高中数学人教A版必修4习题：第一章三角函数1.1.1含解析

高中数学第一章三角函数1.2.1.1 三角函数的定义课后习题新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章三角函数1.2.1.1 三角函数的定义课后习题新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第一章三角函数1.2.1.1 三角函数的定义课后习题新人教A版必修4的全部内容。

1。

2.1.1 三角函数的定义一、A组1。

tan的值为()A。

B。

C。

D.解析：tan=tan=tan .答案：B2。

(2016·山东乳山期末）已知sin θ·tan θ〈0,则角θ是()A.第一或第二象限角B。

第二或第三象限角C。

第三或第四象限角D。

第一或第四象限角解析:由sin θ·tan θ=<0，知sin θ≠0，且cos θ<0，所以θ为第二或第三象限角。

故选B.答案：B3。

已知角α的终边过点P（2sin 60°，—2cos 60°），则sin α的值为（)A. B.C。

-D。

—解析：∵sin 60°=，cos 60°=,∴点P的坐标为（，-1）,∴sin α==-。

答案：D4.设角α是第二象限角,且=—cos,则角是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角解析:∵角α是第二象限角,∴为第一或第三象限角.又=—cos，∴cos<0。

∴角是第三象限角。

答案：C5.若420°角的终边上有一点P（4,a),则a的值为（)A.4B.-4C.±4D。

解析：∵420°=360°+60°,∴tan 420°=tan 60°=,∴，∴a=4.答案：A6。

高中数学人教A 版必修4第一章三角函数1.1.1角的概念的推广学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是( ) A ．B=A∩CB ．B ∪C=CC ．A ⫋CD ．A=B=C2．若角α的终边经过点M (0，－3)，则角α( ) A ．是第三象限角 B ．是第四象限角C ．既是第三象限角，又是第四象限角D ．不是任何象限的角3．若α是第四象限角，则－α一定在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限4．终边与坐标轴重合的角α的集合是( ) A ．{α|α＝k ·360°，k ∈Z } B ．{α|α＝k ·180°＋90°，k ∈Z } C ．{α|α＝k ·180°，k ∈Z } D ．{α|α＝k ·90°，k ∈Z }5．下面说法正确的个数为( ) (1)第二象限角大于第一象限角；(2)三角形的内角是第一象限角或第二象限角； (3)钝角是第二象限角． A ．0B ．1C ．2D ．36．已知集合{}|9036,A a a k k Z ︒︒==⨯-∈，{}|180180B ββ︒︒=-<<，则A B等于（ ） A ．{}36,54︒︒-B ．{}126,144︒︒-C ．{}126,36,54,144︒︒︒︒-- D ．{}126,54︒︒-二、填空题7．50°角的始边与x轴的非负半轴重合，把其终边按顺时针方向旋转3周，所得的角是________．8．若α为锐角，则角－α＋k·360°(k∈Z)是第________象限角．9．在0°～360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为________．三、解答题10．如图所示，写出阴影部分(包括边界)的角的集合，并指出－950°12′是否是该集合中的角．11．已知角β－y＝0上．(1)写出角β的集合S；(2)写出S中适合不等式－360°＜β＜720°的元素．12．已知角α的集合M＝{α|α＝30°＋k·90°，k∈Z}，回答下列问题：(1)集合M有几类终边不相同的角？(2)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？(3)写出集合M中的第二象限角β的一般表达式．四、双空题13．如图，终边落在OA的位置上的角的集合是________；终边落在OB的位置上，且在－360°～360°内的角的集合是________．参考答案1．B【解析】【分析】由集合A，B，C，求出B与C的并集，判断A与C的包含关系，以及A，B，C三者之间的关系即可．【详解】由题B⊆A，∵A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，∴B∪C＝{小于90°的角}＝C，即B⊆C，则B不一定等于A∩C，A不一定是C的真子集，三集合不一定相等，故选B．【点睛】此题考查了集合间的基本关系及运算，熟练掌握象限角，锐角，以及小于90°的角表示的意义是解本题的关键，是易错题2．D【解析】因为点M(0，－3)在y轴负半轴上，所以角α的终边不在任何象限,故选D.3．A【解析】试题分析：由角α的表示法，确定－α的表示法，然后得出－α所在的范围．k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z⇒－k·360°－270°<－α<－k·360°－180°，k∈Z⇒k·360°＋90°<－α<k·360°＋180°，k∈Z⇒－α为第二象限角．考点：本题主要考查象限角的概念及表示．点评：简单题，涉及不等式的性质，能准确表示某象限的角是关键．