中考数学二轮复习讲义

中考数学二轮复习讲义第08讲-二次函数-学案学科教师辅导讲义学员编号_________年级九年级（下）课时数3学员姓名辅导科目数学学科教师授课主题第08讲-----二次函数授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标深刻理解并运用二次函数的相关知识点；掌握常考重点题型及相关解法，突破中考数学第22.23题；提高综合分析与解题能力。

授课日期及时段T （Textbook-Based）同步课堂体系搭建一.知识梳理1.求证“两线段相等”的问题2.“某函数图象上是否存在一点，使之与另两个定点构成等腰三角形”的问题3.平行于y轴的动线段长度的最大值”的问题4.“在定直线（常为抛物线的对称轴，或x轴或y轴或其它的定直线）上是否存在一点，使之到两定点的距离之和最小”的问题5.三角形周长的“最值最大值或最小值”问题6.“某图形直线或抛物线上是否存在一点，使之与另两定点构成直角三角形”的问题7.“某图象上是否存在一点，使之与另外三个点构成平行四边形”问题8.“抛物线上是否存在一点，使两个图形的面积之间存在和差倍分关系”的问题9.常数问题10.“两个三角形相似”的问题11.“某图象上是否存在一点，使之与另两定点构成等腰直角三角形”的问题12.“一抛物线上是否存在一点，使之和另外三个定点构成的四边形面积最大的问题”13.三角形面积的最大值问题14.“定四边形面积的求解”问题15.“题中含有两角相等，求相关点的坐标或线段长度”等的问题二.知识概念常用公式或结论破解二次函数难题的基石1.横线段的长横标之差的绝对值纵线段的长纵标之差的绝对值（2）点轴距离点P（，）到X轴的距离为，到Y轴的距离为。

（3）两点间的距离公式若A（）,B,则AB（4）点到直线的距离点P（）到直线AxByC0其中常数A,B,C最好化为整系数，也方便计算的距离为或（5）中点坐标公式若A，B（），则线段AB的中点坐标为（）（6）直线的斜率公式若A （），B（），则直线AB的斜率为,（7）两直线平行的结论已知直线若若（8）两直线垂直的结论已知直线若若（9）由特殊数据得到或猜想的结论已知点的坐标或线段的长度中若含有.等敏感数字信息，那很可能有特殊角出现。

1.二次函数与重叠面积1.如图，已知矩形的顶点与点重合，、分别在轴、轴上，，；抛物线经过坐标原点和轴上另一点．（）当取何值时，该抛物线的最大值是多少？（）将矩形以每秒个单位长度的速度从图所示的位置沿轴的正方向匀速平行移动，同时一动点也以相同的速度从点出发向匀速移动．设它们运动的时间为秒（），直线与该抛物线的交点为（如图所示）．Ⅰ．当时，判断点是否在直线上，并说明理由；Ⅱ．以、、、为顶点的多边形面积是否可能为，若有可能，求出此时点的坐标；若无可能，请说明理由．2.如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是梯形，，点在轴上，点在轴上，且，．（）求点的坐标；（）点从点出发，沿线段以个单位/秒的速度向终点匀速运动，过点作，垂足为，设的面积为（），点的运动时间为秒，求与之间的函数关系式（直接写出自变量的取值范围）；（）在（）的条件下，过点作交线段于点，过点作，垂足为，线段分别交直线、于点、，点为线段的中点，连结．Ⅰ．判断与的位置关系；Ⅱ．当为何值时，？ABCD A O AD AB x y 2AD =3AB =2y x bx c=-++O x (4,0)E 1x 2ABCD 11x P A B t 03t ≤≤AB N 114t =P ME P N C D 5N O AOCB AB OC ∥A y C x 2(8)0OA -+=OB OC =1B 2P C CO 5O P PH OB ⊥H HBP △S 0S ≠P t S t t 32P PM CB ∥AB M M MR OC ⊥R MR PH OB E G F PM EF EF PM t 2EG =3.如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．（）求抛物线的解析式及顶点坐标；（）在抛物线的对称轴上找到点，使得的周长最小，并求出点的坐标；（）若点是线段上的一个动点（不与点、重合）．过点作交轴于点．设的长为，问当取何值时，．4.如图，在中，，，运动，点在，，边上运动的速度分别为每秒，，个单位．直线l 从与重合的位置开始，以每秒个单位的速度沿方向平行移动，即移动过程中保持，且分别与，边交于，两点，点与直线同时出发，设运动的时间为秒，当点第一次回到点时，点和直线同时停止运动．（1）当秒时，点走过的路径长为__________；当__________秒时，点与点重合；（2）当点在边上运动时，将绕点逆时针旋转，使得点的对应点落在上，点的对应点记为点，当时，求的值；（3）当点在折线上运动时，作点关于直线的对称点，记为点．在点与直线运动的过程中，若形成的四边形为菱形，请直接写出的值．2yax bx c =++x (1,0)A -(3,0)B y (0,3)C 1M 2P PAC △P 3D OC O C D DE PC ∥x E CD m m 19PDE ABMC S S =四边形△Rt ABC ∆90C ∠=︒6AC =BC =AC CB BA --P AC CB BA 345AC 43CB l AC ∥CB AB E F P l t P A P l 5t =P t =P E P AC PEF ∆E P M EF F N EN AB ⊥t P AC CB BA --P EF Q P l PEQF t5.如图，在直角坐标系中，已知直线与轴交于点，与轴交于点，以线段边向上作正方形．（）点的坐标为__________，点的坐标为__________；（）若抛物线经过、两点，求该抛物线的解析式；（3个单位长度的速度沿射线向上平移，直至正方形的顶点落在轴上时，正方形停止运动．在运动过程中，设正方形落在轴右侧部分的面积为，求关于平移时间（秒）的函数关系式．6.如图，把两个全等的和分别置于平面直角坐标系中，使点与点重合，直角边、在轴上．已知点，过、两点的直线交轴于点．若沿个单位长度的速度匀速平移，设平移的时间为（秒），记在平移过程中某时刻为，与交于点，与轴交于点，与交于点，与轴交于点（注：平移过程中，点始终在线段上，且不与点重合）．（1）求直线的函数解析式；（2）试探究在平移过程中，四边形的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及的取值；若不存在，请说明理由；（3）以为边，在的下方作正方形，求正方形与坐标轴有两个公共点时的取值范围．112yx =+y A x B AB ABCD 1C D 222(0)y ax bx a =++≠C D BA C y y S S t Rt AOB ∆Rt ECD ∆xOy EB OB BC y 2(4)D ，A D y F ECD ∆DA t ECD ∆'''E C D ∆''E D AB M y N ''C D AB Q y P 'D DA A AD ECD ∆MNPQ t MN ''E D MNRH MNRH t7.如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的斜边在轴上，顶点的坐标为，为斜边上的高．抛物线：与直线及过点垂直于轴的直线交于点．点是轴上一动点，过点作轴的平行线，交射线与点．设以、、、为顶点的四边形的面积为．（）直接写出点的坐标及的值；（）判断抛物线的顶点是否在直线上？并说明理由；（）当时，求与的函数关系式；（）如图，设直线交射线于，交抛物线于点，以为一边，在的右侧作矩形，其中，直接写出矩形与等腰直角三角形重叠部分为轴对称图形时的取值范围．8.在平面直角坐标系中，抛物线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，顶点位于第二象限，连结，，．（）求抛物线的解析式；（）点是轴正半轴上一点，且在点上方，若，请你猜想并证明与的位置关系；（）设与重合的从的位置出发，沿轴负方向平移个单位长度时，与重叠部分的面积为，求与之间的函数关系式．1OMN ON x M(3,3)MH C 214y x nx =-+12y x =N x D (,0)P m x P y OM E M E H N S 1D n 2C OM 33m ≠S m 42PE OD R C Q RQ RQ RQFG 32RG =RQFG OMNm图2xOy 22(1)6y x m x m =---+-x A y (0,3)B C AB AC BC 12D y B DCBCAB ∠=∠CD AC 3AOB △EFG △AOB △x t (03)t <≤EFG △AOB △S S t9.已知：如图，在面积为的正方形中，、分别是和边上的两点，于点，且．（1）求出和重叠部分（即）的面积；（2）现将绕点逆时针方向旋转到（如图），使点落在边上的点处，问在旋转前后与重叠部分的面积是否发生了变化？请说明理由10.如图，已知抛物线与轴的一个交点为，另一个交点为，与轴的交点为，其顶点为，对称轴为直线．