专题02 函数-备战2018年高考数学(文)之纠错笔记系列(原卷版)

专题10 圆锥曲线易错点1 忽略椭圆定义中的限制条件若方程22186x y k k +=--表示椭圆，则实数k 的取值范围为________________．【错解】由8060k k ->⎧⎨->⎩，可得68k <<，所以实数k 的取值范围为(6，8)．【错因分析】忽略了椭圆标准方程中a ＞b ＞0这一限制条件，当a ＝b ＞0时表示的是圆的方程．【试题解析】由806086k k k k ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，可得68k <<且7k ≠，所以实数k 的取值范围为(6，7)∪(7，8)．【方法点睛】准确理解椭圆的定义，明确椭圆定义中的限制条件，才能减少解题过程中的失误，从而保证解题的正确性．【参考答案】(6，7)∪(7，8)．平面上到两定点12,F F 的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点P 的轨迹是椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作122F F c =. 定义式：12122(2)PF PF a a F F +=>.要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆.1．已知F 1，F 2为两定点，|F 1F 2|＝6，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝6，则动点M 的轨迹是A ．椭圆B ．直线C ．圆D ．线段【答案】D平面上到两定点12,F F 的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点P 的轨迹是椭圆.若忽略了椭圆定义中|F 1F 2|＜2a 这一隐含条件，就会错误地得出点M 的轨迹是椭圆.易错点2 忽略对椭圆焦点位置的讨论已知椭圆的标准方程为2221(0)36x y k k +=>，并且焦距为8，则实数k 的值为_____________．1．解决已知椭圆的焦点位置求方程中的参数问题，应注意结合焦点位置与椭圆方程形式的对应关系求解.2．求椭圆的方程有两种方法:（1）定义法.根据椭圆的定义，确定a 2,b 2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程. （2）待定系数法.这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是：第一步，做判断.根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时需要分类讨论）.第二步，设方程.根据上述判断设方程为22221(0)x y a b a b +=>>或22221(0)y x a b a b+=>>.第三步，找关系.根据已知条件，建立关于,,a b c 的方程组（注意椭圆中固有的等式关系222c a b =－）.第四步，得椭圆方程.解方程组，将解代入所设方程，即为所求.3．用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(其中A＞0，B＞0，A≠B).求椭圆的标准方程的方法可以采用待定系数法，此时要注意根据焦点的位置选择椭圆的标准方程；也可以利用椭圆的定义及焦点位置或点的坐标确定椭圆的标准方程.2．已知椭圆的中心在原点，对称轴是坐标轴，离心率e＝32，且过点P(2,3)，求此椭圆的标准方程.【答案】x240＋y210＝1或y225＋4x225＝1.故所求椭圆的标准方程为y 225＋4x225＝1.综上，所求椭圆的标准方程为x 240＋y 210＝1或y 225＋4x225＝1.而默认了椭圆的焦点在为了避免讨论，也可以如下方法设椭圆方程：易错点3 忽略椭圆的范围设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率2e =已知点3(0,)2P ，求椭圆的标准方程．1．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的范围就是方程中变量x ,y 的范围，由22221x y a b +=得222211x y a b =-≤，则||x a ≤；222211y x b a=-≤，则||y b ≤.故椭圆落在直线x =±a ，y =±b 围成的矩形内，因此用描点法画椭圆的图形时就可以不取“矩形”范围以外的点了.同时，在处理椭圆的一些参数或最值问题时要注意x ，y 的取值范围.2．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任意一点,()P x y ，则当0x ＝时，||OP 有最小值b ，P 点在短轴端点处；当x a =±时，||OP 有最大值a ，P 点在长轴端点处．3．（1）解决椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)中的范围问题常用的关系有：①－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ； ②离心率0<e <1；③一元二次方程有解，则判别式0∆≥.（2）解决与椭圆有关的最值问题常用的方法有以下几种： ①利用定义转化为几何问题处理；②利用三角替代(换元法)转化为三角函数的最值问题处理； ③利用数与形的结合，挖掘数学表达式的几何特征，进而求解；④利用函数最值的研究方法，将其转化为函数的最值问题来处理，此时，应注意椭圆中x 、y 的取值范围，常常是化为闭区间上的二次函数的最值来求解.3．已知直线x+ky-3=0所经过的定点F 恰好是椭圆C 的一个焦点,且椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8. （1）求椭圆C 的标准方程;（2）已知圆O :x 2+y 2=1,直线l :mx+ny =1,试证:当点P (m ,n )在椭圆C 上运动时,直线l 与圆O 恒相交,并求直线l 被圆O 所截得的弦长L 的取值范围.【答案】（1）225x +216y =1.（2）2≤L ≤5.（2）因为点P (m ,n )在椭圆C 上,所以225m +216n =1,即n 2=16-21625m .又原点到直线l :mx+ny =1的距离1d ==<,所以直线l :mx+ny =1与圆O :x 2+y 2=1恒相交,则()222214141)9162(5L d m =-=-+,因为-5≤m≤5,所以2≤L≤5. 易错点4 忽略双曲线定义中的限制条件已知F 1(－5，0)，F 2(5，0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2a ，当a 为3和5时，点P 的轨迹分别为A ．双曲线和一条直线B ．双曲线和一条射线C ．双曲线的一支和一条直线D ．双曲线的一支和一条射线在求解与双曲线有关的轨迹问题时，准确理解双曲线的定义，才能正确解题．当||MF 1|－|MF 2||＝2a ＜|F 1F 2|(a ＞0)，即|MF 1|－|MF 2|＝±2a ，0＜2a ＜|F 1F 2|时，点M 的轨迹是双曲线，其中取正号时为双曲线的右(上)支，取负号时为双曲线的左(下)支；当||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝|F 1F 2|(a ＞0)时，点M 的轨迹是以点F 1，F 2为端点的两条射线； 当||MF 1|－|MF 2||＝2a ＞|F 1F 2|(a ＞0)时，点M 的轨迹不存在．4．当0°≤α≤180°时，方程x 2cos α＋y 2sin α＝1表示的曲线怎样变化？易错点5 忽略双曲线中的隐含条件已知M 是双曲线2216436x y -=上一点，F 1，F 2是双曲线的左、右焦点，且1||17MF =，则2MF =______． 【错解】由双曲线的定义可知，12||||216||MF MF a ==-，因为1||17MF =，所以2||1MF =或33．1．在求解双曲线上的点到焦点的距离d 时，一定要注意d c a ≥-这一隐含条件． 2．双曲线方程中,a b 的大小关系是不确定的，但必有0,0c a c b >>>>.3．由22221(0,0)x y a b a b-=>>,知≥1,所以x ≤-a 或x ≥a ,因此双曲线位于不等式x ≥a 和x ≤-a 所表示的平面区域内,同时,也指明了坐标系内双曲线上点的横坐标的取值范围.关于双曲线内线段最长或最短（距离最远或最近）问题，有以下结论：）双曲线的左、右顶点距离相应焦点最近； ）双曲线上一点与某焦点的距离的值最小为c5．已知双曲线x 2-23y =1的左顶点为A 1,右焦点为F 2,P 为双曲线右支上一点,则·的最小值为_______. 【答案】-2【解析】设点P (x ,y ),其中x ≥1.依题意,得A 1(-1,0),F 2(2,0),则·=(-1-x ,-y )·(2-x ,-y )=(x+1)(x-2)+y 2=x 2+3(x 2-1)-x-2=4x 2-x-5=4(x-)2-.因此当x =1时,·取得最小值-2.易错点6 忽略双曲线的焦点所在位置的讨论已知双曲线的渐近线方程是2y x =±，焦距为1．求解双曲线的标准方程时，先确定双曲线的类型，也就是确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴，从而设出相应的标准方程的形式，然后利用待定系数法求出方程中的22,a b 的值，最后写出双曲线的标准方程.对于双曲线的渐近线，有下面两种考查方式：）已知双曲线的方程求其渐近线方程;2．在求双曲线的方程时，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或可直接设双曲线的方程为221(0)Ax By AB +=<.已知双曲线的渐近线方程，而不知焦点所在的坐标轴时，双曲线的方程有两个，为避免分类讨论，可设C ．53或54D ．2或153【答案】C满足的等式或不等式，一般利用双曲线中21b，注意区分双曲线中易错点7 忽略直线与双曲线只有一个公共点的特殊情况若过点(1,1)P且斜率为k的直线l与双曲线2214yx-=只有一个公共点，则k=___________．1．