集合的含义及其表示(新)

第一讲：集合的含义与表示

【数学史话】

格奥尔格・康托（Cantor Georg,1845.3.3―1918.1.6），德国数学家，集合论的创始人.1874年，康托在《数学杂志》上发表了关于集合论的第一篇文章《论所有实代数数的集合的一个性质》，把集合作为数学对象，提出：“所谓集合，是把我们的直观或思维中确定相互间有明确区别的那些对象（它们叫做集合的元素）作为一个整体来考虑.”集合论的创立是数学史上的重大事件，也是康托对数学的主要贡献，他最重要的著作是《超穷数理论基础》.数学家希尔伯特（D.Hilbert）称之为“数学家的乐园”,“数学思想最惊人的产物”，英国数学家罗素（B.Russel）将它誉为“这个时代所能夸耀的最伟大的工作”.由康托首创的具有划时代意义的集合论，渗透到所有的数学分支，从根本上改变了数学的结构，促进了数学的其他许多新的分支的建立和发展，极大地推进了数学的发展进程.

【目标要求】

1.通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系.

2.理解集合中元素的三个特性，并能利用它们进行解题.

3.掌握集合的表示方法，并能够运用他们来表示一些简单的集合.

【知识解读】

1.集合：把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）．

注意：集合是一个原始的不加定义的概念，像点、直线一样，只能描述性地说明.

2.元素与集合的关系：如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A，记作Aa；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作Aa．

注意：（1）对任何元素a与集合A,在Aa与Aa这两种情况中必有一种且只有一种成立.

（2）符号“”和“”表示元素与集合之间的关系，不能用来表示集合与集合之间的关系.

例：下列所给的对象哪些能构成集合？

（1）所有的等边三角形；（2）3的近似值的全体；（3）九章教育高一年级身高在170cm以下的学生；

（4）参加2020年东京奥运会的年轻运动员；（5）平面直角坐标系内到原点的距离等于1的点.

集合的含义

1．集合的含义

【知识点的认识】

1、集合的含义：

集合是一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合，简称集，其中各事物叫做集

合的元素或简称元，是具有某种特定性质的事物的总体．

2、集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．

（1）列举法就是把集合中的每一个元素全部写出来；描述法指的就是用词汇或者用数学语言描述出集合中的元素；

区间表示法就是用区间的形式来表示集合中的元素；图示法（数轴表示法，韦恩图法）用图的形式来描述表示出

集合的每一个元素．

（2）有限集常用列举法表示，而无限集常用描述法或区间表示法表示，抽象集常用图示法表示．（有限集就是集

合中的元素个数是能够确定的．无限集是集合的元素个数无法精确．抽象集合就是只给出集合元素满足的性质，

探讨集合中的元素属性，要求有较高的抽象思维和逻辑推理能力．）

用描述法表示集合时，集合中元素的意义取决于它的“代表”元素的特征．

【典型例题分析】

题型一：判断能否构成集合

典例 1：下列研究对象能否构成一个集合？如果能，采用适当的方式表示它．

（1）小于 5 的自然数；

（2）某班所有个子高的同学；

（3）不等式 2x+1＞7 的整数解．

分析：根据集合元素的确定性，互异性进行判断即可．

解答：（1）小于 5 的自然数为 0，1，2，3，4，元素确定，所以能构成集合．为{0，1，2，3，4}．

（2）个子高的标准不确定，所以集合元素无法确定，所以不能构成集合．

（3）由 2x+1＞7 得 x＞3，因为 x 为整数，集合元素确定，但集合元素个数为无限个，所以用描述法表示为{x|x＞3，

且 x∈Z}．

点评：本题主要考查集合的含义和表示，利用元素的确定性，互异性是判断元素能否构成集合的条件，比较基础．

1 / 3典例 2：下列集合中表示同一集合的是（ ）

A．M＝{（3，2）}N＝{3，2}B．M＝{（x，y）|x+y＝1}N＝{y|x+y＝1}

1.1集合

1.1.1 集合的含义及其表示

1．集合的概念：

一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合（set）。集合常用大写的拉丁字母来表示，如集合A、集合B„„

集合中的每一个对象称为该集合的元素（element）,简称元。集合的元素常用小写的拉丁字母来表示。如a、b、c、p、q„„

指出下列对象是否构成集合，如果是，指出该集合的元素。

我国的直辖市；十四中高一班全体学生；④较大的数⑤young 中的字母；⑥大于100的数；

2．关于集合的元素的特征：

确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。

无序性：一般不考虑元素之间的顺序，但在表示数列之类的特殊集合时，通常按照习惯的由小到大的数轴顺序书写。

3．集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示；

如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A

如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作aA （不能把a∈A颠倒过来写）

4.集合相等

如果构成两个集合的元素一样，就称这两个集合相等，与元素的排列顺序无关。

5. 集合的分类

有限集：集合中元素的个数是可数的，只含有一个元素的集合叫单元素集合；

无限集：集合中元素的个数是不可数的；

空集：不含有任何元素的集合，记做∅.

6．常用数集的记法：

非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N，,2,1,0N

正整数集：非负整数集内排除0的集记作N*或N+ ,3,2,1*N

整数集：全体整数的集合记作Z , ，，，210Z

④有理数集：全体有理数的集合记作Q , 整数与分数Q

第 1 页 共 4 页 新高一数学 第8课时

集合的含义及其表示

一、概念理解：

1、由引例归纳集合的概念

2、由我们常用的数. 总结常用数集的表示法

3、元素与集合的关系，集合相等的概念

4、集合中元素三个特性

5、集合的三种表示法

6、有限集、无限集、空集的概念.（请学生各举一例有限集、无限集、空集）

二、例题分析

例1、（1）求方程0322xx的解集； （2）求不等式23x的解集

(3)所有绝对值小于3的整数的集合. (4)抛物线x2＝y上的点.

(5)抛物线x2＝y上点的横坐标. (6)抛物线x2＝y上点的纵坐标.

第 2 页 共 4 页 例2、求方程210xx所有实数解所构成的集合

例3、已知集合A=aaa22,2，若3A，求a的值．

三、随堂练习

1、用列举法表示下列集合：

（1）{|xx是15的正约数}； （2）,1,2,1,2;xyxy

（3）,2,24;xyxyxy （4）1,;nxxnN

（5）,3216,,.xyxyxNyN

2、用描述法表示下列集合：

（1）1,4,7,10,13; （2）2,4,6,8,10.

第 3 页 共 4 页 课后作业

一、基础题

1、用“”或“”填空

（1）1________N －3________N 0 ________N 2________N

1________Z －3________Q 0________Z 2_______R

（2）2{|0}Axxx，则1________A，－1________A

（3）{|15,}BxxxN，则1_________B，1.5________B