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矩阵高次幂的计算方法

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第２ ３卷 第 １ 期 ２０ ０ ７年 ３月
上
海
电 力 学 院 学
报
Ｖｏ ． ３， Ｎｏ １２ ．１
Ｍ８ ． ２ ｏ ｒ ｏ ７
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｏ Ｓ ａ ｇ ａ Ｕｎ ｖ ｒｉｙ ｏ Ｅｌｃ ｒｃ Ｐｏ ｒ ｏ ｒ ａ ｆ ｈｎ ｈｉ ｉ ｅ ｓｔ ｆ ｅｔ ｉ ｗｅ
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ｒｔ 口 一Ｊ 叶伊 ，
『 ２ ］ － ４ Ａ
中只有 有 限次不 为零 ， 在 二 项 式 展 开 中 只 有有 故
限项．
可 推 例３ 算Ｂ Ｉ Ａ 以 广 ， 计 ＝ ３ Ｌ ． ｌ Ａ ｊ
页电的价格进行监管要明确监管既不是政府职能制使电力期货交易存在着交割上的困难这就是也不是企业行为它是政府领导下的社会监督监国外许多期货交易所都试图建立电力期货交易管是监督市场是否公平公开公正是否在有序但都未获成功的原因长期以来我国的电力投资地开展竞争而不是监管电网电厂用户大部分集中在电源建设上电网输电能力一直是结束语个薄弱环节从而造成对电力交易的影响必须充分重视电力市场开放后的能源产我国现行的电力体制已难以适应社会主义市业之间的协调以及能源战略安全问题由于电力场经济体制的要求为此国家推出了厂网分行业的产业关联度较高因此在电力改革过程开竞价上网打破垄断引入竞争的电力体制中既要防范电力价格波动和电力短缺对其他行改革方案并已开始实施此次电力体制改革的总业的冲击也要防范其他部门尤其是燃料行业对体目标就是要打破垄断引入竞争机制提高效电力行业的影响保证能源产业的协调发展目前率降低成本健全电价机制优化资源配置促进我国的发电燃料主要以煤炭为主随着西气东输电力发展推进全国联网构建政府监管下的政企工程的建设以及开始从澳大利亚印度尼西亚进分开公平竞争开放有序健康发展的电力市场口天然气东部经济发达地区将逐步采用天然气体系发电这将会显著改变我国的能源消费结构因此我国的电力体制改革还必须考虑能源战略安参考文献
ｒ —Ｊ ／ ｒ ｊ ｉ ，Ｃ． ， ， 、 ｒｒ ：
三角 阵． 上三 角 阵中平 行于 主对 角线 的均 相 同 ， 利
Ａ【二： ］ ］【 ＝ Ａ
归假 ＩＩ ： ‘ 纳设 ｎ 【‘ Ａ＝ ： 】 －
计 算
Ａ【 二Ａ】 二 Ａ 【 】 ＝ 一 一Ａ ＝
得证
而 对于 Ｂ＝
１ 数 学 归 纳 法
适 合类 型 为 Ａ ， 它 是有 规律可 循 的． Ａ ， 计 算过 程 ： 计 算 Ａ ， 找 出 规 律 ， 归 纳 先 Ａ ， 再 出Ａ， 并利 用数 学 归纳 法证 明结论． 为困难 ．
用进行举例．
关键词 ：矩阵 ； 高次幂 ； 角阵 ；ｏ ａ 标准形 对 Ｊ ｄｎ ｒ
中 图分 类号 ：０ ４ ． ２ １６ 文 献 标 识 码 ：Ａ