4．D【解析】终边在坐标轴上的角为90°或90°的倍数角，所以终边与坐标轴重合的角的集合为{α|α＝k·90°，k∈Z},故选D.5．B【解析】第二象限角如120°比第一象限角390°要小，故(1)错；三角形的内角可能为直角，直角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故(2)错；(3)中钝角是第二象限角是对的．所以正确的只有1个,故选B.6．C【解析】由－180°<k·90°－36°<180°(k∈Z)得－144°<k·90°<216°(k∈Z)，所以－14490<k<21690(k∈Z)，所以k＝－1,0,1,2，所以A∩B＝{－126°，－36°，54°，144°}，故选C.7．－1 030°【解析】顺时针方向旋转3周转了－(3×360°)＝－1 080°.又50°＋(－1 080°)＝－1 030°，故所得的角为－1 030°,故填－1 030°.8．四【解析】α为锐角，则角α是第一象限角，所以角－α是第四象限角，又因为角－α＋k·360°(k∈Z)与－α的终边相同，所以角－α＋k·360°(k∈Z)是第四象限角,故填四.9．120°300°【解析】根据终边相同角定义知，与－60°终边相同角可表示为β＝－60°＋k·360°(k∈Z)，当k＝1时β＝300°与－60°终边相同，终边在其反向延长线上且在0°～360°范围内角为120°,故填120° ,300°.10．{α|k·360°≤α≤k·360°＋125°，k∈Z}，－950°12′不是该集合中的角．【解析】试题分析:题图阴影部分(包括边界)的角的范围是k·360°≤α≤k·360°＋125°，k∈Z，而－950°12′＝－3×360°＋129°48′，不是集合中的角.试题解析:题图阴影部分(包括边界)的角的范围是k·360°≤α≤k·360°＋125°，k∈Z，所求集合为{α|k·360°≤α≤k·360°＋125°，k∈Z}，因为－950°12′＝－3×360°＋129°48′，所以－950°12′不是该集合中的角．11．(1)S＝{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}；(2)－300°，－120°，60°，240°，420°，600°.【分析】(1)角βx－y＝0－y＝0的倾斜角为60°，所以角β的集合S＝{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z};(2)在S＝{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}中，对整数k赋值,找出S 中适合不等式－360°＜β＜720°的元素即可.【详解】(1)因为角βx－y＝0x－y＝0的倾斜角为60°，所以角β的集合S＝{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}．(2)在S＝{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}中，取k＝－2，得β＝－300°，取k＝－1，得β＝－120°，取k＝0，得β＝60°，取k＝1，得β＝240°，取k＝2，得β＝420°，取k＝3，得β＝600°.所以S中适合不等式－360°＜β＜720°的元素分别是－300°，－120°，60°，240°，420°，600°.12．(1)四类；(2)－330，－240°，－150，－60°，30°，120°，210°，300；(3)β＝120°＋k·360°，k∈Z. 【解析】试题分析:(1)集合M的角可以分成四类，即终边分别与－150°，－60°，30°，120°的终边相同的角;(2) 令－360°<30°＋k·90°<360°，根据k的取值范围以及k∈Z，所以k＝－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，分别代入求出角度即可;(3)集合M中的第二象限角与120°角的终边相同，所以β＝120°＋k·360°，k∈Z.试题解析:(1)集合M的角可以分成四类，即终边分别与－150°，－60°，30°，120°的终边相同的角．(2)令－360°<30°＋k·90°<360°，则－<k<，又因为k∈Z，所以k＝－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，所以集合M中大于－360°且小于360°的角共有8个，分别是－330，－240°，－150，－60°，30°，120°，210°，300.(3)集合M中的第二象限角与120°角的终边相同，所以β＝120°＋k·360°，k∈Z.13．{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z} {－45°，315°}【解析】终边落在OA的位置上的角的集合是{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB的位置上的角的集合是{α|α＝315°＋k·360°，k∈Z}(或{α|α＝－45°＋k·360°，k∈Z})，取k＝0，1，得α＝315°，－45°，所求的集合是{－45°，315°},故填(1). {α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}; (2). {－45°，315°}.。

