高代课程设计
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高等代数课程设计报告
设计题目:逆矩阵的判别与求法
院系:理学院
班级:应数
实验人:王石
学号: 101
指导教师:骨健康
目录
摘要 ………………………………………………………………………… 1
问题提出 …………………………………………………………………… 2
问题解答 …………………………………………………………………… 3
论文小结 …………………………………………………………………… 6
参考文献 …………………………………………………………………… 7
附录 ………………………………………………………………………… 8
摘要
矩阵是数学中一个极其重要的应用广泛的概念,它是代数,特别是现性代数的一个主要研究对象.其中逆矩阵又是矩阵理论中一个非常重要的概念,逆矩阵的可逆性及其求法自然也就成为要研究的主要内容之一. 本文主要是对课本中关于可逆矩阵判定方法的总结,另外参考相关资料列出公式.
关键词:高等代数 矩阵 可逆
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问题提出
在高等代数的学习中,我们看到,矩阵与复数相仿,有加、减、乘三种运算,矩阵的乘法是否也和复数一样有逆运算呢?这就是本文所要讨论的问题.
本文所讨论的矩阵,如不特殊说明,都是n×n矩阵.
我们知道,对于任意的n级方针A都有
AE = EA = A ,
这里E是n级单位矩阵.因之,从乘法的角度来看,n级单位矩阵在n级方阵中的地位类似于1在复数中的地位.一个复数A≠0的倒数a-1可以用等式
aa-1 = 1
来刻画.相仿的,我们引入:
n级方阵A称为可逆的,如果有n级方阵B,使得
AB = BA = E , (1)
这里E是n级单位矩阵.
首先我们指出,由于矩阵的乘法规则,只有方阵才能满足(1).其次,对于任意的矩阵A,适合等式(1)的矩阵B是唯一的(如果有的话).事实上,假设B1,B2是两个适合(1)的矩阵,就有
B1 = B1E = B1(AB2 )= (B1A)B2 = EB2 = B2.
如果矩阵B适合(1),那么B称为A的逆矩阵,记为A-1.
下面要解决的问题是:在什么条件下矩阵A是可逆的?如果A可逆,怎样求A-1.
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问题解答
方法一:
设Aij是矩阵
a11 a12 … a1n
A = a21 a22 … a2n
……
an1 an2 … ann
中元素aij的代数余子式,矩阵
A11 A12 … A1n
A = A21 A22 … A2n
……
An1 An2 … Ann
称为A的伴随矩阵.
由行列式按一行(列)展开的公式立即得出:
d 0 … 0
AA* = A*A = 0 d … 0 = dE ,
……
0 0 … d
其中 d = ∣A∣.
如果 d = ∣A∣≠ 0,那么由(2)得
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A= d1A * = d1A = E .
矩阵A是可逆的充分必要条件是A 非退化,而
A-1 = d1A* (d = ∣A∣≠ 0). (4)
公式(4)不仅给出了—矩阵可逆的条件,同时也给出了求逆矩阵的公式.
方法二:
可逆矩阵总可以经过一系列初等行变换化为单位矩阵.
设A是一n级可逆矩阵.有一系列初等矩阵P1 ,… ,Pm 使
Pm … P1(A E)=( Pm … P1 A Pm … P1E ) = ( E A-1 ). (6)
(6)式提出了一个具体求逆矩阵的方法.作 n×2n 的矩阵(A E),用初等行变换把它的左边一半化成E ,这时,右边的一半就是A-1 .
方法三:
用待定系数法.
令Z-1= Z11 Z12
Z21 Z22
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由AX=E 可得 X-1 .
方法四:
利用分块阵的初等变换.
例
T= A O
C D ,
A,D可逆,求T-1.
由 Em O A O = A O
-CA-1 En C D O D
及 A O -1 = A-1 O
O D O D-1
易知
T-1 = A-1 O Em O = A-1 O
O D-1 -CA-1 En -D-1CA-1 D-1
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论文小结
本文中给出了判定可逆矩阵的方法.上述中的判定定理求逆矩阵,另外,逆矩阵的求法还有特征多项式法,待定系数法,分块矩阵求逆,分解矩阵求逆,递推法等.限于知识水平,对于可逆矩阵的相关知识文中列出的有限.除线性方程组以外,还有大量的各种各样的问题也都提出矩阵的概念,并且这些问题的研究常常反映为有关矩阵的某些方面的研究,甚至于有些性质完全不同的、表面上完全没有联系的问题,归结成矩阵问题以后却是相同的.这就使矩阵成为数学中一个极其重要的应用广泛的概念,而逆矩阵与矩阵关系密切,因而也就使逆矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要研究对象.
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参考文献
北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编,《高等代数》(第三版),高等教育出版社.
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附录
矩阵的定义
设有n个关于x1,x2, …,xn的n元线性方程组
a11x1+ a12x2+ … +a1nxn = b1
a12x1+ a22x2+ … +a2nxn = b2 (1)
……
a1n1x1+ an2x2+ … +annxn = bn
把式(1)中关于x1,x2, …, xn的m×n个系数按着原来的位置排列成m行n列的矩形阵列!并用符号表示为:
a11 a12 … a1n
A = a21 a22 … a2n
……
an1 an2 … ann
定义由 m×n 个元素排列成的m行n列的矩形阵列称为 m×n 型矩阵或 m×n 矩阵,常用粗体大写字母表示矩阵.如 A,L,T,U…等.也可以用 [aij]m×n 表示m行n列矩阵.称aij为矩阵A的元素.它有两个下标,第一个下标表示行,第二个下标表示列.这就是说,该元素在矩阵A中的位置是在第i行与第j列相交的地方.
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