成都市2020届高中毕业班零模考试数学试卷（文科）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：（每小题5分，共60分．）1.复数1iz i =+（其中i 为虚数单位）的虚部是 （ ） A. 12- B. 12i C. 12D. 12i -【答案】C 试题分析：(1)1111(1)(1)222i i i i z i i i i -+====+++-，则虚部为，故选.2.若集合{1234}A =，，，，{}260B x x x =--≤，则A B =I （ ） A. {1} B. {12}， C. {2,3} D. {12,3}， 【答案】D【解析】{}60,23,1,2,3x x x A B Q --≤∴-≤≤⋂=,选D .3.如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员9场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是（ ）A. 甲所得分数的极差为22B. 乙所得分数的中位数为18C. 两人所得分数的众数相等D. 甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数 【答案】D【详解】甲的最高分为33，最低分为11，极差为22，A 正确；乙所得分数的中位数为18，B 正确；甲、乙所得分数的众数都为22，C 正确；甲的平均分为11151720222224323319699x ++++++++==甲，乙的平均分为8111216182022223116099x ++++++++==乙，甲所得分数的平均数高于乙所得分数的平均数，D 错误，故选D.4.若实数,x y 满足约束条件220,10,0.x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最小值为（）A. 0B. 2C. 4D. 6【答案】A【详解】作出实数x ，y 满足约束条件220100x y x y +-⎧⎪-⎨⎪⎩„……表示的平面区域，如图所示．由2z x y =-可得1122y x z =-，则12z -表示直线1122y x z =-在y 轴上的截距，纵截距越大，z 越小．作直线20x y -=，然后把该直线向可行域平移，当直线经过点B 时，12z -最大，z 最小．由2201x y x +-=⎧⎨=⎩可得1(1,)2B ，此时0z =，故选A ．5.已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若3132312log log log 12a a a ++⋯+=，则67a a ＝（ ）A. 1B. 3C. 6D. 9【答案】D【详解】由3132312log log log 12a a a +++=L ，可得31212log 12a a a =L ，进而可得()6121212673a a a a a ==L ，679a a ∴= .6.设函数()f x 的导函数为()f x '，若()1ln 1xf x e x x=+-，则()1f '=（） A. 3e - B. 2e -C. 1e -D. e【答案】C【详解】由题得()21=ln x xe f x e x x x'+-，所以()211==e 111e f '--.故选C7.ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ．若向量(),cos m a A =-r ，()cos 2n C b c =-r，且0m n ⋅=r r，则角A 的大小为（）A.6π B.4π C.3π D.2π 【答案】B【详解】由0m n =r rg得，0(,cos )(cos ,2)cos (2)cos a A C b c a C b c A =--=--g ， 由正弦定理得，sin cos 2sin cos sin cos 0A C B A C A -+=， 化为sin()2sin cos 0A C B A +-=，即sin 2sin cos 0B B A -=， 由于sin 0B ≠，∴2cos A =，又()0,A π∈∴4A π=，故选B ．8.执行如图所示的程序框图，则输出的m 的值为（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B【详解】模拟程序的运行，可得 开始 0S =1m =① 1122100⨯=< 2m =② 12122210100⨯+⨯=< 3m =③ 12312223234100⨯+⨯+⨯=< 4m = ④ 12341222324298100⨯+⨯+⨯+⨯=< 5m =⑤ 123451222324252258100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=>6m =9.若矩形ABCD 的对角线交点为O '，周长为410，四个顶点都在球O 的表面上，且3OO '=，则球O 的表面积的最小值为（） A.3223πB.6423πC. 32πD. 48π【答案】C【详解】如图，设矩形ABCD 的两邻边分别为a ，b ，则210a b +=，且外接圆O 'e 的半径22a b r +=．由球的性质得，OO '⊥平面ABCD ，所以球O 的半径2222(3)34a b R r +=+=+由均值不等式得，2222a ba b ++„222()202a b a b ++=…， 所以222220(3)33844a b R r ++=++=…10a b ==所以球O 的表面积的最小值为2432R ππ=， 故选C ．10.