(k∈Z)． 【答案】 ③
上一页
返回首页
下一页
象限角与区域角的表示
(1)如图 1－1－2，终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合是
()
A．{α|k·360°＋30°<α<k·360°＋45°，k∈Z}
B．{α|k·180°＋150°<α<k·180°＋225°，k∈Z}
C．{α|k·360°＋150°<α<k·360°＋225°，k∈Z}
【答案】 －30°
上一页
返回首页
下一页
教材整理 2 象限角与轴线角
阅读教材 P3“图 1.1－3 至探究”以上内容，完成下列问题． 1．象限角：以角的_顶__点__为坐标原点，角的_始__边__为 x 轴正半轴，建立平面 直角坐标系，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角． 2．如果角的终边在坐标轴上，称这个角为轴线角．
上一页
返回首页
下一页
下列说法： ①第一象限角一定不是负角； ②第二象限角大于第一象限角； ③第二象限角是钝角； ④小于 180°的角是钝角、直角或锐角． 其中错误的序号为________(把错误的序号都写上)． 【解析】 由象限角定义可知①②③④都不正确． 【答案】 ①②③④
上一页
返回首页
下一页
教材整理 3 终边相同的角
上一页
返回首页
下一页
[再练一题] 2．写出图 1－1－4 中阴影部分(不含边界)表示的角的集合． 【解】 在－180°～180°内落在阴影部分角集合为大 于－45°小于 45°，所以终边落在阴影部分(不含边界)的角
的集合为{α|－45°＋k·360°<α<45°＋k·360°，k∈Z}．