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点为轴上的一个动点，当是以为一腰的等腰三角形时，求点的坐标；（3）将沿轴向右平移个单位长度（）得到另一个三角形，将与重叠部分的面积记为，用含的代数式表示．13ABCD E F BC CD AE BF ⊥G 1BE =ABE △BCF △BEG △ABE △A AB E ''△2E CD E 'ABE △BCF△2y ax bx c =++x (1,0)A -B y (0,3)C -D 1x =M y ACM △AC M OBC △x m 03m <<EFG △EFG △BCD △S mS2.二次函数与分割面积1.已知如图，中，，与轴平行，点在轴上，点在轴上，抛物线经过的三个顶点．（）求出该抛物线的解析式；（）若直线将四边形面积平分，求此直线的解析式．（）若直线将四边形的周长和面积同时分成相等的两部分，请你确定中的取值范围．2.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴的负半轴上，．（）求过点、、的抛物线的解析式；（）在（）中抛物线的对称轴上是否存在点，使的值最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；（）在（）中轴下方的抛物线上是否存在一点，过点作轴的垂线，交直线于点，线段把分成两个三角形．使其中一个三角形面积与四边形面积比为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．ABC △ACBC =BC x A x C y 254y ax ax =-+ABC △127ykx =+ACBD 3ykx b =+ACBD y kx b =+kA (1,x 30ABO ∠=︒1A OB 21C AC OC +C 31x P P x ABD OD AOB △BPOD 2:3P3.如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图像与轴交于点，与轴交于、两点，点的坐标为．（1）求二次函数的解析式及顶点的坐标；（2）点是第二象限内抛物线上的一动点，若直线把四边形分成面积为的两部分，求出此时点的坐标；（3）点是第二象限内抛物线上的一动点，问：点在何处时的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点的坐标．4.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与一次函数的图象交于、两点，点在轴上，点的纵坐标为．点是二次函数图象上、两点之间的一个动点（不与点、重合），设点的横坐标为，过点作轴的垂线交于点，作于点．（1）求及的值；（2）用含的代数式表示线段的长；（3）连接，线段把分成两个三角形，是否存在适合的值，使这两个三角形的面积之比为．如果存在，直接写出的值；如果不存在，请说明理由．xOy 22y ax ax c =++y C x A B B (3,0)-D M OM ACDB 1:2M P P CPB △P xOy 228y x x =-++y x b =-+A B A x B 7-P A B A B P m P x AB C PDAB ⊥D b sin ACP ∠m PD PB PC PDB △m 1:2m5.如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于、两点，点在轴上，点的纵坐标为．点是直线下方的抛物线上的一动点（不与点、重合），过点作轴的垂线交直线于点，作于点．（1）求抛物线的解析式；（2）设点的横坐标为．（Ⅰ）用含的代数式表示线段的长，并求出线段长的最大值；（Ⅱ）连结，线段把分成两个三角形，是否存在适合的的值，使这两个三角形的面积比为．若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．6.已知：如图，在平面直角坐标系中，边长为的等边随着顶点在抛物线上运动而运动，且始终有轴．（）当顶点运动至与原点重合时，顶点是否在该抛物线上？（）在运动过程中有可能被轴分成两部分，当上下两部分的面积之比为（即）时，求顶点的坐标；（）在运动过程中，当顶点落在坐标轴上时，直接写出顶点的坐标．1y x =+23(0)y ax bx a =+-≠A B A x B 5P AB A B P x AB C PD AB ⊥D P m m PD PD PB PC PDB △m 1:2mxOy ABC △A 2y x =-BC x ∥1A C 2ABC △x 1:8:1:8S S =上部分下部分A 3ABC △B C7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，且对称轴为直线．点、均在抛物线上，点位于对称轴右侧，点位于对称轴左侧．垂直对称轴于点，垂直对称轴于点，且．设点的横坐标为．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）求点的坐标（用含的式子表示）；（3）请探究是否成立，并说明理由．（4）抛物线（）经过、、三点，若其对称轴把四边形分成面积比为的两部分，直接写出此时的值．8.已知：如图，菱形中，对角线，相交于点，且，．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，直线从点出发，沿方向匀速运动，速度为，，且与，，分别交于点，，；当直线停止运动时，点也停止运动．连接，设运动时间为（）（）．解答下列问题：（1）当为何值时，四边形是平行四边形？2y x bx c =＋＋(11)，-=2x P Q P Q PA A QB B 1QB PA ＝＋P m Q m PA QB AB ＋＝2111y a x b x c =＋＋10a ≠Q B P PAQB 1:5m ABCD AC BD O 12AC ＝cm 16BD ＝cm P B BA 1cm/s EF D DB 1cm/s EF BD ⊥AD BD CD E Q F EF P PF t s 08t ＜＜t APFD（2）设四边形的面积为（），求与之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值，并求出此时，两点间的距离；若不存在，请说明理由．9.如图1，菱形中，，点从出发，以的速度沿边、、匀速运动到终止；点从与同时出发，沿边匀速运动到终止．设点运动的时间为（），的面积（）与（）之间函数关系的图象由图2中的曲线段与线段、给出．（1）求点运动的速度；（2）求图中线段的函数关系式；（3）问：是否存在这样的，使将菱形的面积恰好分成的两部分？若存在，求出这样的的值；若不存在，请说明理由．10.如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于、两点，点在轴上，点的纵坐标为．点是直线下方的抛物线上一动点（不与点、重合），过点作轴的垂线交直线于点，作于点．（1）求、及的值；（2）设点的横坐标为．（Ⅰ）用含的代数式表示线段的长，并求出线段长的最大值；APFE y 2cm y t t 17:40:APFE ABCD S S 四边形菱形＝t PE ABCD 60A ∠︒＝P A 2cm/s AB BC CD D Q A P AD D P t s APQ ∆S 2cm t s OE EF FG Q 2FG t PQ ABCD 1:5t 112y x =+23y ax bx +=-A B A x B 3P AB A B P x AB C PD AB ⊥D a b sin ACP ∠P m m PD PD（Ⅱ）连接，线段把分成两个三角形，是否存在适合的值，使这两个三角形的面积之比为？若存在，直接写出的值；若不存在，说明理由．11.如图，在平面直角坐标系中，点，为两动点，其中，连接，，．（1）求证：；（2）当时，抛物线经过，两点且以轴为对称轴，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，设直线交轴于点，过点作直线交抛物线于，两点．（Ⅰ）若直线平分的面积，求直线的解析式；（Ⅱ）是否存在直线l 使得？若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由．PB PC PDB ∆m 9:10m (2)A m ，(3)B n -，1m ＞OA OB OA OB ⊥6mn ＝10AOB S ∆＝A B y AB y F F l P Q l AOB ∆l :1:2POFQOF S S ∆∆＝l3.二次函数与相切1.如图，抛物线经过点，和，点是轴上的一个动点，连接，取的中点，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接、、．（1）求该抛物线的解析式；（2）当为何值时，点在此抛物线上；（3）在点运动过程中，是否存在为等腰三角形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由；（4）在点运动过程中，若以为直径的圆与直线相切，直接写出的值．2.