2019-2020学年广东省汕头市金山中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．设集合P ＝{x |x ＞1}，Q ＝{x |x 2－x ＞0}，则下列结论正确的是( ) A ．P ⊆Q B ．Q ⊆P C ．P ＝Q D ．P ∪Q ＝R【答案】A【解析】(,0)(1)Q =-∞⋃+∞， ,所以P ⊆Q , 选 A. 2．已知1cos()23πα-=，则cos(2)πα-=（ ）A ．9-B ．9C ．79-D ．79【答案】C【解析】分析：首先应用三角函数的诱导公式，根据1cos 23πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，求得1sin 3α=，再利用诱导公式，将()cos 2πα-转化为cos2α-，最后应用余弦的倍角公式2cos 212sin αα=-从而求得结果.详解：()()2117cos sin cos 2cos212sin 2339πααπααα⎛⎫-=∴=∴-=-=--=- ⎪⎝⎭Q ，故选择C ．点睛：该题考查的是有关三角函数求值问题，所涉及的知识点有诱导公式和余弦的倍角公式，在解题的过程中，需要时刻保证相应的公式的正确性，最后算出结果即可. 3．已知角α的终边经过点()3,4-，则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．725-B ．1825-C ．1225-D ．10【答案】D【解析】由已知结合三角函数定义，求出sin ,cos αα，再用两角和正弦公式，即可求解.【详解】角α的终边经过点()3,4-，则5r ==，43sin ,cos 55αα∴==-，43sin sin cos cos sin ()44425510πππααα⎛⎫+=+=-= ⎪⎝⎭. 故选:D. 【点睛】本题考查三角函数的定义，以及两角和的正弦求值，属于基础题.4．设D 为ABC ∆所在平面内一点，若3BC CD =u u u r u u u r，则下列关系中正确的是（ ）A ．1433AD AB AC =-+u u u r u u ur u u u rB ．1433AD AB AC =-u u u r u u u r u u u rC ．4133AD AB AC =+u u u r u u u r u u u rD ．4133AD AB AC =-u u u u u u u ru u u r u u u r【答案】A 【解析】【详解】 ∵3BC CD u u u v u u u v=∴AC u u u v −AB u u u v =3(AD uuu v −AC u u uv )；∴AD uuu v =43AC u u uv −13AB u u u v .故选A.5．设3ln2a =，32logb e=，实数c 满足ln c e c -=，（其中e 为自然常数），则（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．c b a >>【答案】B【解析】根据对数函数的单调性可判断1,2a b <>，设()ln ,xf x x e c -=-是()f x 的零点，根据()f x 的单调性，c 为函数()f x 唯一零点，判断(1),(2)f f 的正负，即可求解. 【详解】3lnln 1,12e a <=∴<，233223log log ()2,22e b >=∴>， 设()ln ,xf x x e c -=-是()f x 的零点，()f x 在(0,)+∞是增函数，c 为函数()f x 唯一零点，1(1)ln10f e -=-<， 2211(2)ln 20,122f e c e-=->-><<， b c a ∴>>.故选:B. 【点睛】本题考查比较数的大小，考查对数函数的单调性，以及函数零点所在区间的判断，要注意与特殊数对比，属于中档题. 6．函数()2sin()0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-<<⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ω，ϕ的值分别是（ ）A ．2，6π B ．2，3π-C ．4，6π-D ．4，3π 【答案】B【解析】根据图像最高点与相邻最低点的横坐标，求出周期，进而求出ω，再由最高点（或最低点）坐标结合正弦函数用整体代换求出ϕ的值，结合其范围，即可求解. 【详解】根据图像可得周期11522(),21212T ππππωω=-==∴=， 再由最高点的横坐标为512π，可得522()122k k Z ππϕπ⋅+=+∈，2(),,2233k k Z ϕϕπϕππππ-<<∴∴=-∈=+-Q .故选:B.【点睛】本题考查由图像求参数，考查三角函数的性质，属于基础题.7．要得到函数cos 2y x =的图象，只要将函数cos 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ）A ．向左平移4π个单位 B ．向右平移4π个单位C ．向左平移8π个单位 D ．向右平移8π个单位 【答案】D【解析】cos 2y x =化为cos(2())84y x ππ=-+，再根据图像平移规律，即可得到结论. 【详解】cos(2()8co )4s 2x y x ππ-+==，只需将cos 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图像向右平移8π个单位， 得到cos 2y x =的图像. 故选:D. 【点睛】本题考查三角函数图像之间的平移关系，属于基础题.8．函数2()1xx xe f x e =+的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】求得函数在x>0时()f x >0，在x<0时()f x <0，从而排除即可得到答案． 【详解】函数在x>0时()2e 1x xx f x e =+>0，排除C 、D ，在x<0时()2e 1xx x f x e =+<0，排除B ， 故选A. 【点睛】本题考查了函数的图象的应用，注意确定函数在某区间的值域，从而利用排除法求解即可．9．已知函数2()33x x f x -=+，则（ ） A ．()f x 在(0,2)单调递增B ．()f x 在(0,2)单调递减C ．()y f x =的图像关于直线1x =对称D ．()y f x =的图像关于y 轴对称【答案】C【解析】令930,xt y t t =>=+，根据对勾函数性质可得函数9y t t=+单调区间，以及指数函数3x t =单调性，结合复合函数的单调性，可得()f x 在(,1)-∞单调递减，(1,)+∞单调递增，所以选项A,B 错误；选项C ，判断(2),()f x f x -是否相等；选项D ，判断()f x -与()f x 是否有相等，或先取两个互为相反数的自变量计算函数值是否相等，若不相等，则否定，若相等，再算一般情况()f x -与()f x . 【详解】930,x t y t t=>=+，根据对勾函数的图像特征，9y t t =+在(0,3)单调递减，在(3,)+∞单调递增，3x t =在R 上单调递增，根据复合函数的单调性可得，当(0,3)t ∈，即(,1)x ∈-∞，函数2()33x xf x -=+单调递减， 当(3,)t ∈+∞，即(1,)x ∈+∞，函数2()33xxf x -=+单调递增，所以选项A,B 错误； 由22(2)2(2)3333()xx x x f x f x -----=+=+=，()y f x =的图像关于直线1x =对称，选项C 正确；由82(1)6,(1)3f f =-=，()y f x =的图像不关于y 轴对称， 选项D ，错误. 故选C. 【点睛】本题考查函数的单调性，涉及到指数函数、对勾函数、复合函数的单调性判断，考查函数的对称性，属于中档题.10．函数()sin 2cos f x x x =+的值域为（ ）A ．⎡⎣B ．[]1,2C ．⎡⎣D ．5⎣ 【答案】A【解析】如何去函数()f x 中的绝对值，需判断sin ,cos x x 的正负，将x 的范围缩小，考虑周期性，只要研究一个周期的值域即可，而()()f x f x π+=，周期为π，取[0,]x π∈，对()f x 分段讨论，由辅助角公式，结合正弦函数的值域，即可求解.【详解】()=sin()2cos()()f x x x f x πππ++++=，所以()f x 周期为π，取[0,]x π∈，当()[0,],sin 2cos )2x f x x x x πϕ∈=+=+，其中sin2x πϕϕϕϕϕ==≤+≤+，当2x πϕ+=时，max ()f x =sin()12πϕϕϕ=+==，min ()1f x =；当()(,],sin 2cos )2x f x x x x ππϕ∈=-=-，其中sin2x πϕϕϕϕπϕ==-≤-≤-，当2x πϕ-=时，max ()f x =sin())22πϕϕπϕϕ-==-==， min ()1f x =；[0,],()x f x π∈∈，()f x Q 周期为π，所以()f x 的值域为. 故选:A. 【点睛】本题考查三角函数的化简，以及三角函数的性质，确定周期、分类讨论去绝对值是解题的关键，属于中档题.二、多选题11．关于函数21()lg (0)||x f x x x +=≠，有下列结论，其中正确的是（ ） A ．其图象关于y 轴对称； B ．()f x 的最小值是lg 2；C ．当0x >时，()f x 是增函数；当0x <时，()f x 是减函数；D ．()f x 的增区间是(1,0)-，(1,)+∞； 【答案】ABD【解析】可证()()f x f x -=，选项A 正确；令21||x t x +=，求出t 的最小值为2， 可判断选项B 正确；当0x >，由对勾函数的性质可得函数211||x t x x x+==+单调区间，结合复合函数单调性，可判断选项C 错误，运用偶函数的对称性，求出0x <时，()f x 单调区间，可判断选项D 正确. 【详解】2()1()lg ()||x f x f x x -+-==-，()f x 是偶函数，选项A 正确；令211||2||||x t x x x +==+≥，lg y t =在(0,)+∞上是单调递增， lg lg 2y t =≥，所以()f x 的最小值为lg 2，选项B 正确；当0x >时，211x t x x x +==+，根据对勾函数可得，1t x x=+单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1,)+∞， lg y t =在(0,)+∞上是单调递增，所以()f x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增，选项C 错误； 根据偶函数的对称性，()f x 在(,1)-∞-单调递减，在(1,0)-单调递增， ()f x 的增区间是(1,0)-，(1,)+∞，选项D 正确.故选:ABD. 【点睛】本题考查函数的性质，涉及到函数奇偶性、单调性、最值，考查对数函数和对勾函数的性质，应用复合函数的关系是解题的关键，属于中档题.12．已知函数()sin |cos |f x x x =⋅，给出下列结论，其中正确的是（ ） A ．()f x 的图象关于直线2x π=对称；B ．若12|()||()|f x f x =，则12()x x k k π=+∈Z ；C ．()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增； D ．()f x 的图象关于点,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称.【答案】AC【解析】求出()f x π-，判断()()f x f x π-=，选项A 正确；取特值验证当12|()||()|f x f x =时，12()x x k k π=+∈Z 不成立，选项B 错误；1,,cos 0,()sin 2442x x f x x ππ⎡⎤∈->=⎢⎥⎣⎦，可判断选项C 正确；求出()f x π--，可判断()()0f x f x π--+≠，选项D 错误. 