已知函数()()221xf x x a x e =++，则“2a =()f x 在-1x =处取得极小值”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【详解】解：若()f x 在1x =-取得极小值，2222()[(2)1](1)(1)x x f x x a x a e x x a e '=++++=+++．令()0f x '=，得1x =-或21x a =--．①当0a =时，2()(1)0xf x x e '=+…． 故()f x 在R 上单调递增，()f x 无最小值；②当0a ≠时，211a --<-，故当21x a <--时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当211a x --<<-时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当1x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增． 故()f x 在1x =-处取得极小值．综上，函数()f x 在1x =-处取得极小值0a ⇔≠．∴ “2a =()f x 在1x =-处取得极小值”的充分不必要条件．11.已知双曲线2222C:1(0,b0)x yaa b-=>>的左、右焦点分别为()1F c－，，()2F c，，点N的坐标为23c,2ba⎛⎫- ⎪⎝⎭．若双曲线C左支上的任意一点M均满足24MF MN b>+，则双曲线C的离心率的取值范围为( )A.13,53⎛⎫⎪⎪⎝B. (5,13)C.131,(5,)3⎛⎫+∞⎪⎪⎝⎭U D. (1,5)(13,)+∞U【答案】C【详解】由已知可得212MF MF a-=，若2||4MF MN b+>，即1|||24MF MN a b++>‖，左支上的点M均满足2||4MF MN b+>，如图所示，当点M位于H点时，1||MF MN+最小，故23242ba ba+>，即22348b a ab+>,223840,(2)(23)0b ab a a b a b∴-+>∴-->,23a b∴>或222,49a b a b<∴>或22224,913a b c a<∴<或22135,1cc aa>∴<<或5,ca>∴双曲线C的离心率的取值范围为131,(5,)3⎛⎫+∞⎪⎪⎝⎭U .12.若关于x的不等式ln10x x kx k-++>在()1,+∞内恒成立，则满足条件的整数k的最大值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【详解】关于x的不等式10xlnx kx k-++>在(1,)+∞内恒成立，即关于x的不等式(1)1xlnx k x>--在(1,)+∞内恒成立，即函数(1)y xlnx x=>的图象恒在直线(1)1y k x=--的上方．当直线(1)1y k x=--与函数(1)y xlnx x=>相切时，设切点为(x，)y，则()00000111y x lnxy k xlnx k=⎧⎪=--⎨⎪+=⎩①②③，由①②得，000(1)1x lnx k x=--，把③代入得00(1)(1)1x k k x-=--，化简得01x k =+．由01x >得，0k >．又由③得011k lnx =+>．即相切时整数2k …． 因此函数(1)y xlnx x =>的图象恒在直线(1)1y k x =--的上方时，整数k 的最大值为2． 故选C ．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上． 13.某公司一种新产品的销售额y 与宣传费用x 之间的关系如表：已知销售额y 与宣传费用x 具有线性相关关系，并求得其回归直线方程为$9y bx=+$，则b $的值为__________． 【答案】6.5【详解】由表中数据，计算0123425x ++++==， 10152030351102255y ++++===， 又归直线方程为ˆˆ9ybx =+过样本中心点(2,22)得， ˆ2229b=+， 解得13ˆ 6.52b ==． 故答案为6.5．14.已知曲线C ：2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．若点P 在曲线C 上运动，点Q 为直线l ：20x y +-=上的动点，则PQ 的最小值为__________．【答案】5【详解】表示曲线2cos ,:(sin x C y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）上任意点(2cos ,sin )P θθ到直线:20l x y +-的距离d ==当sin()1θα+=时，||min min PQ d ==．故答案为515.已知()f x 是定义在(),ππ-上的奇函数，其导函数为()f x '，4f π⎛⎫=⎪⎝⎭()0,x π∈时，()()sin cos 0f x x f x x '+>．则不等式()sin 1f x x <的解集为__________．【答案】,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭【详解】令()()sin (0)F x f x x x π=<<，则()()sin ()cos 0(0)F x f x x f x x x π''=+><<，所以()()sin F x f x x =在(0,)π上为单调递增，且()()sin 1444F f πππ==，所以()()sin ()4F x f x x F π=<，解得04x π<<．由()f x 是定义在(,)ππ-上的奇函数得，()()sin()()sin F x f x x f x x f -=--=-⋅-=（x)sinx=F(x)所以()()sin F x f x x =在(,)ππ-为偶函数，且(0)(0)sin 00F f == 所以不等式()sin 1f x x <的解集为(),44ππ-，故答案为(),44ππ-．