如图，在平面直角坐标系中，点、点，四边形是矩形，以点为圆心的过点，点从点出发，沿以每秒个单位的速度运动，设运动时间为秒．（1）当为何值时，与相切？（2）当直线将的周长分成的两部分时，求的值；（3）直线为的垂直平分线，垂足为．当点在、上运动时，是否存在点，使直线与相切？若存在，求的值；若不存在，说明理由．2y ax bx c ＝＋＋(00)O ，(34)A ，(110)C ，(0)P t ，x AP AP MMP P 90︒PB AB BC AC t B P ABC ∆P P PB ACt (60)A -，(04)C ，OABC O O0)D ，P O O C B A ---1t t AP O AP O 1:2t l AP E P OC BA P l O t3.矩形内接于，将沿翻折，点落在上点处，连接．（1）如图1，判断四边形的形状，并说明理由；（2）如图2，是的切线，切点是，交的延长线于点．动点从点出发，以的速度沿射线的方向运动，以点为圆心，长为半径作圆，设点运动的时间为（秒）．若的直径为，．①当为何值时，与直线相切；②根据与线段公共点的个数，直接写出相应的的值或取值范围．4.如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴正半轴交于点，与轴负半轴交于点，且，．点为线段上的一个动点，过点作轴的平行线分别交直线、于点、．（1）设线段的长为，求与之间的函数关系式；（2）当时，求点的坐标；（3）是否存在点，使得过、、三点的圆与x 轴相切？若存在，求点的坐标；ABCD O ADC ∆AC D O E BE AEBC PA O A CB P M P 2cm/s PC M PM M t O 534AB PB =t M BE M AC t 35y x -＝-x A y B CD x C y D 95OC OB ＝45OCD ∠︒＝(0)P t ，OB P x AB CD E F EF l l t 45EOF ∠︒＝P P D E F P若不存在，说明理由．5.如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，将抛物线沿轴翻折得抛物线．（1）求的解析式；（2）在的对称轴上找出点，使点到点的对称点及两点的距离差最大，并说出理由（3）平行于轴的一条直线交抛物线于、两点，若以为直径的圆恰与轴相切，求此圆的半径．6.已知过原点的两条直线与圆心为，半径为的圆相切，切点分别为、，交轴于点，抛物线经过、两点，顶点为，且与轴交于、两点．（1）求点的坐标；（2）求抛物线解析式；（3）直线与抛物线交于不同的两点、，当该直线与相切时，求点、、l x (30)A ，(10)B ，y (03)C ，－l y 1l 1l 1l P P A 1A C x 1l E F EFx O (04)M ，2P Q PQ y K P Q (06)N ，x A B P y m ＝C D M A B、围成的多边形的面积（结果保留根号）．7.已知抛物线（）恒过定点、（在的左侧）．（1）求、两点的坐标；（2）点在直线下方的抛物线上，当面积的最大值为时，求抛物线的解析式；（3）若经过点的始终与轴相切，设，求与的函数关系式，并求点到点距离的最小值．8.如图，在平面直角坐标系中，和是两个全等的直角三角形，，，直角边、在轴上，点的坐标为，抛物线经过、、三点，与轴的另一个交点为．（1）求抛物线的解析式；（2）点为线段上一动点（不与、重合），过点作轴的平行线交抛物线于点，连接、，当四边形为等腰梯形时，求点的坐标；（3）在抛物线的段上（包括点）是否存在点，使既与轴相切，又与直线相交？若存在，求点横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由．C D 2(317)4y ax a x a +--＝＋0a ＞E F E F E F D EF DEF ∆1258F P x ()P xy ，y x P (44)，AOB ∆OCD ∆90OBA CDO ∠︒＝＝OB CD ＝OB OD x C (42)--，2y ax bx c ++＝O A C x E F OC O C F y G BF AG ABFG F EC C P P x CO P P x9.如图，直线与抛物线交于、两点，抛物线的对称轴与轴交于点．（1）证明直线过定点，并求出点的坐标；（2）当时，证明是等腰直角三角形；（3）对于任意的实数，是否都存在一条固定的直线与以为直径的圆相切？若存在，请求出该直线的解析式；若不存在，请说明理由．10.如图，已知抛物线与坐标轴分别交于、、三点，过坐标原点的直线与抛物线交于、两点．分别过点、作平行于轴的直线、．（1）求抛物线对应二次函数的解析式；（2）求证以为直径的圆与直线相切；（3）求线段的长（用表示），并证明、两点到直线的距离之和等于线段的长．2y kx k =-+2115424y x x =-+A B x Q 2y kx k -＝＋P P 0k ＝AQB ∆kAB (20)A -，(20)B ，(01)C -，O y kx ＝M N C (02)D -，x 1l 2l ON 1l MN k M N 2lMN4.反比例函数与几何1.如图，反比例函数（）的图象经过点，射线与反比例函数图象交于另一点，射线与轴交于点，，轴，垂足为．（1）求的值；（2）求的值及直线的解析式；（3）如图2，是线段上方反比例函数图象上一动点，过作直线轴，与相交于点，连接，求面积的最大值．2.如图，点，在反比例函数图象上，轴于点，轴于点，．（1）求反比例函数的表达式；（2）连接，在轴上是否存在一点，使的面积等于，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．1k yx =0x＞1)A ，AB (1)B a ，AC y C 75BAC ∠︒＝AD y ⊥D k tan DAC ∠AC M AC M l x ⊥AC N CM CMN∆(6)A m ，(1)B n ，AC x ⊥C BD x ⊥D 5CD ＝AB x E ABE ∆5E3.如图，已知反比例函数，是常数）的图象经过点和点，点的横坐标大于点的横坐标，轴，垂足为，轴，垂足为，与相交于点．（1）若点的纵坐标为，点的横坐标为，，求反比例函数的解析式；（2）求证：．4.如图，直线与双曲线（，）交于点，将直线向上平移个单位长度后，与轴交于点，与双曲线（，）交于点，且．（1）求的值；（2）连接，求四边形的面积．k y x=(0x >k A B B A AM x ⊥M BN y ⊥N AM BN C A 6B 32AC CM＝AB MN ∥12y x =k y x=0k ＞0x ＞A 12y x ＝3y C k y x＝0k ＞0x ＞B 2OA BC ＝k AB OABC5.如图，点在双曲线（）上，直线交双曲线（）于点，点的坐标为，直线交双曲线（）于点，直线交双曲线（）于点，直线交双曲线（）于点，连接、．（1）求证：；（2）与是否相等，请说明理由（3）若，求点的坐标．6.如图①，直角三角形中，，平行于x 轴，，，反比例函数（）的图象经过点A ．（1）直接写出反比例函数的解析式；（2）如图②，在（1）中的反比例函数图象上，其中，连接，过作，且，连接．设点坐标为，其中，，求与的函数解析式，并直接写出自变量m 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若Q 坐标为，求的面积．A 4=y x 0x ＞OA 16y x=0x ＞B P (80)，PA 4y x=0x ＞C PB 16y x =0x ＞D OD 4y x=0x ＞E AE PE AE BD ∥APE S ∆AOE S ∆3AOP AOE S S ∆∆＝A AOB 90AOB ∠︒＝AB 2OA OB ＝5AB ＝k y x=0x ＞()P xy ，18x ＜＜OP O OQ OP ⊥2OP OQ ＝PQ Q ()m n ，0m ＜0n ＞n m (1)m ，POQ ∆7.如图，双曲线与两直线、（，且）分别相交于、、、四点．（1）证明：以、、、为顶点的四边形是平行四边形；（2）当为何值时，平行四边形是矩形，请说明理由．8.如图，一次函数（为常数，且）的图象与反比例函数的图象交于，两点．（1）求一次函数的表达式；（2）若将直线向下平移（）个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求的值．1y x＝-14y x =-y kx ＝-0k ＞14k ≠A B C D A D B C kADBC 5y kx ＝＋k 0k ≠8y x =-(2)A b -，B AB m 0m ＞m9.如图，已知矩形的一个顶点的坐标是，反比例函数（）的图象经过矩形的对称中心，且与边交于点．（1）求反比例函数的解析式和点的坐标；（2）若过点的直线将矩形的面积分成的两部分，求此直线的解析式．10.如图，一次函数的图象l 与坐标轴分别交于点、，与双曲线（）交于点，且是的中点．（1）求直线的解析式；（2）若直线与交于点，与双曲线交于点（不同于），问为何值时，？OABC B (42)，k y x=0x ＞E BC D D D =+y mx n OABC3:5=+y kx b E F 4y x =-0x ＜(1)P n -，F PE l x a ＝l A B A a PA PB＝5.