1.1.2 弧度制学习目标 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式.知识点一 角度制与弧度制思考1 在初中学过的角度制中，1度的角是如何规定的？ 答案 周角的1360等于1度.思考2 在弧度制中，1弧度的角是如何规定的，如何表示？答案 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，用符号rad 表示. 思考3 “1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？答案 “1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的半径大小无关.梳理 (1)角度制和弧度制(2)角的弧度数的计算如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr .知识点二 角度制与弧度制的换算思考 角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？ 答案 利用1°＝π180rad 和1 rad ＝(180π)°进行弧度与角度的换算.梳理 (1)角度与弧度的互化(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系知识点三 扇形的弧长及面积公式思考 扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？答案 设扇形的半径为R ，弧长为l ，α为其圆心角，则：类型一 角度与弧度的互化 例1 将下列角度与弧度进行互化. (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π5.解 (1)20°＝20π180＝π9.(2)－15°＝－15π180＝－π12.(3)7π12＝712×180°＝105°. (4)－11π5＝－115×180°＝－396°.反思与感悟 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad ＝180°即可求解.把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以⎝⎛⎭⎫180π°即可. 跟踪训练1 (1)把112°30′化成弧度； (2)把－5π12化成度.解 (1)112°30′＝⎝⎛⎭⎫2252°＝2252×π180＝5π8. (2)－5π12＝－⎝⎛⎭⎫5π12×180π°＝－75°. 类型二 用弧度制表示终边相同的角例2 把下列各角化成2k π＋α(0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角. (1)－1 500°；(2)23π6；(3)－4.解 (1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°. ∴－1 500°可化成－10π＋5π3，是第四象限角.(2)∵23π6＝2π＋11π6，∴23π6与11π6终边相同，是第四象限角. (3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，π2＜2π－4＜π.∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角.反思与感悟 用弧度制表示终边相同的角2k π＋α(k ∈Z )时，其中2k π是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用.跟踪训练2 (1)把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α≤2π； (2)在[0°，720°]内找出与2π5角终边相同的角.解 (1)∵－1 480°＝－1 480×π180＝－74π9，而－74π9＝－10π＋16π9，且0≤α≤2π，∴α＝16π9.∴－1 480°＝16π9＋2×(－5)π.(2)∵2π5＝2π5×(180)°＝72°，∴终边与2π5角相同的角为θ＝72°＋k ·360°(k ∈Z )，当k ＝0时，θ＝72°；当k ＝1时，θ＝432°. ∴在[0°，720°]内与2π5角终边相同的角为72°，432°.类型三 扇形的弧长及面积公式的应用例3 (1)若扇形的中心角为120°，半径为3，则此扇形的面积为( ) A.π B.5π4 C.3π3 D.23π9(2)如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为( ) A.2 B.2sin 1 C.2sin 1 D.4sin 1答案 (1)A (2)D解析 (1)扇形的中心角为120°＝2π3，半径为3， 所以S 扇形＝12|α|r 2＝12×2π3×(3)2＝π.(2)连接圆心与弦的中点，则以弦心距、弦长的一半、半径长为长度的线段构成一个直角三角形，半弦长为2，其所对的圆心角也为2，故半径长为2sin 1.这个圆心角所对的弧长为2×2sin 1＝4sin 1. 反思与感悟 联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一是S ＝12lr ＝12|α|r 2，二是l ＝|α|r ，如果已知其中两个，就可以求出另一个.求解时应注意先把度化为弧度，再计算. 跟踪训练3 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数. 解 设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4， ∴l ＝4－2R ，根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12(4－2R )·R ，∴R ＝1，∴l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2，即扇形的圆心角为2 rad.1.下列说法中，错误的是( )A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B.1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12πC.1 rad 的角比1°的角要大D.用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关 答案 D解析 根据1度、1弧度的定义可知只有D 是错误的，故选D. 2.时针经过一小时，转过了( ) A.π6 rad B.－π6 radC.π12 rad D.－π12rad答案 B解析 时针经过一小时，转过－30°，又－30°＝－π6 rad ，故选B.3.若θ＝－5，则角θ的终边在( ) A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限答案 D解析 2π－5与－5的终边相同， ∵2π－5∈(0，π2)，∴2π－5是第一象限角，则－5也是第一象限角.4.