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一次函数知识点总结及典型试题

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一次函数知识点总结及经典试题

（一）函数

1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。

常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。

2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。

*判断Y是否为X的函数，只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应

3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。

4、确定函数定义域的方法：

（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；

（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；

（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；

（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；

（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

5、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式

6、函数的图像

一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．

7、描点法画函数图形的一般步骤

第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；

第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。

8、函数的表示方法

列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。

解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。

图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。

（二）一次函数

1、一次函数的定义

一般地，形如ykxb（k，b是常数，且0k）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量。当0b时，一次函数ykx，又叫做正比例函数。

⑴一次函数的解析式的形式是ykxb，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．

⑵当0b，0k时，ykx仍是一次函数．

⑶当0b，0k时，它不是一次函数．

⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．

2、正比例函数及性质

一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.

注：正比例函数一般形式 y=kx (k不为零) ① k不为零 ② x指数为1 ③ b取零

当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，•直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．

(1) 解析式：y=kx（k是常数，k≠0）

(2) 必过点：（0，0）、（1，k）

(3) 走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，•图像经过二、四象限

(4) 增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小

(5) 倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴

3、一次函数及性质 一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx＋b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.

注：一次函数一般形式 y=kx+b (k不为零) ① k不为零 ②x指数为1 ③ b取任意实数

一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（-kb，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）

（1）解析式：y=kx+b(k、b是常数，k0) （2）必过点：（0，b）和（-kb，0）

（3）走向： k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限

b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限

00bk直线经过第一、二、三象限 00bk直线经过第一、三、四象限

00bk直线经过第一、二、四象限 00bk直线经过第二、三、四象限

（4）增减性： k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小.

（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴.

（6）图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；

当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位.

一次

函数 0kkxbk

k，b

符号 0k 0k

0b 0b 0b 0b 0b

0b

图象

Oxy yxO Oxy yxO Oxy yxO

性质 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小

4、一次函数y=kx＋b的图象的画法.

根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），.即横坐标或纵坐标为0的点.

b>0 b<0 b=0

k>0 经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限

图象从左到右上升，y随x的增大而增大

k<0 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限

图象从左到右下降，y随x的增大而减小

5、正比例函数与一次函数之间的关系

一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）

6、正比例函数和一次函数及性质

正比例函数 一次函数

概 念 一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数 一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，是y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.

自变量

范 围 X为全体实数

图 象 一条直线

必过点 （0，0）、（1，k） （0，b）和（-kb，0）

走 向 k>0时，直线经过一、三象限；

k<0时，直线经过二、四象限 k＞0，b＞0,直线经过第一、二、三象限

k＞0，b＜0直线经过第一、三、四象限

k＜0，b＞0直线经过第一、二、四象限

k＜0，b＜0直线经过第二、三、四象限

增减性 k>0，y随x的增大而增大；（从左向右上升）

k<0，y随x的增大而减小。（从左向右下降）

倾斜度 |k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴

图像的

平 移 b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；

b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位.

6、直线11bxky（01k）与22bxky（02k）的位置关系

（1）两直线平行21kk且21bb （2）两直线相交21kk

（3）两直线重合21kk且21bb （4）两直线垂直121kk

7、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：

（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；

（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；

（3）解方程得出未知系数的值；

（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.

1下列函数中，自变量x的取值范围是x≥2的是（ ）

A．y=2x

B．y=12x C．y=24x D．y=2x·2x

2 正比例函数(35)ymx，当m 时，y随x的增大而增大.

3 函数y=(k-1)x，y随x增大而减小，则k的范围是 ( )

A.0k B.1k C.1k D.1k

4 若m＜0, n＞0, 则一次函数y=mx+n的图象不经过 （ ）

A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限

5 用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是【 】

A．203210xyxy， B．2103210xyxy， C．2103250xyxy， D．20210xyxy，

6.若一次函数ykxb的图象经过第一象限，且与轴负半轴相交，那（ ）

A．， B．， C．， D．， 7.一次函数y=kx+b（k,b是常数，k≠0）的图象如图9所示，则不等式kx+b＞0的解集是（ ）

A．x＞-2 B．x＞0 C．x＜-2 D．x＜0

8.如图，一次函数图象经过点，且与正比例

函数yx的图象交于点，则该一次函数的表达式为（ ）

A．2yx B．2yx C．2yx D．2yx

9.如图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程随时间变化的图象.根据图象下列结论错误的是（ ）

