8.2消元——解二元一次方程组(1)

8．2 消元——解二元一次方程组第1课时 代入法会用代入法解二元一次方程组．(重点)一、情境导入《一千零一夜》中有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上，另一部分在地上．树上的一只鸽子对地上的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则地上的鸽子为整个鸽群的三分之一；若从树上飞下去一只，则树上、地上的鸽子一样多．”你知道树上、地上各有多少只鸽子吗？我们可以设树上有x 只鸽子，地上有y 只鸽子，得到方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3（y －1），x －1＝y ＋1.可是这个方程组怎么解呢？有几种解法？二、合作探究探究点：用代入法解二元一次方程组【类型一】 用代入法解二元一次方程组用代入法解下列方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝－19，①x ＋5y ＝1；②(2)⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝1，①y ＋14＝x ＋23.②解析：对于方程组(1)，比较两个方程系数的特点可知应将方程②变形为x ＝1－5y ，然后代入①求解；对于方程组(2)，应将方程组变形为⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝1，③4x －3y ＝－5，④观察③和④中未知数的系数，绝对值最小的是2，一般应选取方程③变形，得x ＝3y ＋12. 解：(1)由②，得x ＝1－5y .③把③代入①，得2(1－5y )＋3y ＝－19，2－10y ＋3y ＝－19，－7y ＝－21，y ＝3.把y ＝3代入③，得x ＝－14.所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－14，y ＝3； (2)将原方程组整理，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝1，③4x －3y ＝－5.④由③，得x ＝3y ＋12.⑤ 把⑤代入④，得2(3y ＋1)－3y ＝－5，3y ＝－7，y ＝－73. 把y ＝－73代入⑤，得x ＝－3. 所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－73. 方法总结：用代入法解二元一次方程组，关键是观察方程组中未知数的系数的特点，尽可能选择变形后比较简单的或代入后容易消元的方程进行变形．【类型二】 整体代入法解二元一次方程组解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋13＝2y ，①2（x ＋1）－y ＝11.②解析：把(x ＋1)看作一个整体代入求解．解：由①，得x ＋1＝6y .把x ＋1＝6y 代入②，得2×6y －y ＝11.解得y ＝1.把y ＝1代入①，得x ＋13＝2×1，x ＝5.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝1. 方法总结：当所给的方程组比较复杂时，应先化简，但若两方程中含有未知数的部分相等时，可把这一部分看作一个整体求解．【类型三】 已知方程组的解，用代入法求待定系数的值已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1是二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝7，ax －by ＝1的解，则a －b 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．3解析：把解代入原方程组得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝7，2a －b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，所以a －b ＝－1.故选B. 方法总结：解这类题就是根据方程组解的定义求，将解代入方程组，得到关于字母系数的方程组，解方程组即可．三、板书设计解二元一,次方程组)⎩⎪⎨⎪⎧基本思路是“消元”代入法解二元一次方程组的一般步骤回顾一元一次方程的解法，借此探索二元一次方程组的解法，使得学生的探究有很好的认知基础，探究显得十分自然流畅．引导学生充分思考和体验转化与化归思想，增强学生的观察归纳能力，提高学生的学习能力。

