面体 S－ABC 的高，外接球的球心 O 在 SO1 上，设外接球半径为 R，AO1＝r，
则在△ABC 中，用解直角三角形知识得 r＝ 33，
从而 SO1＝ SA2－AO12＝
1－13＝
2 3.
在 Rt△AOO1 中，由勾股定理，得
【答案】 C
题型四 几何体的内切球 例 4 正四面体的棱长为 a，则其内切球的半径为________．
【解析】 如图正四面体 A－BCD 的中心为 O，即内切球球
心，内切球半径 R 即为 O 到正四面体各面的距离．
∵AB＝a,
∴正四面体的高
h＝
6 3 a.
又 VA－BCD＝4VO－BCD，
∴R＝14h＝
在 Rt△OO1A 中，R2＝x2＋202， 在 Rt△OO2B 中，R2＝(x＋9)2＋72， ∴x2＋202＝72＋(x＋9)2， 解得 x＝15，∴R2＝x2＋202＝252. ∴R＝25，∴V 球＝43πR3＝62 3500π(cm3)． ② 当 截 面 在 球 心 异 侧 时 ， OO1 ＋ OO2 ＝ 9 ＝ R2－72 ＋ R2－202，无解．

3 2 2 2 R 1 2 ( n 1 ) [ n ]
n
2 n
3 R 1( n 1 ) n ( 2 n 1 ) [ n ]
n
2 n
6
1( n 1 )( 2 n 1 ) R [ 1 2 ] n 6
3
§9.11球的体积和表面积
那么圆的面积就近似等 于R2 .
§9.11球的体积和表面积
山东省临沂一中
球的体积
当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当 份数无穷大时，就得到了圆的面积公式． 分割 求近似和 化为准确和
下面我们就运用上述方 法导出球的体积公式
即先把半球分割成n部分，再求出每一部分的近似体积， 并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑n变 为无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积．
课堂小结
课堂作业 封底
§9.11球的体积和表面积
山东省临沂一中
教学目标
掌握球的体积、表面积公式．
掌握球的表面积公式、体积公式的推导过程及主要思 想进一步理解分割→近似求和→精确求和的思想方法．
会用球的表面积公式、体积公式解快相关问题，培养 学生应用数学的能力． 能解决球的截面有关计算问题及球的“内接”与“外 切”的几何体问题．
V半 球 ?
3 3 V圆 柱 R 3
2 3 4 3 猜 : V 测 R , 从 V 而 R . 半球 3 3
§9.11球的体积和表面积
山东省临沂一中
球的体积
学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来．所以 我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法．
我们把一个半径为R的圆分成若干等分，然后如上图重新 R 和 R 的矩形 . 拼接起来，把一个圆近似的看成是边长分别是

由①式得 V 2 R3
3 半球
定理 半径是 R 的球的体积是
V半球
4 R3
3
第8页/共19页
思考：我们能用同样的方法推导球的
表面积公式吗？
S i
o
第9页/共19页
把球面任意分割为一些“小球面片”，分别
用 S, S, , S, 表示
1
2
3
设以小球面片
S
为底，球心
i
O
为顶点的“小锥体”
i 为第 个小锥体，则球表面积为
答： 空心钢球的内径约为 4.5cm.
第13页/共19页
例2. 一个正方体的顶点在球面上，它的棱长
为4cm，求这个球的体积和表面积。
解：该球的半径为
1 4 2cm 2
V球 ＝4323＝332cm A
C′
o
S球 ＝ 4 221 6 cm
第14页/共19页
例3 地球和火星都可以看作近似球体，地球半径约
2
i
O
V1 SR 1 SR 1 SR .
31 32
3i
1RSS S O
3
1
2
i
S S S S
1
2
i
V 1 RS
O
3
第11页/共19页
V 1 RS
已知球的体积 3
所以
V 4 R3
3
从而
4 R 3 1 RS
3
3
S 4R2
定理
R 半径是 的球的表面积是
S 4R2
第12页/共19页
i 计算第 层“薄圆片“的体积
由勾股定理 ri R2 R ni 1 2, i 1 ,2, ,n
第 i 层“薄圆片”的体积是

【探究提升】用一个平面去截球，对所得截面的三点说明 (1)当截面过球心时,截面圆的半径即为球的半径；当截面不过 球心时,截面圆的半径都小于球的半径. (2)球的截面是圆面而不是圆,注意圆面与圆是两个不同的概念. (3)球的截面在解决球的有关计算问题中起着关键的作用，要 注意球的半径与截面圆半径的关系．
9. 5
答案：3 9
5
【技法点拨】求球的体积与表面积的策略 (1)要求球的体积或表面积,必须知道半径R或者通过条件能求 出半径R,然后代入体积或表面积公式求解. (2)半径和球心是球的最关键要素,把握住了这两点,计算球的 表面积或体积的相关题目也就易如反掌了.
类型 二 与球有关的组合体的表面积与体积的计算
通过解答下面的问题，体会与球有关的组合体问题，并
总结求解该类问题的技巧.
1.某几何体的三视图如图所示，它的体积
为( )
A.72π
B.48π
C.30π
D.24π
2.一个四面体的所有棱长都是 2 ，四个顶点在同一个球面 上，则此球的表面积为( )
A.3π
B.4π
C.3 3 π
3.(2012·天津高考)一个几何体
2
面积为S=2S球+S长方体=2×4π×(32 )2+2(6×3+6×1+1×3) =54+18π.
【技法点拨】解决与球有关的组合体问题的解题技巧 (1)与球有关的组合体问题：解题时要认真分析图形，明确切 点位置，明确有关元素间的数量关系，并且作出合适的截面 图. (2)球与旋转体的组合，通过作它们的轴截面解题. (3)球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心、切点 或接点作出截面图.
V1
4 3
r3，

