高中数学1.3函数的基本性质教案新人教版必修1

1.3函数的基本性质

1.1.1 单调性与最大（小）值

（1）如图是定义在闭区间[-5，5]上的函数)(xfy的图象，根据图象说出)(xfy的单调区间，及在每一单调区间上，)(xfy是增函数还是减函数。

解：函数)(xfy的单调区间有5,3,3,1,1,2,2,5，

其中)(xfy在区间2,5，

3,1上是减函数，在区间5,3,1,2上是增函数。

注意：1 单调区间的书写

2 各单调区间之间的关系

（2）增函数与减函数的定义：一般地，设函数)(xf的定义域为I：

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值21xx、，当21xx时，都有)()(21xfxf，则函数)(xf在区间D上是增函数；

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值21xx、，当21xx时，都有)()(21xfxf，则函数)(xf在区间D上是减函数。

根据函数的单调性的定义判定或证明函数在某个区间上的单调性的方法步骤：

①取值：在给定区间上任取两个值1x，2x，且12xx；

②作差变形：作差12()()fxfx，通过因式分解、配方、分母有理化等方法变形；

③定号：判断上述差12()()fxfx的符号，若不能确定，则可分区间讨论；

④结论：根据差的符号，得出单调性的结论。

【例45】求证：函数11)(xxf在区间)0,(上是单调增函数。

提示：按照上面所给步骤的格式进行证明。

x y

0 -5 x y

-5 5

【例46】求证：函数xxxf3)(在R上是增函数。

【例47】（1）已知函数2)1(2)(2xaxxf在区间]3,(上是减函数，求实数a的取值范围；

（2）已知2)1(2)(2xaxxf的单调递减区间是]3,(，求实数a的取值范围。

【例48】讨论函数21)(xaxxf)21(a在),2(上的单调性。

（3）复合函数的单调性：

设)(xfy，)(xgu，],[bax，],[nmu都是单调函数，那么[()]yfgx在区间],[ba上也是单调函数。并且：

①若)(xfy是[,]mn上增函数，则[()]yfgx与定义在],[ba上的函数)(xgu单调性相同。

②若)(xfy是[,]mn上减函数，则[()]yfgx与定义在],[ba上的函数)(xgu单调性相反。

即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”）

【例49】已知32)(2xxxf，试讨论函数)5(2xf的单调性。

（4）函数最大（小）值的定义：

一般的，设函数)(xfy的定义域为I，如果存在实数M满足：

①对于任意的Ix，都有Mxf)(；②存在Ix0，使得Mxf)(0。

那么我们称M是函数)(xfy的最大值。

下图为函数]7,4[),(xxfy的图像，指出它的最大值、最小值及单调区间。

【例50】求下列函数的最小值：

1．xxy22 2．]3,1[,1xxy 3．xxy12

【例51】 函数322xxy在闭区间],0[m上有最大值3，最小值2，求m的取值范围。 y

O x -1

-2 -1 -2 -4 -3 1 2 3

1 2 3 4 5 6 7 -1.5

【例52】函数15103032xxxxxxy的最大值是多少？

【例53】 求)1(11)(xxxf的最大值为。

1.1.2 奇偶性

引：对于f(x)＝x、f(x)＝x2、f(x)＝x3、f(x)＝x4，分别比较f(x)与f(－x)。

（1）偶函数：一般地，如果对于函数)(xf的定义域内任意一个x，都有)()(xfxf，那么函数)(xf就叫做偶函数。

奇函数：一般地，如果对于函数)(xf的定义域内任意一个x，都有)()(xfxf，那么函数)(xf就叫做奇函数。

（3）奇偶性：如果函数)(xf是奇函数或偶函数，那么就说明函数)(xf具有奇偶性。

（4）正确理解函数奇偶性的定义。定义是判断或讨论函数奇偶性的依据，由定义知，若x是定义域中的一个数值，那么-x也必然在定义域中，因此，函数)(xfy是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是：定义域在数轴上所示的区间关于原点对称。换言之，所给函数的定义域若不关于原点对称，则这个函数必不具有奇偶性。