直线与双曲线有三种位置关系：（1）无公共点，此时直线有可能为双曲线的渐近线．（2）有一个公共点，分两种情况：①直线是双曲线的切线，特别地，直线过双曲线一个顶点，且垂直于实轴；②直线与双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的一支有一个公共点．（3）有两个公共点，可能都在双曲线一支上，也可能两支上各有一点．2．研究直线与双曲线位置关系的一般思路仍然是联立二者的方程，解方程组或者转化为一元二次方程，依据根的判别式和根与系数的关系求解．要注意讨论转化以后的方程的二次项系数，即若二次项系数为0，则直线与双曲线的渐近线平行或重合；若二次项系数不为0，则进一步研究二次方程的根的判别式∆，得到直线与双曲线的交点个数．7．已知双曲线C:2x2-y2=2与点P(1,2).（1）若直线l过点P,求当直线l与双曲线C分别有一个交点、两个交点、没有交点时直线l的斜率k 满足的条件;（2）若Q(1,1),试判断以Q为中点的弦是否存在.【答案】（1）见解析；（2）以Q为中点的弦不存在.(ii)当2-k2≠0,即k≠±时,Δ=[2(k2-2k)]2-4(2-k2)(-k2+4k-6)=16(3-2k).①当Δ=0,即k=32时,方程(*)有两个相等的实根,即l与C有一个交点.②当Δ>0时,k<32,且k≠±,即当k<-或-<k<或<k<32时,方程(*)有两个不相等的实根,即l与C有两个交点.③当Δ<0,即k>32时,方程(*)无解,即l与C没有交点.综上,当k=±或k=32时,l与C只有一个交点;当<k<32或-<k<或k<-时,l与C有两个交点;当k>32时,l与C没有交点.易错点8 忽略抛物线定义中的限制条件已知点P到F(4，0)的距离与到直线5x=-的距离相等，求点P的轨迹方程．1．抛物线的标准方程是特殊的抛物线方程，对坐标轴的位置有严格的要求．若从题意中无法判断方程是否为标准方程，可按求曲线方程的一般步骤求解．2．抛物线定义中要求直线l 不经过点F ，若l 经过F 点，则轨迹为过定点F 且垂直于定直线l 的一条直线．因此当动点P 到定点F 的距离与它到定直线l 的距离相等时，不能盲目套用抛物线定义．8．动点P 到定点F (1，1)的距离与它到直线:340l x y +-=的距离相等，则动点P 的轨迹是A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．直线【答案】D易错点9 忽略抛物线的焦点所在位置的讨论设抛物线y 2＝mx 的准线与直线x ＝1的距离为3，求抛物线的方程.【错解】易知准线方程为x ＝－m4，因为准线与直线x ＝1的距离为3， 所以准线方程为x ＝－2，所以－m4＝－2，解得m ＝8，故抛物线方程为y 2＝8x .【错因分析】题目条件中未给出m 的符号，当m >0或m <0时，抛物线的准线是不同的，错解中考虑问题欠周到．【试题解析】当m >0时，准线方程为x ＝－m4，由条件知1－(－m4)＝3，所以m ＝8.此时抛物线方程为y 2＝8x ； 当m <0时，准线方程为x ＝－m4，由条件知－m4－1＝3，所以m ＝－16，此时抛物线方程为y 2＝－16x .所以所求抛物线方程为y 2＝8x 或y 2＝－16x . 【参考答案】y 2＝8x 或y 2＝－16x .1．抛物线的四种标准方程与对应图形如下表所示：注：抛物线标准方程中参数p 的几何意义是：抛物线的焦点到准线的距离，所以p 的值永远大于0． 2．求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点的位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.用待定系数法求抛物线标准方程的步骤：若无法确定抛物线的位置，则需分类讨论.特别地，已知抛物线上一点的坐标，一般有两种标准方程.9．顶点在原点，焦点在x 轴上且通径长为6的抛物线的标准方程为________.【答案】y 2＝±6x .本题若只考虑焦点在x 轴的正半轴上的情况，而忽略了焦点也可能在x 轴的负半轴上的情况，则会出现漏解．易错点10 忽略直线与抛物线有一个公共点的特殊情况求过定点(11)P -,，且与抛物线22y x =只有一个公共点的直线l 的方程．直线l y kx b =+：与抛物线22(0)y px p =>公共点的个数等价于方程组22y x p b xy k ⎧⎨==+⎩的解的个数．（1）若0k ≠，则当0∆>时，直线和抛物线相交，有两个公共点；当0∆＝时，直线和抛物线相切，有一个公共点；当0∆<时，直线和抛物线相离，无公共点．（2）若0k =，则直线y b =与抛物线22(0)y px p =>相交，有一个公共点．特别地，当直线l 的斜率不存在时，设x m =，则当0m >时，直线l 与抛物线相交，有两个公共点；当0m =时，直线l 与抛物线相切，有一个公共点；当0m <时，直线l 与抛物线相离，无公共点．10．若直线y =kx -1与抛物线y 2=4x 有且只有一个公共点,则k 的值为_______.【答案】-1或0【解析】当k =0时,数形结合知,直线与抛物线有一个公共点;当k ≠0时,将直线方程与抛物线方程联立，得214y kx y x=-⎧⎨=⎩,消去x ,得y 2-y -=0,因而Δ=+=0,即k =-1.从而k =-1或0.本题易忽略直线平行于抛物线的对称轴时，直线与抛物线也只有一个交点,而漏掉k =0.一、椭圆 1．椭圆的定义平面上到两定点12,F F 的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点P 的轨迹是椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作122F F c =. 定义式：12122(2)PF PF a a F F +=>.要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆. 2．椭圆的标准方程焦点在x 轴上，22221(0)x y a b a b +=>>；焦点在y 轴上，22221(0)y x a b a b+=>>.说明：要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道,,a b c 之间的大小关系和等量关系：222,0,0-=>>>>.a cb a b a c3．椭圆的几何性质椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围）有两种方法：范围）.二、双曲线 1． 双曲线的定义（1）定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|且大于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做双曲线的焦距．（2）符号语言：1212202，MF MF a a F F =<-<. （3）当122MF MF a -=时，曲线仅表示焦点2F 所对应的双曲线的一支； 当122MF MF a -=-时，曲线仅表示焦点1F 所对应的双曲线的一支； 当12||2a F F =时，轨迹为分别以F 1，F 2为端点的两条射线； 当12||2a F F >时，动点轨迹不存在． 2．双曲线的标准方程（1）焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)，焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，焦距为2c ，且222c a b =+.（2）焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为22221y x a b-=(a ＞0，b ＞0)，焦点分别为F 1(0，－c )，F 2(0，c )，焦距为2c ，且222c a b =+．3．双曲线的几何性质在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件12||||||2PF PF a -=的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用． 4．等轴双曲线三、抛物线 1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F ) 距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．抛物线关于过焦点F 与准线垂直的直线对称，这条直线叫抛物线的对称轴，简称抛物线的轴．注意：直线l 不经过点F ，若l 经过F 点，则轨迹为过定点F 且垂直于定直线l 的一条直线． 2．抛物线的标准方程（1）顶点在坐标原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线的标准方程为22(0)y px p =>； （2）顶点在坐标原点，焦点在x 轴负半轴上的抛物线的标准方程为22(0)y px p =->； （3）顶点在坐标原点，焦点在y 轴正半轴上的抛物线的标准方程为22(0)x py p =>； （4）顶点在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上的抛物线的标准方程为22(0)x py p =->.注意：抛物线标准方程中参数p 的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离，所以p 的值永远大于0，当抛物线标准方程中一次项的系数为负值时，不要出现p ＜0的错误. 3．抛物线的几何性质4．抛物线的焦半径抛物线上任意一点00(),P x y 与抛物线焦点F 的连线段，叫做抛物线的焦半径． 根据抛物线的定义可得焦半径公式如下表：5．抛物线的焦点弦抛物线的焦点弦即过焦点F 的直线与抛物线所成的相交弦．焦点弦公式既可以运用两次焦半径公式得到，也可以由数形结合的方法求出直线与抛物线的两交点坐标，再利用两点间的距离公式得到，设AB 为焦点弦，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则其中，通过抛物线的焦点作垂直于对称轴而交抛物线于A ，B 两点的线段AB ，称为抛物线的通径． 