当前位置：文档之家 › 矩阵链算法

矩阵链算法

  • 格式：docx
  • 大小：13.13 KB
  • 文档页数：4

下载文档原格式

  / 4

合集下载

矩阵连乘问题的算法

矩阵连乘问题的算法

矩阵连乘问题的算法
一、矩阵连乘问题
矩阵连乘问题是指在矩阵计算中，给定n个矩阵，求这n个矩阵的连乘积的最优解问题。

矩阵连乘问题既可以用于组合优化，也可以用于信息处理系统中查找最优路径的搜索算法。

它是最基本的组合优化问题。

二、矩阵连乘问题的算法
1. 动态规划法：动态规划法是求解矩阵连乘问题的常用算法。

它采用递归方法，将原问题分解为若干个子问题，然后求出各子问题的最优解，最后组合出原问题的最优解。

2. 贪心算法：贪心算法是一种经典的最优化算法，也可以用于求解矩阵连乘问题，即通过某种启发式规则，在每一步中都使最优决策，最终得到最优解。

3. 分支定界法：分支定界法是一种由搜索算法和界定法相结合而成的最优化算法，也可以用于求解矩阵连乘问题。

该算法按照树状的层次结构，向下搜索一个在每一步骤都使得当前最优的路径，然后上溯形成最优解。

4. 模拟退火算法：模拟退火算法是一种搜索算法，它可以用于求解矩阵连乘问题。

它采用一种模拟物理过程的原理，通过不断地改变解的状态，以求出相对最优解。

- 1 -。

矩阵链乘法

矩阵链乘法

矩阵链乘法
矩阵链乘法是指，将若干个矩阵按照一定的顺序相乘，得到一个最终的矩阵。

比如说，有三个矩阵A1、A2和A3，它们的维度分别为：
A1：10x20。

A2：20x30。

A3：30x40。

那么，可以按照不同的顺序来计算它们的乘积，比如：
1.先计算(A1xA2)再与A3相乘，总共需要计算的次数为：
10x20x30+10x30x40=18000。

2.先计算A1与(A2xA3)相乘，总共需要计算的次数为：
20x30x40+10x20x40=24000。

可以发现，矩阵的乘法是满足结合律的，但是不满足交换律，因此不同的计算顺序会导致不同的计算效率。

矩阵链乘法的问题就是要找到最优的计算顺序，使得总的运算次数最少。

这个问题可以使用动态规划的方法解决，具体可以参见参考资料中的链接。

Python算法矩阵链乘法

Python算法矩阵链乘法

Python算法矩阵链乘法概述矩阵乘法是⼀个满⾜结合律的运算。

显然，对于矩阵A、B、C来说，(AB)C 与 A(BC) 是等价的，我们可以根据⾃⼰的⼼情选择任意的运算顺序，总之，结果都是⼀样的。

糟糕的是，对计算机来说可不是这么回事，若我们假定矩阵 A=[10,20], B=[20,30], C=[30,40]，那么在以下两种运算顺序中，标量相乘的次数是天差地别：(AB)C = 10*20*30 + 10*30*40 = 18000A(BC) = 20*30*40 + 10*20*40 = 32000为了计算表达式，我们可以先⽤括号明确计算次序，然后利⽤标准的矩阵相乘算法进⾏计算。

完全括号化(fully parenthesized)：它是单⼀矩阵，或者是两个完全括号化的矩阵乘积链的积。

例如如果有矩阵链为<A1,A2,A3,A4>,则共有5种完全括号化的矩阵乘积链。

(A1(A2(A3A4)))(A1((A2A3)A4))((A1A2)(A3A4))((A1(A2A3))A4)((A1(A2A3))A4)对矩阵链加括号的⽅式会对乘积运算的代价产⽣巨⼤影响。

我们先来分析两个矩阵相乘的代价。

下⾯的伪代码的给出了两个矩阵相乘的标准算法，属性rows和columns是矩阵的⾏数和列数。

MATRIX-MULTIPKLY(A,B)if A.columns≠B.rowserror "incompatible dimensions"else let C be a new A.rows×B.columns matrixfor i = 1 to A.rowsfor j = 1 to B.columnsc(ij)=0for k = 1 to A.columnsc(ij)=c(ij)+a(ik)*b(kj)return C两个矩阵A和B只有相容(compatible)，即A的列数等于B的⾏数时，才能相乘。

动态规划算法(一)