无奇偶性的函数是非奇非偶函数；若一个函数同时满足奇函数与偶函数的性质，则既是奇函数，又是偶函数。

（5）两个奇偶函数四则运算的性质：

①两个奇函数的和仍为奇函数；

②两个偶函数的和仍为偶函数；

③两个奇函数的积是偶函数；

④两个偶函数的积是偶函数；

⑤一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数。

【例54】判别下列函数的奇偶性：

f(x)＝|x＋1|+|x－1|、f(x)＝23x、f(x)＝x＋x1、 f(x)＝21xx、f(x)＝x2,x∈[-2,3]

提示：函数奇偶性判别方法：先考察定义域是否关于原点对称，再用比较法、计算和差、比商法判别f(x)与f(-x)的关系。

思考：f(x)=0的奇偶性？

【例55】设f(x)＝ax7＋bx＋5，已知f(－7)＝－17,求f(7)的值。

【例56】已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)－g(x)＝11x，求f(x)、g(x)。

【例57】已知函数f(x)，对任意实数x、y，都有f(x+y)＝f(x)＋f(y)，试判别f(x)的奇偶性。

【例58】已知f(x)是奇函数，且在[3，7]是增函数且最大值为4，那么f(x)在[-7，-3]上是 函数，且最 值是 。

【例59】已知函数f(x)=ax2+bx+3a+b为偶函数，其定义域为[a-1,2a]，求函数值域。

（6）函数的奇偶性与单调性之间的关系：

一般地，若)(xf为奇函数，则)(xf在],[ba和],[ab上具有相同的单调性；若)(xf为偶函数，则)(xf在],[ba和],[ab上具有相反的单调性。请大家试证明之。

【例60】定义在)1,1(上的奇函数)(xf在整个定义域上是减函数，若0)1()1(2afaf，求实数a的取值范围。

【例61】已知函数)(xfy是偶函数，在)0(，x上递减，且0)(xf，试问：

)(1)(xfxg在)0(，上是增函数还是减函数，并证明之。

（7）奇函数、偶函数的图像的性质：

如果一个函数是奇函数，则这个函数的图像是以坐标原点为对称中心的对称图形（奇函数的图像不一定过原点）；反之，如果一个函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数。

由于奇函数的图像关于原点对称，那么我们可以得出结论：如果奇函数)(xf的定义域为R时，那么必有0)0(f，这是一个非常重要的结论，在许多与函数的奇偶性有关的综合题型中求解函数的一些性质时往往需要用到它。

如果一个函数是偶函数，则这个函数的图像是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图像是以y轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数是偶函数。

根据上面的性质，我们也可以学习到画函数图像的另一种方法：如果知道一个函数的奇偶性，我们只要把它的定义域分成关于原点对称的两个部分，得出其中一个部分的函数图像和性质就可以推出这个函数在另一部分上的图像和性质。

【例62】)(xfy是偶函数，图像与x轴有四个交点，则方程0)(xf所有实根之和是（）

（A）4 （B）2 （C）1

（D）0

【例63】若函数)(xf是定义在R上的偶函数，在]0,(上是减函数，且0)2(f，则使得0)(xf的x的取值范围是（ ）

（A）)2,( （B）),2( （C）),2()2,( （D）（－2，2）

【例64】设奇函数()fx在(0)，上为增函数，且(1)0f，则不等式()()0fxfxx的解集为（ ）

（A）(10)(1)U，， （B）(1)(01)U，，

（C）(1)(1)U，， （D）(10)(01)U，，

【例65】设函数(1)()()xxafxx为奇函数，则a ．

【例66】设)(xf是定义在R上的奇函数，且)(xfy的图象关于直线21x对称，

则)5()4()3()2()1(fffff=________________．

【例67】已知定义域为R的函数)(xf在),8(上为减函数，且函数)8(xfy为偶函数，则（ ）

（A）)7()6(ff （B）)9()6(ff （C）)9()7(ff （D）)10()7(ff