对于抛物线22(0)y px p =>，由(,)2p A p ，(,)pB p -，可得||2AB p =，故抛物线的通径长为2p ．，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦的问题，可以优先考虑利用抛物线的定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，即四、直线与圆锥曲线的位置关系 1．曲线的交点在平面直角坐标系xOy 中，给定两条曲线12,C C ，已知它们的方程为12:(,)0,:(,)0C f x y C g x y ==，求曲线12,C C 的交点坐标，即求方程组(,)0(,)0f x yg x y =⎧⎨=⎩的实数解.方程组有几组实数解，这两条曲线就有几个交点.若方程组无实数解，则这两条曲线没有交点. 2．直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线相交时，直线与椭圆有两个公共点，与双曲线、抛物线有一个或两个公共点.（1）直线与椭圆有两个交点⇔相交；直线与椭圆有一个交点⇔相切；直线与椭圆没有交点⇔相离. （2）直线与双曲线有两个交点⇔相交.当直线与双曲线只有一个公共点时，除了直线与双曲线相切外，还有可能是直线与双曲线相交，此时直线与双曲线的渐近线平行. 直线与双曲线没有交点⇔相离. （3）直线与抛物线有两个交点⇔相交.当直线与抛物线只有一个公共点时，除了直线与抛物线相切外，还有可能是直线与抛物线相交，此时直线与抛物线的对称轴平行或重合. 直线与抛物线没有交点⇔相离.3．弦长的求解（1）当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解；（2）当直线的斜率存在时，斜率为k 的直线l 与圆锥曲线C 相交于1122(,),(,)A x y B x y 两个不同的点，则弦长1212||(0)＝AB x x y y k =-=-≠. （3）当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长. 4．中点弦问题（1）AB 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的弦，1122(,),(,)A x y B x y ，弦中点M (x 0，y 0)，则AB 所在直线的斜率为2020b x k a y =-，弦AB 的斜率与弦中点M 和椭圆中心O 的连线的斜率之积为定值22b a -.（2）AB 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的弦，1122(,),(,)A x y B x y ，弦中点M (x 0，y 0)，则AB 所在直线的斜率为2020b x k a y =，弦AB 的斜率与弦中点M 和双曲线中心O 的连线的斜率之积为定值22b a .（3）在抛物线22(0)y px p =>中，以M (x 0，y 0) 为中点的弦所在直线的斜率0pk y =.1．若椭圆的焦距为2,则的值为 A ．9 B ．9或16 C ．7D ．9或7【答案】D2．若双曲线的顶点和焦点分别为椭圆的焦点和顶点,则该双曲线的方程为A．B．C．D．【答案】A【解析】依题意,由椭圆的方程可得双曲线的顶点与焦点坐标分别为与, 则c=,a=1,所以b=1,所以双曲线的方程为.3．“”是“曲线=为双曲线”的A．充分不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A4．顶点在坐标原点,对称轴为坐标轴,又过点的抛物线方程是A．B．C．或D．或【答案】D【解析】(1)抛物线的顶点在坐标原点,对称轴是x轴,并且经过点(−2,3),设它的标准方程为y2=−2px(p>0)，∴9=4p,解得p=,∴.(2)抛物线的顶点在坐标原点,对称轴是y轴,并且经过点(−2,3),设它的标准方程为x2=2py(p>0)，∴4=6p,解得p=.∴.∴抛物线方程是或.故选D．5．已知点及抛物线上一动点,则的最小值为A．B．C．D．【答案】C【解析】抛物线的焦点坐标为,准线方程为,设到准线的距离为,则====，当三点共线时，取得最小值，为.6．已知双曲线的左、右焦点分别为,以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为,则此双曲线方程为A．B．C．D．【答案】B7．已知抛物线的焦点为,准线与轴的交点为为抛物线上的一点,且满足,则点到的距离为A．B．1C．D．2【答案】B【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．8．椭圆=和双曲线=的公共焦点为是两曲线的一个交点,那么的值是______.【答案】【解析】不妨设点P是第一象限的点,由题意可得==,所以,则=222121212123 F P F P F FF P F P+-=.9．已知抛物线C:y2=2px(p>0),A(1,-2)是抛物线上的点.若存在斜率为-2的直线l与抛物线C有公共点,且点A到直线l 的距离等于,则直线l的方程是______.【答案】2x+y-1=0【解析】根据题意,得4=2p,得p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x.设直线l的方程为y=-2x+t,由得y2+2y-2t=0,因为直线l与抛物线C有公共点,所以Δ=4+8t≥0,解得t≥-.由点A到直线l的距离d =,可得,解得t=±1.因为t≥-,所以t=1,所以直线l的方程为2x+y-1=0. 10．已知双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点为(0,3)，求k的值.【答案】－111．已知命题“方程表示焦点在轴上的椭圆”,命题“方程表示双曲线”.（1）若是真命题,求实数的取值范围;（2）若“或”是真命题,求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】(1)命题:“方程表示焦点在轴上的椭圆”,则,解得.(2)命题“方程表示双曲线”,则,解得或.若“或”是真命题,则至少一个是真命题,即一真一假或全为真.则或或,所以或或或.所以或.12．焦点在轴上的双曲线,它的两条渐近线的夹角为,焦距为12,求此双曲线的方程及离心率.【答案】见解析13．已知抛物线=,直线=与交于两点,且=,其中为坐标原点.（1）求抛物线的方程;（2）点的坐标为,记直线的斜率分别为,证明:为定值.【答案】（1）=；（2）见解析.【解析】（1）将代入,得,其中,设,则==,所以===,由已知==,所以抛物线的方程为=.14．已知椭圆的离心率为,椭圆的短轴端点与双曲线的焦点重合,过点且不垂直于轴的直线与椭圆相交于两点.（1）求椭圆的方程;（2）求的取值范围.【答案】（1）（2）.【解析】（1）由题意知.又∵双曲线的焦点坐标为,,椭圆的方程为.（2）若直线的倾斜角为,则=,当直线的倾斜角不为时,直线的方程可设为,由=,由,设,则==,=,，,故的取值范围为.15．已知分别是椭圆的长轴与短轴的一个端点,是椭圆的左、右焦点,以点为圆心、3为半径的圆与以点为圆心、1为半径的圆的交点在椭圆上,且.（1）求椭圆的方程;（2）设为椭圆上一点,直线与轴交于点,直线与轴交于点,求证:.【答案】（1）；（2）见解析.（2）由（1）及题意可画图,如图,不妨令.设,则.________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ 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易错点1 忽略90°倾斜角的特殊情形求经过A (m ，3)，B (1，2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围．【错解】由斜率公式可得直线AB 的斜率k =3－2m －1=1m －1.①当m >1时，k =1m －1>0，所以直线的倾斜角α的取值范围是0°<α<90°； ②当m <1时，k =1m －1<0，所以直线的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°.【错因分析】当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象进行分类讨论，然后对每一类分别研究，得出每一类结果，最终解决整个问题．本题的讨论分两个层次：第一个层次是讨论斜率是否存在；第二个层次是讨论斜率的正、负．也可以分为m =1，m >1，m <1三种情况进行讨论．【试题解析】当m =1时，直线斜率不存在，此时直线倾斜角α=90°. 当m ≠1时，由斜率公式可得k =3－2m －1=1m －1.①当m >1时，k =1m －1>0，所以直线倾斜角α的取值范围是0°<α<90°. ②当m <1时，k =1m －1<0，所以直线倾斜角α的取值范围是90°<α<180°. 【参考答案】见试题解析.1．由斜率取值范围确定直线倾斜角的范围时要利用正切函数y =tan x 的图象，特别要注意倾斜角取值范围的限制.2．求解直线的倾斜角与斜率问题时要善于利用数形结合的思想，要注意直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，需依据正切函数y =tan x 的单调性求斜率k 的范围． 3．直线的倾斜角与斜率的关系（1）任何直线都存在倾斜角，但并不是任意直线都存在斜率．比如直线1x =的倾斜角为2π，但斜率不存在．（2）直线的倾斜角α和斜率k 之间的对应关系：1．若直线l 过点M (−2，m )，N (m ，4)两点，则直线l 的斜率为________. 【答案】不存在或4－mm ＋2【解析】当m =−2时，直线斜率不存在；当m ≠−2时，直线斜率k =4－mm ＋2.易错点2 忽略斜率不存在的特殊情形已知直线l 1经过点A (3，a )，B (a −2，3)，直线l 2经过点C (2，3)，D (−1，a −2)，若l 1⊥l 2，求a 的值．【错解】由l 1⊥l 2⇔12·1k k =-，又k 1=3－a a －5，k 2=a －5－3，所以3－a a －5·a －5－3=−1，解得a =0. 【错因分析】只有在两条直线斜率都存在的情况下，才有l 1⊥l 2⇔12·1k k =-，还有一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在的情况也要考虑．