A.轮船的速度为20千米/时 B.快艇的速度为40千米/时

C.轮船比快艇先出发2小时 D.快艇不能赶上轮船

10.一次函数1ykxb与2yxa的图象如图，则下列结论①；②；③当时，12yy中，正确的个数是（ ）

D、a＜0

11.函数y=ax+b与y=bx+a的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（ ）

12、一次函数y=kx＋b的自变量的取值范围是－3 ≤x ≤6，相应函数值的取值范围是

－5≤y≤－2，求这个一次函数的解析式。

13函数y=5x中自变量x的取值范围是___________．

14．函数y=kx+b（k≠0）的图象平行于直线y=2x+3，且交y轴于点（0，-1），•则其解析式是_________ ．

1、 若直线y=－x+k不经过第一象限，则k的取值范围为 。

2、 把直线y=132x向下平移3个单位得到的函数解析式为 。

3、 若y=kx+（2k－1）的图象经过原点，则k= ；当时k= 时，这个 函数的图象与轴交于（0，1）

1、甲、乙两家体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每付定价20元，乒乓球每盒定价5元.现两家商店搞促销活动，甲店:每买一付球拍赠一盒乒乓球；乙店:按定价的9折优惠。某班级需购球拍4付，乒乓球若第4题 x(小时)y(千米)轮船快艇86160o 2480O x y

A

B

1 yx

2

x

y

ykxb

0 2

2

x y

O 3 2yxa

1ykxb

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高一数学一次函数与二次函数试题

高一数学一次函数与二次函数试题

高一数学一次函数与二次函数试题

1. 已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，．

（1）现已画出函数在y轴左侧的图象，如图所示，请补出完整函数的图象，并根据图象写出函数的增区间；

（2）求出函数的解析式和值域．

【答案】（1）（﹣1，0），（1，+∞），图像见试题解析；

（2），值域为。

【解析】（1）偶函数的图像关于轴对称，根据函数在y轴左侧的图象可以画出在在y轴右侧的图象，根据图像可写出的增区间。（2）因为时，．则设，则，根据偶函数的定义，可求出的解析式，函数是分段函数，在各段上都是二次函数，利用配方法可求出的值域．

试题解析：（1）因为函数为偶函数，故图象关于y轴对称，

补出完整函数图象如图．所以的递增区间是（﹣1，0），（1，+∞）． 6分

由于函数为偶函数，则，

又当时，．

设x＞0，则﹣x＜0，

所以时，，

故的解析式为．

由知的值域为 13分

【考点】（1）偶函数的定义及图像的性质；（2）利用配方法求函数的值域。

2. 已知函数，.

（1）若函数在上不具有单调性，求实数的取值范围；

（2）若.

（ⅰ）求实数的值；

（ⅱ）设，，，当时，试比较，，的大小．

【答案】（1）（2）（ⅰ）2（ⅱ）

【解析】将二次函数的解析式进行配方,根据其开口方向的对称轴得到该函数的单调区间, 函数在上不具有单调性，说明二次函数的对称轴在区间内，由此便可求出的取值范围； （2）（ⅰ）由建立方程可解实数的值；

（ⅱ）分别根据二次函数、对数函数、指数函数的性质求出当时，，，各自的取值范围，进而比较它们的大小.

试题解析：解：（1）∵抛物线开口向上，对称轴为，

∴函数在单调递减，在单调递增， 2分

∵函数在上不单调

∴，得，

∴实数的取值范围为 5分

（2）（ⅰ）∵，

∴ ∴实数的值为. 8分

专题17 函数与导数压轴解答题常考套路归类(精讲精练)(原卷版)

