北京市朝阳区2016届高三数学第一次综合练习(一模)试题文(含解析)

2016年北京高三模拟题分类汇编之向量 精心校对版△注意事项： 1.本系列试题包含2016北京市各城区一模二模真题。

2.本系列文档有相关的试题分类汇编，具体见封面。

3.本系列文档为北京双高教育精心校对版本 4.本系列试题涵盖北京历年（2011年-2020年）高考所有学科 i. 、选择题（本大题共6小题，每小题0分，共0分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1.（2016北京东城区高三二模数学(文)）已知向量(cos ,sin )OA ββ=，将向量OA 绕坐标原点O 逆时针旋转θ角得到向量OB (090)θ<<，则下列说法不正确的是 （A ）OA OB OA OB +>-（B ）2AB <（C ）OA OB OA OB +=-（D ）()()OA OB OA OB +⊥- 【答案解析】C 2.（2016北京西城区高三一模数学(文)）在平面直角坐标系中，向量OA ＝(-1, 2)，OB ＝(2, m ) ， 若O , A , B 三点能构成三角形，则（ ） （A ）4m =- （B ）4m ≠- （C ）1m ≠ （D ）m ∈R 【答案解析】B 3.（2016北京朝阳区高三一模数学(文)）已知非零平面向量,a b ，“+=-a b a b ”是“⊥a b ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案解析】C 4.（2016北京海淀区高三一模数学(文)）已知向量，若，则t=（ ）xOy 姓名：__________班级：__________考号：__________ ●-------------------------密--------------封--------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●A ．1B ．3C ．±3D ．﹣3【答案解析】C5.（2016北京海淀区高三二模数学(文)）已知向量(1,2),=a (2,)t =b , 且0⋅=a b ，则=|b |B. C. D.5【答案解析】A6.（2016北京石景山区高三一模数学(文)）如图所示，已知正方形ABCD 的边长为1，点E 从D 点出发，按字母顺序D A B C →→→沿线段DA ，AB ，BC 运动到C 点，在此过程中DE CD ⋅的最大值是( )A ．0B ．12C ．1D ．1-【答案解析】Aii. 、填空题（本大题共6小题，每小题0分，共0分） 7.（2016北京西城区高三二模数学(文)）设平面向量,a b 满足||||2==a b ，()7⋅+=a a b ，则向量,a b 夹角的余弦值为_____. 【答案解析】348.（2016北京朝阳区高三二模数学(文)）已知向量(1,2)=a ，向量(2,)m =b ，若+a b 与a 垂直，则实数m 的值为 ．【答案解析】72- 9.（2016北京东城区高三一模数学(文)）如图，在矩形OABC 中，点E ，F 分别在线段AB ，BC 上，且满足3A B A E=，3BC CF =，若(,)O B O E O F λμλμ=+∈R ，则+λμ= ．【答案解析】3210.（2016北京丰台区高三一模数学(文)）已知△ABC 中，AB =4，AC =3，∠CAB=90o ，则BA BC ⋅=___________．【答案解析】1611.（2016北京丰台区高三二模数学(文)）已知向量(1,2),(1,3)a b ==-，则|2|a b +=_______.【答案解析】512.（2016年北京高考真题数学(文)）已知向量=a b ，则a 与b 夹角的大小为_________. 【答案解析】6πC BEO。

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习理科综合物理试卷13．下列说法正确的是A．物体的温度升高，物体内所有分子热运动的速率都增大B．物体的温度升高，物体内分子的平均动能增大C．物体吸收热量，其内能一定增加D．物体放出热量，其内能一定减少14．a 、b 两种单色光以相同的入射角从半圆形玻璃砖的圆心O 射向空气，其光路如图所示。

下列说法正确的是A．a 光由玻璃射向空气发生全反射时的临界角较小B．该玻璃对a 光的折射率较小C．b 光的光子能量较小D．b 光在该玻璃中传播的速度较大15．如图所示，倾角θ＝30°的光滑斜面固定在水平面上，重为G 的物块在水平向右的推力F 作用下，沿斜面向上匀速运动，斜面对物块支持力的大小为N 。

下列关系正确的是A．F ＞G B．F＝G C．N＞G D．N ＜G第15题第16题16．如右上图所示，通电直导线MN 与矩形金属线框abcd 位于同一平面内，导线中的电流方向如图所示。