【试题解析】由题意知l 2的斜率一定存在，则l 2的斜率可能为0，下面对a 进行讨论．当20k =时，a =5，此时k 1不存在，所以两直线垂直． 当20k ≠时，由12·1k k =-，得a =0. 所以a 的值为0或5. 【参考答案】0或51．直线的斜率是否存在是解直线问题首先要考虑的问题，以防漏解．2．斜率公式（1）若直线l 的倾斜角α≠90°，则斜率tan k α=．（2）若P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率k =2121y y x x --．3．求直线方程的方法（1）直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，直接求出方程中的系数，写出直线方程； （2）待定系数法：先根据已知条件恰当设出直线的方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)解得系数，最后代入设出的直线方程．4．求直线方程时，如果没有特别要求，求出的直线方程应化为一般式Ax +By +C =0，且A ≥0.5．已知三点,,A B C ，若直线,AB AC 的斜率相同，则,,A B C 三点共线.因此三点共线问题可以转化为斜率相等问题，用于求证三点共线或由三点共线求参数.2．已知直线l 过点A (1，2)，且原点到直线l 的距离为1，求直线l 的方程． 【答案】x =1或3x −4y ＋5=0.【解析】当直线l 过点A (1，2)且斜率不存在时，直线l 的方程为x =1，此时原点到直线l 的距离为1，满足题意．当直线l 过点A (1，2)且斜率存在时，由题意设直线l 的方程为y −2=k (x −1)，即kx −y −k ＋2=0. 因为原点到直线l 的距离为1，所以|－k ＋2|k 2＋1=1，解得k =34.所以所求直线l 的方程为y −2=34(x −1)，即3x −4y ＋5=0.综上所述，所求直线l 的方程为x =1或3x −4y ＋5=0.当用待定系数法确定直线的斜率时，一定要对斜率是否存在进行讨论，符合题意的直线有两条，而上面忽略了斜率不存在的情况，从而只得到了一条直线．易错点3 忽视两条直线平行的条件当a 为何值时，直线1l ：y =−x ＋2a 与直线2l ：()222y a x =-+平行？【错解】由题意，得22a -=−1，∴a =±1.【错因分析】该解法只注意到两直线平行时斜率相等，而忽视了斜率相等的两直线还可能重合． 【试题解析】∵12l l ∥，∴22a -=−1且2a ≠2，解得a =−1.【方法点睛】要解决两直线平行的问题，一定要注意检验，看看两直线是否重合． 【参考答案】a =−1.1．两直线的位置关系问题中注意重合与平行的区别．2．由两直线平行或垂直求参数的值：在解这类问题时，一定要“前思后想”.“前思”就是在解题前考虑斜率不存在的可能性，是否需要分情况讨论；“后想”就是在解题后，检验答案的正确性，看是否出现增解或漏解. 3．两条直线的位置关系（1）当两条直线平行时，不要忘记它们的斜率不存在时的情况；（2）当两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况．3．直线()221():252450l m m x m y -+--+=的斜率与直线2:10l x y -+=的斜率相同，则m 等于A ．2或3B ．2C ．3D ．−3【答案】C【解析】直线l 1的斜率为2m 2－5m ＋2m 2－4，直线l 2的斜率为1，则2m 2－5m ＋2m 2－4=1，即2m 2−5m ＋2=m 2−4，m 2−5m ＋6=0，解得m =2或3，当m =2时，2m 2−5m ＋2=0，−(m 2−4)=0，则m =2不合题意，仅有m =3.中，A 与B 满足的条件是，不表示任何图形．本题在求解时易出现下列错误：易错点4 忽视截距为0的情形已知直线l 过点P (2，−1)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.【错解】由题意，设直线l 的方程为x a ＋y a=1， ∵直线l 过点(2，−1)，∴2a ＋－1a=1，∴a =1，则直线l 的方程为x ＋y −1=0. 【错因分析】错解忽略了过原点时的情况． 【试题解析】设直线l 在两坐标轴上的截距为a . 若a =0，则直线l 过原点，其方程为x ＋2y =0； 若a ≠0，则直线l 的方程可设为x a ＋y a=1， ∵直线l 过点(2，−1)，∴2a ＋－1a=1，∴a =1，则直线l 的方程为x ＋y −1=0.综上所述，直线l 的方程为20x y +=或x ＋y −1=0.【思路分析】截距式方程中a ≠0，b ≠0，即直线与坐标轴垂直或直线过原点时不能用截距式方程．注意在两坐标轴上存在截距的直线不一定有截距式方程，此时在x ，y 轴上的截距均为0，即过原点． 【参考答案】20x y +=或x ＋y −1=0.1．在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解．2．在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为0，这是解题时容易忽略的一点，常见的与截距问题有关的易错点有：“截距互为相反数”；“一截距是另一截距的几倍”等，解决此类问题时，应先考虑截距为0的情形，注意分类讨论思想的运用．4．过点A (3，4)，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线方程是________. 【答案】10x y -+=或4x −3y =0【解析】①当直线l 在两坐标轴上截距互为相反数且不为0时，可设直线l 的方程为x a ＋y－a =1.又l 过点A (3，4)，所以3a ＋4－a =1，解得a =−1.所以直线l 的方程为x －1＋y1=1，即x −y ＋1=0.②当直线l 经过原点时截距为0，也为相反数，此时直线的方程为y =43x ，即4x −3y =0.易错点5 含参数的两条直线相交因考虑问题不全面而致误若三条直线123:10,:10,:0l ax y l x ay l x y a ++=++=++=共有三个不同的交点，则a 的取值范围为 A ．1a ≠± B ．a ≠1且a ≠−2 C ．a ≠−2D ．1a ≠±且a ≠−2【错解】选A 或选B【错因分析】在解题过程中，常错选B ，原因在于考虑问题不全面，只考虑三条直线相交于一点而忽视了任意两条平行或重合的情况．错选A 时，只考虑三条直线斜率不相等的条件而忽视了三条直线相交于一点的情况．【试题解析】因为三条直线有三个不同的交点，需三条直线两两相交且不共点，由条件不易直接求参数，可考虑从反面着手求解．①若三条直线交于一点，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ay ＋1＝0，x ＋y ＋a ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a －1，y ＝1，将l 2，l 3的交点()1,1a --代入l 1的方程解得a =1或a =−2. ②若12l l ∥，则由a ×a −1×1=0，解得a =±1，当a =1时，1l 与2l 重合．③若2l ∥3l ，则由1×1−a ×1=0，解得a =1， 当a =1，2l 与3l 重合．④若1l ∥3l ，则由a ×1−1×1=0，解得a =1， 当a =1时，1l 与3l 重合．综上，当a =1时，三条直线重合；当a =−1时，1l ∥2l ；当a =−2时，三条直线交于一点. 所以要使三条直线共有三个交点，需1a ≠±且a ≠−2. 【参考答案】D1．两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为点的坐标，即交点的坐标. 2．求过两直线交点的直线方程的求法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程.5．若三条直线10,280x y x y ++=-+=和ax ＋3y −5=0共有三个不同的交点，则a 的取值范围为________.【答案】a ∈R 且a ≠13，a ≠3，a ≠−6【解析】解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝0，2x －y ＋8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝2，即两条直线的交点坐标为(−3，2)，故实数a 满足(3)32501323a a a ⎧⎪⨯-+⨯-≠⎪⎪-≠-⎨⎪⎪-≠⎪⎩，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ≠13，a ≠3，a ≠－6，即实数a 满足的条件为a ∈R 且a ≠13，a ≠3，a ≠−6.易错点6 忽视圆的方程需要满足的条件致错已知点O (0，0)在圆x 2＋y 2＋kx ＋2ky ＋2k 2＋k −1=0外，求k 的取值范围．方程是否满足表示圆的条件，这是将二元二次方程按圆的方程处理时应首先考虑的问题．1．求圆的方程必须具备三个独立的条件．从圆的标准方程来看，关键在于求出圆心坐标和半径，从圆的一般方程来讲，能知道圆上的三个点即可求出圆的方程，因此，待定系数法是求圆的方程常用的方法． 2．用几何法求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上”，“半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形”． 3．与圆有关的对称问题（1）圆的轴对称性:圆关于直径所在的直线对称． （2）圆关于点对称：①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置； ②两圆关于点对称，则此点为两圆圆心连线的中点． （3）圆关于直线对称：①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置； ②两圆关于直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线．4．