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专题17 函数与导数压轴解答题常考套路归类

【命题规律】

函数与导数是高中数学的重要考查内容，同时也是高等数学的基础，其试题的难度呈逐年上升趋势，通过对近十年的高考数学试题，分析并归纳出五大考点：

（1）含参函数的单调性、极值与最值；

（2）函数的零点问题；

（3）不等式恒成立与存在性问题；

（4）函数不等式的证明．

（5）导数中含三角函数形式的问题

其中，对于函数不等式证明中极值点偏移、隐零点问题、含三角函数形式的问题探究和不等式的放缩应用这四类问题是目前高考函数与导数压轴题的热点．

【核心考点目录】

核心考点一：含参数函数单调性讨论

核心考点二：导数与数列不等式的综合问题

核心考点三：双变量问题

核心考点四：证明不等式

核心考点五：极最值问题

核心考点六：零点问题

核心考点七：不等式恒成立问题

核心考点八：极值点偏移问题与拐点偏移问题

核心考点九：利用导数解决一类整数问题

核心考点十：导数中的同构问题

核心考点十一：洛必达法则

核心考点十二：导数与三角函数结合问题

【真题回归】

1．（2022·天津·统考高考真题）已知abR，，函数sin,xfxeaxgxbx

(1)求函数yfx在0,0f处的切线方程；

(2)若yfx和ygx有公共点，

（i）当0a时，求b的取值范围；

（ii）求证：22eab．

2．（2022·北京·统考高考真题）已知函数()eln(1)xfxx．

(1)求曲线()yfx在点(0,(0))f处的切线方程；

(2)设()()gxfx，讨论函数()gx在[0,)上的单调性；

(3)证明：对任意的,(0,)st，有()()()fstfsft．

3．（2022·浙江·统考高考真题）设函数e()ln(0)2fxxxx．

(1)求()fx的单调区间；

(2)已知,abR，曲线()yfx上不同的三点112233,,,,,xfxxfxxfx处的切线都经过点(,)ab．证明：

初中数学数与代数知识点总结

初中数学数与代数知识点总结

第1页 共14页 初中数学数与代数知识点总结

初中数学数与代数知识点总结由我整理，希望给你工作、学习、生活带来方便。

初中数学数与代数知识点总结:

数与代数知识点是初中学习数学时期的主要知识点之一，主要包括有理数、实数、代数式、整式、分式、一元一次方程、二元一次方程（组）、一元二次方程、一元一次不等式（组）、一次函数、反比例函数、二次函数、等，以下是各具体知识点总结的理解和分析。

初中数学有理数知识点总结:

有理数是初中数学的基础内容，中考试题中分值约为3-6分，多以选择题，填空题，计算题的形式出现，难易度属于简单。近几年主要考察一下几个方面：①相反数，绝对值，倒数等相关概念 ②负数的乘方，加减及混合运算。突破方法：①牢固掌握有关有理数的概念：如相反数，倒数，绝对值等，特别是绝对值的意义，真正掌握数形结合的思想，多方面理解概念。②熟练掌握有理数的各种运算法则，特别是负数参与的运算。在混合运算中特别注意符号和运算顺序，这个要通过一定量的练习来掌握其中的运算技巧，达到一定的熟练程度。

初中数学代数式知识点总结: 第2页 共14页 代数式：中考试题中的分值约为5-6分，主要以选择，填空题为主，也常出现探寻规律的题目。难易度属于中档。近几年考察的以下两个方面：①结合生产和生活实际列代数式，求代数式的值等。②根据数表，图表，算式寻找规律建立代数式模型。突破方法：掌握好列代数式的要求，技巧，学会观察，猜想验证，用熟悉语言正确表达等解题。考前多做些寻找规律的题目，真正掌握规律探索的要点。

初中数学整式知识点总结:

整式：中考试题中分值约为4分，题型以选择，填空为主，难易度属于易。近几年主要考察①整式的概念和简单的运算，主要是同类项的概念和化简求值②完全平方公式，平方差公司的几何意义③利用提公因式发和公式法分解因式。突破方法：①要准确理解和辨认单项式的次数，系数，同类项。② 在运用公式或法则进行运算式，首先要判断式子的结构特征，确定解题思路，以便使解题更加方便，快捷。

《一次函数利润问题》典型例题及答案解析

《一次函数利润问题》典型例题及答案解析

试卷第1页，总181页 《一次函数利润问题》典型例题及答案解析

1．某电视台在每天晚上的黄金时段的3分钟内插播长度为20秒和40秒的两种广告，20秒广告每次收费6000元，40秒广告每次收费10000元．若要求每种广告播放不少于2次，且电视台选择收益最大的播放方式，则在这一天黄金时段3分钟内插播广告的最大收益是__________元．

【来源】2005年初中毕业升学考试（山东潍坊卷)数学（带解析)

【答案】50000

【解析】

设20秒的广告播x秒，40秒的广告播y秒．则：20x+40y=180，

∵每种广告播放不少于2次，∴x=3，y=3，或x=5，y=2．

当x=3，y=3时，收益为：3×6000+3×10000=48000；

当x=5，y=2时，收益为：5×6000+2×10000=50000;

∴这一天黄金时段3分钟内插播广告的最大收益是50000元．

2．如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量（单位：件）与时间（单位：天）的函数关系，图②是一件产品的销售利润（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系，第27天的日销售利润是__________元.

【来源】山东省济南市市中区2019届九年级一模考试数学试题

【答案】875

【解析】

【分析】

先根据图①求出24-30天的日销售量与时间的函数关系，再求出第27天的日销售量，再乘以一件产品的销售利润即可求解.

【详解】 试卷第2页，总181页 ∵24-30天的日销售量与时间的函数经过（24,200），（30,150）

设函数为y=kx+b,可求得k=-，b=400，

∴y=-x+400，∴第27天的日销售量为175，

由图②得第27天的一件产品的销售利润=5

∴第27天的日销售利润是175×5=875元.

【点睛】

此题主要考查一次函数的应用，解题的关键是熟知一次函数的求法.

3．某销售商准备在南充采购一批丝绸，经调查，用10000元采购A型丝绸的件数与用8000元采购B型丝绸的件数相等，一件A型丝绸进价比一件B型丝绸进价多100元．