动态规划算法(一)
}
动态规划：向后处理(K段图)Байду номын сангаас
BC ( i,j) O m S B iT n C ( i 1 ,O l) c ( l,S j) T l V i 1 l,j E
动态规划：0/1背包问题
对于0/1背包问题，可以通过作出变量x1,x2,…,xi的一个 决策序列来得到它的解。而对变量x的决策就是决定它 们是取0还是取1值。
动态规划：0/1背包－向后处理
先求解f0: i> 当x≥0，f0(x)=0 ii> 当x<0， f0(x)=-∞
利用递推式，求出f1, f2, …, fn
动态规划：0/1背包求解实例
考虑如下背包问题： n=3 (w1, w2, w3)=(2, 3, 4) (p1, p2, p3)=(1,2,5) M=6
求解过程(图解法求解)：
i=3: f2(x-w3)+p3
8 7 6 5 4 3 2 1
12
567
9
f3(x)
8 7 6 5 4 3 2 1
1234
67
9
动态规划：0/1背包－向后处理
i=1: f0(x-w1)+p1
f1(x)
2 1
2
6
i=2: f1(x-w2)+p2
3 2 1
2
56
2 1
2
6
f2(x)
C( O i,j) S m T c (ij,l n ) CO (i 1 ,l) ST l V i 1 j,lE
动态规划：向前处理算法
void function FGRAPH(E, int k, int n, int P[]){ int COST[n]; int D[n-1]; int r, j; COST[n]=0; for(j=n-1; j<=1; j--){ r是这样的节点，<j,r>∈E且使c(j,r)+COST[r]最小 COST[j]=c(j,r)+COST[r]; D[j]=r; } P[1]=1; P[k]=n; for(j=2;j<=k-1;j++){ P[j]=D[P(j-1)]; }

邻接矩阵和关联矩阵

邻接矩阵和关联矩阵

邻接矩阵和关联矩阵一、概念解释邻接矩阵和关联矩阵是图论中常用的两种表示图的方式。

邻接矩阵是指用一个二维数组来表示图中各个节点之间的连接情况，其中数组的行和列分别代表节点，如果节点i和节点j之间有连边，则邻接矩阵中第i行第j列的元素为1，否则为0。

关联矩阵是指用一个二维数组来表示图中各个节点和边之间的联系，其中数组的行代表节点，列代表边，如果节点i与边j有关联，则关联矩阵中第i行第j列的元素为1或-1，分别表示该节点是边的起点或终点；如果该节点与该边没有关联，则为0。

二、邻接矩阵1.构建邻接矩阵要构建一个无向图G={V,E}的邻接矩阵A（V*V），可以按以下步骤进行：（1）初始化A为全0矩阵；（2）遍历E集合中每一条边(u,v)，将A[u][v]和A[v][u]均设为1；（3）对角线上所有元素均设为0。

2.应用场景邻接矩阵适用于稠密图（即节点数较多，边数较多）的存储和计算，因为其空间复杂度为O(V^2)，而且可以快速判断任意两个节点之间是否有连边。

3.优缺点邻接矩阵的优点包括：（1）易于理解和实现；（2）空间利用率高；（3）可以快速判断任意两个节点之间是否有连边。

邻接矩阵的缺点包括：（1）对于稀疏图（即节点数很多，但是边数很少），会浪费大量空间；（2）插入或删除节点时需要重新构建整个矩阵，时间复杂度为O(V^2)；（3）如果图中存在重边或自环，则需要额外处理。

三、关联矩阵1.构建关联矩阵要构建一个无向图G={V,E}的关联矩阵B（V*E），可以按以下步骤进行：（1）初始化B为全0矩阵；（2）遍历E集合中每一条边(u,v)，将B[u][e]和B[v][e]均设为1，其中e表示第e条边；（3）对于每个节点i，在B中找到与之相关的所有边，并将它们标记为-1，表示该节点是这些边的终点。