Ｍ ｅ ｈ ｄ ｏ ｌｕ ａ ｉ ｎ ｏ ｈ ｉ ｈ Ｐｏ ｒ ｏ ａ ｒｘ ｔ ｏ ｆ Ｃａ ｃ ｌ ｔｏ ｓ ｆ ｒ ｔ ｅ Ｈ ｇ ｗｅ ｆＭ ｔ ｉ
［二用的法 Ａ］上归， 面纳 Ａ １ 较
例¨＝ 】 ． 二 解Ａ【二＝ Ａ ：】【 ２ ＝ ＡＡ ］
收 稿 日期 ：２０ ０ ６—０ ５—１ ６
２ 二 项式 展 开 法
适合 类型 为矩 阵是主 对角元 素 相 同 的上或 下 三 角 阵． 算 过程 ： 计 把矩 阵 分解 为两 个 矩 阵的 和 ，
３ 矩 阵对 角化 法
计算过程 ： 求出矩阵对角化 的可逆 阵 Ｐ， 满足 Ｐ一 Ｐ＝ｄａ （ １Ａ ， ， ， Ａ Ａ ｉ Ａ ， ２ … Ａ ） 得 ＝Ｐ ｉ （ １ ｇ ｄａ Ａ ， ｇ
Ａ ， ， ：… Ａ ）Ｐ～． 利 用对 角 阵 的高 次幂 简 化 计 可
ｌ 『 ｎ ， ｌ Ｉ Ａ Ａ
Ｂ＝
…
解
式中
１ ． ］ ［Ａ ］ Ａ］ ＋ Ａ［ 。 ［三。主 。］ 。 三＝ ］ ０ ［
＝ Ｂ＝
［Ａ 。 Ａ］２ ＋ 三 Ａ［ ］ 。
『 ］ － ４ ０ ２ 矩 １ ０ ３的 幂里也只 有限次 阵 高次 Ｌ ． ｌ 有 不为 ０ ｊ
零， 计算
Ａｂ ｔａ ｔ ｓｒ ｃ ： ６ ｋｎ ｓ ｏ ｔｏ ｓｔ ａｃ ｌｔ ｅ ｈｇ ｏ ｒｏ ｔ ｘ ａｅ ｇｖ ｎ ａ ｄ ｅ ａ ｌｓ ｏ ｉｄ ｆｍｅｈ ｄ ｏ ｃｌｕａｅ ｔ ｉｈ ｐ ｗｅ ｆｍａｒ ｒ ｉｅ ｎ ｘ ｍｐｅ ｆ ｈ ｉ
ａ ｐｙ ｎ ａ ｈ ｍｅ ｏ ｅ ｅ ｐ ａｎ ｄ ｐ ｌｉ ｇ ｅ ｃ ｔ ｄ ａ ｘ ｌ ｉ ｅ ． ｈ ｒ
Ｋｅ ｒ ｓ ｍａｒ ｙ ｗｏ ｄ ： ｔ ｘ；ｈｇ ｏ ｒ ｉ ｏ ａ ｔ ｃ ｓ ｏｄ ｎ ｓ ｎ ａｄ ｆｒ ｉ ｉｈ ｐ ｗｅ ；ｄａ ｎ ｍａｒ ｅ ；Ｊ ｒａ ｔ ｄ ｒ ｏｍ ｇ ｌ ｉ ａ
矩 阵运 算 中对 于方 阵可 以计 算 高 次幂 ， 数 代
中矩阵高次幂的运算量较大． 针对不 同类型的矩 阵有不同的运算方法 ， 选择好的计算方法会使计 算简 化． 方 阵高次幂基于： 对角阵的高次幂易求 ； 分块 对 角 阵的高 次幂 易 求 ； 对 角 线 为零 的上 或 下 三 主 角阵的高次幂易求． 同时要结合矩阵相似的性质 进 行求解 ， 求解 的方 法 主要有 以下几种 ． 其
Ｌ Ｕ ．ａ Ｉ Ａｉ１ ｎ
（ ｅｔｏ Ｄ ｐ．ｆＭａｈｍ ｔｓ ｎ ｉ ， ｈｎ ｈ ｉ ｎｖｒｔ ｌ ｔｃＰ ｗｒ Ｓ ｎｈ ｉ ｏ Ｏｏ ｈｎ ） ｔ ａｉ ｄＰ ｃ Ｓ ａ ｇａ ｉ ｓｙｏ ｅ ｒ ｏ ｅ， ｈ ｇ ａ ２ ｏ ９ ，Ｃ ｉ ｅ ｃａ ｓ Ｕ ｅ ｉ ｆＥ ｃｉ ａ ａ
文 章 编 号 ：１０ ４ ２ （０ ７ ０ —０９ ０ ０ ６— ７ ９ ２０ ） １ ０ ３— ４
矩 阵 高次 幂 的计 算 方 法
刘 爱 兰
（ 上海 电力学院 数理 系 ， 上海 摘 ２ ）￣） ｔ（ ＸＹ
要 ：代数 中矩阵高次 幂的运算量较大． 针对不 同类型 的矩 阵 ， 出计算矩阵高次幂 的 ６种方法 ， 给 并对其应
算， 得出结果．
得 、 Ｂｌ ＝ Ｉ Ａ
Ｌ － ｌ ，