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R 都有唯一确定的 S 和 V 与之对应，故表面积和体积是关于 R 的函
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D．36π
解析：选 D. V＝43π×33＝36π.
若一个球的直径为 2，则此球的表面积为(
)
A．2π
B．16π
C．8π
D．4π
解析：选 D．因为球的直径为 2，所以球的半径为 1，所以球的表
面积 S＝4πR2＝4π.
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第10页
高考调研 ·新课标 ·数学（必修二）
探究 1 在面积和体积公式中，共 3 个量，半径 R 起着桥梁 作用，知一可求二，关键求半径 R.
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高考调研 ·新课标 ·数学（必修二）
◎思考题 1
(1)若火星的半径与地球的半径之比是 1∶2， 则 ) B．4∶1 D．8∶1
地球表面积与火星表面积的比是( A．1∶4 C．1∶8
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高考调研 ·新课标 ·数学（必修二）
【思路分析】 先根据三视图确定该几何体的结构，再根据 图中给出的数据求出表面积与体积． 【解析】 由三视图可知，此几何体是一个半径为 1 的半球 和一个棱长为 2 的正方体组成． (1)S＝S 半球＋S 正方体－S 圆 1 ＝ ×4π×12＋6×2×2－π×12＝24＋π(cm2)． 2 2π 3 1 4 3 3 (2)V＝V 半球＋V 正方体＝2×3π×1 ＋2 ＝8＋ 3 (cm )．
ห้องสมุดไป่ตู้
(3)一个与球心距离为 1 的平面截球所得的圆面面积为π， 则 球的表面积为( A．8 2π C．4 2π
【答案】 B
) B．8π D．4π
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高考调研 ·新课标 ·数学（必修二）
题型二 与球有关的组合体的表面积与体积 例2 某个几何体的三视图如下图所示(单位：cm)．
(1)求该几何体的表面积； (2)求该几何体的体积．
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高考调研 ·新课标 ·数学（必修二）
探究 2 (1)本题第一问在求解时，常因忘记去除“半球同正 方体的重叠部分”而使所求的表面积变大． (2)由三视图求与球有关的组合体的表面积或体积时， 最重要 的是还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含 义，再根据组合体的结构特征及数据计算其表面积或体积．

二、探究新知
1、球的体积
如果用一组等距离的平面去切割球，当距离很小时会得到很多“小圆 片”，“小圆片”的体积之和正好是球的体积，由于“小圆片”近似 于圆柱形状，所以它的体积也近似于相应的圆柱的体积，因此求球的
A 体积可以按“分割——求和——化为准确和”的方法来进行。
步骤：
第一步：分割
如图：把半球垂直于底面的半径OA作
教材习题1.3B组3.
12.人生如天气，可预料，但往往出乎意料。 8.不奋斗，你的才华如何配上你的任性；不奋斗，你的脚步如何赶上父母老去的速度；不奋斗，世界那么大，你靠什么去看看...... 79.人间没有永恒的夜晚，世界没有永恒的冬天。——艾青 88.人生最终的价值在于觉醒和思考的能力，而不只在于生存。——亚里士多德 49.学习必须如蜜蜂一样，采过许多花，这才能酿出蜜来。——鲁迅 33.人的生命似洪水在奔流,不遇着岛屿、暗礁,难以激起美丽的浪花。 90.微笑是我们心灵的最真诚倾诉，是在困难面前最好的良药。 25.人生只有创造才能前进；只有适应才能生存。 55.不求与人相比，但求超越自己，要哭就哭出激动的泪水，要笑就笑出成长的性格！ 28.相信不屈不挠的努力，相信战胜死亡的年轻。 47.不要满足于眼前的小成就。问问自己：我这辈子就这样了吗？ 27.努力的目的在于让妈妈给自己买东西时像给我买东西一样干脆。 80.没有人有义务必须透过你邋遢的外表去发现你优秀的内在。你必须干净、整洁、甚至是精致，这是你做人的基本与尊严，不分男女。越活越理解“以貌取人”的积极之处，自勉互勉。 37.人生最困难的事情是认识自己。 53.真正的乐观不是盲目相信一切都会顺风顺水，而是一种能够允许失败的心态。了解自身的局限，正视失败的可能，但仍然选择坚持和践行自己的梦想！ 45.没有一颗珍珠的闪光，是靠别人涂抹上去的。 58.决定你的人生高度的，不是你的才能，而是你的人生态度！ 44.不要死，也不要孤独的活着。 46.世上有两种人，一种人一经打击就心灰意冷，从此消沉下去；一种人在和挫败挣扎一番之后，他总会找到一条更平坦更光明的路，使自己更坚强。毫无疑问，成功者属于第二种人。 21.命运要你成长的时候，总会安排一些让你不顺心的人或事刺激你。这是规律！ 96.长在我们大脑左右的耳朵，往往左右我们的大脑。