2.应用场景关联矩阵适用于稀疏图（即节点数很多，但是边数很少）的存储和计算，因为其空间复杂度为O(V*E)，而且可以快速判断任意两个节点之间是否有连边。

张量缩并最优顺序

张量缩并最优顺序

张量缩并最优顺序张量是一个重要的概念，在多维计算中扮演着重要的角色。

对张量的操作涉及到张量的加法、乘法、缩并等多种运算。

其中，张量缩并是张量运算中的一种关键操作。

张量缩并的本质是将两个张量进行乘积运算，并将其中一些维度合并，得到一个新的张量。

在实际应用中，我们往往需要对计算中的多个张量进行缩并操作。

然而，不同的缩并顺序可能会导致计算结果的不同，而且缩并次数也会影响计算效率。

因此，在进行张量缩并时，需要找到一种最优的缩并顺序，以达到最快的计算速度并尽可能避免误差积累。

最优缩并顺序的求解是一个NP难问题。

因此，我们通常采用一些启发式算法来解决这个问题。

目前常用的算法有动态规划算法和贪心算法。

1. 动态规划算法动态规划算法通过将计算分解成多个子问题来解决问题，从而避免了重复计算。

在寻找最优缩并顺序时，我们可以先将张量表示为一个有向无环图（DAG），其中每个节点代表一个张量，每个边代表两个张量的缩并。

接着，我们可以使用动态规划算法来寻找最优缩并顺序。

具体来说，我们定义一个dp数组，其中dp[i][j]表示从第i个节点到第j个节点所需的最小计算代价（即矩阵乘法运算次数）。

对于任意i <= k < j，我们可以将dp[i][j]拆分为dp[i][k]和dp[k+1][j]，并尝试将它们缩并成一个新的张量。

这些尝试中，我们选择代价最小的一种方法，并记录下这个代价。

通过使用动态规划算法，我们可以找到最优的缩并顺序。

然而，这种算法的缺点是它需要内存空间较大。

通常来说，如果节点数较少（例如小于20），我们可以使用这种算法。

但是，如果节点数较大，我们需要采用其他方法。

2. 贪心算法贪心算法是一种快速且实用的算法，它通常可以在较短的时间内找到次优解。

在最优缩并顺序的寻找中，我们可以通过贪心策略来得到一个次优解。

具体来说，我们可以使用矩阵链乘法的贪心算法，这个算法将问题分解成多个子问题，并使用贪心策略来选择最优的缩并次序。

算法练习题

算法练习题一、基础算法1. 编写一个程序，实现一个冒泡排序算法。

2. 实现一个选择排序算法。

3. 实现一个插入排序算法。

4. 编写一个函数，计算一个整数数组中的最大值和最小值。

5. 编写一个函数，实现二分查找算法。

6. 编写一个函数，实现快速排序算法。

7. 编写一个函数，判断一个整数是否为素数。

8. 编写一个函数，实现反转一个整数数组。

9. 编写一个函数，计算两个整数数组的交集。

10. 编写一个函数，判断一个字符串是否为回文。

二、数据结构11. 实现一个单链表的基本操作，包括插入、删除、查找。

12. 实现一个双向链表的基本操作，包括插入、删除、查找。

13. 实现一个栈的基本操作，包括压栈、出栈、查看栈顶元素。

14. 实现一个队列的基本操作，包括入队、出队、查看队首元素。

15. 实现一个二叉树的基本操作，包括插入、删除、查找。

16. 实现一个二叉搜索树的基本操作，包括插入、删除、查找。

17. 实现一个哈希表的基本操作，包括插入、删除、查找。

三、搜索与图论18. 编写一个程序，实现深度优先搜索（DFS）算法。

19. 编写一个程序，实现广度优先搜索（BFS）算法。

20. 编写一个程序，求解迷宫问题。

21. 编写一个程序，计算一个有向图的拓扑排序。

22. 编写一个程序，计算一个无向图的欧拉回路。

23. 编写一个程序，计算一个加权无向图的最小树（Prim算法）。

24. 编写一个程序，计算一个加权有向图的最短路径（Dijkstra算法）。

25. 编写一个程序，计算一个加权有向图的所有顶点对的最短路径（Floyd算法）。

四、动态规划26. 编写一个程序，实现背包问题。

27. 编写一个程序，计算最长公共子序列（LCS）。

28. 编写一个程序，计算最长递增子序列（LIS）。

29. 编写一个程序，实现编辑距离（Levenshtein距离）。

30. 编写一个程序，实现硬币找零问题。

31. 编写一个程序，实现矩阵链乘问题。

算法分析与设计复习题及参考答案

《算法分析与设计》课程复习资料一、名词解释：1.算法2.程序3.递归函数4.子问题的重叠性质5.队列式分支限界法6.多机调度问题7.最小生成树 二、简答题：1.备忘录方法和动态规划算法相比有何异同？简述之。

2.简述回溯法解题的主要步骤。

3.简述动态规划算法求解的基本要素。

4.简述回溯法的基本思想。

5.简要分析在递归算法中消除递归调用，将递归算法转化为非递归算法的方法。

6.简要分析分支限界法与回溯法的异同。

7.简述算法复杂性的概念，算法复杂性度量主要指哪两个方面？ 8.贪心算法求解的问题主要具有哪些性质？简述之。

9.分治法的基本思想是什么？合并排序的基本思想是什么？请分别简述之。

10.简述分析贪心算法与动态规划算法的异同。

三、算法编写及算法应用分析题：1.已知有3个物品：(w1,w2,w3)=(12,10,6),(p1,p2,p3)=(15,13,10),背包的容积M=20，根据0-1背包动态规划的递推式求出最优解。