函数中的面积问题1.如图，在直角梯形中，，，，，.动点都从点出发，点沿方向做匀速运动，点沿方向做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．（1）求的长；（2）若点以速度运动，点以的速度运动，连接，设面积为，点运动的时间为，求与的函数关系式，并写出的取值范围；（3）若点的速度仍是，点的速度为，要使在运动过程中出现，请你直接写出的取值范围．ABCD AD BC ∥90B ∠︒＝6AD cm ＝8AB cm ＝14BC cm ＝P Q 、C P C B →Q CD A →→P Q 、CD P 1/cm sQ /s BQ PQ 、BQP 2S cm （）P Q 、t s （）S t t P 1/cm s Q /acm s PQ DC ∥a2.如图，，点在的两边上，，，连接．点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动，到点停止．当点与两点不重合时，作交于，作于．为射线上一点，且．设点的运动时间为（秒）．（1）用含有的代数式表示的长．（2）求点与点重合时的值．（3）当点在线段上时，设四边形与四边形重叠部分图形的面积为（平方单位）．求与之间的函数关系式．（4）当为某个值时，沿将以为顶点的四边形剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形．请直接写出所有符合上述条件的值．90C ∠=︒A B 、C ∠30CA =20CB =AB P B 4BC C P B C 、PD BC ⊥AB D DE AC ⊥E F CB CEF ABC ∠=∠P x x CE F B x F CB DECP DEFB y y x x PD D E F B 、、、x3.如图，梯形中，,，于点,，,.从初始时刻开始，动点分别从点同时出发，运动速度均为,动点沿的方向运动，到点停止；动点沿的方向运动，到点停止，设运动时间为，的面积为，（这里规定：线段是面积为的三角形)解答下列问题：(1)当时，_____;当时，_______(2)当时，求与之间的函数关系式.(3)当动点在线段上运动时，求出时的值.(4)直接写出在整个运动过程中，使与四边形的对角线平行的所有的值．ABCD AD BC ∥90BAD ∠=︒CE AD ⊥E 8AD cm =4BC cm =5AB cm =,P Q ,A B 1 /cm s P A B C E ---E Q B C E D ---D xs PAQ 2y cm 02xs =y =2cm 92x s =y =2cm 5 14x ≤≤y x P BC 415y =ABCD S 梯形x PQ ABCE xP4.如图，矩形中，，点是的中点，点在的延长线上，且．一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿匀速运动，到达点后，立即以原速度沿返回；另一动点从点发发，以每秒个单位长度的速度沿射线匀速运动，点同时出发，当两点相遇时停止运动，在点的运动过程中，以为边作等边，使和矩形在射线的同侧．设运动的时间为秒（）．（1）当等边的边恰好经过点时，求运动时间的值；（2）在整个运动过程中，设等边和矩形重叠部分的面积为，请直接写出与之间的函数关系式和相应的自变量的取值范围；（3）设与矩形的对角线的交点为，是否存在这样的，使是等腰三角形？若存大，求出对应的的值；若不存在，请说明理由．ABCD 6AB BC ==，O AB P AB 3BP=E O 1OA A AO F P 1PA E F 、E F 、EF EFG EFG ABCD PA t 0t ≥EFG FG C t EFG ABCD S S t t EG ABCD AC H t AOHt5.如图，在平行四边形中，，，，一动点从出发以每秒的速度沿的路线匀速运动，过点作直线，使于点，（1）当点运动时，设直线与相交于点，求的面积.（2）当点运动时，另一动点也从出发沿的路线运动，在上以每秒的速度匀速运动，过作直线，使，设点运动的时间为秒（），直线与截平行四边形所得图形的面积为，求关于的函数关系式.6.菱形的对角线相交于点，，，动点在线段上从点向点运动，于点，四边形关于对称，四边形与四边形关于对称．设菱形被这两个四边形盖住部分的面积为，未被盖住部分的面积为，．（1）用含的代数式分别表示；（2）若，求的值．ABCD 4AD cm ＝60A ∠︒＝BD AD ⊥P A 1cm A B C →→P PMPM AD ⊥E P 2s PM AD E APE P 2s Q A A B C →→BC 2cm Q QN //QNPM Q t 010t ≤≤PM QN ABCD 2Scm S t D C M EAP BABCD AC BD ，O AC=4BD =PBD B D PF AB ⊥F PFBG BD QEDH PEBG AC ABCD 1S 2S BPx =x 12S S ，12S S =x7.如图，已知矩形的边长，，点是边上的一动点（异于），是边上的任意一点.连、，过作交AQ 于，作交于.（1）求证：；（2）设的长为，试求的面积关于的函数关系式，并求当在何处时，取得最大值？最大值为多少？（3）当在何处时，的周长最小？（须给出确定在何处的过程或方法，不必给出证明）8.已知：，都是等边三角形，是与的中点，连接.（1）如图1，当与在同一条直线上时，直接写出与的数量关系和位置关系；（2）固定不动，将图1中的绕点顺时针旋转（）角，如图2所示，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请加以证明；若不成立，说明理由；（3）固定不动，将图1中的绕点旋转（）角，作于点．设，线段，，，所围成的图形面积为．当时，求关于的函数关系式，并写出相应的的取值范围．ABCD 2AB =3BC =P AD P A D 、Q BC AQ DQ P PE DQE PF AQ ∥DQ F APE ADQ ∽AP x PEF PEF S x P PEF S Q ADQQ ABC DEF M BC EF AD BE ，EF BC AD BE ABC DEF M α090α≤≤︒︒ABC DEF M α090α≤≤︒︒DH BC ⊥H BH x =AB BE ED DA S 62AB DE ==，S x x9.如图，在中，，，点在射线上，交射线于点，点在的延长线上，且，以为邻边作，连接．（1）当时，求的面积；（2）设，与重叠部分的面积为，求与的函数关系式；（3）当点在线段上时，若是等腰三角形，求的长．10.已知：如图①，在平行四边形中，，．以为斜边在平行四边形的内部作，，．（1）求的周长；（2）若以每秒个单位长度的速度沿向右平行移动，得到，当与重合时停止移动．设移动时间为秒，与重叠部分的面积为，请直接写出与之间的函数关系式，并写出的取值范围；（3）如图②，在（2）中，当停止移动后得到，将饶点按顺时针方向旋转，在旋转过程中，的对应点为，的对应点为，设直线与直线交于点、与直线交于点．是否存在这样的，使ABC 10AB AC ==3cos 5B =D AB DE BC ∥AC E F AE 14EF AE =DE EF 、DEFG BG EF FC ＝ADE AD x ＝DEFG ABC y y x F AC DBG AD ABCD 126AB BC ＝，＝AD BD ⊥AD ABCD Rt AED 30EAD ∠︒＝90AED ∠︒＝AED AED 2DC 000A E D 00A D BC t 000A E D BDC S S t t AED BEC BEC C 0180αα︒︒（＜＜）B 1B E 1E 11B E BE P CB Q αBPQ为等腰三角形？若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由．11.如图1，在梯形中，，，，，，边长为的正方形的边在直线上，且与重合，并沿直线以每秒个单位长度的速度向右运动，当与重合时停止运动，设运动时间为秒．（1）当正方形的顶点分别落在线段和上时，求运动时间和的值；（2）在整个运动过程中，设正方形与重合部分的面积为，直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围；（3）如图2，将沿翻折，得到，取的中点，连接、、，是否存在某一时刻，使是直角三角形，若存在，求出相应的值；若不存在，请说明理由．αABCD AD BC 90A ∠︒＝8AB ＝4AD ＝2tan 3C ＝3EFMN FM BC M B BC 1M C t EFMN N BD DC 1t 2t EFMN DBC S S t t ABD BD BDP BD Q PQ PE QE t PQE t12.已知，在矩形中，为边上一点，，，，为线段上一点，，连接．如图①，现有一张硬质纸片，，，，斜边与边在同一直线上，点与点重合，点在线段上．如图②，从图①的位置出发，以每秒个单位的速度沿向点匀速移动，同时，点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点匀速移动，点为直线与线段的交点，连接．当点到达终点时，和点同时停止运动．设运动时间为秒，解答下列问题：（1）在整个运动过程中，当点在线段上时，求的值．（2）在整个运动过程中，是否存在点，使是等腰三角形．若存在，求出的值；若不存在，说明理由．（3）在整个运动过程中，设与重叠部分的面积为，请直接写出与之间的函数关系式以及自变量的取值范围．ABCD E BC AE DE ⊥12AB =16BE =F BE 7EF =AF GMN 90NGM ∠=︒6NG =8MG =MN BC N E G DE GMN 1EB B P A 1AD D Q GN AE PQ N B GMN P t G AE t P APQ t GMN AEF S S tt。