16.已知抛物线C ：20)2(y px p =＞的焦点为F ，准线为l ．过点F 作倾斜角为120︒的直线与准线l 相交于点A ，线段AF 与抛物线C 相交于点B ，且43AB =，则抛物线C 的标准方程为__________． 【答案】22y x =【详解】由题得直线AF的方程为)2p y x =-，从而()2pA -；由22)2y pxp y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩消去x ，2220py +=，解得y p =或y =（舍去），从而1()6B p p ； 由4||3AB =43=， 解得1p =，所以抛物线C 的标准方程为22y x =．故答案为22y x =．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.已知函数()32133f x x mx nx =+++，其导函数()f x '的图象关于y 轴对称，()213f =-．（Ⅰ）求实数,m n 的值；（Ⅱ）若函数()y f x λ=-的图象与x 轴有三个不同的交点，求实数λ的取值范围． 【答案】（Ⅰ）0m =，4n =-（Ⅱ）725,33⎛⎫-⎪⎝⎭ 【详解】解：（Ⅰ）()22f x x mx n '=++.Q 函数()f x '的图象关于y 轴对称，0m ∴=.又()121333f n =++=-，解得4n =-. 0m ∴=，4n =-.（Ⅱ）问题等价于方程()f x λ=有三个不相等的实根时，求λ的取值范围. 由（Ⅰ），得()31433f x x x =-+.()24f x x '∴=-. 令()0f x '=，解得2x =±.Q 当2x <-或2x >时，()0f x '>，()f x ∴(),2-∞-，()2+∞，上分别单调递增. 又当22x -<<时，()0f x '<， ()f x ∴在()2,2-上单调递减. ()f x ∴的极大值为()2523f -=，极小值为()723f =-. ∴实数λ的取值范围为725,33⎛⎫- ⎪⎝⎭.18.为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某城区对辖区内A ，B ，C 三类行业共200个单位的生态环境治理成效进行了考核评估，考评分数达到80分及其以上的单位被称为“星级”环保单位，未达到80分的单位被称为“非星级”环保单位．现通过分层抽样的方法获得了这三类行业的20个单位，其考评分数如下：A 类行业：85，82，77，78，83，87；B 类行业：76，67，80，85，79，81；C 类行业：87，89，76，86，75，84，90，82．（Ⅰ）计算该城区这三类行业中每类行业的单位个数；（Ⅱ）若从抽取的A 类行业这6个单位中，再随机选取3个单位进行某项调查，求选出的这3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位的概率．【答案】（Ⅰ）A ，B ，C 三类行业中每类行业的单位个数分别为60，60，80.（Ⅱ）45【详解】（Ｉ）由题意，得抽取的A ，B ，C 三类行业单位个数之比为3:3:4. 由分层抽样的定义，有A 类行业的单位个数为32006010⨯=，B 类行业的单位个数为32006010⨯=， C 类行业的单位个数为42008010⨯=，故该城区A ，B ，C 三类行业中每类行业的单位个数分别为60，60，80.（Ⅱ）记选出的这3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位为事件M .这3个单位的考核数据情形有{}85,82,77，{}85,82,78，{}85,82,83，{}85,82,87，{}85,77,78，{}85,77,83，{}85,77,87，{}85,78,83，{}85,78,87，{}85,83,87，{}82,77,78，{}82,77,83，{}82,77,87，{}82,78,83，{}82,78,87，{}82,83,87，{}77,78,83，{}77,78,87，{}77,83,87，{}78,83,87，共20种.这3个单位都是“星级”环保单位的考核数据情形有{}85,82,83，{}85,82,87，{}85,83,87，{}82,83,87，共4种，没有都是“非星级”环保单位的情形，故这3个单位都是“星级”环保单位或都是“非星级”环保单位的情形共4种， 故所求概率()441205P M =-=.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD =，AB AD =，PA PD ⊥，AD CD ⊥，60BAD ∠=o ，M ，N 分别为AD ，PA 的中点．（Ⅰ）证明：平面BMN P 平面PCD ； （Ⅱ）若6AD =，求三棱锥P BMN -的体积． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；93【详解】（Ⅰ）连接BD ，∴AB AD =，60BAD ∠=o ，∴ABD ∆为正三角形. ∵M 为AD 的中点，∴BM AD ⊥.∵AD CD ⊥，,CD BM ⊂平面ABCD ，∴BM CD P . 又BM ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，∴BM ∥平面PCD . ∵M ，N 分别为AD ，PA 的中点，∴MN PD P .又MN ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，∴MN ∥平面PCD . 又,BM MN ⊂平面BMN ，BM MN M =I ， ∴平面BMN P 平面PCD .（Ⅱ）在（Ⅰ）中已证BM AD ⊥.