【详解】()sin()|cos()|sin |cos |()f x x x x x f x πππ-=-⋅-=⋅=,()f x 的图象关于直线2x π=对称，选项A 正确；当125,66x x ππ==时，满足12|()||()|f x f x =， 而1223x x π-=-，不满足12()x x k k π=+∈Z ，选项B 错误；1,,cos 0,()sin 2442x x f x x ππ⎡⎤∈->=⎢⎥⎣⎦，2212,,()sin 22x f x x ππ⎡⎤∈-=⎢⎥⎣⎦单调递增，选项C 正确；()sin()|cos()|sin |cos |()f x x x x x f x πππ--=--⋅--=⋅=，不关于点,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称，选项C 错误.故选:AC. 【点睛】本题考查三角函数的化简以及函数的性质，解题的关键要掌握对称关系的代数表示，考查化归转化数学思想，属于中档题.三、填空题13．已知平面向量(4,3)a =r ，(6,)b m =r ，若a r与2b a -r r 平行，则m =________.【答案】92【解析】求出2b a -r r的坐标，再利用共线向量的坐标关系，即可求解. 【详解】(4,3)a =r ，(6,)b m =r ，2(8,23)b a m -=-r r， //2,6(23)80a b a m m -∴--=r r r Q ，解得92m =.故答案为:92. 【点睛】本题考查平面向量的坐标表示，涉及到平面向量的线性运算、共线向量的坐标关系，属于基础题.14．已知函数22)()4x f x x-=+，若()5f a =，则()f a -=________. 【答案】3【解析】根据已知与所求的自变量关系，考虑利用奇偶性求函数值，但()f x 不具有奇偶性，可以考查局部奇偶性，令()g x =则()()4f x g x =+，可证()g x 是奇函数，即可求解. 【详解】令22)()x g x x=，222)()()0x x g x g x x +-+==, ()(),()g x g x g x -=-∴是奇函数，()()45,()1,()1f a g a g a g a =+==∴-=-， ()()43f a g a -=-+=.故答案为:3.【点睛】本题考查函数求值，实际是考查函数的性质应用，解题的关键要把问题化归为函数的奇偶性，属于中档题. 15．函数221()3x xy +=的单调递减区间为________；值域是________.【答案】[1,)-+∞ (0,3]【解析】令212,()3uu x x y =+=，根据复合函数单调性原则，只需求出22u x x =+的单调递增区间即可，求出22u x x =+的值域，利用1()3uy =单调性，即可求出值域. 【详解】212,()3u u x x y =+=在实数R 上是单调递减，222(1)1u x x x =+=+-在[1,)-+∞上单调递增，在(,1)-∞-上单调递减，根据复合函数的单调性， 函数()f x 的单调递减区间是[1,)-+∞，221112(1)11()()333u u x x x y -=+=+-≥-=≤=，，0,()y f x >∴Q 的值域为(0,3].故答案为：（1）[1,)-+∞；（2）(0,3]. 【点睛】本题考查指数型函数的性质，运用换元方法，转化为复合函数的单调性，注意指数型函数值大于零不要遗漏，属于中档题.16．已知平面向量a r 与b r 的夹角为34π，且||1a =r ，||b =r |2|a b -=r r ________.【解析】利用模长关系有22|2|(2)a b a b -=-r r r r ，按向量数量积的运算即可求解，然后开方，可得出结论. 【详解】2222|2|(2)=44a b a b a a b b -=--⋅+r r r r r r r r .=4141(2102⨯-⨯-+=，|2|a b ∴-=r r故答案为. 【点睛】本题考查向量的模长，考查向量的数量积，属于基础题.17．已知函数42,0()log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，若1[()]2f f a =-，则a 的值是________.【答案】-1或2【解析】根据函数值的正负，由1[()]02f f a =-<，可得()0f a >，求出()f a ，再对a 分类讨论，代入解析式，即可求解. 【详解】当0x ≤时，()0,f x >1[()]02f f a =-<， 411[()]log (()),()22f f a f a f a ∴==-∴=，当410,()log ,22a f a a a >==∴=，当10,()2,12aa f a a ≤==∴=-，所以1a =-或2a =. 故答案为:1-或2. 【点睛】本题考查求复合函数值，认真审题理解分段函数的解析式，考查分类讨论思想，属于中档题.18．已知函数2()(0)f x ax bx c a =++≠有零点，且()f x 的零点都是函数(())f f x 的零点；反之，(())f f x 的零点都是()f x 的零点.则实数b 的取值范围是________. 【答案】[0,4)【解析】由()f x 的零点是函数(())f f x 的零点，可得0c =，设(())f f x 的零点零点为n ，可得()0f n =或者()b f n a =-，而n 也为()f x 的零点，得出0b a -=或()bf n a=-无解，即可求出b 的范围. 【详解】若m 为()f x 的零点，则()0f m =，m 也是(())f f x 的零点，(())(0)0f f m f c ===，2=0,0ax bx x +=或b x a=-， 设n 设(())f f x 的零点，则有(())0,()0f f n f n ==或()b f n a=-， 而n 是()f x 的零点，()0,0,0b f n b a =∴-==或()bf n a=-无解， 即20ban bn a++=没有实数解240,04b b b ∆=-<∴<<， 综上实数b 的取值范围是[0,4). 故答案为:[0,4). 【点睛】本题考查函数零点，考查二次函数根的判别式，考查分析问题，解决问题能力，属于较难题.四、解答题19．已知函数22()cos cos sin 1()f x x x x x x =⋅+--∈R . （1）求函数()y f x =的单调递增区间； （2）若5,012x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求()f x 的取值范围. 【答案】（1）,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）[3,0]- 【解析】（2）用二倍角公式和辅助角公式化简可得()2sin(2)16f x x π=+-，整体替换正弦函数的递增区间，即可求解； （2）由5,012x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求出26x π+范围，结合正弦函数图像，即可求解.【详解】解：（1）由题设()2cos212sin(2)16f x x x x π=+-=+- 由222()262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，解得()36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，故函数()y f x =的单调递增区间为,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）由5012x π-≤≤，可得22366x πππ-≤+≤∴11sin(2)62x π≤+≤- 于是32sin(2)106x π≤+-≤-.故()y f x =的取值范围为[3,0]- 【点睛】本题考查三角恒等变换化简三角函数，考查三角函数的性质，解题的关键应用整体思想转化为考查正弦函数的性质，属于基础题.20．已知向量(sin ,cos 2sin )a θθθ=-r ，(1,2)b =r，[0,2]θπ∈.（1）若a b ⊥r r，求21sin 2cos θθ+的值；（2）若函数2()(3sin )1f x x a b x θ=+⋅+-r r在区间1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上是增函数，求θ的取值范围. 【答案】（1）1321；（2）240,,233πππ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【解析】（1）由已知结合向量垂直数量积关系，求出2tan 3θ=，把所求的式子“1”用22sin cos αα+替换，化为齐次分式，进而化为tan α，即可求解；（2）求出2()2cos 1f x x x θ=+-，要使函数1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，对称轴不在区间之间，求出cos θ范围，结合θ范围，即可求解. 【详解】解：（1）∵a b ⊥r r ，∴sin 2(cos 2sin )0θθθ+-=，即2tan 3θ=，∴原式2222sin cos 1tan 132sin cos cos 2tan 121θθθθθθθ++===++； （2）∵22()(3sin )12cos 1f x x a b x x x θθ=+⋅+-=+-r r在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增， ∴1cos 2x θ=-≤，即1cos 2θ≥-； 又[0,2]θπ∈，∴240,,233ππθπ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∈ 【点睛】本题以向量为背景，考查三角函数求值以及三角不等式的求解，解题的关键是化齐次分式、化弦为切，也考查二次函数的性质，属于基础题.21．某自来水厂的蓄水池有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t 小时内供水总量为024t ≤≤． （Ⅰ）从供水开始到第几小时，蓄水池中的存水量最少？ 最少水量是多少吨？ （Ⅱ）若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，大约有几小时出现供水紧张现象？ 【答案】（Ⅰ）6（Ⅱ）8【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）函数应用题，关键在于正确理解题意：存水量为蓄水池原有水量加上注水量，减去供水量，即存水量40060y t =+-[1,24]，所以当6t =时，min 40y =，（Ⅱ）先由题意得：y ≤80时，就会出现供水紧张．由此建立关于x 的不等关系，最后解此不等式即得一天中会有多少小时出现这种供水紧张的现象． 试题解析：（Ⅰ））设供水t 小时，水池中存水y 吨．则40060y t =+-240=+(124)t ≤≤当6t =时，min 40y =，故从供水开始到第6小时，蓄水池中的存水量最少，最少水量为40吨．（Ⅱ=x ；则x 2＝6t ，即y ＝400+10x 2﹣120x ； 依题意400+10x 2﹣120x ＜80，得x 2﹣12x +32＜0,解得，4＜x ＜8，即48，83233t ＜＜； 即由328833-=，所以每天约有8小时供水紧张． 答：一天24小时内大约有8小时出现供水紧张． 【考点】函数应用题 【名师点睛】 解函数应用问题的步骤（1）审题：数学应用问题的文字叙述长，数量关系分散且难以把握．因此，要认真读题，缜密审题，准确理解题意，明确问题的实际背景，收集整理数据信息，这是解答数学问题的基础．