专题一 不等式组与分式方程的解的运用(2019·南岸区校级模拟)若整数a 使得关于x 的方程2－3x －2＝a2－x的解为非负数，且使得关于y的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y －a 5≤03y －22＋1>y －22至少有三个整数解，则符合条件的整数a 的个数为( )【分析】表示出不等式组的解集，由不等式组至少有三个整数解确定出a 的值，再由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件求出满足题意整数a 的值，进而可得结论． 【自主解答】1．(2019·渝中区二模)若数a 使关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －22≤－12x ＋27x ＋4>－a 有且只有4个整数解，且使关于y 的分式方程2y －1＋a1－y ＝3的解为正数，则符合条件的所有整数a 的和为( )D ．62．(2019·渝中区一模)如果关于x 的分式方程ax x －2－2＝x2－x 有整数解，且关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a －2x ≤1－x 4x ＋12>x ＋3的解集为x>52，那么符合条件的所有整数a 的和为( ) A ．4B ．6C ．2D ．13．(2019·江北区一模)若数a 使关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －52＋1≤x ＋135x －2a>2x ＋a 至少有3个整数解，且使关于y 的分式方程a －3y －1－21－y ＝2有非负整数解，则满足条件的所有整数a 的和是( ) A ．14B ．15C ．23D ．244．(2019·九龙坡区校级模拟)如果关于x 的分式方程ax ＋1－3＝1－xx ＋1有负数解，且关于y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2（a －y ）≤－y －43y ＋42<y ＋1无解，则符合条件的所有整数a 的和为( ) A ．－2B ．0C ．1D ．35．(2019·南岸区模拟)若整数k 使关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋k ≤0x 3－x －12≤1只有4个整数解，且使关于y 的分式方程k y －1＋1＝y ＋ky ＋1的解为正数，则符合条件的所有整数k 的积为( ) A ．2B ．0C ．－3D ．－6参考答案【例1】 不等式组整理得：⎩⎪⎨⎪⎧y≤a，y>－1，由不等式组至少有三个整数解，得－1<y≤a，且a≥2，则整数a ＝2，3，4，5，6，…，分式方程2－3x －2＝a 2－x ，去分母得：2(x －2)－3＝－a ，解得：x ＝7－a2，∵方程的解是非负数，∴7－a 2≥0，且7－a 2≠2，解得a≤7，且a≠3.∴符合条件的整数a 的值有2，4，5，6，7，共5个．故选B. 跟踪训练1．A 【解析】解不等式x －22≤－12x ＋2，得x≤3，解不等式7x ＋4>－a ，得x>－4－a 7，∵不等式组有且只有4个整数解，∴在－4－a7<x≤3的范围内只有4个整数解，∴整数解为x ＝0，1，2，3，∴－1≤－4－a 7<0，解得－4<a≤3，由2y －1＋a 1－y ＝3，得y ＝5－a3，∵分式方程有解且解为正数，∴⎩⎪⎨⎪⎧5－a3≠15－a3>0，解得：a<5且a≠2.∴所有满足条件的整数a 的值有：－3，－2，－1，0，1，3，∴符合条件的所有整数a 的和为－2.故选A.2．C 【解析】分式方程去分母得：ax －2x ＋4＝－x ，整理得：x ＝41－a，由分式方程有整数解，得1－a ＝±1或±2或±4，解得：a ＝0，－1，2，3，－3，5，又∵41－a ≠2，∴a≠－1，不等式组整理得：⎩⎪⎨⎪⎧x≥a－1x>52，由不等式组的解集为x>52，得a －1≤52，即a≤72，则整数a 的值为0，2，3，－3，之和为2，故选C.3．A 【解析】解不等式x －52＋1≤x ＋13，得x≤11，解不等式5x －2a ＞2x ＋a ，得x ＞a ，∵不等式组至少有3个整数解，∴a＜9；分式方程两边乘以y －1，得：a －3＋2＝2(y －1)，解得：y ＝a ＋12，∵分式方程有非负整数解，∴a 取－1，1，3，5，7，9，11，…，∵a＜9，且y≠1，∴a 只能取－1，3，5，7，则所有整数a 的和为－1＋3＋5＋7＝14，故选A. 4．A 【解析】由关于y的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2（a －y ）≤－y －43y ＋42<y ＋1，可整理得⎩⎪⎨⎪⎧y≥2a＋4y<－2，∵该不等式组无解，∴2a＋4≥－2，即a≥－3，由a x ＋1－3＝1－x x ＋1得x ＝a －42，∵方程有负数解，∴a－4<0且a －42≠－1，∴a＜4且a≠2，∴－3≤a＜4，且a≠2，∴a＝－3、－2、－1、0、1、3，则符合条件的所有整数a 的和为－2.故选A. 5．A【解析】解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋k≤0x 3－x －12≤1得：－3≤x≤－k3，∵不等式组只有4个整数解，∴0≤－k3＜1，解得：－3＜k≤0，解分式方程k y －1＋1＝y ＋k y ＋1得：y ＝－2k ＋1，∵分式方程的解为正数，∴－2k ＋1＞0且－2k ＋1≠1，解得：k ＜12且k≠0，综上，k 的取值范围为－3＜k ＜0，则符合条件的所有整数k 有－2，－1，积为－2×(－1)＝2，故选A.专题二 图形变换的相关计算类型一 图形折叠的相关计算(2019·重庆B卷)如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝3，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AE＝1.连接DE，将△AED沿直线AE翻折至△ABC所在的平面内，得到△AEF，连接DF.过点D作DG⊥DE交BE于点G，则四边形DFEG的周长为( )A．8 B．4 2 C．22＋4 D．32＋2【分析】要求四边形DFEG的周长，可分别计算DG、DF、EF、GE的长，通过证明△DBG≌△DAE得到BG，在Rt△ABE中可求BE，从而得到GE，再证明△DEG是等腰直角三角形得到DG，DE，进而求出EF，DF，即可得解．【自主解答】忽略折叠前后的对应关系在利用折叠的性质解决问题时，易出错的是忽略折叠(翻折)前后两图形的关系，从而不能利用对应角相等，对应线段相等的性质解题．1．(2020·原创)如图1，点E是矩形ABCD中AD边上任意一点，连接BE，把△ABE沿BE折叠，如图2所示，然后再过点A作AF⊥CD于点F，如图3所示，当AB＝8，BC＝10，且∠BEA＝60°，则图3中AF的长为( )A ．23＋2B ．8－4 3C ．23＋1D ．10－4 32．如图，在Rt △ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，∠B ＝90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为( )A.53B.52C ．4D ．53．(2019·辽阳)如图，直线EF 是矩形ABCD 的对称轴，点P 在CD 边上，将△BCP 沿BP 折叠，点C 恰好落在线段AP 与EF 的交点Q 处，BC ＝43，则线段AB 的长是( )A．8 B．8 2 C．8 3 D．10类型二图形平移的相关计算如图，△ABC和△DBC是两个具有公共边的全等的等腰三角形，AB＝AC＝3 cm，BC＝2 cm，将△DBC 沿射线BC平移一定的距离得到△D1B1C1，连接AC1，BD1，如果四边形ABD1C1是矩形，则平移的距离为( )A．2 cm B．5 cm C．7 cm D．9 cm【分析】要求平移的距离，可结合平移性质得到CC1即为平移的距离，结合四边形ABD1C1是矩形从而得到∠BAC1＝90°，而AB＝AC＝3 cm，BC＝2 cm，可过点A作AE⊥BC于E，从而得到BE，再证明△ABE∽△C1BA即可利用对应边成比例求平移距离．【自主解答】1．