2.按要求完成以下关于排序和查找的问题。

①对数组A={15，29，135，18，32，1，27，25，5}，用快速排序方法将其排成递减序。

②请描述递减数组进行二分搜索的基本思想，并给出非递归算法。

③给出上述算法的递归算法。

④使用上述算法对①所得到的结果搜索如下元素，并给出搜索过程：18，31，135。

3.已知1()*()i i k k ij r r A a +=，k =1，2，3，4，5，6，r 1=5，r 2=10，r 3=3，r 4=12，r 5=5，r 6=50，r 7=6，求矩阵链积A 1×A 2×A 3×A 4×A 5×A 6的最佳求积顺序（要求给出计算步骤）。

4.根据分枝限界算法基本过程,求解0-1背包问题。

已知n=3,M=20，(w1,w2,w3)=(12,10,6),(p1,p2,p3)=(15,13,10)。

矩阵连乘问题《算法分析与设计》

矩阵连乘问题《算法分析与设计》设计性实验报告课程名称：实验题目：组长：成员一：成员二：成员三：系别：专业班级：指导教师：实验日期：《算法分析与设计》矩阵连乘问题数学与计算机科学系一、实验目的和要求实验目的熟悉动态规划算法设计思想和设计步骤，掌握基本的程序设计方法，培养学生用计算机解决实际问题的能力。

实验要求1、根据实验内容，认真编写源程序代码、上机调试程序，书写实验报告。

2、本实验项目考察学生对教材中核心知识的掌握程度和解决实际问题的能力。

3、实验项目可以采用集中与分散实验相结合的方式进行，学生利用平时实验课时间和课外时间进行实验，要求在学期末形成完整的项目程序设计报告。

二、实验内容提要矩阵连乘问题给定n个矩阵{A1,A2,…,An}，其中，Ai与Ai+1是可乘的，i=1,2，…，n-1。

考查这n个矩阵的连乘积A1,A2,…,An。

于矩阵乘法满足结合律，故计算矩阵的连乘积可以有许多不同的计算次序。

这种计算次序可以用加括号的方式来确定。

若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该连乘积已完全加括号，则可以依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。

完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为：单个矩阵是完全加括号的；矩阵连乘积A是完全加括号的，则A可表示为2个完全加括号的矩阵连乘积B和C的乘积并加括号，即A=。

三、实验步骤下面考虑矩阵连乘积的最优计算次序问题的动态规划方法。

分析最优解的结构设计求解具体问题的动态规划算法的第一步是刻画该问题的最优解结构特征。

对于矩阵乘积的最优计算次序问题也不例外。

首先，为方便起见，降矩阵乘积Ai Ai+1…Aj简记为A[i:j]。

考查计算A[1：n]的最优计算次序。

设这个计算次序在矩阵Ak和Ak+1之间将矩阵链断开，1这个问题的一个关键特征是：计算A[1:n]的最优次序所包含的计算矩阵子链A[1:k]和A[k+1:n]的次序也是最优的。

事实上，若有一个计算A[1:k]的次序需要的计算量更少，则用此次序替换原来计算A[1:k]的次序，得到的计算A[1:n]的计算量将比按最优次序计算所需计算量更少，这是一个矛盾。