若导线中的电流增大，下列说法正确的是A．穿过线框的磁通量始终为零B．穿过线框的磁通量变小C．ab边感应电流的方向为b→a D．ab 边受到的安培力方向向右17．图1 为一列简谐横波在t ＝0时刻的波形图，P是平衡位置在x ＝1.0m处的质点，Q是平衡位置在x＝ 4.0m处的质点；图2 为质点Q的振动图像。

下列说法正确的是A．t ＝0时质点Q向y轴负方向运动B．从t ＝0时起，质点Q比质点P先到达波谷C．在0 ~ 0.1s 内，该波沿x 轴正方向传播了4m D．在0 ~ 0.2s 内，质点Q 通过的路程为8m 18．万有引力定律是科学史上最伟大的定律之一，利用它我们可以进行许多分析和预测。

2016年3 月8 日出现了“木星冲日”。

当地球位于太阳和木星之间且三者几乎排成一条直线时，天文学家称之为“木星冲日”。

木星与地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做匀速圆周运动，木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5 倍。

则 P(A)
C31 C72 C30 C130
C73
49 60
．
所以选出的 3 名同学来自班级的概率为 49 ． 60
（Ⅱ）随机变量 X 的所有可能值为 0 ，1， 2 ， 3 ，则
P(X
0)
C30 C73 C130
7 24
； P(X
1)
C31 C72 C130
21 40
；
P(X
2)
C32 C71 C130
所以 AB∥EF ．
（Ⅱ）取 AD 中点 G ，连接 PG ， GB ．
因为 PA PD ，所以 PG AD ．
又因为平面 PAD 平面 ABCD ， 且平面 PAD 平面 ABCD AD ，
所以 PG 平面 ABCD ．所以 PG GB ．
在菱形 ABCD 中，因为 AB AD ，
x2
7
19．（本小题满分 14 分） 已知圆 O ： x2 y2 1的切线 l 与椭圆 C ： x2 3y2 4 相交于 A ， B 两点．
（Ⅰ）求椭圆 C 的离心率； （Ⅱ）求证： OA OB ； （Ⅲ）求 △OAB 面积的最大值．
8
20．（本小题满分 13 分）
已知有穷数列： a1 ， a2 ， a3 ， ， ak （ k N* ， k≥3 ）的各项均为正数，且满足
；
若 x 2 ， y 3 ， z 4 ，则 S△AOB : S△BOC : S△AOC
．
3
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分 13 分）
某中学高一年级共 8 个班，现从高一年级选10 名同学组成社区服务小组，其中高一（1） 班选取 3 名同学，其它各班各选取1 名同学．现从这10 名同学中随机选取 3 名同学，到社区 老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）．