1.7.3 球的表面积与体积
复习回顾 1. 柱、锥、台的体积计算公式？
圆柱、圆锥的侧面积、表面积计算公式？ 2. 两个平行于圆锥底面的平面将圆
锥的高分成相等的三段，求圆锥分成的 三部分的侧面积之比、三部分的体积之 比.
想一想
设球的半径为R，它的体 积怎么求呢？
你有什么方法吗？
试一试 排液法测小球的体积
变式3：棱长为1的正四面体， 它的外接球体积为多少？
思路一：把正四面体的四个顶点设为正方 体中对角线相等的顶点 ； 思路二：找直角关系。
二、正方体的内切球
.r
a
内切球的直径等于正方体的棱长。
二、构造法
1、构造正方体
例4、已知正三棱锥P-ABC，点P,A,B,C都在半径
为 3 的球面上，若PA,PB,PC两两互相垂直，
h
试一试
排液法测小球的体积
H h
你还有别的方法吗？
圆
圆
柱
锥
的
与 半
等 于
体 积
球
的
体
积 和
V球
4
3
R3
引入新知
设球的半径为R，它的表 面积怎么求呢？
你有什么方法吗？
引入新知
球的体积与表面积:
球的体积
V球
4
3
R3
球的表面积 S球 4 R2
都是以R为自变量的 函数
例题解析
例1.若三个球的表面积之比为 1:2:3，求这三个球的体积之比。
则三棱锥的体积为
。
A
O C
P
B
变式4、已知球O的面上四点A、B、C、D， DA 平面ABC，AB BC, DA AB BC 3 则球O的体积为 9 。

【典例】 在半球内有一个内接正方体,试求这个半球的体积与正
方体的体积之比.
【审题视角】 过正方体的对角面作一截面,在这个截面中用正方
体的棱长、球半径的关系求解;或将球补为一个整球,利用球内接
长方体求解.
解法一作正方体对角面的截面,如图所示,设半球的半径为R,正方
体的棱长为a,
√2
.
2
则 CC'=a,OC=
解:由三视图可知,此几何体是由一个半径为1的半球和一个棱长
为2的正方体组成.
1
(1)S=S 半球+S 正方体-S 圆=2×4π×12+6×2×2-π×12=(24+π)m2.
1
(2)V=V 半球+V 正方体=2 ×
4π
3
3
×1
+2
= 8+
3
2π
3
m3.
反思感悟由三视图求与球有关的组合体的表面积或体积时,最重
要的是还原组合体,并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含
义,根据组合体的结构特征及数据计算其表面积或体积.
计算与球有关的组合体的表面积与体积时还要注意恰当地分割
与拼接,避免重叠和交叉等.
与球有关的组合体
【例3】 各棱长均为 √3的四面体内有一内切球,求该球的体积.
思路分析:等体积法→内切球的半径→球的体积
定.其中球的体积是半径R的三次函数,球的表面积是半径R的二次
函数,并且表面积为半径为R的圆面积的4倍.
2.做一做:已知球的表面积是16π,则该球的体积为
.
解析:设球的半径为R,则由题意可知4πR2=16π,解得R=2.所以球
的半径为2,
4
32π
体积 V=3πR3=

1 3
SiR
V
1 3
SiR
1 3
S 2R
1 3
S3R
1 3
SnR
1 3
R(Si
S2
S3
... Sn )
1 RS
3
又球的体积为：V 4 R3
3
4 R 3 1 RS , 从 而S 4R 2
3
3
例：如图：圆柱的底面直径与高都等于球的直径。
求证：（（21））球球的的表体面积积等等于于圆圆柱柱体的积全的面积32的
2 3
在圆柱容球中， 球的体积是圆柱体积的 2/3 ， 球的表面积也是圆柱全面积的2/3 。
这是我生平最 得意的 定理
啊,我要 灌水!
咳咳, 幂势即同, 积不容异
嗨！如何推导锥 体的体积公式
取一沓书放在桌面上，然后让它如图改变一下 形状，请问：它的体积变了吗？
当然没有！
还有哪些量没有改变？ 是高度，和每一张纸的面积！
底面半径和高都为R的圆柱
挖 去 一 个 圆 锥
S圆= r 2 R 2 l 2
S圆环= (R 2 l 2 )
S圆 S圆环
1 2 V球
R2
R
1 R2
3
R
2 R3
3
V球
பைடு நூலகம்
4 R3
3
Si
hi
O
O
Vi
Vi
1 3
S i hi
由第一步得：
V V1 V2 V3 Vn
V
1 3
S1h1
1 3
S 2h2
1 3
S 3h3
1 3
S nhn
第 三 步： 化 为 准 确 和
O