（2）建模：在明确了问题的实际背景和收集整理数据信息的基础上进行科学的抽象概括，将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，合理引入自变量，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式（也叫目标函数），将实际问题转化为数学问题，即实际问题数学化，建立数学模型．（3）解模：利用数学的方法将得到的常规数学问题（即数学模型或目标函数）予以解答，求得结果．（4）还原：将求解数学模型所得的结果还原为实际问题的意义，回答数学应用题提出的问题．22．已知函数2()f x ax x =-，()g x =(,)a b ∈R . （1）当0b =时，若()f x 在区间[2,4]上单调递减，求a 的取值范围；（2）求满足下列条件的所有实数对(),a b ：当a 是整数时，存在0x ，使得()0f x 是()f x 的最大值，()0g x 是()g x 的最小值； 【答案】（1）12a ≤；（2）()1,1--，()1,3- 【解析】（1）()24f x ax x =-，对()f x 开口方向，结合对称轴与区间[2,4]的关系，得出关于a 的不等式，即可求解；（2）根据已知可得0x x a ==，()g x 取得最小值，分析()f x 具有最大值的条件，求出,a b 的取值范围，进而得出()f x 是开口向下的抛物线，求出最大值时的0x 且等于a ，得出,a b 关系，利用,a b 范围，即可求解. 【详解】解：（1）当0b =时，()24f x ax x =-，若0a =，()4f x x =-，则()f x 在[2,4]上单调递减，符合题意.若0a ≠，则0442a a >⎧⎪⎨≥⎪⎩或0422a a<⎧⎪⎨≤⎪⎩，∴102a <≤或0a <，综上，12a ≤（2）若0a =，()f x =-， 则()f x 无最大值，故0a ≠，∴()f x 为二次函数，要使()f x 有最大值，必须满足2420a b b <⎧⎨+-≥⎩，即0a <且11b ≤≤此时，0x x ==()f x 有最大值.又()g x 取最小值时，0x x a ==，a =∈Z ，则2a ==，∵0a <且11b ≤≤∴)20a a <∈Z ， 得1a =-，此时1b =-或3b =.∴满足条件的实数对(),a b 是()1,1--，()1,3-. 【点睛】本题考查二次函数的性质，涉及到二次函数的单调性、最值，考查分析问题、解决问题能力，属于中档题.。
…○………____班级：_______…○………绝密★启用前上海市金山中学2019-2020学年高一上学期期中数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．如图， 为全集， 、 、 是 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A ．B ．C ．D ．2．下列各组函数中,表示同一函数的是( ) A ．2(),()=f x x g x =B ．()(f x g x =C ．1(0)1(0)()()=1(0)1(0)x x x x f x g x x x x x +>+≥⎧⎫⎧⎫=⎨⎬⎨⎬-≤-<⎩⎭⎩⎭,D ．{}{}()2()2(1)()=21f x x x g x xx =∈∈；3．已知()f x 是R 上的偶函数,且当()()20,1x f x x x >=- ,则0x <时,()f x = ( ) A ．2(1)x x -B ．2(1)x x +C ．2(1)x x --D ．2(1)x x -+4．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（ ）………线…………○……………线…………○……A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题5．集合{},,A a b c=有_______个子集.6．不等式11x-<的解集是.7．已知命题P是“若实数a、b满足1a>且2b>，则3a b+>”,则命题P的否命题是________.8．已知集合，，则________9．已知,,a b c∈R，则“a b>”是“22ac bc>”的_________条件(填:充分非必要、必要非充分、充分且必要、非充分非必要)10．已知，则的取值范围是________11．已知函数3()1f x ax bx=++，且(2)f-=3，则(2)f= ．12．已知不等式250ax x b-+>的解集是{}|32x x-<<-，则不等式250bx x a-+>的解集是_________.13．某班有50名学生报名参加A、B两项比赛，参加A项的有30人，参加B项的有33人，且A、B都不参加的同学比A、B都参加的同学的三分之一多一人，则只参加A项，14．若关于x 的不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<的解集是R ,则实数a 的取值范围是_______.15．已知函数， （ ），若不存在实数 使得 和 同时成立，则 的取值范围是________16．已知数集 （ ， ）具有性质 ：对任意 、 （ ）， 与 两数中至少有一个属于集合 ，现给出以下四个命题：①数集 具有性质 ；②数集 具有性质 ；③若数集 具有性质 ，则 ；④若数集 （ ）具有性质 ，则 ；其中真命题有________（填写序号） 三、解答题17．已知集合{}222,1,A a a a =+-，{0,B =7，25a a --，2}a -，且5A ∈，求集合B ．18．“0,0a b >>,≥除了用比较法证明外,还可以有如下证法: +≥+≥(当且仅当a b =时等号成立), ≥,尝试解决下列问题: (1)证明:若0,0,0a b c >>>，则222a b c a b c b c a++≥++,并指出等号成立的条件；(2)试将上述不等式推广到(2)n n ≥个正数121,,,,n n a a a a -⋅⋅⋅的情形,并加以证明. 19．某公司有价值10万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入，相应就要提高产品附加值，假设附加值y 万元与技术改造投入x 万元之间的关系满足：① y 与10x -和x 的乘积成正比；② 当5x =时，100y =；③02(10)x t x ≤≤-，其中t 为常数，且1[,1]2t ∈.（1）设()y f x =，求出()f x 的表达式，并求出()y f x =的定义域； （2）求出附加值y 的最大值，并求出此时的技术改造投入的x 的值.20．对于函数()f x ，若00()f x x =，则称0x 为()f x 的“不动点”；若00[()]f f x x =，则称0x 为()f x 的“稳定点”．函数()f x 的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即{}|()A x f x x ==，{}|[()]B x f f x x ==． （1）设函数()34f x x =+，求集合A 和B ． （2）求证：A B ⊆．（3）设函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且A =∅，求证：B =∅． 21．设数集A 由实数构成，且满足：若x A ∈（1x ≠且0x ≠），则11A x∈-. （1）若2A ∈，试证明A 中还有另外两个元素； （2）集合A 是否为双元素集合，并说明理由； （3）若A 中元素个数不超过8个，所有元素的和为143，且A 中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A .参考答案1．C【解析】【分析】先根据图中的阴影部分是M∩P的子集，但不属于集合S，属于集合S的补集，然后用关系式表示出来即可．【详解】图中的阴影部分是：M∩P的子集，不属于集合S，属于集合S的补集,即是C U S的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P）∩(∁U S).故选：C．【点睛】本题主要考查了Venn图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题．2．D【解析】【分析】若两个函数是同一个函数，则函数的定义域以及函数的对应关系都相同，所以只要逐一判断每个选项中定义域和对应关系是否都相同即可．【详解】对于A选项，f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为[0，+∞），∴不是同一函数．对于B选项，f（x）=（x≤﹣2，或x≥2）和g（x）=（x≥2）定义域不同，∴不是同一函数；对于C选项，当x=0时，对应关系不同，∴不是同一函数==g（x）对于D选项，f（x）的定义域与g（x）的定义域均为{1}，且f（x）2∴是同一函数故选：D．【点睛】本题主要考查了函数三要素的判断，只有三要素都相同，两函数才为同一函数，属基础题．3．B【解析】【分析】由x ＜0得﹣x ＞0，代入已知式子得f （﹣x ），由偶函数f （﹣x ）＝f （x ），可得f （x ）的解析式． 【详解】设x ＜0，则﹣x ＞0，∴()()()22()11f x x x x x -=-+=+，又∵y ＝f （x ）是R 上的偶函数， ∴f （﹣x ）＝f （x ）， ∴()()21f x x x =+，∴当x ＜0时，()()21f x x x =+．故选：B ． 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式的基础知识，是基础题目． 4．D 【解析】 【详解】解：对于A ，由图象可知当速度大于40km /h 时，乙车的燃油效率大于5km /L ， ∴当速度大于40km /h 时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km ，故A 错误； 对于B ，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B 错误； 对于C ，由图象可知当速度为80km /h 时，甲车的燃油效率为10km /L ，即甲车行驶10km 时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km ，燃油为8升，故C 错误； 对于D ，由图象可知当速度小于80km /h 时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率， ∴用丙车比用乙车更省油，故D 正确 故选：D ．考点：1、数学建模能力；2、阅读能力及化归思想. 5．8 【解析】【分析】集合{a ，b ，c }的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，包括空集得到结论． 【详解】集合{a ，b ，c }的子集有：∅，{a }，{b }，{c }，{a ，b }，{a ，c }，{c ，b }，{a ，b ，c }共8个． 故答案为：8 【点睛】本题考查集合的子集个数问题，对于集合M 的子集问题一般来说，若M 中有n 个元素，则集合M 的子集共有2n个． 6．(0,2) 【解析】由11102x x -<-<⇒<<.7．若实数a 、b 满足1a ≤或2b ≤，则3a b +≤ 【解析】 【分析】直接由否命题的定义得到结论. 【详解】由否命题的定义既否条件又否结论得：“若1a >且2b >，则3a b +>”的否命题为“若a ≤1或b ≤2，则a +b ≤3”， 故答案为：若实数a 、b 满足1a ≤或2b ≤，则3a b +≤ 【点睛】本题考查四种命题的关系，考查了否命题的形式，注意含“且”的命题，否定时要变为“或”，是易错题． 8． 【解析】 【分析】求出集合A,B ，即可得到 . 【详解】由题集合集合 故 . 故答案为 . 【点睛】本题考查集合的交集运算，属基础题 9．必要非充分 【解析】 【分析】当c ＝0时，a >b ⇏ac 2>bc 2；当ac 2＞bc 2时，说明c ≠0，有c 2＞0，得ac 2>bc 2⇒a >b ．