2016年北京市朝阳区高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A＝{x|1＜2x＜4}，B＝{x|x﹣1≥0}，则A∩B＝（）A．{x|1≤x＜2}B．{x|0＜x≤1}C．{x|0＜x＜1}D．{x|1＜x＜2} 2．（5分）已知复数z＝（i是虚数单位），则z在复平面上对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．6B．10C．14D．154．（5分）已知非零向量，，“∥”是“∥（+）”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）同时具有性质：①最小正周期是π；②图象关于直线x＝对称；③在区间上是单调递增函数”的一个函数可以是（）A．B．C．D．6．（5分）已知函数f（x）＝（a＞0且a≠1）的最大值为1，则a的取值范围是（）A．B．（0，1）C．D．（1，+∞）7．（5分）某学校高三年级有两个文科班，四个理科班，现每个班指定1人，对各班的卫生进行检查，若每班只安排一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，则不同安排方法的种数是（）A．48B．72C．84D．1688．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E是棱D1C1的中点，点F 在正方体内部或正方体的表面上，且EF∥平面A1BC1，则动点F的轨迹所形成的区域面积是（）A．B．2C．3D．4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．（5分）双曲线C：＝1的渐近线方程是；若抛物线y2＝2px（p ＞0）的焦点与双曲线C的一个焦点重合，则p＝．10．（5分）如图，P为⊙O外一点，P A是⊙O的切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于B，C两点，且PC＝3P A，D为线段BC的中点，AD的延长线交⊙O于点E．若PB＝1，则P A的长为；AD•DE的值是．11．（5分）已知等边△ABC的边长为3，D是BC边上一点，若BD＝1，则的值是．12．（5分）已知关于x，y的不等式组所表示的平面区域D为三角形区域，则实数k的取值范围是．13．（5分）为了响应政府推进“菜篮子”工程建设的号召，某经销商投资60万元建了一个蔬菜生产基地．第一年支出各种费用8万元，以后每年支出的费用比上一年多2万元．每年销售蔬菜的收入为26万元．设f（n）表示前n年的纯利润（f（n）＝前n年的总收入﹣前n年的总费用支出﹣投资额），则f （n）＝（用n表示）；从第年开始盈利．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，以点A（2，0），曲线y＝上的动点B，第一象限内的点C，构成等腰直角三角形ABC，且∠A＝90°，则线段OC长的最大值是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知cos2A＝﹣，c＝，sin A＝sin C．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若角A为锐角，求b的值及△ABC的面积．16．（13分）交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映某区域道路网在某特定时段内畅通或拥堵实际情况的概念性指数值．交通指数范围为（0，10），五个级别规定如下：某人在工作日上班出行每次经过的路段都在同一个区域内，他随机记录了上班的40个工作日早高峰时段（早晨7点至9点）的交通指数（平均值），其统计结果如直方图所示．（Ⅰ）据此估计此人260个工作日中早高峰时段（早晨7点至9点）中度拥堵的天数；（Ⅱ）若此人早晨上班路上所用时间近似为：畅通时30分钟，基本畅通时35分钟，轻度拥堵时40分钟，中度拥堵时50分钟，严重拥堵时70分钟，以直方图中各种路况的频率作为每天遇到此种路况的概率，求此人上班路上所用时间X的数学期望．17．（14分）如图1，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，BC＝AD＝2，∠A＝60°，E为AD中点，点O，F分别为BE，DE的中点．将△ABE沿BE折起到△A1BE 的位置，使得平面A1BE⊥平面BCDE（如图2）．（Ⅰ）求证：A1O⊥CE；（Ⅱ）求直线A1B与平面A1CE所成角的正弦值；（Ⅲ）侧棱A1C上是否存在点P，使得BP∥平面A1OF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．18．（13分）已知函数f（x）＝﹣+（a+1）x+（1﹣a）lnx，a∈R．