2021年人教版数学七下8.2《消元---解二元一次方程组(1)》课后练习用代入消元法解方程组要点感知1把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含__________的式子表示出来,再代入__________方程,实现__________,进而求得这个二元一次方程组的解,这种方法叫做代入消元法,简称__________.这种将未知数的个数__________,逐一解决的思想叫做__________.预习练习1-1对于方程3x-2y-5=0,用含y的代数式表示x,应是( )A.y=6x-10B.y=32x-25C.x=13(2y+5) D.x=6y+15要点感知2用代入消元法解二元一次方程组的步骤：(1)从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来.(2)把(1)中所得的方程代入__________，消去一个__________.(3)解所得到的__________，求得一个__________的值.(4)把所求得的一个未知数的值代入(1)中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解.预习练习2-1用代入法解方程组2320,419x yx y+-=+=⎧⎨⎩①②的正确解法是( )A.先将①变形为x=322y-，再代入② B.先将①变形为y=223x-，再代入②C.先将②变形为x=94y-1，再代入① D.先将②变形为y=9(4x+1)，再代入①1.用代入法解方程组1,24y xx y=--=⎧⎨⎩时，代入正确的是( )A.x-2-x=4B.x-2-2x=4C.x-2+2x=4D.x-2+x=42.二元一次方程组3,1x yx y+=-=-⎧⎨⎩的解是( )A.21xy==⎧⎨⎩B.12xy==⎧⎨⎩C.12xy==-⎧⎨⎩D.21xy==-⎧⎨⎩3.解二元一次方程组：3219,2 1.x yx y+==⎨-⎧⎩①②4.如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是__________g.5.商店里把塑料凳整齐地叠放在一起，据图中的信息，当有10张塑料凳整齐地叠放在一起时的高度是__________cm.6.苏州某旅行社组织甲、乙两个旅游团分别到西安、北京旅游.已知这两个旅游团共有55人，甲旅游团的人数比乙旅游团的人数的2倍少5人.问甲、乙两个旅游团各有多少人？7.方程组5,25x yx y=+-=⎧⎨⎩的解满足x+y+a=0,则a的值是( )A.5B.-5C.3D.-38.方程5x+2y=-9与下列方程构成方程组的解为2,12xy⎧=-=⎪⎨⎪⎩的是( )A.x+2y=1B.3x+2y=-8C.5x+4y=-3D.3x-4y=-89.若1,2xy==-⎧⎨⎩是方程组7,1mx nymx ny+=-=-⎧⎨⎩的解,则m＝__________,n＝__________.10.用代入法解下列方程组：(1)20,328.x yx y-=+=⎧⎨⎩①②(2)41216.x yx y-=⎧-=⎩+⎨，①②11.儿童节期间，文具商店搞促销活动.同时购买一个书包和一个文具盒可以打8折优惠，能比标价省13.2元.已知书包标价比文具盒标价的3倍少6元，那么书包和文具盒的标价各是多少元？12.某班将举行“数学知识竞赛”活动，班长安排小明购买奖品，下面两图是小明买回奖品时与班长的对话情境：请根据上面的信息.解决问題：(1)试计算两种笔记本各买了多少本？(2)请你解释：小明为什么不可能找回68元？13.老师布置了一个探究活动作业：仅用一架天平和一个10克的砝码测量壹元硬币和伍角硬币的质量(注：同种类的每枚硬币质量相同).聪明的孔明同学找来足够多的壹元和伍角的记录天平左边天平右边状态记录一5枚壹元硬币,一个10克的砝码10枚伍角硬币平衡记录二15枚壹元硬币20枚伍角硬币,一个10克砝码平衡请你用所学的数学知识计算出一枚壹元硬币多少克,一枚伍角硬币多少克.参考答案要点感知1 另一个未知数 另一个 消元 代入法 由多化少 消元思想 预习练习1-1 C要点感知2 (2)未变形的方程 未知数 (3)一元一次方程 未知数 预习练习2-1 B当堂训练1.C2.B3.由②，得y=2x-1.③将③代入①，得3x+4x-2=19.解得x=3.将x=3代入③，得y=5.所以原方程组的解为3,5.x y ==⎧⎨⎩4.205.506.设甲旅游团x 人，乙旅游团y 人.根据题意，得55,2 5.x y x y +==-⎧⎨⎩解得35,20.x y ==⎧⎨⎩答：甲、乙两个旅游团分别有35人、20人.7.A8.D9.3 -210.(1)由①得x=2y ③.把③代入②，得3×2y+2y=8，即y=1.把y=1代入③，得x=2.∴原方程组的解是2,1.x y ==⎧⎨⎩(2)由①得x=4y-1③.把③代入②，得2(4y-1)+y=16，即y=2.把y=2代入③，得x=7.∴原方程组的解是7,2.x y ==⎧⎨⎩11.设书包的标价为x 元，文具盒的标价为y 元.根据题意，得()360.813.2.x y x y x y =-+=+-⎧⎨⎩，解得4818.x y ==⎧⎨⎩， 答：书包48元，文具盒18元.12.(1)设5元、8元的笔记本分别买x 本、y 本.依题意，得40,583006813.x y x y +=+=-+⎧⎨⎩解得25,15.x y ==⎧⎨⎩ 答：5元、8元的笔记本分别买了25本、15本.(2)假设小明找回68元.设5元、8元的笔记本分别买a 本、b 本.依题意，得40,5830068.a b a b +=+=-⎧⎨⎩解得88,332.3a b ⎧==⎪⎪⎨⎪⎪⎩因为a 、b 不是整数，所以不可能找回68元.13.设一枚壹元硬币x 克,一枚伍角硬币y 克,依题意，得51010,152010.x y x y +==+⎧⎨⎩解得6,4.x y ==⎧⎨⎩ 答：一枚壹元硬币6克,一枚伍角硬币4克.。