显然左边不一定推导出右边，但右边可以推出左边． 【详解】 必要不充分条件当c ＝0时，a >b ⇏ac 2>bc 2； 反之当ac 2＞bc 2时，说明c ≠0， 则c 2＞0，得ac 2>bc 2⇒a >b ．显然左边不一定推导出右边，但右边可以推出左边，所以“a b >”是“22ac bc >”的必要非充分条件.故答案为：必要非充分． 【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，解题的关键是充分利用不等式的基本性质是推导不等关系，是基础题． 10． 【解析】 【分析】作出可行域，目标函数z=a-b 可化为b=a-z ，经平移直线可得结论． 【详解】作出 所对应的可行域，即（如图阴影），目标函数z=a-b 可化为b=a-z ，可看作斜率为1的直线， 平移直线可知，当直线经过点A （1，-1）时，z 取最小值-2， 当直线经过点O （0，0）时，z 取最大值0， ∴a-b 的取值范围是 ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题． 11．－1 【解析】试题分析：设3()()1g x f x ax bx =-=+，则()g x 是奇函数，(2)(2)1312g f -=--=-=，所以(2)(2)2g g =--=-，即(2)12f -=-，(2)1f =-． 考点：函数的奇偶性． 12．11(,)23-- 【解析】 【分析】根据不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-，求得,a b 的值，从而求解不等式250bx x a -+>的解集，得到答案.【详解】由题意，因为不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-，可得53(2)(3)(2)a b a ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪-⨯-=⎪⎩，解得1,6a b =-=-，所以不等式250bx x a -+>为26510x x --->， 即2651(31)(21)0x x x x ++=++<，解得1123x -<<-， 即不等式250bx x a -+>的解集为11(,)23--. 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，其中解答中根据三个二次式之间的关键，求得,a b 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 13．9 【解析】 【分析】利用方程思想，设A 、B 都参加的同学为x 人，则可分别得到只参加A ，不参加B ，只参加B ，不参加A ，以及AB 都不参加的人数，然后利用人数关系建立方程，求解即可． 【详解】设A 、B 都参加的同学为x 人，则只参加A ，不参加B 的为30x -，只参加B ，不参加A 的为33x -，则AB 都不参加的人数为()50303313x x x x --++-=-． 因为A 、B 都不参加的同学比A 、B 都参加的同学的三分之一多一人， 所以1313xx --=，解得21x =． 所以只参加A 项，没有参加B 项的学生有30219-=． 故答案为：9 【点睛】本题主要考查集合元素关系的运算，利用维恩图是解决此类问题的基本方法，比较基础． 14．(2,2]- 【解析】【分析】对x 2的系数分类讨论：当a ＝2时，直接得出；当a ≠2时，根据二次函数的图象性质，得到关于a 的不等式组，解出即可．【详解】当a ＝2时，不等式化为﹣4＜0对于任意实数x 都成立，因此a ＝2满足题意；当a ≠2时，要使关于x 的不等式（a ﹣2）x 2+2（a ﹣2）x ﹣4＜0的解集为R ， 则()()220421620a a a -⎧⎪⎨=-+-⎪⎩＜＜， 化为()()2220a a a ⎧⎨-+⎩＜＜， 解得﹣2＜a ＜2．故答案为（﹣2，2]．【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题，考查二次函数的图象与性质、分类讨论的基础知识与基本技能方法，属于基础题．15．【解析】【分析】通过f （x ）＞1和g （x ）＜0，求出集合A 、B ，利用A∩B=∅，求出a 的范围即可．【详解】由f （x ）＞1，得 ＞1，化简整理得＜ ，解得 ＜ ＜ 或 ＜ ＜ ， 即 的解集为A={x|-2＜x ＜-1或2＜x ＜3}．由g （x ）＜0得x 2-3ax+2a 2＜0，即（x-a ）（x-2a ）＜0，g （x ）＜0的解集为B={x|2a ＜x ＜a ，a ＜0}．由题意A∩B=∅，因此a≤-2或-1≤2a＜0，故a 的取值范围是{a|a≤-2或- ≤a ＜0}．即答案为 .【点睛】本题考查分式不等式的解法，二次不等式的解法，集合的交集运算，考查分析问题解决问题的能力．16．②③④【解析】【分析】利用a i +a j 与a j -a i 两数中至少有一个属于A ．即可判断出结论．【详解】①数集 中， ，故数集 不具有性质 ；②数集 满足对任意 、 （ ）， 与 两数中至少有一个属于集合 ，故数集 具有性质 ；③若数列A 具有性质P ，则a n +a n =2a n 与a n -a n =0两数中至少有一个是该数列中的一项， ∵0≤a 1＜a 2＜…＜a n ，n≥3，而2a n 不是该数列中的项，∴0是该数列中的项，∴a 1=0；故③正确；④当 n=5时，取j=5，当i≥2时，a i +a 5＞a 5，由A 具有性质P ，a 5-a i ∈A ，又i=1时，a 5-a 1∈A ，∴a 5-a i ∈A ，i=1，2，3，4，5∵0=a 1＜a 2＜a 3＜a 4＜a 5，∴a 5-a 1＞a 5-a 2＞a 5-a 3＞a 5-a 4＞a 5-a 5=0，则a 5-a 1=a 5，a 5-a 2=a 4，a 5-a 3=a 3，从而可得a 2+a 4=a 5，a 5=2a 3，故a 2+a 4=2a 3，即答案为②③④.【点睛】本题考查数列的综合应用，此题能很好的考查学生的应用知识分析、解决问题的能力，侧重于对能力的考查，属中档题．17．{0,B =1，4，7}【解析】【分析】由5A ∈，得到215a +=或25(a a -=舍)，从而得2a =±，分别代入集合A 和B ，利用集合中元素的互异性能求出集合B ．【详解】集合{}222,1,A a a a =+-， {0,B =7，25a a --，2}a -，且5A ∈，215a ∴+=或25(a a -=舍)，解得2a =±，当2a =时，{2,A =5，2}，不成立；当2a =-时，{2,A =5，6}，{0,B =7，1，4}，成立．∴集合{0,B =1，4，7}．【点睛】本题考查集合的求法，考查元素与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．18．（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据题设例题证明过程，类比b 2a b ++c 2b c ++a 2b a+可得证明， （2）根据题设例题证明过程，类比b 2a b ++c 2b c ++a 2b a+可得证明 【详解】（1）∵222222a b c b c a a b c b c a+++++≥++， ∴222a b c a b c b c a++≥++，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立； （2）∵212a a +a 2223a a ++a 32211n n n n a a a a a -+++++a 1≥2a 1+2a 2+…+2a n ﹣1+2a n ， ∴222211212231n n n n a a a a a a a a a a a -++++≥+++．当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n ﹣1＝a n 时取等号【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查了不等式的证明和类比的思想，属于中档题 19．（1）()410y x x =-，200,21t x t ⎡⎤∈⎢⎥+⎣⎦；（2）()()max 5100f x f ==. 【解析】【分析】（1）列出f （x ）的表达式，求函数的定义域时，要注意条件③的限制性．（2）本题为含参数的二次函数在特定区间上求最值，结合二次函数的图象及单调性解决，注意分类讨论．【详解】 （1）设()10y k x x -＝，当5x ＝ 时100y =，可得k=4，∴410y x x =-（） ∴定义域为200,21t t ⎡⎤⎢⎥+⎣⎦，t 为常数，1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦； （2）因为定义域中202012020,,1,5,,12122132t t t t t t⎡⎤⎛⎫⎡⎤=∈∴∈ ⎪⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎝⎭⎣⎦+ 函数()()241045100y x x x =-=--+在205,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故()()max 5100f x f ==. 【点睛】本题考查函数的应用问题，函数的解析式、二次函数的最值及分类讨论思想，牵扯字母太多，容易出错．20．（1）{}2A =-，{}2B =-；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【解析】【分析】 （1）由34x x +=，解得2x =-，{}2A =-；由()3344x x ++=，解得2x =-，，{}2B =-；（2）若A =∅，则A B ⊆成立；若A ≠∅，设t 为A 中任意一个元素，则有()f t t =，可得()()f f x f t t ⎡⎤==⎣⎦，故t B ∈，从而可得结果；（3）①当0a >时，()()21y f x x ax b x c =-=+-+的图象在x 轴的上方，可得对于x R ∀∈，()()f f x f x x ⎡⎤>>⎣⎦恒成立，则B =∅．②当0a <时，()()21y f x x ax b x c =-=+-+的图象在x 轴的下方，可得对于任意x R ∈，()()f f x f x x ⎡⎤<<⎣⎦恒成立，则B =∅．【详解】（1）由()f x x =，得34x x +=，解得2x =-，由()f f x x ⎡⎤=⎣⎦，得()3344x x ++=，解得2x =-，∴{}2A =-，{}2B =-．（2）若A =∅，则A B ⊆成立，若A ≠∅，设t 为A 中任意一个元素，则有()f t t =，∴()()f f x f t t ⎡⎤==⎣⎦，故t B ∈，∴A B ⊆．（3）由A ≠∅，得方程2ax bx c x ++=无实数解，∴()2140b ac ∆=--<．①当0a >时，()()21y f x x ax b x c =-=+-+的图象在x 轴的上方， 所以任意x R ∈，()0f x x ->恒成立，即对于任意x R ∈，()f x x >恒成立，对于()f x ，则有()()f f x f x ⎡⎤>⎣⎦成立，∴对于x R ∀∈，()()f f x f x x ⎡⎤>>⎣⎦恒成立，则B =∅．②当0a <时，()()21y f x x ax b x c =-=+-+的图象在x 轴的下方，所以任意x R ∈，()0f x x -<恒成立，即对于x R ∀∈，()f x x <恒成立，对于实数()f x ，则有()()f f x f x ⎡⎤<⎣⎦成立，所以对于任意x R ∈，()()f f x f x x ⎡⎤<<⎣⎦恒成立，则B =∅，综上知，对于()()20f x ax bx c a =++≠， 当A =∅时，B =∅．