（Ⅰ）当a＝3时，求曲线C：y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当x∈[1，2]时，若曲线C：y＝f（x）上的点（x，y）都在不等式组所表示的平面区域内，试求a的取值范围．19．（14分）在平面直角坐标系xOy中，点P（x0，y0）（y0≠0）在椭圆C：＝1上，过点P的直线l的方程为y＝1．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）若直线l与x轴、y轴分别相交于A，B两点，试求△OAB面积的最小值；（Ⅲ）设椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，点Q与点F1关于直线l对称，求证：点Q，P，F2三点共线．20．（13分）已知集合S＝（n≥2，且n∈N*）．若存在非空集合S1，S2，…，S n，使得S＝S1∪S2∪…∪S n，且S i∩S j＝∅（1≤i，j≤n，i≠j），并∀x，y∈S i（i＝1，2，…，n），x＞y，都有x﹣y∉S i，则称集合S具有性质P，S i（i＝1，2，…，n）称为集合S的P子集．（Ⅰ）当n＝2时，试说明集合S具有性质P，并写出相应的P子集S1，S2；（Ⅱ）若集合S具有性质P，集合T是集合S的一个P子集，设T′＝{s+3n|s∈T}，求证：∀x，y∈T∪T′，x＞y，都有x﹣y∉T∪T′；（Ⅲ）求证：对任意正整数n≥2，集合S具有性质P．2016年北京市朝阳区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A＝{x|1＜2x＜4}，B＝{x|x﹣1≥0}，则A∩B＝（）A．{x|1≤x＜2}B．{x|0＜x≤1}C．{x|0＜x＜1}D．{x|1＜x＜2}【考点】1E：交集及其运算．【解答】解：由A中不等式变形得：20＝1＜2x＜4＝22，解得：0＜x＜2，即A＝{x|0＜x＜2}，由B中不等式解得：x≥1，即B＝{x|x≥1}，则A∩B＝{x|1≤x＜2}，故选：A．2．（5分）已知复数z＝（i是虚数单位），则z在复平面上对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【解答】解：复数z＝＝＝＝﹣+i，在复平面内对应点为（﹣，），此点位于第二象限，故选：B．3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．6B．10C．14D．15【考点】EF：程序框图．【解答】解：模拟执行程序，可得k＝2，S＝1满足条件k＜5，执行循环体，S＝3，k＝3满足条件k＜5，执行循环体，S＝6，k＝4满足条件k＜5，执行循环体，S＝10，k＝5不满足条件k＜5，退出循环，输出S的值为10．故选：B．4．（5分）已知非零向量，，“∥”是“∥（+）”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【解答】解：非零向量，，由∥，可得存在非0实数k使得，∴＝＝，∴∥（+），反之：由∥（+），可得存在非0实数k使得＝k，化为＝（k﹣1），∴．∴“∥”是“∥（+）”的充要条件，故选：C．5．（5分）同时具有性质：①最小正周期是π；②图象关于直线x＝对称；③在区间上是单调递增函数”的一个函数可以是（）A．B．C．D．【考点】H2：正弦函数的图象．【解答】解：对于y＝cos（+），它的周期为＝4π，故不满足条件．对于y＝sin（2x+），在区间上，2x+∈[，]，故该函数在区间上不是单调递增函数，故不满足条件．对于y＝cos（2x﹣），当x＝时，函数y＝，不是最值，故不满足②它的图象关于直线x＝对称，故不满足条件．对于y＝sin（2x﹣），它的周期为＝π，当x＝时，函数y＝1，是函数的最大值，满足它的图象关于直线x＝对称；且在区间上，2x﹣∈[，]，故该函数在区间上是单调递增函数，满足条件．故选：D．6．（5分）已知函数f（x）＝（a＞0且a≠1）的最大值为1，则a的取值范围是（）A．B．（0，1）C．D．（1，+∞）【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【解答】解：∵当x≤2时，f（x）＝x﹣1，∴f（x）max＝f（2）＝1∵函数f（x）＝（a＞0且a≠1）的最大值为1∴当x＞2时，2+log a x≤1．∴，解得a∈[，1）故选：A．7．（5分）某学校高三年级有两个文科班，四个理科班，现每个班指定1人，对各班的卫生进行检查，若每班只安排一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，则不同安排方法的种数是（）A．48B．72C．84D．168【考点】D3：计数原理的应用．