8.2 消元——加减消元法解二元一次方程组（教案）一、教材分析“用加减消元法解二元一次方程组”是在学习了“用代入消元法解二元一次方程组”的基础上的进一步学习，同时又是后续学习“解三元一次方程组”的重要基础。

代入法和加减法是解二元一次方程组的两种有效途径，而且是解二元一次方程组的通法，“用加减消元法解二元一次方程组”是对“用代入消元法解二元一次方程组”的有力补充和完善，两者相辅相成，各见长处。

二、教学目标1、知识技能：掌握用加减消元法解二元一次方程组。

2、过程与方法：经历探究加减消元法解二元一次方程组的过程，领会“消元”法所体现的“化未知为已知”的化归思想方法。

3、情感态度与价值观：在探索用加减法解二元一次方程组的过程中享受成功的快乐，感受数学知识的实际用价值，养成良好的学习习惯。

三、教学重点与难点（一）教学重点：用加减法解二元一次方程组。

（二）教学难点：如何运用加减法进行消元。

四、教学方法：本节课采用“探索---发现---比较”的教学法。

五、教学辅助手段教师采用多媒体PPT演示六、教学设计过程（一）温故而知新一〃1． 根据等式性质填空:<1>若a =b ，那么a ±c = . (等式性质1)<2>若a =b ，那么ac = . (等式性质2)<3>思考:若a =b ，c =d ,那么a ±c =b ±d 吗?2．用代入法解方程的关键是什么？3、解二元一次方程组的基本思路是什么？4．请你代入消元法解下面这个方程组：⎩⎨⎧=+=+40222y x y x具体步骤是：由①得 =y . ③，把③代入①得 .从而达到消元的目的。