【点睛】本题主要考查集合的性质以及二次函数的性质、意在考查转化与划归思想、数形结合思想的应用，考查了分类讨论思想，属于难题. 分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.21．(1) 1-，12;(2)见解析；（3）112,2,1,,3,223A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭. 【解析】【分析】（1）根据集合的互异性进行求解，注意条件2∈A，把2代入进行验证；（2）可以假设A 为单元素集合，求出其等价条件，从而进行判断； （3）先求出集合A 中元素的个数，21 x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭=1，求出x 的值，从而求出集合A ． 【详解】（1）证明：若x∈A，则11A x ∈-． 又∵2∈A， ∴1112A =-∈-．∵-1∈A，∴()11112A =∈--． ∴A 中另外两个元素为1-，12； （2）x A ∈，11A x ∈-，1x A x -∈，且11x x ≠-，111x x x-≠-， 1x x x -≠，故集合A 中至少有3个元素，∴不是双元素集合； （3）由x A ∈，11A x ∈-，可得111x A x x x -⎧⎫=⎨⎬-⎩⎭，， ，所有元素积为1，∴21112x x x -⎛⎫=⇒= ⎪⎝⎭， 111141212132m m m m m -+-+++=⇒=--、3、23，∴112,2,1,,3,223A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题考查了元素和集合的关系，考查集合的含义，分类讨论思想，是一道中档题．。
2019-2020学年上海市金山中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】先根据图中的阴影部分是M∩P 的子集，但不属于集合S ，属于集合S 的补集，然后用关系式表示出来即可．【详解】图中的阴影部分是： M∩P 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集,即是C U S 的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P ）∩(∁U S).故选：C ．【点睛】本题主要考查了Venn 图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题． 2．下列各组函数中,表示同一函数的是( )A ．2(),()=f x xg x =B ．()(f x g x =C ．1(0)1(0)()()=1(0)1(0)x x x x f x g x x x x x +>+≥⎧⎫⎧⎫=⎨⎬⎨⎬-≤-<⎩⎭⎩⎭, D ．{}{}()2()2(1)()=21f x x x g x xx =∈∈；【答案】D 【解析】若两个函数是同一个函数，则函数的定义域以及函数的对应关系都相同，所以只要逐一判断每个选项中定义域和对应关系是否都相同即可．【详解】对于A 选项，f （x ）的定义域为R ，g （x ）的定义域为[0，+∞），∴不是同一函数．对于B 选项，f （x ）=（x ≤﹣2，或x ≥2）和g （x ）=（x ≥2）定义域不同，∴不是同一函数；对于C 选项，当x =0时，对应关系不同，∴不是同一函数对于D 选项，f （x ）的定义域与g （x ）的定义域均为{1}，且f （x ）2==g （x ） ∴是同一函数故选：D ．【点睛】本题主要考查了函数三要素的判断，只有三要素都相同，两函数才为同一函数，属基础题．3．已知()f x 是R 上的偶函数,且当()()20,1x f x x x >=- ,则0x <时,()f x = ( )A ．2(1)x x -B ．2(1)x x +C ．2(1)x x --D ．2(1)x x -+【答案】B【解析】由x ＜0得﹣x ＞0，代入已知式子得f （﹣x ），由偶函数f （﹣x ）＝f （x ），可得f （x ）的解析式．【详解】设x ＜0，则﹣x ＞0，∴()()()22()11f x x x x x -=-+=+， 又∵y ＝f （x ）是R 上的偶函数，∴f （﹣x ）＝f （x ），∴()()21f x x x =+， ∴当x ＜0时，()()21f x x x =+． 故选：B ．【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式的基础知识，是基础题目．4．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（ ）A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】D【解析】【详解】解：对于A ，由图象可知当速度大于40km /h 时，乙车的燃油效率大于5km /L ， ∴当速度大于40km /h 时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km ，故A 错误； 对于B ，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B 错误；对于C ，由图象可知当速度为80km /h 时，甲车的燃油效率为10km /L ，即甲车行驶10km 时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km ，燃油为8升，故C 错误；对于D ，由图象可知当速度小于80km /h 时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率， ∴用丙车比用乙车更省油，故D 正确故选：D ．【考点】1、数学建模能力；2、阅读能力及化归思想.二、填空题5．集合{},,A a b c =有_______个子集.【答案】8【解析】集合{a ，b ，c }的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，包括空集【详解】集合{a ，b ，c }的子集有：∅，{a }，{b }，{c }，{a ，b }，{a ，c }，{c ，b }，{a ，b ，c }共8个．故答案为：8【点睛】本题考查集合的子集个数问题，对于集合M 的子集问题一般来说，若M 中有n 个元素，则集合M 的子集共有2n 个．6．不等式11x -<的解集是 .【答案】(0,2)【解析】由11102x x -<-<⇒<<.7．已知命题P 是“若实数a 、b 满足1a >且2b >，则3a b +>”,则命题P 的否命题是________.【答案】若实数a 、b 满足1a ≤或2b ≤，则3a b +≤【解析】直接由否命题的定义得到结论.【详解】由否命题的定义既否条件又否结论得：“若1a >且2b >，则3a b +>”的否命题为“若a ≤1或b ≤2，则a +b ≤3”，故答案为：若实数a 、b 满足1a ≤或2b ≤，则3a b +≤【点睛】本题考查四种命题的关系，考查了否命题的形式，注意含“且”的命题，否定时要变为“或”，是易错题．8．已知集合，，则________ 【答案】【解析】求出集合A,B ，即可得到. 【详解】 由题集合集合故. 故答案为.本题考查集合的交集运算，属基础题9．已知,,a b c ∈R ，则“a b >”是“22ac bc >”的_________条件(填:充分非必要、必要非充分、充分且必要、非充分非必要)【答案】必要非充分【解析】当c ＝0时，a >b ⇏ac 2>bc 2；当ac 2＞bc 2时，说明c ≠0，有c 2＞0，得ac 2>bc 2⇒a >b ．显然左边不一定推导出右边，但右边可以推出左边．【详解】必要不充分条件当c ＝0时，a >b ⇏ac 2>bc 2；反之当ac 2＞bc 2时，说明c ≠0，则c 2＞0，得ac 2>bc 2⇒a >b ．显然左边不一定推导出右边，但右边可以推出左边，所以“a b >”是“22ac bc >”的必要非充分条件.故答案为：必要非充分．【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，解题的关键是充分利用不等式的基本性质是推导不等关系，是基础题．10．已知，则的取值范围是________ 【答案】 【解析】作出可行域，目标函数z=a-b 可化为b=a-z ，经平移直线可得结论．【详解】作出所对应的可行域，即 （如图阴影），目标函数z=a-b 可化为b=a-z ，可看作斜率为1的直线，平移直线可知，当直线经过点A （1，-1）时，z 取最小值-2，当直线经过点O （0，0）时，z 取最大值0，∴a-b 的取值范围是，故答案为：．【点睛】 本题考查线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．11．已知函数3()1f x ax bx =++，且(2)f -=3，则(2)f = ．【答案】－1【解析】试题分析：设3()()1g x f x ax bx =-=+，则()g x 是奇函数，(2)(2)1312g f -=--=-=，所以(2)(2)2g g =--=-，即(2)12f -=-，(2)1f =-．【考点】函数的奇偶性．12．已知不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-，则不等式250bx x a -+>的解集是_________. 【答案】11(,)23--【解析】根据不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-，求得,a b 的值，从而求解不等式250bx x a -+>的解集，得到答案.【详解】由题意，因为不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-， 可得53(2)(3)(2)a b a ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪-⨯-=⎪⎩，解得1,6a b =-=-， 所以不等式250bx x a -+>为26510x x --->，即2651(31)(21)0x x x x ++=++<，解得1123x -<<-， 即不等式250bx x a -+>的解集为11(,)23--.【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，其中解答中根据三个二次式之间的关键，求得,a b 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.13．某班有50名学生报名参加A 、B 两项比赛，参加A 项的有30人，参加B 项的有33人，且A 、B 都不参加的同学比A 、B 都参加的同学的三分之一多一人，则只参加A项，没有参加B 项的学生有__人.【答案】9【解析】利用方程思想，设A 、B 都参加的同学为x 人，则可分别得到只参加A ，不参加B ，只参加B ，不参加A ，以及AB 都不参加的人数，然后利用人数关系建立方程，求解即可．【详解】设A 、B 都参加的同学为x 人，则只参加A ，不参加B 的为30x -，只参加B ，不参加A 的为33x -，则AB 都不参加的人数为()50303313x x x x --++-=-．因为A 、B 都不参加的同学比A 、B 都参加的同学的三分之一多一人， 所以1313x x --=，解得21x =． 所以只参加A 项，没有参加B 项的学生有30219-=．故答案为：9【点睛】本题主要考查集合元素关系的运算，利用维恩图是解决此类问题的基本方法，比较基础．14．若关于x 的不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<的解集是R ,则实数a 的取值范围是_______.