【解答】解：第一步选2名理科班的学生检查文科班，有A42＝12种，第二步，分三类，第1类，2名文科生检查剩下的2名理科生所在的班级，2名理科生检查另2名理科生所在的班级，有A22A22＝4种，第2类，2名文科生检查去文科班检查的2名理科生所在的班级，剩下的2名理科生互查所在的班级，有A22A11＝2种，第3类，2名文科生一人去检查去文科班检查的2名理科生所在的班级的一个和一人去查剩下的2名理科生其中一个所在的班级，有A21A21A21＝8种，根据分类分步计数原理可得，共有12×（4+2+8）＝168种不同安排方法故选：D．8．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E是棱D1C1的中点，点F 在正方体内部或正方体的表面上，且EF∥平面A1BC1，则动点F的轨迹所形成的区域面积是（）A．B．2C．3D．4【考点】L2：棱柱的结构特征．【解答】解：如图所示：分别取CC1、BC、AB、AA1、A1D1的中点G、H、M、N、K，并连同点E顺次链接，根据EG为△C1CD1的中位线，可得EG∥CD1，而CD1∥A1B，∴EG∥A1B．∵A1B⊂平面A1BC1，EG⊄平面A1BC1，∴EG∥平面A1BC1 ．同理可证，GH、HM、MN、NK、KE都平行于平面A1BC1，由题意可得，点F的轨迹为正六边形EGHMNK，该该正六边形EGHMNK的边长为，故该正六边形EGHMNK的面积为6•（）＝3，故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．（5分）双曲线C：＝1的渐近线方程是；若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点与双曲线C的一个焦点重合，则p＝4．【考点】KC：双曲线的性质．【解答】解：在双曲线中，令1为0得，＝0，即双曲线的渐近线为，在双曲线中c2＝3+1＝4，即c＝2，则双曲线的焦点坐标为（2，0）或（﹣2，0），则抛物线的焦点坐标为（2，0），即＝2，则p＝4，故答案为：，410．（5分）如图，P为⊙O外一点，P A是⊙O的切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于B，C两点，且PC＝3P A，D为线段BC的中点，AD的延长线交⊙O于点E．若PB＝1，则P A的长为3；AD•DE的值是16．【考点】NC：与圆有关的比例线段．【解答】解：∵P A是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴P A2＝PB•PC，∵PC＝3P A，PB＝1，∴P A2＝1•3P A，∴P A＝3；∵P A2＝PB•PC，PC＝3P A，∴P A＝3PB，∴4PB＝BD，∴BD＝4，∴AD•DE＝BD•DC＝BD2＝16．故答案为：3，16．11．（5分）已知等边△ABC的边长为3，D是BC边上一点，若BD＝1，则的值是6．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【解答】解：＝3×3×cos60°＝．＝．∴＝，∴＝（）＝+＝＝6．故答案为6．12．（5分）已知关于x，y的不等式组所表示的平面区域D为三角形区域，则实数k的取值范围是k≤﹣2或﹣1≤k≤0．【考点】7C：简单线性规划．【解答】解：关于x，y不等式组表示的平面区域为如图三角形ABO：可知A（1，21），B（2，0）而不等式2x﹣y≥k表示直线2x﹣y﹣k＝0的左下方，直线2x﹣y﹣k＝0与y轴交点坐标为（0，﹣k），若直线2x﹣y﹣k＝0与y轴交点在线段OB上（不包括B点，不包括O点），直线2x﹣y﹣k＝0在l的左上方，或夹在l1与l2之间．或直线2x﹣y﹣k＝0与直线x+y＝2的交点在AB内，关于x，y的不等式组所表示的平面区域D不为三角形区域．﹣k≥2，0≤﹣k≤2﹣1，解得：k≤﹣2或﹣1≤k≤0．故答案为：k≤﹣2或﹣1≤k≤0．13．（5分）为了响应政府推进“菜篮子”工程建设的号召，某经销商投资60万元建了一个蔬菜生产基地．第一年支出各种费用8万元，以后每年支出的费用比上一年多2万元．每年销售蔬菜的收入为26万元．设f（n）表示前n年的纯利润（f（n）＝前n年的总收入﹣前n年的总费用支出﹣投资额），则f （n）＝﹣n2+19n﹣60（用n表示）；从第5年开始盈利．【考点】36：函数解析式的求解及常用方法；8I：数列与函数的综合．【解答】解：每年支出的费用构成以8为首项，d＝2为公差的等差数列，则f（n）＝26n﹣（8n+×2）﹣60＝﹣n2+19n﹣60，由f（n）＝﹣n2+19n﹣60＞0得n2﹣19n+60＜0，即（n﹣4）（n﹣15）＜0，得4＜n＜15，故当n＝5时，开始盈利，故答案为：﹣n2+19n﹣60，514．（5分）在平面直角坐标系xOy中，以点A（2，0），曲线y＝上的动点B，第一象限内的点C，构成等腰直角三角形ABC，且∠A＝90°，则线段OC长的最大值是1+2．【考点】IR：两点间的距离公式．