对于圆中的最值问题，一般是根据条件列出关于所求目标的式子——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式的性质求出最值．特别地，要利用圆的几何性质，根据式子的几何意义求解，这正是数形结合思想的应用．6．已知圆22220x y x y k ++++=和定点P (1，−1)，若过点P 的圆的切线有两条，则k 的取值范围是A ．(−2，＋∞)B ．(−∞，2)C ．(−2，2)D ．(−∞，−2)∪(2，＋∞)【答案】C【解析】因为方程22220x y x y k ++++=表示一个圆，所以4＋4−4k >0，解得k <2.要使P 在圆外，则()()221121210k +-+⨯+⨯-+>，解得k >−2，故−2<k <2.产生错解的原因是忽视了一个隐含条件：必须保证方程22220x y x y k ++++=表示一个圆．本题常会出现下列错误：选A ．由题意知点P (1，−1)必须在圆的外部，则()()221121210k +-+⨯+⨯-+>，解得k >−2.注意：必须保证圆的一般形式需要满足的条件.易错点7 利用数形结合的解题误区方程1－x2=kx＋2有唯一解，则实数k的取值范围是A．k=± 3 B．k∈(−2，2)C．k<−2或k>2 D．k<−2或k>2或k=±3【错解】选A或选C【试题解析】由题意知，直线y=kx＋2与半圆x2＋y2=1(y≥0)只有一个交点．结合图形易得k<−2或k>2或k=± 3.【参考答案】D1．判断直线与圆的位置关系时，通常用几何法，其步骤是：（1）明确圆心C的坐标（a，b）和半径长r，将直线方程化为一般式；（2）利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d；（3）比较d与r的大小，写出结论.判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．能用几何法，尽量不用代数法.2．涉及直线被圆截得的弦长问题，一般有两种求解方法：一是利用半径长r 、弦心距d 、弦长l 的一半构成直角三角形，结合勾股定理222()2l d r +=求解；二是若斜率为k 的直线l 与圆C 交于1122,,()()A x y B x y ，两点，则12|||AB x x =-.7．若直线y =x ＋b 与曲线y =4－x 2有公共点，试求b 的取值范围． 【答案】−2≤b ≤2 2【解析】如图所示，在坐标系内作出曲线y =4－x 2(半圆)，直线l 1：y =x −2，直线l 2：y =x ＋2 2.当直线l ：y =x ＋b 夹在l 1与l 2之间(包含l 1，l 2)时，l 与曲线y =4－x 2有公共点，易错点8 不理解两圆相切已知圆222210,x y x y ++++=圆226890x y x y +-++=，判断两圆的位置关系.【错解】由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0，x 2＋y 2－6x ＋8y ＋9＝0，得4x −3y −4=0，即y =4x －43.将其代入方程x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1=0，得22(44)8821093x x x x --++++=， 即9x 2＋16x 2＋16−32x ＋18x ＋3(8x −8)＋9=0，25x 2＋10x ＋1=0， 因为Δ=100−4×25=0.所以两圆只有一个公共点，两圆相切．【错因分析】将两圆方程联立，Δ=0说明两圆只有一个公共点，此时两圆有可能外切，也有可能内切． 【试题解析】把两圆方程分别配方，化为标准方程为：(x ＋1)2＋(y ＋1)2=1，(x −3)2＋(y ＋4)2=16， 所以C 1(−1，−1)，C 2(3，−4)，r 1=1，r 2=4.∵圆心距12|5|C C ==，r 1＋r 2=1＋4=5，∴|C 1C 2|=r 1＋r 2，故两圆外切． 【参考答案】外切.1．判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是： （1）确定两圆的圆心坐标和半径长；（2）利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d ，求1212||r r r r +-，； （3）比较1212,,||d r r r r +-的大小，写出结论. 2．求两圆公共弦长一般有两种方法：一是联立两圆的方程求出交点坐标，再利用两点间的距离公式求解； 二是求出两圆公共弦所在直线的方程，转化为直线被圆截得的弦长问题.8．已知圆2221:2450C x y mx y m +-++-=，圆2222:2230C x y x my m ++-+-=，当m 的取值满足什么条件时，有圆1C 与圆2C 相切？【答案】当m =−5或m =2或m =−1或m =−2时，两圆相切．【解析】对于圆C 1与圆C 2的方程，化为标准方程得C 1：(x −m )2＋(y ＋2)2=9，C 2：(x ＋1)2＋(y −m )2=4，所以两圆的圆心分别为C 1(m ，−2)，C 2(−1，m )，半径分别为r 1=3，r 2=2，且12||C C =若两圆相外切时，则|C 1C 2|=r 1＋r 2=5，解得m =−5或m =2.当圆C 1与圆C 2相内切时，则|C 1C 2|=|r 1−r 2|，解得m =−1或m =−2.综上可知，当m =−5或m =2或m =−1或m =−2时，两圆相切．两圆外切和内切统称为相切，d =|r 1−r 2|⇔内切；d =r 1＋r 2⇔外切．本题容易出现的错误是：只考虑外切的情况而把内切情况漏掉了．易错点9 求切线时考虑不全致错过点P (2，4)引圆()()22111x y --=＋的切线，则切线方程为__________．【错解】设切线方程为y −4=k (x −2)，即kx −y ＋4−2k =0， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即d1==，解得k =43，【试题解析】显然点P (2，4)不在圆上，当切线的斜率存在时，设切线方程为y −4=k (x −2)，即420kx y k -+-=，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即d1==，解得k =43，故所求切线方程为43x −y ＋4−2×43=0，即4x −3y ＋4=0； 当切线的斜率不存在时，切线方程为2x =，此时圆心到直线的距离等于半径，符合题意． 综上，切线方程为2x =或4x −3y ＋4=0． 【参考答案】2x =或4x −3y ＋4=0.求解此类问题时，应先判断点是在圆上还是在圆外，在圆上时切线方程唯一，在圆外时切线方程必有两条．1．求过圆上的一点00(,)x y 的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k ，若k 不存在，则由图形可写出切线方程为0y y =；若0k =，则由图形可写出切线方程为0x x =；若k 存在且k ≠0，则由垂直关系知切线的斜率为1k-，由点斜式方程可求出切线方程.2．求过圆外一点00(,)x y 的圆的切线方程： （1）几何方法当斜率存在时，设为k ，则切线方程为00()y y k x x -=-，即000kx y y kx -+-=.由圆心到直线的距离等于半径长，即可得出切线方程. （2）代数方法当斜率存在时，设为k ，则切线方程为00()y y k x x -=-，即00y kx kx y =-+，代入圆的方程，得到一个关于x 的一元二次方程，由0∆=，求得k ，切线方程即可求出.3．在求过一定点的圆的切线方程时，应首先判断定点与圆的位置关系，若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线有两条；若点在圆内，则切线不存在．9．过点(3，1)作圆C ：()2211x y -=＋的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为_________．【答案】230x y +-=【解析】通解：如图，易知切点()1,1A ，圆心坐标C (1，0)，所以k CM =101312-=-，由CM ⊥AB ，可得k AB =−2，所以直线AB 的方程为y −1=−2(x −1)，即230x y +-=．优解：将题中的点和圆的方程向左平移1个单位长度，可得直线A'B'的方程为21x y +=，将直线A'B'向右平移1个单位长度，可得直线AB 的方程为2(1)1x y -+=，即230x y +-=．一、直线与方程 1．直线的倾斜角（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0︒．（2）范围：直线l 倾斜角的范围是[0,180)︒︒． 2．斜率公式（1）若直线l 的倾斜角α≠90°，则斜率tan k α=．（2）若P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则直线l 的斜率k =2121y y x x --．3．直线方程的五种形式1．常见的直线系方程（1）过定点P (x 0，y 0)的直线系方程：()()220000()A x x B y y C A B -+-+=+≠还可以表示为()00y y k x x -=-，斜率不存在时可设为x =x 0.（2）平行于直线Ax ＋By ＋C =0的直线系方程：()110Ax By C C C ++=≠． （3）垂直于直线Ax ＋By ＋C =0的直线系方程：10Bx Ay C -+=.（4）过两条已知直线1112220,0A x B y C A x B y C ++=++=交点的直线系方程：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)=0(其中不包括直线2220A x B y C ++=)．2．求解含有参数的直线过定点问题，有两种方法：（1）任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解.（2）分项整理，含参数的并为一项，不含参数的并为一项，整理成等号右边为零的形式，然后令含参数的项和不含参数的项分别为零，解方程组所得的解即为所求定点.二、直线的位置关系 1．