【答案】(2,2]-【解析】对x 2的系数分类讨论：当a ＝2时，直接得出；当a ≠2时，根据二次函数的图象性质，得到关于a 的不等式组，解出即可．【详解】当a ＝2时，不等式化为﹣4＜0对于任意实数x 都成立，因此a ＝2满足题意；当a ≠2时，要使关于x 的不等式（a ﹣2）x 2+2（a ﹣2）x ﹣4＜0的解集为R ， 则()()220421620a a a -⎧⎪⎨=-+-⎪⎩＜＜， 化为()()2220a a a ⎧⎨-+⎩＜＜，解得﹣2＜a＜2．故答案为（﹣2，2]．【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题，考查二次函数的图象与性质、分类讨论的基础知识与基本技能方法，属于基础题．15．已知函数，（），若不存在实数使得和同时成立，则的取值范围是________【答案】【解析】通过f（x）＞1和g（x）＜0，求出集合A、B，利用A∩B=∅，求出a的范围即可．【详解】由f（x）＞1，得＞1，化简整理得，解得即的解集为A={x|-2＜x＜-1或2＜x＜3}．由g（x）＜0得x2-3ax+2a2＜0，即（x-a）（x-2a）＜0，g（x）＜0的解集为B={x|2a＜x ＜a，a＜0}．由题意A∩B=∅，因此a≤-2或-1≤2a＜0，故a的取值范围是{a|a≤-2或-≤a＜0}．即答案为.【点睛】本题考查分式不等式的解法，二次不等式的解法，集合的交集运算，考查分析问题解决问题的能力．16．已知数集（，）具有性质：对任意、（），与两数中至少有一个属于集合，现给出以下四个命题：①数集具有性质；②数集具有性质；③若数集具有性质，则；④若数集（）具有性质，则；其中真命题有________（填写序号）【答案】②③④【解析】利用a i+a j与a j-a i两数中至少有一个属于A．即可判断出结论．【详解】①数集中，，故数集不具有性质；②数集满足对任意、（），与两数中至少有一个属于集合，故数集具有性质； ③若数列A 具有性质P ，则a n +a n =2a n 与a n -a n =0两数中至少有一个是该数列中的一项， ∵0≤a 1＜a 2＜…＜a n ，n≥3，而2a n 不是该数列中的项，∴0是该数列中的项，∴a 1=0；故③正确；④当 n=5时，取j=5，当i≥2时，a i +a 5＞a 5，由A 具有性质P ，a 5-a i ∈A ，又i=1时，a 5-a 1∈A ，∴a 5-a i ∈A ，i=1，2，3，4，5∵0=a 1＜a 2＜a 3＜a 4＜a 5，∴a 5-a 1＞a 5-a 2＞a 5-a 3＞a 5-a 4＞a 5-a 5=0，则a 5-a 1=a 5，a 5-a 2=a 4，a 5-a 3=a 3，从而可得a 2+a 4=a 5，a 5=2a 3，故a 2+a 4=2a 3，即答案为②③④.【点睛】本题考查数列的综合应用，此题能很好的考查学生的应用知识分析、解决问题的能力，侧重于对能力的考查，属中档题．三、解答题17．已知集合{}222,1,A a a a =+-，{0,B =7，25a a --，2}a -，且5A ∈，求集合B ．【答案】{0,B =1，4，7}【解析】由5A ∈，得到215a +=或25(a a -=舍)，从而得2a =±，分别代入集合A 和B ，利用集合中元素的互异性能求出集合B ．【详解】集合{}222,1,A a a a =+-， {0,B =7，25a a --，2}a -，且5A ∈，215a ∴+=或25(a a -=舍)，解得2a =±，当2a =时，{2,A =5，2}，不成立；当2a =-时，{2,A =5，6}，{0,B =7，1，4}，成立．∴集合{0,B =1，4，7}．【点睛】本题考查集合的求法，考查元素与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．18．“0,0a b >>,≥除了用比较法证明外,还可以有如下证法: +≥++≥(当且仅当a b =时等号成立), ≥,尝试解决下列问题: (1)证明:若0,0,0a b c >>>，则222a b c a b c b c a++≥++,并指出等号成立的条件； (2)试将上述不等式推广到(2)n n ≥个正数121,,,,n n a a a a -⋅⋅⋅的情形,并加以证明.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）根据题设例题证明过程，类比b 2a b ++c 2b c ++a 2b a+可得证明， （2）根据题设例题证明过程，类比b 2a b ++c 2b c ++a 2b a+可得证明 【详解】（1）∵222222a b c b c a a b c b c a+++++≥++， ∴222a b c a b c b c a++≥++，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立； （2）∵212a a +a 2223a a ++a 32211n n n n a a a a a -+++++a 1≥2a 1+2a 2+…+2a n ﹣1+2a n ， ∴222211212231n n n n a a a a a a a a a a a -++++≥+++．当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n ﹣1＝a n 时取等号【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查了不等式的证明和类比的思想，属于中档题 19．某公司有价值10万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入，相应就要提高产品附加值，假设附加值y 万元与技术改造投入x 万元之间的关系满足：① y 与10x -和x 的乘积成正比；② 当5x =时，100y =；③02(10)x t x ≤≤-，其中t 为常数，且1[,1]2t ∈. （1）设()y f x =，求出()f x 的表达式，并求出()y f x =的定义域；（2）求出附加值y 的最大值，并求出此时的技术改造投入的x 的值.【答案】（1）()410y x x =-，200,21t x t ⎡⎤∈⎢⎥+⎣⎦；（2）()()max 5100f x f ==. 【解析】（1）列出f （x ）的表达式，求函数的定义域时，要注意条件③的限制性． （2）本题为含参数的二次函数在特定区间上求最值，结合二次函数的图象及单调性解决，注意分类讨论．【详解】（1）设()10y k x x -＝，当5x ＝ 时100y =，可得k=4，∴410y x x =-（） ∴定义域为200,21t t ⎡⎤⎢⎥+⎣⎦，t 为常数，1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦； （2）因为定义域中202012020,,1,5,,12122132t t t t t t⎡⎤⎛⎫⎡⎤=∈∴∈ ⎪⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎝⎭⎣⎦+ 函数()()241045100y x x x =-=--+在205,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故()()max 5100f x f ==.【点睛】本题考查函数的应用问题，函数的解析式、二次函数的最值及分类讨论思想，牵扯字母太多，容易出错．20．对于函数()f x ，若00()f x x =，则称0x 为()f x 的“不动点”；若00[()]f f x x =，则称0x 为()f x 的“稳定点”．函数()f x 的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即{}|()A x f x x ==，{}|[()]B x f f x x ==．（1）设函数()34f x x =+，求集合A 和B ．（2）求证：A B ⊆．（3）设函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且A =∅，求证：B =∅．【答案】（1）{}2A =-，{}2B =-；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【解析】（1）由34x x +=，解得2x =-，{}2A =-；由()3344x x ++=，解得2x =-，，{}2B =-；（2）若A =∅，则A B ⊆成立；若A ≠∅，设t 为A 中任意一个元素，则有()f t t =，可得()()f f x f t t ⎡⎤==⎣⎦，故t B ∈，从而可得结果；（3）①当0a >时，()()21y f x x ax b x c =-=+-+的图象在x 轴的上方，可得对于x R ∀∈，()()f f x f x x ⎡⎤>>⎣⎦恒成立，则B =∅．②当0a <时，()()21y f x x ax b x c =-=+-+的图象在x 轴的下方，可得对于任意x R ∈，()()f f x f x x ⎡⎤<<⎣⎦恒成立，则B =∅．【详解】（1）由()f x x =，得34x x +=，解得2x =-，由()f f x x ⎡⎤=⎣⎦，得()3344x x ++=，解得2x =-，∴{}2A =-，{}2B =-．（2）若A =∅，则A B ⊆成立，若A ≠∅，设t 为A 中任意一个元素，则有()f t t =，∴()()f f x f t t ⎡⎤==⎣⎦，故t B ∈，∴A B ⊆．（3）由A ≠∅，得方程2ax bx c x ++=无实数解，∴()2140b ac ∆=--<．①当0a >时，()()21y f x x ax b x c =-=+-+的图象在x 轴的上方，所以任意x R ∈，()0f x x ->恒成立，即对于任意x R ∈，()f x x >恒成立，对于()f x ，则有()()f f x f x ⎡⎤>⎣⎦成立，∴对于x R ∀∈，()()f f x f x x ⎡⎤>>⎣⎦恒成立，则B =∅．②当0a <时，()()21y f x x ax b x c =-=+-+的图象在x 轴的下方， 所以任意x R ∈，()0f x x -<恒成立，即对于x R ∀∈，()f x x <恒成立，对于实数()f x ，则有()()f f x f x ⎡⎤<⎣⎦成立，所以对于任意x R ∈，()()f f x f x x ⎡⎤<<⎣⎦恒成立，则B =∅，综上知，对于()()20f x ax bx c a =++≠， 当A =∅时，B =∅．【点睛】本题主要考查集合的性质以及二次函数的性质、意在考查转化与划归思想、数形结合思想的应用，考查了分类讨论思想，属于难题. 分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.21．设数集A 由实数构成，且满足：若x A ∈（1x ≠且0x ≠），则11A x ∈-. （1）若2A ∈，试证明A 中还有另外两个元素；（2）集合A 是否为双元素集合，并说明理由；（3）若A 中元素个数不超过8个，所有元素的和为143，且A 中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A .【答案】(1) 1-，12;(2)见解析；（3）112,2,1,,3,223A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭. 【解析】（1）根据集合的互异性进行求解，注意条件2∈A ，把2代入进行验证；（2）可以假设A 为单元素集合，求出其等价条件，从而进行判断；（3）先求出集合A 中元素的个数，21 x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭=1，求出x 的值，从而求出集合A ． 【详解】（1）证明：若x ∈A ，则11A x ∈-． 又∵2∈A ， ∴1112A =-∈-． ∵-1∈A ，∴()11112A =∈--． ∴A 中另外两个元素为1-，12； （2）x A ∈，11A x ∈-，1x A x -∈，且11x x ≠-，111x x x-≠-， 1x x x -≠，故集合A 中至少有3个元素，∴不是双元素集合； （3）由x A ∈，11A x ∈-，可得111x A x x x -⎧⎫=⎨⎬-⎩⎭，， ，所有元素积为1，∴21112x x x -⎛⎫=⇒= ⎪⎝⎭， 111141212132m m m m m -+-+++=⇒=--、3、23，∴112,2,1,,3,223A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题考查了元素和集合的关系，考查集合的含义，分类讨论思想，是一道中档题．。