【解答】解：曲线y＝是以O为圆心，1为半径的上半圆，可设B（cosθ，sinθ），0≤θ≤π，C（m，n）（m，n＞0），由等腰直角三角形ABC，可得AB⊥AC，即有•＝﹣1，①|AB|＝|AC|，即有＝，即为（m﹣2）2+n2＝（cosθ﹣2）2+sin2θ，②由①②解得m＝2+sinθ，n＝2﹣cosθ，或m＝2﹣sinθ，n＝cosθ﹣2（舍去）．则|OC|＝＝＝，当θ﹣＝，即θ＝∈[0，π]，取得最大值＝1+2．故答案为：1+2．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知cos2A＝﹣，c＝，sin A＝sin C．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若角A为锐角，求b的值及△ABC的面积．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，因为，由正弦定理，得．…（6分）（Ⅱ）由得，，由得，，则，由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，化简得，b2﹣2b﹣15＝0，解得b＝5或b＝﹣3（舍负）．所以．…（13分）16．（13分）交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映某区域道路网在某特定时段内畅通或拥堵实际情况的概念性指数值．交通指数范围为（0，10），五个级别规定如下：某人在工作日上班出行每次经过的路段都在同一个区域内，他随机记录了上班的40个工作日早高峰时段（早晨7点至9点）的交通指数（平均值），其统计结果如直方图所示．（Ⅰ）据此估计此人260个工作日中早高峰时段（早晨7点至9点）中度拥堵的天数；（Ⅱ）若此人早晨上班路上所用时间近似为：畅通时30分钟，基本畅通时35分钟，轻度拥堵时40分钟，中度拥堵时50分钟，严重拥堵时70分钟，以直方图中各种路况的频率作为每天遇到此种路况的概率，求此人上班路上所用时间X的数学期望．【考点】B8：频率分布直方图；CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【解答】解：（Ⅰ）由已知可得：上班的40个工作日中早高峰时段中度拥堵的频率为0.25，据此估计此人260个工作日早高峰时段（早晨7点至9点）中度拥堵的天数为260×0.25＝65天．…5分（Ⅱ）由题意可知X的可能取值为30，35，40，50，70．且P（X＝30）＝0.05，P（X＝35）＝0.10，P（X＝40）＝0.45，P（X＝50）＝0.25，P（X＝70）＝0.15，∴X的分布列为：∴EX＝30×0.05+35×0.1+40×0.45+50×0.25+70×0.15＝46．…13分17．（14分）如图1，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，BC＝AD＝2，∠A＝60°，E为AD中点，点O，F分别为BE，DE的中点．将△ABE沿BE折起到△A1BE 的位置，使得平面A1BE⊥平面BCDE（如图2）．（Ⅰ）求证：A1O⊥CE；（Ⅱ）求直线A1B与平面A1CE所成角的正弦值；（Ⅲ）侧棱A1C上是否存在点P，使得BP∥平面A1OF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；LS：直线与平面平行；MI：直线与平面所成的角．【解答】解：（Ⅰ）如图1，在等腰梯形ABCD中，∵BC∥AD，，∠A＝60°，E为AD中点，∴△ABE为等边三角形．如图2，∵O为BE的中点，∴A1O⊥BE．又∵平面A1BE⊥平面BCDE，且平面A1BE∩平面BCDE＝BE，所以A1O⊥平面BCDE，所以A1O⊥CE；（Ⅱ）如图2，连结OC，由已知得CB＝CE，又O为BE的中点，∴OC⊥BE．由（Ⅰ）知A1O⊥平面BCDE，∴A1O⊥BE，A1O⊥OC，∴OA1，OB，OC两两垂直．以O为原点，OB，OC，OA1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系（如图2）．∵BC＝2，易知．∴，∴．设平面A1CE的一个法向量为n＝（x，y，z），由得即取z＝1，得．设直线A1B与平面A1CE所成角为θ，则．所以直线A1B与平面A1CE所成角的正弦值为．（Ⅲ）如图3，假设在侧棱A1C上存在点P，使得BP∥平面A1OF．设，λ∈[0，1]．∵，∴．易证四边形BCDE为菱形，且CE⊥BD，又由（Ⅰ）可知，A1O⊥CE，所以CE⊥平面A1OF．所以为平面A 1OF的一个法向量．由，得．所以侧棱A1C上存在点P，使得BP∥平面A1OF，且．18．（13分）已知函数f（x）＝﹣+（a+1）x+（1﹣a）lnx，a∈R．（Ⅰ）当a＝3时，求曲线C：y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当x∈[1，2]时，若曲线C：y＝f（x）上的点（x，y）都在不等式组所表示的平面区域内，试求a的取值范围．