两条直线的位置关系（1）当两条直线平行时，不要忘记它们的斜率不存在时的情况；（2）当两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况． 2．两条直线的交点对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1=0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2=0，1l 与2l 的交点坐标就是方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解．（1）方程组有唯一解⇔1l 与2l 相交，交点坐标就是方程组的解； （2）方程组无解⇔1l ∥2l ；（3）方程组有无数解⇔1l 与2l 重合． 3．距离问题（1）平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离|P 1P2 （2）点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C =0的距离d（3）两条平行线Ax ＋By ＋C 1=0与Ax ＋By ＋C 2=0(C 1≠C 2)间的距离d．1．求两点间的距离，关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可，一般用来判断三角形的形状等. 2．解决点到直线的距离有关的问题，应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在.3．求两条平行线间的距离，要先将直线方程中x ，y 的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解.也可以转化成点到直线的距离问题. 4．对称问题（1）中心对称：点(,)B x y 为点11(,)A x y 与22(,)C x y 的中点，中点坐标公式为121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩．（2）轴对称：若点P 关于直线l 的对称点为P'，则PP'lP P'l ⊥⎧⎨⎩直线与的中点在上．解决对称问题要抓住以下两点：（1）已知点与对称点的连线与对称轴垂直；（2）以已知点和对称点为端点的线段的中点在对称轴上．三、圆的方程 1．圆的标准方程与一般方程+Ey +F = 0没有意义，不表示任何图形．2．点与圆的位置关系①圆心在过切点且垂直于切线的直线上； 四、直线与圆的位置关系 1．直线与圆的三种位置关系 （1）直线与圆相离，没有公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相交，有两个公共点． 2．直线与圆的位置关系的判断方法3．圆与圆的位置关系4．圆与圆位置关系的判断圆与圆的位置关系的判断方法有两种.（1）几何法：由两圆的圆心距d 与半径长R ，r 的关系来判断（如下图，其中R r >）．（2）代数法： 设圆221111:0C x y D x E y F ++++= ①，圆222222:0C x y D x E y F ++++= ②，联立①②，如果该方程组没有实数解，那么两圆相离；如果该方程组有两组相同的实数解，那么两圆相切；如果该方程组有两组不同的实数解，那么两圆相交．设圆221111:0C x y D x E y F ++++= ①，圆222222:0C x y D x E y F ++++= ②，若两圆相交，则有一条公共弦，由①−②，得121212()()0D D x E E y F F -+-+-=③．方程③表示圆C 1与圆C 2的公共弦所在直线的方程．1．[2016新课标II 理]圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a=A ．43-B ．34-CD ．2 2在直线:10l ax y -+=上，则直线l 的倾斜角为A ．30B ．45C ．60D ．1203．若直线()1:110l ax a y -++=与直线2:210l x ay --=垂直，则实数a =A ．3B ．0C ．3-D ．03-或4．已知点()()2,3,3,2A B ---，若直线:10l mx y m +--=与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是A B C 5．不论m 为何值，直线(m −1)x ＋(2m −1)y =m −5恒过定点AB ．(−2，0)C ．(2，3)D ．(9，−4)6．在ABC △中，若sin sin sin 0a A b B c C +-=，则圆22:1C x y +=与直线:0l ax by c ++=的位置关系是A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定 7．若P 是圆()()22:331C x y ++-=上任一点，则点P 到直线距离的最大值是 A ．B ．C ．1D ． 8．已知点()1,Q m -，P 是圆C ：()()22244x a y a -+-+=上任意一点，若线段PQ 的中点M 的轨迹方程为()2211x y +-=，则m 的值为 A ．1B ．2C ．3D ．4 9．过直线:1l y x =+上的点P 作圆C :()()22162x y -+-=的两条切线1l 、2l ，当直线1l 、2l 关于直线:1l y x =+对称时，A ．3BC D ．210．已知圆：224430x y x y ++--=，动点在圆：224120x y x +--=上，则12PC C △面积的最大值为A ．B ．C ．D ． 11．已知直线()1:220l ax a y +++=，2:10l x ay ++=．若12l l ∥，则实数a =__________．12．[2017江苏]在平面直角坐标系xOy 中，(12,0),(0,6),A B -点P 在圆22:50O x y +=上，若20PA PB ⋅≤，则点P 的横坐标的取值范围是 ．13．[2017新课标III 理]已知抛物线C ：22y x =，过点（2，0）的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆.（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点()4,2P -，求直线l 与圆M 的方程.14．已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，且y 轴和直线C 相切．（1）求圆C 的标准方程；（2）设点()0,1P ，若直线y x m =+与圆C 相交于M ，N 两点，且MPN ∠为锐角，求实数m 的取值范围．________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________。

2．函数与导数1．【2018年浙江卷】函数y=sin2x的图象可能是A. B.C. D.2．【2018年理天津卷】已知，，，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D.3．【2018年理新课标I卷】已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A. [–1，0）B. [0，+∞）C. [–1，+∞）D. [1，+∞）4．【2018年理新课标I卷】设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为A. B. C. D.5．【2018年全国卷Ⅲ理】设，，则A. B. C. D.6．【2018年理数全国卷II】已知是定义域为的奇函数，满足．若，则A. B. 0 C. 2 D. 507．【2018年理数全国卷II】函数的图像大致为A. AB. BC. CD. D8．【2018年浙江卷】已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．9．【2018年浙江卷】我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。

凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为，，，则当时，___________，___________．10．【2018年理数天津卷】已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是______________.11．【2018年江苏卷】若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为________．12．【2018年江苏卷】函数满足，且在区间上，则的值为________．13．【2018年江苏卷】函数的定义域为________．14．【2018年理新课标I卷】已知函数，则的最小值是_____________．15．【2018年全国卷Ⅲ理】函数在的零点个数为________．16．【2018年全国卷Ⅲ理】曲线在点处的切线的斜率为，则________．[来源:Z#xx#] 17．【2018年理数全国卷II】曲线在点处的切线方程为__________．18．【2018年浙江卷】已知函数f(x)=-ln x．（Ⅰ）若f(x)在x=x1，x2(x1≠x2)处导数相等，证明：f(x1)+f(x2)>8-8ln2；（Ⅱ）若a≤3-4ln2，证明：对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点．19．【2018年理数天津卷】已知函数，，其中a>1.[来源:]（I）求函数的单调区间；（II）若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，证明；（III）证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.20．【2018年理北京卷】设函数=[]．（Ⅰ）若曲线y= f（x）在点（1，）处的切线与轴平行，求a；（Ⅱ）若在x=2处取得极小值，求a的取值范围．21．【2018年江苏卷】记分别为函数的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“S点”．[来源:学,科,网]（1）证明：函数与不存在“S点”；（2）若函数与存在“S点”，求实数a的值；（3）已知函数，．对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“S点”，并说明理由．22．【2018年江苏卷】某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABC D，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设OC与MN所成的角为．。