(2018·株洲改编)如图，已知△OAB是等腰直角三角形，∠OAB＝90°，OB＝22，将该三角形向右平移22个单位得到Rt△O′A′B′，则线段OA在平移过程中扫过部分的图形面积为( )A．4 B．4 2 C．2 D．2 2 2．(2019·孝感改编)如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G.BC＝4，DE＝AF＝1.将△BCG沿射线BE方向平移，使得点G与点E重合，得到△EB′C′，连接FB′，则此时FB′的长为( )A.2185B.2285C.109 D．2109类型三图形旋转的相关计算(2020·原创)如图，在等边△ABC内有一点D，AD＝5，BD＝6，将△ABD绕点A逆时针旋转，使得AB与AC重合，点D旋转至点E的位置，连接DE，则DE的长为________．【分析】由旋转性质得∠DAE＝∠BAC＝60°，AD＝AE，从而得到△ADE是等边三角形，即可得解．【自主解答】1．(2020·原创)如图，在矩形ABCD 中，点E 是边AD 上一点，过点E 作EF ⊥BC ，垂足为点F ，将△BEF 绕着点E 逆时针旋转，使点B 落在边BC 上的点N 处，点F 落在边DC 上的点M 处．若点M 恰好是边CD 的中点，那么ADAB的值是( )A.233B.433C.534D.536参考答案【例1】∵AD⊥BC于点D，DG⊥DE，∴∠BDG＋∠GDA＝∠ADE＋∠GDA，∴∠BDG＝∠ADE.∵∠ABC＝45°，∴AD＝BD.∵AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，∴A，E，D，B四点共圆，∴∠DBG＝∠DAE，∴△DBG≌△DAE，∴BG＝AE＝1，DG＝DE，∴△GDE为等腰直角三角形．∵AB＝3，AE＝1，∴BE＝AB2－AE2＝22，∴GE＝BE－BG＝22－1，∴GD＝DE＝2－22.由翻折性质可知DE＝EF＝2－22.由A，B，D，E四点共圆可知∠BED＝∠BAD＝45°，∵BE⊥AC，∴∠DEC＝45°，由翻折性质可知，∠FEC＝45°，∴DE⊥EF，又∵DE＝EF，∴DF＝2DE＝22－1，∴四边形GDFE的周长为GD＋DF＋EF＋GE＝32＋2.故选D.跟踪训练1．D 2.C 3.A【例2】设平移的距离为x cm，由平移性质得BC1＝BC＋CC1＝(2＋x) cm，过点A作AE⊥BC于E，∵AB＝AC，∴BE＝CE＝1，∵四边形ABD1C1是矩形，∴∠BAC1＝90°，∴∠BAE＋∠EAC1＝90°，∵∠ABE＋∠BAE ＝90°，∴∠BAE ＝∠AC 1E ，∵∠AEB ＝∠C 1AB ＝90°，∴△ABE∽△C 1BA ，∴AB BE ＝C 1B AB ，即31＝2＋x3，解得x ＝7 cm.故选C.跟踪训练1．A 【解析】 如解图，设AA′交OB 于E ，∵在△ABO 中，AB ＝AO ，∠OAB＝90°，△A′O′B′是由△AOB 向右平移22个单位得到的，∴OO′＝22，AA′⊥OB.∵OB＝22，∴OE＝2，∴四边形AOO′A′的面积为OO′·OE＝22·2＝4.2．A 【解析】∵四边形ABCD 是正方形，∴AD＝CD ＝BC ，∠D＝∠BCD＝90°.∵DE＝AF ，∴DF＝CE ，∴△CDF≌△BCE，∴∠DCF＝∠CBE ，∴∠DCF ＋∠CEB ＝∠CBE ＋∠BEC ＝90°，∴∠FGB′＝90°.∵CE＝3，BC ＝4，∴BE＝5.∵CG⊥BE，∴GE＝95，CG ＝125，∴BG＝BE －GE ＝165.∵将△BGC 沿BE 方向平移得到△EB′C′，∴BB′＝EG ＝95，∴B′G＝75.∵GF＝CF －CG ＝135，∴B′F＝FG 2＋B′G 2＝2185. 【例3】∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC ＝60°，∵△ABD 绕点A 旋转得到△ACE，AB 与AC 重合，∴AE＝AD ，∠DAE＝∠BAC＝60°，∴△ADE 是等边三角形，∴DE＝AD ＝5.故答案为5. 跟踪训练1．D 【解析】 ∵将△BEF 绕着点E 逆时针旋转得到△EMN, ∴BE＝EN ，EM ＝EF ，MN ＝BF. ∵EF⊥BC, ∴BF ＝FN, ∴BF ＝FN ＝NM.∵EF⊥BC, ∴四边形EFCD 是矩形， ∴EF＝CD, ∵点M 恰好是边DC 的中点，∴DM＝12CD ＝12EM ，∴∠DEM＝30°，∴∠DME＝60°，∵∠NME＝90°，∴∠CMN＝30°，设CN ＝x ，∴MN＝2x ，CM ＝3x ，∴BC＝5x ，∴AD AB ＝BC CD ＝5x 23x ＝536.专题三 实际问题中函数图象的分析(2019·南岸区校级模拟)小亮和小明在同一直线跑道AB上跑步．小亮从AB之间的C地出发，到达终点B地停止运动，小明从起点A地与小亮同时出发，到达B地休息20秒后立即以原速度的1.5倍返回C地并停止运动，在返途经过某地时小明的体力下降，并将速度降至3米/秒跑回终点C地，结果两人同时到达各自的终点．在跑步过程中，小亮和小明均保持匀速，两人距C地的路程和记为y(米)，小亮跑步的时间记为x(秒)，y与x的函数关系如图所示，则小明在返途中体力下降并将速度降至3米/秒时，他距C地还有________米．【分析】如解图，可按五个阶段分析．第一阶段：小亮从C点出发，小明从A点出发，AC＝100米，经过25秒两人第一次相遇；第二阶段：两人同时从D点出发，经过100－25＝75秒，小明到达B点，小亮到达E点；第三阶段，小明在B点等待20秒，小亮前进20秒，两人距离点C的距离和为480米；第四阶段，小明从点B出发前往点C，小亮继续前往点B，当小明到达F处时，速度降至3米/秒；第五阶段：小明按3米/秒速度继续跑到点C处，且小明到达点C时，小亮到达点B.【自主解答】1．(2019·渝中区二模)甲、乙两车分别从A，B两地同时相向匀速行驶，当乙车到达A地后，继续保持原速向远离B的方向行驶，而甲车到达B地后立即掉头，并保持原速与乙车同向行驶，经过15小时后两车同时到达距A地300千米的C地(中途休息时间忽略不计)．设两车行驶的时间为x(小时)，两车之间的距离为y(千米)，y 与x之间的函数关系如图所示，则当甲车到达B地时，乙车距A地________千米．2．(2019·南岸区校级模拟)甲、乙两人分别从各自家出发乘坐出租车前往智博会，由于堵车，两人同时选择就近下车，已知甲在乙前面200米的A地下车，然后分别以各自的速度匀速走向会场，3分钟后，乙发现有物品遗落在出租车上，于是立即以不变的速度返回寻找，找到出租车时，出租车恰好向会场方向行驶了100米，乙拿到物品后立即以原速返回继续走向会场，同时甲以之前速度的一半走向会场，又经过10分钟，乙在B地追上甲，两人随后一起以甲放慢后的速度行走1分钟到达会场，甲、乙两人相距的路程y(米)与甲行走的时间x(分)之间的关系如图所示(乙拿物品的时间忽略不计)，则A地距离智博会会场的距离为________米 .3．(2019·綦江区一模)在一条笔直的公路上有A、B两地，甲、乙两人同时出发，甲骑自行车从A地到B地，中途出现故障后停车修理，修好车后以原速继续行驶到B地；乙骑电动车从B地到A地，到达A地后立即按原路原速返回，结果两人同时到达B地．如图是甲、乙两人与A地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数图象．当甲距离B地还有5 km时，此时乙距B地还有________ km.4．(2019·江北区一模)小明和小亮分别从A、B两地同时相向而行，并以各自的速度匀速行驶，途中会经过奶茶店C，小明先到达奶茶店C，并在C地休息了一小时，然后按原速度前往B地，小亮从B地直达A地，结果还是小明先到达目的地，如图是小明和小亮两人之间的距离y(千米)与小亮出发时间x(时)的函数的图象，请问当小明到达B地时，小亮距离A地________ 千米．5．(2019·九龙坡区校级模拟)甲乙沿着同一路线以各自的速度匀速从A地到B地，甲出发1分钟后乙随即出发，甲、乙到达B地后均立即按原路原速返回A地，甲、乙之间的距离y(米)与甲出发的时间x(分)之间的部分图象如图所示．当甲返回到A地时，乙距离B地________米．6．(2016·重庆B卷)为增强学生体质，某中学在体育课中加强了学生的长跑训练．在一次女子800米耐力测试中，小静和小茜在校园内200米的环形跑道上同时起跑，同时到达终点．所跑路程s(米)与所用的时间t(秒)之间的函数图象如图所示，则她们第一次相遇的时间是起跑后第________ 秒．7．(2018·辽阳改编)小林和爸爸到太子河公园运动，两人同时从家出发，沿相同路线前行．途中爸爸有事返回，小林继续前行5分钟后也原路返回，两人恰好同时到家．小林和爸爸在整个运动过程中离家的路程y1(米)，y2(米)与运动时间x(分)之间的函数关系如图所示．则小林返回时与爸爸之间的距离为________ 米．8．(2018·咸宁改编)甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2 400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人之间的距离y(米)与甲出发的时间t(分)之间的关系如图所示．