（即把二元一次方程变成我们较熟悉的一元一次方程）（二）提出问题，阅读课本，得出加减法的定义。

1． 解这个方程组⎩⎨⎧=+=+40222y x y x 除了用代入法，还有别的方法吗？ 2. 请大家认真阅读课本99面第二个思考前的内容。

人教版七年级下册数学《8.2 消元——解二元一次方程组》课时练一、选择题1．已知10a b +=，6a b -=，则22a b -的值是（ ） A ．12B ．60C ．60-D ．12-2．已知方程组211x y x y +=⎧⎨-=-⎩，则x ＋2y 的值为（ ）A ．2B ．1C ．－2D ．33．关于x ，y 的方程组，3453x y a x y a +=-⎧⎨-=⎩下列说法：①51x y =⎧⎨=-⎩是方程组的解；①不论a 取什么实数，x y +的值始终不变；①当2a =-时， x 与y 相等，正确的个数是（ ） A ．3B ．2C ．1D ．04．如果773x y a b +和2427y x a b --是同类项，则x ，y 的值是（ ） A ．3-，2B ．2，3-C ．2-，3D ．3，2-5．方程组1325x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是（ ）A ．10x y =⎧⎨=⎩B ．21x y =⎧⎨=-⎩C ． 2.53.5x y =⎧⎨=-⎩D ． 1.40.4x y =⎧⎨=-⎩6．关于x ，y 的方程30ax by -+=的解是12x y =⎧⎨=⎩，11x y =-⎧⎨=⎩，则3a b -的值是（ ）A ．5B ．5-C ．7D ．7-7．关于,a b 的二元一次方程组2 6.529.5a b a b +=⎧⎨-=⎩的解是41.5a b =⎧⎨=-⎩，则关于,x y 的二元一次方程组2(2)5(1) 6.52(2)5(1)9.5x y x y ++-=⎧⎨+--=⎩的解是（ ） A ．60.7x y =⎧⎨=-⎩B ．20.5x y =⎧⎨=-⎩C ．60.7x y =⎧⎨=⎩D ．20.7x y =⎧⎨=⎩8．同时满足二元一次方程9x y -=和431x y +=的x ，y 的值为（ ）A ．45x y =⎧⎨=-⎩B ．45x y =-⎧⎨=⎩C ．23x y =-⎧⎨=⎩D ．36x y =⎧⎨=-⎩9．若二元一次方程组45ax by bx ay +=⎧⎨+=⎩的解为21x y =⎧⎨=⎩，则a +b 的值是( )A ．9B ．6C ．3D ．110．若方程组23133530.9a b a b -=⎧⎨+=⎩的解是8.31.2a b =⎧⎨=⎩，则方程组()()()()2231-13325130.9x y x y ⎧++=⎪⎨+--=⎪⎩的解是（ ）A ．8.31.2x y =⎧⎨=⎩B ． 6.32.2x y =⎧⎨=⎩C ．10.32.2x y =⎧⎨=⎩D ．10.30.2x y =⎧⎨=⎩二、填空题11．设()554325432031x a x a x a x a x a -=++++，则035a a a ++的值为______________12．已知方程组 2629x y x y +=⎧⎨+=⎩ ，则x -y=_________.13．若3xb +5y 2a 和﹣3x 2y 2﹣4b 是同类项，则a ＝_____． 14．如果()2x 2y 1x y 50-+++-=，那么x =______，y =____ 15．若方程组ax y c x by d -=⎧⎨-=⎩的解为12x y =⎧⎨=-⎩，则方程组y ax cby x d -=⎧⎨-=⎩的解为______．三、解答题 16．解下列方程组：（1）2431y x x y =-⎧⎨+=⎩；（2）2316413x y x y +=⎧⎨+=⎩．17．解方程： （1）4342312x y x y ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩ （2）1263()46x y yx y y +⎧-=⎪⎨⎪+-=⎩ 18．代数式23ax bx ++，当x ＝-2时，代数式的值为4；当x ＝2时，代数式的值为10，则x ＝-1时，求代数式的值．19．解关于x ，y 的方程组 932ax by x cy +=⎧⎨-=-⎩ 时，甲正确地解出24x y =⎧⎨=⎩，乙因为把c 抄错了，误解为 41x y =⎧⎨=-⎩，求2a +b -c 的平方根．20．已知21a +的平方根是3±，324a b +-的立方根是-2的立方根．21．解方程组38435x y x y -=⎧⎨-=⎩①②时，两位同学的解法如下：解法一：由-①②，得33x =．解法二：由①得3(3)5x x y +-=①， 把①代入①得385x +=．(1)反思：上述两种解题过程中你发现解法______的解题过程有错误（填“一”或“二”）； (2)请选择一种你喜欢的方法解此方程组．22．解方程组22?425?x y x y -=⎧⎨-=⎩①②时，两位同学的解法如下：解法一：由①﹣①，得3x ＝﹣3 解法二：由①得3x +（x ﹣2y ）＝5① ①代入①得3x +2＝5(1)反思：上述两种解题过程中你发现解法 的解题过程有错误（填“一”或“二”）；解二元一次方程组的基本思想 ． (2)请选择一种你喜欢的方法解此方程组．23．观察下列两个等式：1122133-=⨯+，2255133-=⨯+，给出定义如下：我们称使等式1a b ab -=+成立的一对有理数a 、b 为“共生有理数对”，记为(),a b ，如：数对12,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，25,3⎛⎫⎪⎝⎭，都是“共生有理数对”．（1）判断数对()2,1-，13,2⎛⎫⎪⎝⎭是“共生有理数对”，并说明理由．（2）若(),m n 是“共生有理数对”，且4m n -=，求()4mn-的值．（3）若(),m n 是“共生有理数对”，则()2,2n m --是“共生有理数对”吗？请说明理由．参考答案1．B 2．A 3．B 4．B 5．D 6．B 7．D 8．A 9．C 10．B 11．528 12．3． 13．7 14．3 215．12x y =-⎧⎨=⎩16．（1）12x y =⎧⎨=-⎩；（2）52x y =⎧⎨=⎩17．（1）1083x y =⎧⎪⎨=⎪⎩；（2）20x y =⎧⎨=⎩． 18．5219．2a +b -c 的平方根是±2． 20．221．(1)一 (2)13x y =-⎧⎨=-⎩22．(1)一，消元； (2)112x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩23．（1）()2,1-不是“共生有理数对”， 13,2⎛⎫⎪⎝⎭是“共生有理数对”，理由见解析；（2）-64；（3）不是。