西电算法导论上机实验报告

算法导论上机实验报告册班级：xxxxxx学号：xxxxxxx 姓名：xxxx 教师：xxxxxx目录实验一排序算法 (1)题目一： (1)1、题目描述： (1)2、所用算法： (1)3、算法分析： (1)4、结果截图： (1)5、总结： (2)题目二： (3)1、题目描述： (3)2、所用算法： (3)3、算法分析： (3)4、结果截图： (3)5、总结： (4)题目三： (4)1、题目描述： (4)2、所用算法： (4)3、算法分析： (5)4、结果截图： (5)5、总结： (5)题目四： (6)1、题目描述： (6)3、算法分析： (6)4、结果截图： (6)5、总结： (7)实验二动态规划 (7)题目一： (7)1、题目描述： (7)2、所用策略： (7)3、算法分析： (7)4、结果截图： (8)5、总结： (8)题目二： (9)1、题目描述： (9)2、所用策略： (9)3、算法分析： (9)4、结果截图： (9)5、总结： (10)题目三： (10)1、题目描述： (10)2、所用策略： (10)3、算法分析： (10)4、结果截图： (11)题目四： (12)1、题目描述： (12)2、所用策略： (12)3、算法分析: (12)4、结果截图： (12)5、总结： (13)题目五： (13)1、题目描述： (13)2、所用策略： (13)3、算法分析： (13)4、结果截图： (14)5、总结： (14)实验三贪心算法 (14)题目一： (14)1、题目描述： (14)2、所用策略： (14)3、算法分析： (14)4、结果截图： (15)5、总结： (16)题目二： (16)1、题目描述： (16)3、算法分析： (16)4、结果截图： (17)5、总结： (17)题目三： (17)1、题目描述: (17)2、所用算法： (18)3、算法分析： (18)4、结果截图： (18)5、总结： (19)题目四： (19)1、题目描述： (19)2、所用算法： (19)3、算法分析： (19)实验四回溯法 (19)题目一： (19)1、题目描述： (20)2、所用策略： (20)3、算法分析： (20)题目二： (21)1、题目描述： (21)2、所用策略： (21)实验一排序算法题目一：1、题目描述：描述一个运行时间为θ(nlgn)的算法，给定n个整数的集合S和另一个整数x，该算法能确定S中是否存在两个其和刚好为x的元素。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
count = count + 1;
}
}
}
if (sign == 1)
{
Console.WriteLine("error");
sign = 0;
}
else
Console.WriteLine("{0}", result);
}
Console.ReadLine();
}
/***********************************************************************************************/
int result = 0;//计算结果
int sign = 0;//是否符合乘法规则标志
/***********************************************************************************************/
//计算一个计算式的乘法次数
static ArrayList listrow = new ArrayList();//定义矩阵行数存储列表
static ArrayList listcolumn = new ArrayList();//定义矩阵列数存储列表
static void Main(string[] args)
{
/***********************************************************************************************/
using System.Text.RegularExpressions;
using System.Collections;
namespace Matrix
{
class Program
{
public static int nummulti = 0;
static ArrayList list1 = new ArrayList();//定义计算式存储列表
{
engnum1 = (int)list2[count - 1];
engnum2 = (int)list2[count - 2];
count = count - 2;
//判断两个矩阵是否符合乘法规则
if ((int)listrow[engnum1 - 65] != (int)listcolumn[engnum2 - 65])
string[] str = s.Split(' ');//把输入的一行字符按空格拆分
listrow.Add(Int32.Parse(str[1]));//行数存储到矩阵行数存储列表
listcolumn.Add(Int32.Parse(str[2]));//列数存储到矩阵列数存储列表
}
Console.WriteLine("请输入需要计算的代数式，输入完毕后换行输入0-9任一数字进行计算");
//判断输入的字符是否为数字
public bool b(string s)
{
string pattern = ("^[0-9]"); ;
Regex rx = new Regex(pattern);
return rx.IsMatch(s);
}
}
}
/************************最后修改人：Hugo ***************************/
using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text;
using System.Threading.Tasks;
//从键盘上获取矩阵
int nummatrix = Int32.Parse(Console.ReadLine());
int countmat = 0;
for (countmat = 0; countmat < nummatrix; countmat++)
{
string s = Console.ReadLine();
/************************ Matrix Chain Multiplication ***************************/
/************************作者：Hugo ***************************/
/************************最后修改日期：2015.09.10 ***************************/
/***********************************************************************************************/
//从键盘上获取计算式
Program t = new Program();
string input = " ";
{
sign = 1;
break;
}
else
{
//计算两个矩阵相乘的乘法次数
result = result + (int)listcolumn[engnum1 - 65] * (int)listrow[engnum2 - 65] * (int)listcolumn[engnum2 - 65];
counቤተ መጻሕፍቲ ባይዱmat = countmat + 1;
while (!t.b(input))
{
input = Console.ReadLine();
list1.Add(input);
nummulti = nummulti + 1;
}
for (int i = 0; i < nummulti - 1; i++)//取出列表中存储的计算式
{
string mystr = (string)list1[i];
//把两个矩阵相乘后得到的矩阵存储到矩阵行数和列数存储列表中
listrow.Add(listrow[engnum2 - 65]);
listcolumn.Add(listcolumn[engnum1 - 65]);
//把两个矩阵相乘后得到的矩阵存储到计算式元素存储列表中
list2[count] = countmat + 64;
int engnum1 = 0;
int engnum2 = 0;
if (64 < num && num < 98)//把计算式元素存储到计算式元素存储列表中
{
list2.Add(num);
count = count + 1;
}
else if (num == 41)//遇到“）”则取两个存储矩阵进行计算
int count = 0;
Stack mystack = new Stack();
ArrayList list2 = new ArrayList();//定义计算式元素存储列表
foreach (char c in mystr)
{
int num = Convert.ToInt32(c);
string str = Convert.ToString(c);