则乙到达终点时，甲距离终点还有________米．9．(2018·济南)A，B两地相距20 km，甲、乙两人沿同一条路线从A地到B地，甲先出发，匀速行驶，甲出发1小时后，乙再出发，乙以2 km/h的速度匀速行驶1小时后，提高速度并继续匀速行驶，结果比甲提前到达．甲、乙两人离开A地的距离y(km)与时间t(h)的关系如图所示，则甲出发________小时后和乙相遇．参考答案【例1】 由图象可知，x ＝0时，y ＝100，即开始时小亮在C 地小明在A 地，两人相距100米，∴AC＝100，当x ＝25时，y 最小，即小明到达C 地，∴小明开始速度为：100÷25＝4(米/秒)，返回速度为4×1.5＝6(米/秒)，当x ＝100时，小明到达B 地，∴AB＝4×100＝400(米)，∴BC＝AB －AC ＝300(米)，当y ＝480最大时，小明休息完20秒，即x ＝120，此时，小亮离C 地距离为480－300＝180(米)，∴小亮速度为：180÷120＝32(米/秒)，∴两人跑完全程所用时间为：300÷32＝200(秒)，∴小明返回C 地所用时间为：200－120＝80(秒)，设小明返回时在a 秒时速度下降到3米/秒，列方程得：6a ＋3(80－a)＝300，解得：a ＝20.此时离C 地距离为：3×(80－20)＝180(米)．故答案为180.跟踪训练1．100 【解析】由图象可得：当x ＝0时，y ＝300，∴AB＝300千米，∴甲车的速度＝300÷5＝60千米/小时，又∵300÷3＝100千米/小时，∴乙车的速度＝100－60＝40千米/小时．由图象可知当x ＝5时，甲车到达B 地，此时乙车行驶的路程为5×40＝200(千米)，∴乙车距离A 地100千米，故答案为100.2．945 【解析】∵乙向智博会会场走了3分钟，又返回走了2分钟，∴实际向智博会会场走了1分钟，离下车点为100米，∴乙的速度为100米/分．∵第5分钟拿到物品后向智博会会场又走了10分钟，∴又走了100×10＝1 000米．设甲速度为x 米/分，依题意得，100＋1 000＝200＋5x ＋12x·10解得x ＝90.∴A 地离智博会会场的距离为100＋1 000＋90÷2－200＝945米．故答案为945米．3．7.5 【解析】甲的速度为：30÷[2－(1.25－0.75)]＝20 km/h ，乙的速度为：30 km/h ，当甲距离B 地还有5 km 时，甲还要行驶520＝14小时到达B 地，此时乙距B 地：14×30＝7.5(km)．故答案为7.5. 4．90 【解析】设小明的速度为a km/h ，小亮的速度为b km/h ，⎩⎪⎨⎪⎧2.5a ＋2b ＝3.5a （3.5－2）b ＋（3.5－2.5）a ＝210，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝120b ＝60，当小明到达B 地时，小亮距离A 地的距离是：120×(3.5－1)－60×3.5＝90(千米)，故答案为90.5．70 【解析】由题意可得，甲的速度为60÷1＝60米/分，则乙的速度为：100÷(7－6)－60＝40米/分，设A 、B 两地距离为s 米，2s ＝60×7＋40×(7－1)，解得s ＝330，甲返回A 地用时为：330×2÷60＝11(分)，则乙11分钟行驶的路程为40×(11－1)＝400(米)，400－330＝70(米)，即当甲返回到A 地时，乙距离B 地70米，故答案为70.6．120 7.1 500 8.360 9.165专题四 不定方程的应用(2019·南岸区校级模拟)某商店为促进销售，将A、B、C三种糖果以甲、乙两种方式进行搭配销售，两种方式均配成本价为5元的包装袋，甲方式每袋含A糖果1千克，B糖果1千克，C糖果3千克，乙方式每袋含A糖果3千克，B 糖果1千克，C糖果1千克，已知每千克C糖果比每千克A糖果成本价高2.5元，甲种方式(含包装袋)每袋成本为55元，现甲、乙两种方式分别在成本价(含包装袋)基础上提价20%和35%进行销售，两种方式销售完毕后利润率达到30%，则甲、乙两种方式的销量之比为________．【分析】根据题目中的已知条件，求出一袋甲糖果成本比一袋乙糖果成本多的价钱，进而得出一袋乙糖果的成本，再设甲、乙两种方式各自的销量分别为x袋和y袋，根据“现甲、乙两种方式分别在成本价(含包装袋)基础上提价20%和35%进行销售，两种方式销售完毕后利润率达到30%”，列出二元一次方程，进而求得结果．【自主解答】1．(2019·南岸区校级模拟)某公司生产一种饮料是由A，B两种原料液按一定比例配成，其中A原料液的原成本价为10元/千克，B原料液的原成本价为5元/千克，按原售价销售可以获得50%的利润率，由于物价上涨，现在A原料液每千克上涨20%，B原料液每千克上涨40%，配制后的饮料成本增加了13，公司为了拓展市场，打算再投入现在成本的25%做广告宣传，如果要保证该种饮料的利润率不变，则这种饮料现在的售价应比原来的售价高________元/千克．2．(2019·綦江区一模)我校第二课堂开展后受到了学生的追捧，学期结束后对部分学生做了一次“我最喜爱的第二课堂”问卷调查(每名学生都填了调查表，且只选了一个项目)，统计后趣味数学、演讲与口才、信息技术、手工制作榜上有名．其中选信息技术的人数比选手工制作的少8人；选趣味数学的人数不仅比选手工制作的人数多，且为整数倍；选趣味数学与选手工制作的人数之和是选演讲与口才与选信息技术的人数之和的5倍；选趣味数学与选演讲与口才的人数之和比选信息技术与选手工制作的人数之和多24人．则参加调查问卷的学生有________人．3．某服装店老板经营销售A、B两种款式的服装，其中每件A种款式的利润率为50%，每件B种款式的利润率为20%，当售出的A种款式的件数比B种款式的件数少70%时，这个老板得到的总利润率是25%.则当售出的A种款式的件数比B种款式的件数多50%时，这个老板得到的总利润率是________．(利润率＝利润÷成本) 4．(2019·江北区一模)某厂家以A、B两种原料，利用不同的工艺手法生产出了甲、乙两种袋装产品，其中，甲产品每袋含1.5千克A 原料、1.5千克B原料；乙产品每袋含2千克A原料、1千克B原料．甲、乙两种产品每袋的成本价分别为袋中两种原料的成本价之和．若甲产品每袋售价72元，则利润率为20%.某节庆日，厂家准备生产若干袋甲产品和乙产品，甲产品和乙产品的数量和不超过100袋，会计在核算成本的时候把A原料和B原料的单价看反了，后面发现如果不看反，那么实际成本比核算时的成本少500元，那么厂家在生产甲、乙两种产品时实际成本最多为________元．5．(2019·九龙坡区模拟)一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇用．已知甲、乙、丙三辆车每次运货量不变，且甲、乙两车单独运完这批货物分别用2a，a次；甲、丙两车合运相同次数，运完这批货物，甲车共运180吨；乙、丙两车合运相同次数，运完这批货物，乙车共运270吨．现甲、乙、丙合运相同次数把这批货物运完，货主应付甲车主的运费为________ 元．(按每吨运费20元计算)6．(2019·重庆B卷)某磨具厂共有六个生产车间，第一、二、三、四车间每天生产相同数量的产品，第五、六车间每天生产的产品数量分别是第一车间每天生产的产品数量的34和83，甲、乙两组检验员进驻该厂进行产品检验．在同时开始检验产品时，每个车间原有成品一样多，检验期间各车间继续生产．甲组用了6天时间将第一、二、三车间所有成品同时检验完；乙组先用2天将第四、五车间的所有成品同时检验完后，再用了4天检验完第六车间的所有成品(所有成品指原有的和检验期间生产的成品)．如果每个检验员的检验速度一样，则甲、乙两组检验员的人数之比是________．7．(2020·原创)南岸区今年修建和完善了不少道路，其中一段道路两侧的绿化任务计划由甲、乙、丙、丁四人完成．道路两侧的植树数量相同，如果乙、丙、丁同时开始植树，丁在道路左侧，乙和丙在道路右侧，2小时后，甲加入，在道路左侧与丁一起植树，这样恰好能保证道路两侧植树任务同时完成．已知甲、乙、丙、丁每小时能完成的植树数量分别为6，7，8，10棵．实际在植树时，四人一起开始植树，甲和丁在道路左侧，乙和丙在道路右侧，为了保证右侧提前5小时完成植树任务，甲中途转到右侧与乙和丙一起按要求完成了任务，左侧剩下的任务由丁独自完成．则本次植树任务中，丁一共植树________ 棵．8．(2019·南开中学模拟)“众人拾柴火焰高，众人植树树成林”．为发扬中华民族爱植树的好传统，我校21班50名同学和28名社区志愿者共同组织了义务植树活动.50名同学分成了甲、乙两组，28名社区志愿者分成了丙、丁两组，甲、丙两组到A植树点植树，乙、丁两组到B植树点植树．植树结束后统计得知：甲组人均植树量比乙组多2棵，丙、丁两组人均植树量相同，且是乙组人均植树量的2.5倍，A，B两个植树点的人均植树量相同，且比甲组人均植树量高25%.已知人均植树量均为整数，则21班同学共植树________ 棵．9．