专题01 集合与常用逻辑用语易错点1 忽略集合中元素的互异性设集合2{},,,1,{,}A x x xy B x y ==，若A B =，则实数,x y 的值为 A ．1x y =⎧⎨∈⎩RB ．1x y =-⎧⎨=⎩C ．11x y =⎧⎨=⎩D ．1x y =⎧⎨∈⎩R 或10x y =-⎧⎨=⎩或11x y =⎧⎨=⎩【错解】由A B =得21x xy y ⎧=⎨=⎩或21x y xy ⎧=⎨=⎩，解得1x y =⎧⎨∈⎩R 或10x y =-⎧⎨=⎩或11x y =⎧⎨=⎩，所以选D.【参考答案】B集合中元素的特性：（1）确定性. 一个集合中的元素必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合；（2）互异性. 集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素 （3）无序性. 集合与其中元素的排列顺序无关，如a ，b ，c 组成的集合与b ，c ，a 组成的集合是相同的集合．这个特性通常被用来判断两个集合的关系1．已知集合2{2,2}A m m m =++，若3A Î，则m 的值为________． 【解析】由题意得23m +=或223m m +=，则1m =或32m =-. 当1m =时，23m +=且223m m +=，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当32m =-时，122m +=，而223m m +=，故32m =-. 【答案】32-易错点2 误解集合间的关系致错已知集合{}{|0,1}A B x x A ==⊆，，则下列关于集合A 与B 的关系正确的是 A ．A B ⊆ B ．A ⊂≠B C ．B ⊂≠AD ．A B ∈【错解】因为x A ⊆，所以{}{}{}01{0,1}B =∅，，，，所以A ⊂≠B ，故选B.【参考答案】D（1）元素与集合之间有且仅有“属于（∈）”和“不属于（∉）”两种关系，且两者必居其一.判断一个对象是否为集合中的元素，关键是看这个对象是否具有集合中元素的特征. （2）包含、真包含关系是集合与集合之间的关系，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A B ⊆（或B A ⊇）；如果集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，且x A ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作A B ⊂≠（或B A ⊃≠）.2．已知集合{}{|0,1}A B x x A ==∈，，则下列关于集合A 与B 的关系正确的是 A ．A B = B ．A ⊂≠B C ．B ⊂≠AD ．A B ∈【答案】A易错点3 忽视空集易漏解已知集合2{|3100}A x x x =--?，{|121}B x m x m =+＃-，若A B A =，则实数m 的取值范围是 A ．[3,3]- B ．[2,3] C ．(,3]-∞D ．[2,)+∞【错解】∵23100x x --?，∴25x -＃，∴{|25}A x x =-＃.由AB A =知B A ⊆，∴21215m m -≤+⎧⎨-≤⎩，则33m -≤≤.∴m 的取值范围是33m -≤≤.【错因分析】空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往容易因忽略空集的特殊性而导致漏解.由并集的概念知，对于任何一个集合A ，都有AA ∅=，所以错解中忽略了B =∅时的情况.【参考答案】C（1）对于任意集合A ，有A∅=∅，A A ∅=，所以如果A B =∅，就要考虑集合A B或可能是∅；如果AB A =，就要考虑集合B 可能是∅.（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，即A ∅⊆，()B B ⊂∅≠∅≠.3．若{|}34211{|}A x x B x m x m =≤≤=-≤≤+-，，若B A ⊆，则实数m 的取值范围是 A ．[1,3]- B ．[2,)+∞ C ．[1,2]-D ．[1,)-+∞【解析】当B =∅时，211m m ->+，∴m >2；当B ≠∅时，由题意，得21314211m m m m -≥-⎧⎪+≤⎨⎪-≤+⎩，解得12m -≤≤.∴m ≥−1，即所求m 的取值范围是[1,)-+∞. 【答案】D易错点4 A 是B 的充分条件与A 的充分条件是B 的区别设,a b ∈R ,则“4>+b a ”是“2,2>>b a 且”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【错解】选A.【参考答案】B（1）“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ，即B ⇒A 且A /ÞB ； （2）“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A ，即A ⇒B 且B /ÞA .4．已知，b ∈R ，若221a b +≥的一个充分不必要条件是ab m ≤(0)m <，则实数m 的取值范围是AB ．(],2-∞-CD ．[)2,0-为221a b +≥的一个充分不必要条件是ab m ≤(0)m <，则【答案】A易错点5 命题的否定与否命题的区别命题“()**n f n ∀∈∈N N ，且()f n n ≤”的否定形式是A ．()**()n f n f n n ∀∈∉>N N ，且B ．**()()n f n f n n ∀∈∉>N N ，或C ．**0000)()(n f n f n n ∃∈∉>N N ，且D ．**0000()()n f n f n n ∃∈∉>N N ，或【错解】错解1：“*0n ∀∈N ”的否定为“*0n ∃∈N ”，“()*f n ∈N 且()f n n ≤”的否定为“()*0f n ∉N 且00()f n n >”，故选C.【参考答案】D1．命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p ，则q ”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p ”，只是否定命题p 的结论． 2．命题的否定（1）对“若p ，则q ”形式命题的否定； （2）对含有逻辑联结词命题的否定； （3）对全称命题和特称命题的否定．（4）全称（或存在性）命题的否定与命题的否定有着一定的区别，全称（或存在性）命题的否定是将其全称量词改为存在量词（或存在量词改为全称量词），并把结论否定，而命题的否定则直接否定结论即可．从命题形式上看，全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题．5．已知2||1:523,:045p x q x x ->>+-，则¬p 是¬q A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A的否定形式错误地认为：一、集合1．元素与集合的关系：a A a A∈⎧⎨∉⎩属于，记为不属于，记为.2．集合中元素的特征：（1）确定性：一个集合中的元素必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合.（2）互异性：集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素. （3）无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如a ，b ，c 组成的集合与b ，c ，a 组成的集合是相同的集合．这个特性通常被用来判断两个集合的关系.3．常用数集及其记法：4．集合间的基本关系个元素，则有2n个子集，有5．集合的基本运算={|B x x|{B x x =A B A ⊆ A B B ⊆ A A A = A ∅=∅ A B B A = A B A ⊇A B B ⊇A A A =A A ∅=A B BA =()U A A =U U =∅U U ∅=)A A =∅)A U =(.)U UU B AB A A B B A B A B ⇔=⇔=⇔⊇=⇔∅痧?二、命题及其关系、充分条件与必要条件 1．四种命题2．四种命题间的关系都是3．充分条件与必要条件的概念(1)若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件； (2)若p ⇒q 且q /⇒p ，则p 是q 的充分不必要条件； (3)若p /⇒q 且q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件； (4) 若p ⇔q ，则p 是q 的充要条件；(5) 若p /⇒q 且q /⇒p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件.(1)等价转化法判断充分条件、必要条件①p 是q 的充分不必要条件⇔q ⌝是p ⌝的充分不必要条件； ②p 是q 的必要不充分条件⇔q ⌝是p ⌝的必要不充分条件；③p 是q 的充要条件⇔q ⌝是p ⌝的充要条件；④p 是q 的既不充分也不必要条件⇔q ⌝是p ⌝的既不充分也不必要条件.④若B A ⊂≠，则p 是q 的必要不充分条件； ⑤若A B =，则p 是q 的充要条件；⑥若A B ⊂≠且B A ⊂≠，则p 是q 的既不充分也不必要条件. 三、逻辑联结词、全称量词与存在量词2．复合命题的真假判断“p 且q ”“p 或q ”“非p ”形式的命题的真假性可以用下面的表（真值表）来确定：3．全称量词和存在量词4．