，］ ｌＪ Ａｌ
／ 趴 里 ｒ ｒ ；一 ／ — Ｌ
＝
『 １ － ２ １ ］ 例 ４ Ａ Ｉ １ 求Ａ ＝１ 【 ． ２ ｌ ． １ ２ １ ｊ
解 特 征多 项式 ＩＥ— ＝（ Ａ ＡＩ Ａ一４ （ ） Ａ一１ ）
故Ｂ ＝
『 ＿ ０ ［Ａ［Ａ ｌ Ａ］Ａ］０ Ａ＋Ａ ｎ ［ 一 。 ］０ 。 一壹 ］ ［ 。
Ａ
Ａ
［三。２ 。１ 。３ ２［ 蚕 。＝ ］ ２０ ［三。三。３ 。１ 。。２。 ２ ［ ［ 。＝ ］ ］ ３２ ０ ＝
适 合类 型 为可 以对 角化 的矩 阵．

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2.2矩阵的运算

2.2矩阵的运算


2). 矩阵乘法不满足消去律
AB = AC ⇒ B = C
1 0 0 0 0 0 如 A= , B = 0 1 , C = 0 0 . AB = AC , 但B ≠ C 0 0
3).两个非零矩阵相乘的结果可能是零矩阵 3).两个非零矩阵相乘的结果可能是零矩阵 AB=0时 一般不能得出A 若 AB=0时,一般不能得出A、B中至少有一个为零矩阵的 结论. 结论.
b1 b2 例 3 设矩阵 A = (a1 , a 2 , L,a n ) , B = , 求AB，BA . M b n
解 A1×n Bn×1 = a1b1 + a2b2 + L anbn = ∑ ai bi
n
Bn×1 A1× n
b1a1 b2 a1 = M b a n 1
k =1 i =1 i =1 k =1 i =1
n
n
n
n
n
故 AB 与 BA 的主对角线上的元素之 和相等 .
例6 用矩阵方程表示下式线性方程组
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + L + a2 n xn = b2 LLLLLLLLLLLLL am1 x1 + am1 x2 + L + amn xn = bm
(1)
( 3)
(λ µ ) A = λ ( µ A)
λ ( A + B) = λ A + λ B
矩阵相加与数乘矩阵合 起来 ,统称为矩阵的线性运算 . 统称为矩阵的线性运算
二 、矩阵与矩阵的乘法
大学线性代数1(1)、矩阵的乘法、n次幂

大学线性代数1(1)、矩阵的乘法、n次幂

矩阵的乘法前提：只有当第一个矩阵(左边的矩阵)的列数与第二个矩阵(右边的矩阵)的行数相等时，两个矩阵才能相乘。

即：A m×s B s×n注意：(1)矩阵乘法不满足交换律，即一般情况下AB≠BA(2)矩阵A与B满足AB=0，不能推出A=0或B=0的结论(3)在不改变左右顺序的情况下，满足结合律(4)特别的,满足：单位矩阵乘任何另一矩阵等于此任意矩阵本身E m A m×n=A m×n E n=A m×n零矩阵乘任何矩阵都得到零矩阵求矩阵A的n次幂1.方法一：数学归纳法例题：已知A=(1101)求A n解：因为A2=(1101)2=(1101)(1101)=(1201)A3=(1301)猜想A n=(1n01)假设n=k时满足A k=(1k01),只需证A k+1=(1k+101)当n=k+1时，A k+1=A k A=(1k01)(1101)=(1k+101)猜想成立2.方法二：利用二项式展开公式将矩阵A分解成A=F+G,要求矩阵F与G的方幂容易计算,且FG=GF.一般地,F和G有一个是单位矩阵E时,计算更加容易牛顿二项展开公式：（a+b）n=C n0a n b0+C n1a n−1b1+…+C n n−1a1b n−1+C n n a0b n应用二项展开公式：（B+E）n=C n0B n E0+C n1B n−1E1+…+C n n−1B1E n−1+C n n B0E n例题：已知A=(1101)求A n解：A=(1101)= (0100)+ (1001)=B+EA n=(B+E)n=C n0B n E0+C n1B n−1E1+…+C n n−1B1E n−1+C n n B0E n=C n0B n+C n1B n−1+…+C n n−1B1+C n n B0=C n0B n+C n1B n−1+…+C n n−1B1+C n n B0=C n0B n+C n1B n−1+…+nB+E且B0=E, 又因为 B2=(0100)2=(0000)所以B n=(0000)A n=(B+E)n= nB+E3.方法三：乘法结合律若A=αβT，其中α和β都是n×1矩阵（列矩阵），且βTα=C（常数），利用乘法结合律，有A n=(αβT)( αβT)…(αβT)( αβT)=α(βTα)(βTα)…(βTα)βT= α(βTα)n−1βT= αC n−1βT=C n−1 αβT=C n−1A例题:已知α=（1,2,3），β=（1，12，13），设A=αTβ，求A n解：αTβ=(123)3×1（1，12，13）1×3=(1121321233321)→结果是3×3矩阵βαT=（1，12，13）1×3(123)3×1=3 →结果是1×1矩阵A n=(αTβ)( αTβ)…(αTβ)( αTβ)= αT(βαT)(βαT)…(βαT)β= αT(βαT)n−1β=αT3n−1β=3n−1( 1121321233321)。