含有同种果蔬但浓度不同的A，B两种饮料，A种饮料重40千克，B种饮料重60千克，现从这两种饮料中各倒出一部分，且倒出的部分的重量相同，再将每种饮料所倒出部分与另一种饮料剩余的部分混合．已知混合后，两种饮料所含果蔬浓度相同，则两种饮料一共被倒出了________千克．参考答案【例1】∵两种方式均配成本价为5元的包装袋，甲方式每袋含A糖果1千克，B糖果1千克，C糖果3千克，乙方式每袋含A糖果3千克，B糖果1千克，C糖果1千克，已知每千克C糖果比每千克A糖果成本价高 2.5元，∴一袋甲糖果成本比一袋乙糖果成本多：2.5×2＝5(元)，∵甲种方式(含包装袋)每袋成本为55元，∴乙种方式(含包装袋)每袋成本为50元，设甲、乙两种方式各自的销量分别为x 袋和y 袋，根据题意得，55×0.2x＋50×0.35y＝0.3(55x ＋50y)，整理得，5.5x ＝2.5y ，∴x∶y＝5∶11.故答案为5∶11. 跟踪训练1．6 【解析】设配制比例为1∶x，由题意得：10(1＋20%)＋5(1＋40%)x ＝(10＋5x)(1＋13)，解得x ＝4，则原来每千克成本为：10×1＋5×41＋4＝6(元)，原来每千克售价为：6×(1＋50%)＝9(元)，现在每千克成本为：6×(1＋13)(1＋25%)＝10(元)，现在每千克售价为：10×(1＋50%)＝15(元)，则现在售价与原售价之差为：15－9＝6(元)．故答案为6.2．48 【解析】设选信息技术的人数有x 人，选演讲与口才的有y 人，则选手工制作的有(x ＋8)人，趣味数学的人数有a(x ＋8)人，根据题意得：⎩⎪⎨⎪⎧（a ＋1）（x ＋8）＝5（x ＋y ）①a （x ＋8）＋y －x －（x ＋8）＝24②， ②可变形为：(a －1)(x ＋8)＝24＋x －y③，①＋③，得2a(x ＋8)＝24＋6x ＋4y ，即a ＝12＋3x ＋2y x ＋8； ①－③，得x ＋3y ＝20.∵x，y 都是正整数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝17y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝11y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝6，当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝17y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝11y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝5时， a ＝12＋3x ＋2y x ＋8都不是整数，不合题意． 当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝6时，a ＝12＋3x ＋2y x ＋8＝12＋6＋1210＝3； ∴选信息技术的人数有2人，选演讲与口才的有6人，选手工制作的有10人，选趣味数学的人数有30人，由于每名学生填了调查表，且只选了一个项目，所以参加调查问卷的学生有2＋6＋10＋30＝48(人)；故答案为48.3．35% 【解析】设A 种款式进价为a 元，则售出价为1.5a 元；B 种款式的进价为b 元，则售出价为1.2b 元；当售出B 种款式x 件，售出A 种款式0.3x 件时，根据题意得，0.5a×0.3x＋0.2bx a×0.3x＋bx＝25%，解得：a ＝23b ，当售出的A 种款式的件数比B 种款式的件数多50%时，设售出B 种款式的件数为y 件，则售出A 种款式的件数为1.5y 件，由题意得，0.5a×1.5y＋0.2by 1.5ay ＋by ＝0.75a ＋0.2b 1.5a ＋b ＝0.75×23b ＋0.2b 1.5×23b ＋b ＝35%，故答案为35%.4．5 750 【解析】∵甲产品每袋售价72元，利润率为20%，∴设甲产品的成本价格为b 元，则72－b b＝20%，∴b＝60，∴甲产品的成本价格为60元，∴1.5 kg A 原料与1.5 kg B 原料的成本和为60元，∴A 原料与B 原料的成本和为40元，设A 原料成本价格x 元，B 原料成本价格为(40－x)元，生产甲产品m 袋，乙产品n 袋，根据题意得：60m ＋(2x ＋40－x)n ＋500＝60m ＋n(80－2x ＋x)，∴xn＝20n －250，设生产甲、乙产品的实际成本为W 元，则有W ＝60m ＋40n ＋xn ，∴W＝60m ＋40n ＋20n －250＝60(m ＋n)－250，∵m＋n≤100，∴W≤5 750，∴生产甲乙产品的实际成本最多为5 750元，故答案为5 750.5．2 160 【解析】设甲一次运x 吨，乙一次运y 吨，丙一次运z 吨，⎩⎪⎨⎪⎧2ax ＝ay ，（x ＋z ）×180x ＝2ax ，（y ＋z ）×270y＝ay ，解得y ＝z ＝2x ，∴这批货物一共有：(x ＋z)×180x＝540，∴甲、乙、丙合运相同次数把这批货物运完，货主应付甲车主的运费为：540×15×20＝2 160(元)，故答案为2 160. 6．18∶19 【解析】设第一、二、三、四车间每天生产相同数量的产品为x 个，每个车间原有成品m 个．甲组检验员a 人，乙组检验员b 人，每个检验员的检验速度为c 个/天，则第五、六车间每天生产的产品数量分别是34x 和83x ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧6（x ＋x ＋x ）＋3m ＝6ac2（x ＋34x ）＋2m ＝2bc （2＋4）×83x ＋m ＝4bc ，∴9x＝2ac ，192x ＝2bc ，∴a∶b＝18∶19. 7．150 【解析】设每侧植树m 棵，当乙、丙同时植树2小时后，共植树2×(7＋8)＝30棵，丁植树2×10＝20棵，此时甲加入后，刚好同时完成任务，则m －2010＋6＝m －307＋8，解得m ＝180.实际植树时，四人一起植树，设植树一段时间为t 小时，根据题意可得180－（6＋10）t 10＝180－（7＋8）t 7＋8＋6＋5，解得t ＝5，甲植树所用时间为5＋180＋15×521＝10小时，丁植树时间为15小时，共植树150棵．8．360 【解析】根据题意，设甲组有a(a 为正整数)名同学，则乙组有(50－a)名同学，丙组有b(b 为正整数)名志愿者，则丁组有(28－b)名志愿者，乙组人均植树棵数为m(m 为正整数)棵，则甲组人均植树棵数为(m ＋2)棵，丙、丁组人均植树棵数均为2.5m 棵，A ，B 两个植树点的人均植树棵数均为54(m ＋2)棵，根据总的植树棵树相同可列方程：(m ＋2)a ＋(50－a)m ＋(b ＋28－b)×2.5m＝54(m ＋2)(50＋28)，整理得22.5m ＋2a ＝195，∵人均植树量均为整数，∴2.5m 为整数，∴m 为偶数，又a 为整数，且a≤50，∴当m ＝2时a ＝75，不合题意；当m ＝4时a ＝52.5不合题意；当m ＝6时，a ＝30，此时满足题意，则21班同学共植树30×8＋20×6＝360棵；当m ＝8时，a ＝7.5不合题意，当m ＞10时，a 为负值，不合题意，综上可知，21班同学共植树360棵．9．48 【解析】设A 种饮料浓度为a ，B 种饮料浓度为b ，倒出的相同重量为x 千克．则A 种饮料剩下(40－x)千克，含果蔬(40－x)a 千克；B 种饮料剩下(60－x)千克，含果蔬(60－x)b 千克．A 种饮料倒出部分含果蔬xa 千克，B 种饮料倒出部分含果蔬xb 千克，根据题意，相互倒入混合后浓度相同，∴（40－x）a＋xb40＝（60－x）b＋xa60，整理得120(a－b)＝5x(a－b)，∵A，B饮料浓度不同，∴a≠b，∴5x＝120，解得x＝24，则两种饮料一共被倒出了48千克．专题五含百分率问题的实际应用类型一与一次方程结合(2019·重庆A卷)某文明小区有50平方米和80平方米两种户型的住宅，50平方米住宅套数是80平方米住宅套数的2倍，物管公司每月底按每平方米2元收取当月物管费，该小区全部住宅都入住且每户均按时全额缴纳物管费．(1)该小区每月可收取物管费90 000元，问该小区共有多少套80平方米的住宅？(2)为建设“资源节约型社会”，该小区物管公司5月初推出活动一：“垃圾分类送礼物”，50平方米和80平方米的住户分别有40%和20%参加了此次活动，为提高大家的积极性，6月份准备把活动一升级为活动二：“垃圾分类抵扣物管费”，同时终止活动一，经调查与测算，参加活动一的住户会全部参加活动二，参加活动二的住户会大幅增加，这样6月份参加活动的50平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加2a%，每户物管费将会减少310a%；6月份参加活动的80平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加6a%，每户物管费将会减少14a%，这样，参加活动的这部分住户6月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管。