∵平面PAD ⊥平面ABCD ，BM ⊂平面ABCD ，∴BM ⊥平面PAD . 又6AD =，60BAD ∠=o ，∴33BM =在PAD ∆中，∵PA PD =，PA PD ⊥，∴2322PA PD AD ===∵M ，N 分别为AD ，PA 的中点， ∴PMN ∆的面积(21119324424PMNPAD S S ∆∆==⨯⨯=， ∴三棱锥P BMN -的体积13P BMN B PMN PMN V V S BM --∆==⋅19933334=⨯⨯=.20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左，右焦点分别为()13,0F -，()23,0F ，且经过点13,2A ⎫⎪⎭．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点0(4)B ，作一条斜率不为0的直线l 与椭圆C 相交于P Q ，两点，记点P 关于x 轴对称的点为P '．证明：直线P Q '经过x 轴上一定点D ，并求出定点D 的坐标．【答案】（Ⅰ）2214x y +=（Ⅱ）证明见解析，直线P Q '经过x 轴上定点D ，其坐标为()1,0【详解】解：（Ⅰ）由椭圆的定义，可知122a AF AF =+()221123422⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.解得2a =. 又22231b a =-=，∴椭圆C 的标准方程为2214xy +=.（Ⅱ）由题意，设直线l 的方程为()40x my m =+≠. 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则()11,P x y '-.由22414x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，可得()2248120m y my +++=. ()216120m ∆=->Q ，212m ∴>.12284m y y m -∴+=+，122124y y m =+. ()21212121P Q y y y y k x x m y y '++==--Q ， ∴直线P Q '的方程为()()211121y y y y x x m y y ++=--. 令0y =，可得()211124m y y x my y y -=+++. 121224my y x y y ∴=+=+22122244441884m m m m mm ⋅++=+=--+.()1,0D ∴. ∴直线P Q '经过x 轴上定点D ，其坐标为()1,0.21.已知函数()1x xx f x ae e =--，其中0a >． （1）当2a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若函数()f x 有唯一零点，求a 的值．【答案】(1) 10x y -+=；(2) 1a =【详解】解：（1）当2a =时，()21xx x f x e e =--， 所以()12x xx f x e e -'=-， 所以()0211f '=-=．又()0211f =-=，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1y x -=，即10x y -+=．（2）问题等价于关于x 的方程11x x x a e e ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭有唯一的解时，求a 的值． 令()11x x x g x e e ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()212xx x e g x e--'=． 令()12x h x x e =--，则()20xh x e '=--<， ()h x ∴在(),-∞+∞上单调递减．又()00h =，∴当(),0x ∈-∞时，()0h x >，即()0g x '>，()g x ∴在(),0-∞上单调递增；当()0,x ∈+∞时，()0h x <，即()0g x '<，()g x ∴在()0,∞+上单调递减．()g x ∴的极大值为()01g =．∴当(],0x ∈-∞时，()(],1g x ∈-∞；当()0,x ∈+∞时，()()0,1g x ∈． 又0a >，∴当方程11x x x a e e ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭有唯一的解时，1a =． 综上，当函数()f x 有唯一零点时，a 的值为1．22.在直角坐标系xOy 中，过点()1,1P 的直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=． （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求11||||PA PB +的最小值． 【答案】（Ⅰ）2240x y x +-=【详解】解：（Ⅰ）4cos ρθ=Q ，24cos ρρθ∴=.由直角坐标与极坐标的互化关系222x y ρ=+，cos x ρθ=. ∴曲线C 的直角坐标方程为2240x y x +-=.（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程，并整理得()22sin 2cos 20t t αα+--=.()22sin 2cos 80αα∆=-+>Q ，∴可设12,t t 是方程的两个实数根，则122cos 2sin t t αα+=-，1220t t =-<. 11PA PB ∴+=121212121211t t t t t t t t t t +-+====≥=4πα=时，等号成立. 11PAPB ∴+.。