已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形圆心角的弧度数是( ) A.1 B.4 C.1或4 D.2或4 答案 C解析 设扇形半径为r ，圆心角的弧度数为α， 则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋αr ＝6，12αr 2＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1，α＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，α＝1. 5.已知⊙O 的一条弧AE 的长等于该圆内接正三角形的边长，则从OA 顺时针旋转到OE 所形成的角α的弧度数是 . 答案 － 3解析 设⊙O 的半径为r ，其内接正三角形为△ABC .如图所示，D 为AB 边中点， AO ＝r ，∠OAD ＝30°， AD ＝r ·cos 30°＝32r ， ∴边长AB ＝2AD ＝3r . ∴AE 的弧长l ＝AB ＝3r . 又∵α是负角，∴α＝－l r ＝－3rr＝－ 3.1.角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.2.解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad ”这一关系式. 易知：度数×π180rad ＝弧度数，弧度数×⎝⎛⎭⎫180π°＝度数. 3.在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，在具体应用时，要注意角的单位取弧度.课时作业一、选择题1.－300°化为弧度是( ) A.－43πB.－53πC.－74πD.－76π答案 B解析 －300°＝－300×π180＝－53π.2.下列与9π4的终边相同的角的表达式中，正确的是( )A.2k π＋45°(k ∈Z )B.k ·360°＋9π4(k ∈Z ) C.k ·360°－315°(k ∈Z ) D.k π＋5π4(k ∈Z )答案 C解析 A ，B 中弧度与角度混用，不正确. 9π4＝2π＋π4，所以9π4与π4的终边相同. －315°＝－360°＋45°，所以－315°也与45°的终边相同.故选C. 3.下列转化结果错误的是( ) A.60°化成弧度是π3B.－103π化成度是－600°C.－150°化成弧度是－76πD.π12化成度是15° 答案 C解析 C 项中－150°＝－150×π180＝－56π.4.设角α＝－2弧度，则α所在的象限为( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案 C解析 ∵－π<－2<－π2，∴2π－π<2π－2<2π－π2，即π<2π－2<32π，∴2π－2为第三象限角， ∴α为第三象限角.5.把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是( )A.－34πB.－2πC.πD.－π答案 A解析 ∵－114π＝－2π＋⎝⎛⎭⎫－34π ＝2×(－1)π＋⎝⎛⎭⎫－34π， ∴θ＝－34π.6.若扇形圆心角为π3，则扇形内切圆的面积与扇形面积之比为( )A.1∶3B.2∶3C.4∶3D.4∶9答案 B解析 设扇形的半径为R ，扇形内切圆半径为r ， 则R ＝r ＋rsinπ6＝r ＋2r ＝3r .∴S 内切圆＝πr 2.S 扇形＝12αR 2＝12×π3×R 2＝12×π3×9r 2＝32πr 2.∴S 内切圆∶S 扇形＝2∶3.7.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2).弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为2π3，半径为4 m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是( )A.6 m 2B.9 m 2C.12 m 2D.15 m 2答案 B解析 根据题设，弦＝2×4sin π3＝43(m)，矢＝4－2＝2(m)，故弧田面积＝12×(弦×矢＋矢2)＝12(43×2＋22)＝43＋2≈9(m 2). 二、填空题8.在直径长为20 cm 的圆中，圆心角为165°时所对的弧长为 cm. 答案55π6解析 ∵165°＝π180×165＝11π12(rad)，∴l ＝11π12×10＝55π6(cm).9.已知集合A ＝{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z }，集合B ＝{x |－4≤x ≤4}，则A ∩B ＝ . 答案 [－4，－π]∪[0，π] 解析 如图所示，∴A ∩B ＝[－4，－π]∪[0，π].10.若2π<α<4π，且α与－76π角的终边垂直，则α＝ .答案 73π或103π解析 α＝－76π－π2＋2k π＝2k π－53π，k ∈Z ，∵2π<α<4π，∴k ＝2，α＝73π；或者α＝－76π＋π2＋2k π＝2k π－23π，k ∈Z ，∵2π<α<4π，∴k ＝2，α＝103π.综上，α＝73π或103π.11.如果圆心角为2π3的扇形所对的弦长为23，则扇形的面积为 .答案4π3解析 如图，作BF ⊥AC .已知AC ＝23，∠ABC ＝2π3，则AF ＝3，∠ABF ＝π3.∴AB ＝AFsin ∠ABF ＝2，即R ＝2.∴弧长l ＝|α|R ＝4π3， ∴S ＝12lR ＝4π3.三、解答题12.已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积； (2)若扇形的周长是30，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 解 (1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓，∵α＝60°＝π3，R ＝10(cm)，∴l ＝αR ＝10π3(cm).S 弓＝S 扇－S △＝12×10π3×10－2×12×10×sin π6×10×cos π6＝50⎝⎛⎭⎫π3－32 (cm 2).(2)∵l ＋2R ＝30，∴l ＝30－2R ， 从而S ＝12·l ·R ＝12(30－2R )·R＝－R 2＋15R ＝－⎝⎛⎭⎫R －1522＋2254.∴当半径R ＝152 cm 时，l ＝30－2×152＝15(cm)，扇形面积的最大值是2254 cm 2，这时α＝lR＝2(rad).∴当扇形的圆心角为2 rad ，半径为152 cm 时，面积最大，为2254 cm 2.13.已知角α＝1 200°.(1)将α改写成β＋2k π(k ∈Z ，0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限的角； (2)在区间[－4π，π]上找出与α终边相同的角. 解 (1)∵α＝1 200°＝1 200×π180＝20π3＝3×2π＋2π3， 又π2<2π3<π， ∴角α与2π3的终边相同，∴角α是第二象限的角.(2)∵与角α终边相同的角(含角α在内)为2k π＋2π3，k ∈Z ，∴由－4π≤2k π＋2π3≤π，得－73≤k ≤16.∵k ∈Z ，∴k ＝－2或k ＝－1或k ＝0.故在区间[－4π，π]上与角α终边相同的角是－10π3，－4π3，2π3.。