2019-2020学年上海市金山中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】先根据图中的阴影部分是M∩P 的子集，但不属于集合S ，属于集合S 的补集，然后用关系式表示出来即可． 【详解】图中的阴影部分是： M∩P 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集,即是C U S 的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P ）∩(∁U S). 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了Venn 图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题． 2．下列各组函数中,表示同一函数的是( ) A ．2(),()=f x x g x x=B ．()()2(2)()=22f x x x g x x x =+-+-,C ．1(0)1(0)()()=1(0)1(0)x x x x f x g x x x x x +>+≥⎧⎫⎧⎫=⎨⎬⎨⎬-≤-<⎩⎭⎩⎭,D ．{}{}()2()2(1)()=21f x x x g x x x =∈∈；【答案】D【解析】若两个函数是同一个函数，则函数的定义域以及函数的对应关系都相同，所以只要逐一判断每个选项中定义域和对应关系是否都相同即可． 【详解】对于A 选项，f （x ）的定义域为R ，g （x ）的定义域为[0，+∞），∴不是同一函数． 对于B 选项，f （x ）22x x =+-（）（）（x ≤﹣2，或x ≥2）和g （x ）22x x =+-（x ≥2）定义域不同，∴不是同一函数；对于C 选项，当x =0时，对应关系不同，∴不是同一函数对于D 选项，f （x ）的定义域与g （x ）的定义域均为{1}，且f （x ）2==g （x ） ∴是同一函数 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了函数三要素的判断，只有三要素都相同，两函数才为同一函数，属基础题．3．已知()f x 是R 上的偶函数,且当()()20,1x f x x x >=- ,则0x <时,()f x =( ) A ．2(1)x x - B ．2(1)x x + C ．2(1)x x -- D ．2(1)x x -+【答案】B【解析】由x ＜0得﹣x ＞0，代入已知式子得f （﹣x ），由偶函数f （﹣x ）＝f （x ），可得f （x ）的解析式． 【详解】设x ＜0，则﹣x ＞0，∴()()()22()11f x x x x x -=-+=+，又∵y ＝f （x ）是R 上的偶函数， ∴f （﹣x ）＝f （x ）， ∴()()21f x x x =+，∴当x ＜0时，()()21f x x x =+．故选：B ． 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式的基础知识，是基础题目．4．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（ ）A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 【答案】D 【解析】【详解】解：对于A ，由图象可知当速度大于40km /h 时，乙车的燃油效率大于5km /L ， ∴当速度大于40km /h 时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km ，故A 错误； 对于B ，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B 错误； 对于C ，由图象可知当速度为80km /h 时，甲车的燃油效率为10km /L ，即甲车行驶10km 时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km ，燃油为8升，故C 错误；对于D ，由图象可知当速度小于80km /h 时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率， ∴用丙车比用乙车更省油，故D 正确 故选：D ．【考点】1、数学建模能力；2、阅读能力及化归思想.二、填空题5．集合{},,A a b c =有_______个子集. 【答案】8【解析】集合{a ，b ，c }的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，包括空集【详解】集合{a ，b ，c }的子集有：∅，{a }，{b }，{c }，{a ，b }，{a ，c }，{c ，b }，{a ，b ，c }共8个． 故答案为：8 【点睛】本题考查集合的子集个数问题，对于集合M 的子集问题一般来说，若M 中有n 个元素，则集合M 的子集共有2n 个．6．不等式11x -<的解集是 . 【答案】(0,2)【解析】由11102x x -<-<⇒<<.7．已知命题P 是“若实数a 、b 满足1a >且2b >，则3a b +>”,则命题P 的否命题是________.【答案】若实数a 、b 满足1a ≤或2b ≤，则3a b +≤ 【解析】直接由否命题的定义得到结论. 【详解】由否命题的定义既否条件又否结论得：“若1a >且2b >，则3a b +>”的否命题为“若a ≤1或b ≤2，则a +b ≤3”， 故答案为：若实数a 、b 满足1a ≤或2b ≤，则3a b +≤ 【点睛】本题考查四种命题的关系，考查了否命题的形式，注意含“且”的命题，否定时要变为“或”，是易错题． 8．已知集合，，则________【答案】【解析】求出集合A,B ，即可得到.【详解】 由题集合集合故.故答案为.本题考查集合的交集运算，属基础题9．已知,,a b c ∈R ，则“a b >”是“22ac bc >”的_________条件(填:充分非必要、必要非充分、充分且必要、非充分非必要) 【答案】必要非充分【解析】当c ＝0时，a >b ⇏ac 2>bc 2；当ac 2＞bc 2时，说明c ≠0，有c 2＞0，得ac 2>bc 2⇒a >b ．显然左边不一定推导出右边，但右边可以推出左边． 【详解】 必要不充分条件当c ＝0时，a >b ⇏ac 2>bc 2； 反之当ac 2＞bc 2时，说明c ≠0， 则c 2＞0，得ac 2>bc 2⇒a >b ．显然左边不一定推导出右边，但右边可以推出左边，所以“a b >”是“22ac bc >”的必要非充分条件.故答案为：必要非充分． 【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，解题的关键是充分利用不等式的基本性质是推导不等关系，是基础题． 10．已知，则的取值范围是________【答案】【解析】作出可行域，目标函数z=a-b 可化为b=a-z ，经平移直线可得结论． 【详解】作出所对应的可行域，即 （如图阴影），目标函数z=a-b 可化为b=a-z ，可看作斜率为1的直线， 平移直线可知，当直线经过点A （1，-1）时，z 取最小值-2， 当直线经过点O （0，0）时，z 取最大值0， ∴a-b 的取值范围是，故答案为：．【点睛】本题考查线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．11．已知函数3()1f x ax bx =++，且(2)f -=3，则(2)f = ． 【答案】－1【解析】试题分析：设3()()1g x f x ax bx =-=+，则()g x 是奇函数，(2)(2)1312g f -=--=-=，所以(2)(2)2g g =--=-，即(2)12f -=-，(2)1f =-．【考点】函数的奇偶性．12．已知不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-，则不等式250bx x a -+>的解集是_________. 【答案】11(,)23--【解析】根据不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-，求得,a b 的值，从而求解不等式250bx x a -+>的解集，得到答案. 【详解】由题意，因为不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-，可得53(2)(3)(2)a b a ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪-⨯-=⎪⎩，解得1,6a b =-=-，所以不等式250bx x a -+>为26510x x --->， 即2651(31)(21)0x x x x ++=++<，解得1123x -<<-， 即不等式250bx x a -+>的解集为11(,)23--. 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，其中解答中根据三个二次式之间的关键，求得,a b 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.13．某班有50名学生报名参加A 、B 两项比赛，参加A 项的有30人，参加B 项的有33人，且A 、B 都不参加的同学比A 、B 都参加的同学的三分之一多一人，则只参加A项，没有参加B 项的学生有__人. 【答案】9【解析】利用方程思想，设A 、B 都参加的同学为x 人，则可分别得到只参加A ，不参加B ，只参加B ，不参加A ，以及AB 都不参加的人数，然后利用人数关系建立方程，求解即可． 【详解】设A 、B 都参加的同学为x 人，则只参加A ，不参加B 的为30x -，只参加B ，不参加A 的为33x -，则AB 都不参加的人数为()50303313x x x x --++-=-． 因为A 、B 都不参加的同学比A 、B 都参加的同学的三分之一多一人， 所以1313xx --=，解得21x =． 所以只参加A 项，没有参加B 项的学生有30219-=． 故答案为：9 【点睛】本题主要考查集合元素关系的运算，利用维恩图是解决此类问题的基本方法，比较基础．14．若关于x 的不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<的解集是R ,则实数a 的取值范围是_______. 【答案】(2,2]-【解析】对x 2的系数分类讨论：当a ＝2时，直接得出；当a ≠2时，根据二次函数的图象性质，得到关于a 的不等式组，解出即可． 【详解】当a ＝2时，不等式化为﹣4＜0对于任意实数x 都成立，因此a ＝2满足题意； 当a ≠2时，要使关于x 的不等式（a ﹣2）x 2+2（a ﹣2）x ﹣4＜0的解集为R ，则()()220421620a a a -⎧⎪⎨=-+-⎪⎩＜＜，化为()()2220a a a ⎧⎨-+⎩＜＜，解得﹣2＜a ＜2． 故答案为（﹣2，2]． 【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题，考查二次函数的图象与性质、分类讨论的基础知识与基本技能方法，属于基础题． 15．