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【解答】解：（Ⅰ）当a＝3时，，x＞0．导数为f′（x）＝﹣x+4﹣，则f'（1）＝﹣1+4﹣2＝1，而．所以曲线C在点（1，f（1））处的切线方程为，即2x﹣2y+5＝0．（Ⅱ）依题意当x∈[1，2]时，曲线C上的点（x，y）都在不等式组所表示的平面区域内，等价于当1≤x≤2时，恒成立．设g（x）＝f（x）﹣x＝，x∈[1，2]．所以＝．（1）当a﹣1≤1，即a≤2时，当x∈[1，2]时，g'（x）≤0，g（x）为单调减函数，所以g（2）≤g（x）≤g（1）．依题意应有，解得，即1≤a≤2；（2）若1＜a﹣1＜2，即2＜a＜3时，当x∈[1，a﹣1），g'（x）≥0，g（x）为单调增函数，当x∈（a﹣1，2]，g'（x）＜0，g（x）为单调减函数．由于，所以不合题意．（3）当a﹣1≥2，即a≥3时，注意到，显然不合题意．综上所述，1≤a≤2．19．（14分）在平面直角坐标系xOy中，点P（x0，y0）（y0≠0）在椭圆C：＝1上，过点P的直线l的方程为y＝1．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）若直线l与x轴、y轴分别相交于A，B两点，试求△OAB面积的最小值；（Ⅲ）设椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，点Q与点F1关于直线l对称，求证：点Q，P，F2三点共线．【考点】K4：椭圆的性质．【解答】解：（Ⅰ）依题意可知，，所以椭圆C离心率为；（Ⅱ）因为直线l与x轴，y轴分别相交于A，B两点，所以x0≠0，y0≠0．令y＝0，由得，则．令x＝0，由得，则．＝|OA|•OB|＝||＝．所以△OAB的面积S△OAB因为点P（x0，y0）在椭圆C：上，所以．所以1＝+y02≥2•，即，则．所以S≥，△OAB当且仅当，即时，△OAB面积的最小值为．（Ⅲ）证明：①当x0＝0时，P（0，±1）．当直线l：y＝1时，易得Q（﹣1，2），此时，．因为，所以三点Q，P，F 2共线．同理，当直线l：y＝﹣1时，三点Q，P，F2共线．②当x0≠0时，设点Q（m，n），因为点Q与点F1关于直线l对称，所以整理得解得，所以点．又因为，，且＝＝．所以．所以点Q，P，F2三点共线．综上所述，点Q，P，F2三点共线．20．（13分）已知集合S＝（n≥2，且n∈N*）．若存在非空集合S1，S2，…，S n，使得S＝S1∪S2∪…∪S n，且S i∩S j＝∅（1≤i，j≤n，i≠j），并∀x，y∈S i（i＝1，2，…，n），x＞y，都有x﹣y∉S i，则称集合S具有性质P，S i（i＝1，2，…，n）称为集合S的P子集．（Ⅰ）当n＝2时，试说明集合S具有性质P，并写出相应的P子集S1，S2；（Ⅱ）若集合S具有性质P，集合T是集合S的一个P子集，设T′＝{s+3n|s∈T}，求证：∀x，y∈T∪T′，x＞y，都有x﹣y∉T∪T′；（Ⅲ）求证：对任意正整数n≥2，集合S具有性质P．【考点】12：元素与集合关系的判断；RG：数学归纳法．【解答】证明：（Ⅰ）当n＝2时，S＝{1，2，3，4}，令S1＝{1，4}，S2＝{2，3}，则S＝S1∪S2，且对∀x，y∈S i（i＝1，2），x＞y，都有x﹣y∉S i，所以S具有性质P．相应的P子集为S1＝{1，4}，S2＝{2，3}．（Ⅱ）①若，由已知x﹣y∉T，又，所以x﹣y∉T'．所以x﹣y∉T∪T'．②若x，y∈T'，可设x＝s+3n，y＝r+3n，r，s∈T，且，此时．所以x﹣y∉T'，且x﹣y＝s﹣r∉T．所以x﹣y∉T∪T'．③若y∈T，x＝s+3n∈T'，s∈T，则，所以x﹣y∉T．又因为y∈T，s∈T，所以s﹣y∉T．所以x﹣y＝（s+3n）﹣y＝（s﹣y）+3n∉T'．所以x﹣y∉T∪T'．综上，对于∀x，y∈T∪T'，x＞y，都有x﹣y∉T∪T'．（Ⅲ）用数学归纳法证明．（1）由（Ⅰ）可知当n＝2时，命题成立，即集合S具有性质P．（2）假设n＝k（k≥2）时，命题成立．即，且S i∩S j＝∅（1≤i，j≤n，i≠j），∀x，y∈S i（i＝1，2，…，k），x＞y，都有x﹣y∉S i．那么当n＝k+1时，记，i＝1，2，…k，并构造如下k+1个集合：S''1＝S1∪S'1，S''2＝S2∪S'2，…，S''k＝S k∪S'k，，显然S''i∩S''j＝∅（i≠j）．又因为，所以．下面证明S i″中任意两个元素之差不等于S i″中的任一元素（i＝1，2，…，k+1）．①若两个元素，，则，所以．②若两个元素都属于S''i＝S i∪S'i（1≤i≤k），由（Ⅱ）可知，S''i中任意两个元素之差不等于S''i中的任一数（i＝1，2，…，k+1）．从而，n＝k+1时命题成立．综上所述，对任意正整数n≥2，集合S具有性质P．。