方阵的m次幂的计算方法

方阵的m次幂的计算方法

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方阵的m次幂的计算方法
作者：屠瑶瑶杨如军
来源：《魅力中国》2018年第06期
摘要：矩阵是从实际问题中抽象出来的概念，是线性代数重要组成部分；方阵m次幂的
计算是矩阵运算的特殊情况，很多学者对矩阵高次幂的求法进行了研究；本文对方阵m次幂
的算法进行归纳和总结。

关键词：矩阵；运算；幂；算法
三、结束语
上述介绍的几种求解方阵m次幂的方法，虽然简化了求解方阵m次幂的过程，但在具体求解中，还应该具体问题具体对待，有的可以按定义直接求，有的要利用简便方法。

并且上述的方法也不是完全独立的，有时相互配合使用，效果更佳。

总之，在方阵m次幂的求解中要
先观察的特征，再寻求最佳解决方法。

参考文獻：
[1]徐仲，陆全，张凯院，等.高等代数考研教案[M].2版.西安：西北工业大学出版
社.2009：165-172
[2]姜海勤.特殊方阵高次幂的简单算法[J].扬州职业大学学报.2003，7（03）：44-45
[3]李战国，卢亚丽，李艳华.方阵高次幂计算方法研究[J].河南教育学院（自然科学版），2002，11（04）：2-3
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[8]徐仲主.线性代数典型题分析解集[M]. 西安：西北工业大学出版社.1998.2：3-5。

e的矩阵指数的计算方法

e的矩阵指数的计算方法

e的矩阵指数的计算方法我们来定义矩阵指数。

对于一个n阶方阵A，我们定义其指数为e 的A次方，即e^A。

其中e是自然对数的底数。

接下来，我们将介绍矩阵指数的一些性质。

首先，对于任意的两个n阶方阵A和B，有以下性质成立：1. 指数的加法性质：e^(A+B) = e^A * e^B。

这个性质类似于实数指数的加法性质，可以简化矩阵指数的计算。

2. 指数的乘法性质：(e^A)^k = e^(kA)，其中k是一个实数。

这个性质表明，对于一个矩阵A的指数，可以通过将指数乘以一个实数来简化计算。

3. 指数的幂级数展开：e^A = I + A + (1/2!) * A^2 + (1/3!) * A^3 + ...，其中I是单位矩阵，A^k表示矩阵A的第k次幂。

这个性质可以用来计算矩阵指数的近似值。

有了这些性质，我们可以通过以下方法计算矩阵指数：1. 对角化方法：如果一个矩阵A可以对角化为A = PDP^(-1)，其中D是对角矩阵，P是可逆矩阵，则有e^A = Pe^DP^(-1)。

这个方法适用于对角矩阵的指数计算，可以简化计算过程。

2. 幂级数展开方法：根据指数的幂级数展开性质，我们可以通过截断幂级数来近似计算矩阵指数。

截断幂级数意味着只保留幂次小于某个固定值的项，可以根据需要选择截断的级数。

3. 特殊矩阵的指数计算方法：对于一些特殊的矩阵，存在更简化的指数计算方法。

例如，对于对角矩阵，可以直接将对角线上的元素作为指数的幂次；对于幂等矩阵，即矩阵的平方等于自身的矩阵，可以将指数的幂次限制在0和1之间。

除了这些方法，还有其他一些计算矩阵指数的技巧和算法，例如利用矩阵的特征值和特征向量，或者利用矩阵的Jordan标准形。

这些方法在具体问题中可能会有不同的适用性，需要根据实际情况选择合适的方法。

总结起来，矩阵指数是指将一个矩阵作为指数，通过幂级数展开的方式进行计算。

我们可以利用指数的加法性质、乘法性质和幂级数展开性质来计算矩阵指数。