已知函数，（），若不存在实数使得和同时成立，则的取值范围是________【答案】【解析】通过f （x ）＞1和g （x ）＜0，求出集合A 、B ，利用A∩B=∅，求出a 的范围即可． 【详解】 由f （x ）＞1，得＞1，化简整理得，解得即的解集为A={x|-2＜x ＜-1或2＜x ＜3}．由g （x ）＜0得x 2-3ax+2a 2＜0，即（x-a ）（x-2a ）＜0，g （x ）＜0的解集为B={x|2a ＜x ＜a ，a ＜0}．由题意A∩B=∅，因此a≤-2或-1≤2a ＜0， 故a 的取值范围是{a|a≤-2或-≤a ＜0}． 即答案为.【点睛】本题考查分式不等式的解法，二次不等式的解法，集合的交集运算，考查分析问题解决问题的能力． 16．已知数集（，）具有性质：对任意、（），与两数中至少有一个属于集合，现给出以下四个命题：①数集具有性质；②数集具有性质；③若数集具有性质，则；④若数集（）具有性质，则；其中真命题有________（填写序号） 【答案】②③④【解析】利用a i +a j 与a j -a i 两数中至少有一个属于A ．即可判断出结论．【详解】 ①数集中，，故数集不具有性质；②数集满足对任意、（），与两数中至少有一个属于集合，故数集具有性质；③若数列A 具有性质P ，则a n +a n =2a n 与a n -a n =0两数中至少有一个是该数列中的一项， ∵0≤a 1＜a 2＜…＜a n ，n≥3，而2a n 不是该数列中的项，∴0是该数列中的项， ∴a 1=0；故③正确；④当 n=5时，取j=5，当i≥2时，a i +a 5＞a 5， 由A 具有性质P ，a 5-a i ∈A ，又i=1时，a 5-a 1∈A ， ∴a 5-a i ∈A ，i=1，2，3，4，5∵0=a 1＜a 2＜a 3＜a 4＜a 5，∴a 5-a 1＞a 5-a 2＞a 5-a 3＞a 5-a 4＞a 5-a 5=0， 则a 5-a 1=a 5，a 5-a 2=a 4，a 5-a 3=a 3，从而可得a 2+a 4=a 5，a 5=2a 3，故a 2+a 4=2a 3， 即答案为②③④. 【点睛】本题考查数列的综合应用，此题能很好的考查学生的应用知识分析、解决问题的能力，侧重于对能力的考查，属中档题．三、解答题17．已知集合{}222,1,A a a a =+-，{0,B =7，25a a --，2}a -，且5A ∈，求集合B ．【答案】{0,B =1，4，7}【解析】由5A ∈，得到215a +=或25(a a -=舍)，从而得2a =±，分别代入集合A 和B ，利用集合中元素的互异性能求出集合B ． 【详解】集合{}222,1,A a a a =+-，{0,B =7，25a a --，2}a -，且5A ∈，215a ∴+=或25(a a -=舍)，解得2a =±，当2a =时，{2,A =5，2}，不成立；当2a =-时，{2,A =5，6}，{0,B =7，1，4}，成立．∴集合{0,B =1，4，7}．【点睛】本题考查集合的求法，考查元素与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题． 18．“0,0a b >>,+≥除了用比较法证明外,还可以有如下证法: +≥++≥(当且仅当a b =时等号成立),≥,尝试解决下列问题: (1)证明:若0,0,0a b c >>>，则222a b c a b c b c a++≥++,并指出等号成立的条件；(2)试将上述不等式推广到(2)n n ≥个正数121,,,,n n a a a a -⋅⋅⋅的情形,并加以证明. 【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）根据题设例题证明过程，类比b 2a b ++c 2b c ++a 2b a +可得证明，（2）根据题设例题证明过程，类比b 2a b ++c 2b c ++a 2b a+可得证明【详解】（1）∵222222a b c b c a a b c b c a+++++≥++，∴222a b c a b c b c a++≥++，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立；（2）∵212a a +a 2223a a ++a 32211n n n n a aa a a -+++++a 1≥2a 1+2a 2+…+2a n ﹣1+2a n ， ∴222211212231n n n n a a a a a a a a a a a -++++≥+++．当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n ﹣1＝a n 时取等号 【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查了不等式的证明和类比的思想，属于中档题 19．某公司有价值10万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入，相应就要提高产品附加值，假设附加值y 万元与技术改造投入x 万元之间的关系满足：① y 与10x -和x 的乘积成正比；② 当5x =时，100y =；③02(10)x t x ≤≤-，其中t 为常数，且1[,1]2t ∈. （1）设()y f x =，求出()f x 的表达式，并求出()y f x =的定义域；（2）求出附加值y 的最大值，并求出此时的技术改造投入的x 的值.【答案】（1）()410y x x =-，200,21t x t ⎡⎤∈⎢⎥+⎣⎦；（2）()()max 5100f x f ==. 【解析】（1）列出f （x ）的表达式，求函数的定义域时，要注意条件③的限制性． （2）本题为含参数的二次函数在特定区间上求最值，结合二次函数的图象及单调性解决，注意分类讨论．【详解】（1）设()10y k x x -＝，当5x ＝ 时100y =，可得k=4，∴410y x x =-（） ∴定义域为200,21t t ⎡⎤⎢⎥+⎣⎦，t 为常数，1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦； （2）因为定义域中202012020,,1,5,,12122132t t t t t t⎡⎤⎛⎫⎡⎤=∈∴∈ ⎪⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎝⎭⎣⎦+ 函数()()241045100y x x x =-=--+在205,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故()()max 5100f x f ==.【点睛】本题考查函数的应用问题，函数的解析式、二次函数的最值及分类讨论思想，牵扯字母太多，容易出错．20．对于函数()f x ，若00()f x x =，则称0x 为()f x 的“不动点”；若00[()]f f x x =，则称0x 为()f x 的“稳定点”．函数()f x 的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即{}|()A x f x x ==，{}|[()]B x f f x x ==．（1）设函数()34f x x =+，求集合A 和B ．（2）求证：A B ⊆．（3）设函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且A =∅，求证：B =∅．【答案】（1）{}2A =-，{}2B =-；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【解析】（1）由34x x +=，解得2x =-，{}2A =-；由()3344x x ++=，解得2x =-，，{}2B =-；（2）若A =∅，则A B ⊆成立；若A ≠∅，设t 为A 中任意一个元素，则有()f t t =，可得()()f f x f t t ⎡⎤==⎣⎦，故t B ∈，从而可得结果；（3）①当0a >时，()()21y f x x ax b x c =-=+-+的图象在x 轴的上方，可得对于x R ∀∈，()()f f x f x x ⎡⎤>>⎣⎦恒成立，则B =∅．②当0a <时，()()21y f x x ax b x c =-=+-+的图象在x 轴的下方，可得对于任意x R ∈，()()f f x f x x ⎡⎤<<⎣⎦恒成立，则B =∅．【详解】（1）由()f x x =，得34x x +=，解得2x =-，由()f f x x ⎡⎤=⎣⎦，得()3344x x ++=，解得2x =-，∴{}2A =-，{}2B =-．（2）若A =∅，则A B ⊆成立，若A ≠∅，设t 为A 中任意一个元素，则有()f t t =，∴()()f f x f t t ⎡⎤==⎣⎦，故t B ∈，∴A B ⊆．（3）由A ≠∅，得方程2ax bx c x ++=无实数解，∴()2140b ac ∆=--<．①当0a >时，()()21y f x x ax b x c =-=+-+的图象在x 轴的上方， 所以任意x R ∈，()0f x x ->恒成立，即对于任意x R ∈，()f x x >恒成立，对于()f x ，则有()()f f x f x ⎡⎤>⎣⎦成立，∴对于x R ∀∈，()()f f x f x x ⎡⎤>>⎣⎦恒成立，则B =∅．②当0a <时，()()21y f x x ax b x c =-=+-+的图象在x 轴的下方， 所以任意x R ∈，()0f x x -<恒成立，即对于x R ∀∈，()f x x <恒成立，对于实数()f x ，则有()()f f x f x ⎡⎤<⎣⎦成立，所以对于任意x R ∈，()()f f x f x x ⎡⎤<<⎣⎦恒成立，则B =∅，综上知，对于()()20f x ax bx c a =++≠， 当A =∅时，B =∅．【点睛】本题主要考查集合的性质以及二次函数的性质、意在考查转化与划归思想、数形结合思想的应用，考查了分类讨论思想，属于难题. 分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.21．设数集A 由实数构成，且满足：若x A ∈（1x ≠且0x ≠），则11A x ∈-. （1）若2A ∈，试证明A 中还有另外两个元素；（2）集合A 是否为双元素集合，并说明理由；（3）若A 中元素个数不超过8个，所有元素的和为143，且A 中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A .【答案】(1) 1-，12;(2)见解析；（3）112,2,1,,3,223A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭.【解析】（1）根据集合的互异性进行求解，注意条件2∈A ，把2代入进行验证； （2）可以假设A 为单元素集合，求出其等价条件，从而进行判断；（3）先求出集合A 中元素的个数，21 x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭=1，求出x 的值，从而求出集合A ． 【详解】（1）证明：若x ∈A ，则11A x ∈-． 又∵2∈A ， ∴1112A =-∈-． ∵-1∈A ，∴()11112A =∈--． ∴A 中另外两个元素为1-，12； （2）x A ∈，11A x ∈-，1x A x -∈，且11x x ≠-，111x x x-≠-， 1x x x -≠，故集合A 中至少有3个元素，∴不是双元素集合； （3）由x A ∈，11A x ∈-，可得111x A x x x -⎧⎫=⎨⎬-⎩⎭，， ，所有元素积为1，∴21112x x x -⎛⎫=⇒= ⎪⎝⎭， 111141212132m m m m m -+-+++=⇒=--、3、23，∴112,2,1,,3,223A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题考查了元素和集合的关系，考查集合的含义，分类讨论思想，是一道中档题．。