含有一个量词的命题的否定全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，如下所示：含有逻辑联结词的命题的真假判断： 中一假则假，全真才真． 中一真则真，全假才假．1．[2017新课标Ⅱ卷理]设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1AB =，则B =A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,5【答案】C2．[2017新课标Ⅲ卷理]已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│，B ={}(,)x y y x =│，则A B 中元素的个数为 A ．3 B ．2 C ．1D ．0【答案】B【解析】集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆221x y +=与直线y x =相交于两点⎝⎭，⎛ ⎝⎭，则A B 中有2个元素.故选B.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.3．[2016浙江卷理]命题“*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x ≥”的否定形式是 A ．*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x < B ．*x n ∀∈∀∈，R N ，使得2n x < C ．*x n ∃∈∃∈，R N ，使得2n x <D ．*x n ∃∈∀∈，R N ，使得2n x <【答案】D【解析】∀的否定是∃，∃的否定是∀，2n x ≥的否定是2n x <．故选D ．4．[2017北京卷理]设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【名师点睛】判断充分必要条件的的方法：（1）根据定义，若,p q q p ⇒≠>，那么p 是q 的充分不必要条件，同时q 是p 的必要不充分条件；若p q ⇔，那么p ，q 互为充要条件；若,p q q p ≠>≠>，那么就是既不充分也不必要条件.（2）当命题是以集合形式给出时，那就看包含关系，已知:,p x A ∈:q x B ∈,若A B ≠⊂，那么p 是q 的充分不必要条件，同时q 是p 的必要不充分条件；若A B =，那么p ，q 互为充要条件；若没有包含关系，那么就是既不充分也不必要条件.（3）命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将p 是q 条件的判断，转化为q ⌝是p ⌝条件的判断.5．[2017天津卷理]设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】πππ||012126θθ-<⇔<<1sin 2θ⇒<，但0θ=时1sin 02θ=<，不满足ππ||1212θ-<，所以“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的充分而不必要条件，故选A ． 【名师点睛】本题考查充要条件的判断，若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，若q p ⇒，则p 是q 的必要条件，若p q ⇔，则p 是q 的充要条件；从集合的角度看，若A B ⊆，则A 是B 的充分条件，若B A ⊆，则A 是B 的必要条件，若A B =，则A 是B 的充要条件，若A 是B 的真子集，则A 是B 的充分而不必要条件，若B 是A 的真子集，则A 是B 的必要而不充分条件．6．已知集合{}|00{},1x x ax +==，则实数a 的值为 A ．−1 B ．0 C ．1D ．2【答案】A【解析】由题意，1+a =0，∴a =−1，本题选择A 选项.7．已知集合{|12},{|14,}A x x B x x x =-≤≤=-<<∈Z ，则A B =A ．{}0,1,2B ．[]0,2C ．{}0,2D ．()0,28．设命题p :1,ln x x x ∀>>,则p ⌝为 A ．0001,ln x x x ∃>> B ．0001,ln x x x ∃≤≤ C ．0001,ln x x x ∃>≤D ．1,ln x x x ∀>≤【答案】C【解析】命题p :1,ln x x x ∀>>，则p ⌝为0001,ln x x x ∃>≤.故选C. 9．“若12a ≥，则0x ∀≥，都有()0f x ≥成立”的逆否命题是 A ．0x ∃<，有()0f x <成立，则12a <B ．0x ∃<，有()0f x ≥成立，则12a <C ．0x ∀≥，有()0f x <成立，则12a <D ．0x ∃≥，有()0f x <成立，则12a <【答案】D【解析】由原命题与逆否命题的关系可得：“若12a ≥，则0x ∀≥，都有()0f x ≥成立”的逆否命题是“0x ∃≥，有()0f x <成立，则12a <”.本题选择D 选项.10．已知集合(){,|1,01}A x y y x x ==+≤≤，集合(){,|2,010}B x y y x x ==≤≤，则集合AB =A ．{}1,2B ．{}1,2x y ==C ．(){}1,2D ．{}1,2x x ==【答案】C11．已知集合，，若，则实数的取值范围是A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意可知：，结合集合B 和题意可得实数的取值范围是.本题选择A 选项.12．“1m >”是“函数在区间[)1,+∞无零点”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若函数在区间[)1,+∞无零点，则A. 13．设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使A ．=-a bB ．∥a bC ．2=a bD ．∥a b 且【答案】C【解析】因为=-a b 时表示两向量的方向相反，所以不是充分条件；当∥a b 时，也不能当2=a b 时，能够推出而∥a b 且 应选C.14．已知命题p :对任意x ∈R ,总有20;:1xq x >>是2x >的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是A ．p q ∧⌝B ．p q ⌝∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ∧【答案】A15．已知命题p ：“关于x 的方程240x x a -+=有实根”，若p ⌝为真命题的充分不必要条件为31a m >+，则实数m 的取值范围是 A ．[)1,+∞ B ．()1,+∞ C ．(),1-∞D ．(],1-∞【答案】B【解析】命题p ：4a ≤，p ⌝为4a >，又p ⌝为真命题的充分不必要条件为31a m >+，故3141m m +>⇒>16．在射击训练中，某战士射击了两次，设命题p 是“第一次射击击中目标”，命题q 是“第二次射击击中目标”，则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是A ．()()p q ⌝∨⌝为真命题B ．()p q ∨⌝为真命题C ．()()p q ⌝∧⌝为真命题D ．p q ∨为真命题【答案】A 【解析】命题p 是“第一次射击击中目标”，命题q 是“第二次射击击中目标”，则命题p ⌝是“第一次射击没击中目标”，命题q ⌝是“第二次射击没击中目标”，∴命题 “两次射击中至少有一次没有击中目标”是()()p q ⌝∨⌝，故选A.17．已知集合{}1,2,21A m =--，集合{}22,B m =，若B A ⊆，则实数m =________．【答案】1(3)防范空集.在解决有关,AB A B =∅⊆等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解.18．若命题“2000,20x x x m ∃∈-+≤R ”是假命题，则m 的取值范围是__________．【答案】()1,+∞【解析】因为命题“2000,20x x x m ∃∈-+≤R ”是假命题，所以2,20x x x m ∀∈-+>R 为真命题，即440,1m m ∆=-<>，故答案为()1,+∞.19．已知条件()2:log 10p x -<，条件:q x a >，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是______．【答案】(],0-∞【解析】条件p :log 2(1−x )<0，∴0<1−x <1，解得0<x <1. 条件q :x >a ，若p 是q 的充分不必要条件，∴0a ≤. 则实数a 的取值范围是：(−∞,0]. 故答案为：(−∞,0].20．设U =R ，集合()22{|320}{|10}A x x x B x x m x m =++==+++=，，若()UA B =∅ð，则m =_________.【答案】1或221．设有两个命题，p :关于x 的不等式1x a >（0a >,且1a ≠）的解集是{|0}x x <；q :函数()2lg y ax x a =-+的定义域为R .如果p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，则实数a 的取值范围是_________. 【答案】1(0,][1,)2+∞ 【解析】易知p :0<a <1.函数()2lg y ax x a =-+的定义域为R ，等价于2,0x ax x a ∀∈-+>R ，则：20140a a ∆>⎧⎨=-<⎩，解得：若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，则p 真q 假或p 假q 真，p 真qp 假q ，即1a ≥. 所以实数a 的取值范围是1(0,][1,)2+∞.【名师点睛】若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相对，作出判断即可．________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________。