2020年高三数学综合练习试题及评分标准

高2020届高三下学期综合练习1参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1．B 2．D 3．D 4．C 5．A 6. C 7. A 8．A 9．B 10．D 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 注：第15题第一问3分，第二问2分.11．-1012 13．3 14．答案不唯一，如2211648x y -= 15.1232；5三、解答题：本大题共6小题，共85分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为1()2cos cos )2f x x x x =⋅-……………… 2分2cos cos x x x=-112cos222x x --……………… 5分π1sin(2)62x =--， ……………… 7分所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==. ……………… 8分（Ⅱ）因为π02x -≤≤，所以7πππ2666x ---≤≤． ……………… 9分所以当ππ262x -=-，即π6x =-时，()f x 取得最小值32-. ……………… 11分 当π7π266x -=-，即π2x =-时，()f x 取得最大值0． ……………… 13分 17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设事件：“在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人”为M ， ……………… 1分 由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42，……………… 2分 所以在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人的概率193929()10050P M +==.……………… 3分 （Ⅱ）由题意，X 的所有可能取值为：0，1，2. ……………… 4分因为在2018年从A 市到B 市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取1人次，此人为老年人概率是151755=， ……………… 5分 所以022116(0)C (1)525P X ==⨯-=， ……………… 6分 12118(1)C (1)5525P X ==⨯⨯-=， ……………… 7分 22211(2)C ()525P X ==⨯=. ……………… 8分所以随机变量X 的分布列为：……………… 9分 故16812()0122525255E X =⨯+⨯+⨯=. ……………… 11分 （Ⅲ）答案不唯一，言之有理即可.如可以从满意度的均值来分析问题，参考答案如下：由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为：521012511011652121115⨯+⨯+⨯=++，乘坐飞机的人满意度均值为：410145702241475⨯+⨯+⨯=++， ……………… 13分因为11622155>， 所以建议甲乘坐高铁从A 市到B 市. …………… 14分 第3问仅文字说明，且有理，只得1分； 要有必要的计算数据支撑观点，共2分 从满意度来说理，且有数据支撑，得2分从人多少啥得说理，有数据支撑，得1分（因为这里有从众心理）意图数学问题的解答，应“有理有据” 18．（本小题满分15分）解：（Ⅰ）由题意，三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱. 连接1A C . 设11AC AC E =I ，则E 是1A C 的中点. 连接DE . 由D ，E 分别为BC 和1A C 的中点，得1//DE A B . ……………… 2分又因为DE ⊂平面1AC D ，1A B ⊄平面1AC D ，所以1//A B 平面1AC D . ……………… 4分B 1 CDB AA 1C 1E（Ⅱ）取11B C 的中点F ，连接DF .因为△ABC 为正三角形，且D 为BC 中点， 所以AD BC ⊥.由D ，F 分别为BC 和11B C 的中点，得1//DF BB ，又因为1BB ⊥平面ABC ， 所以DF ⊥平面ABC ， 所以DF AD ⊥，DF BC ⊥.分别以DC ，DF ，DA 为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系，… 5分 则A ，1(1,2,0)C ，(1,0,0)C ，(0,0,0)D ，(1,0,0)B -，所以1(1,2,0)DC =u u u u r ，DA =u u u r ，(CA =-u u u r ，1(0,2,0)CC =u u u u r， …… 6分设平面1AC D 的法向量1111(,,)x y z =n ， 由10DA ⋅=u u u r n ，110DC ⋅=u u u u r n ，得1110,20,x y =+=⎪⎩令11y =，得1(2,1,0)=-n . ……………… 8分 设平面1AC C 的法向量2222(,,)x y z =n ， 由20CA ⋅=u u u r n ，120CC ⋅=u u u u r n ，得2220,20,x y ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩令21z =，得2=n . ……………… 9分 设二面角1C AC D --的平面角为θ，则 1212|cos |||||||θ⋅=⋅n n n n ， ……………… 10分 由图可得二面角1C AC D --为锐二面角， 所以二面角1C AC D --. ……………… 11分 （Ⅲ）结论：直线11A B 与平面1AC D 相交. ……………… 12分 证明：因为(1,0,AB =-u u u r，11//A B AB ，且11=A B AB ，所以11(1,0,A B =-u u u u r. ……………… 13分 又因为平面1AC D 的法向量1(2,1,0)=-n ，且11120A B ⋅=≠u u u u rn ，所以11A B u u u u r与1n 不垂直，所以11A B ⊄平面1AC D ，且11A B 与平面1AC D 不平行，故直线11A B 与平面1AC D 相交. ……………… 15分 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意，得F，直线(l y k x =-：（0k ≠）， ……………… 2分 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立22(1,4y k x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩消去y，得2222(41)(124)0k x x k +-+-=，…… 3分显然0∆>，12x x +=， ……………… 4分则点M的横坐标122M x x x +=， ……………… 5分因为0M x =>， 所以点M 在y 轴的右侧. ……………… 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得点M的纵坐标2(41M M y k x k ==+. ……………… 7分即M .所以线段AB的垂直平分线方程为：1(y x k +=-. ……… 8分 令0x =，得D ；令0y =，得C . ……………… 10分 所以△ODC的面积222127||22(41)ODCk k S k ∆⋅=⋅⋅+， ……… 11分△CMF的面积22213(1)||||22(41)CMFk k S k ∆+⋅=⋅⋅=+. …… 12分 因为△ODC 与△CMF 的面积相等，所以22222227||3(1)||2(41)2(41)k k k k k k ⋅+⋅=++，解得4k =±.所以当△ODC 与△CMF 的面积相等时，直线l 的斜率k =. ……… 14分 20．（本小题满分15分） 解：（Ⅰ）由21()e 2x f x x =+，得()e x f x x '=+, ……………… 2分 所以(0)1f =，(0)1f '=.所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为10x y -+=. …………… 4分 （Ⅱ）由21()e 2x f x x x =-+，得()e 1x f x x '=-+， 则(0)0f '=. … …………… 5分 当0x >时，由e 10,0x x ->>，得()e 10x f x x '=-+>，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； ……………… 7分 当0x <时，由e 10,0x x -<<，得()e 10x f x x '=-+<， 所以函数()f x 在(,0)-∞上单调递减.综上，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞. … 9分（Ⅲ）由21()2f x x x b ++≥，得e (1)0x a x b -+-≥在x ∈R 上恒成立.设()e (1)x g x a x b =-+-， ……………… 10分 则()e (1)x g x a '=-+.由()e (1)0xg x a '=-+=，得ln(1)x a =+，（1a >-）. ……………… 11分随着x 变化，()g x '与()g x 的变化情况如下表所示：所以()g x 在(,ln(1))a -∞+上单调递减，在(ln(1),)a ++∞上单调递增. 所以函数()g x 的最小值为(ln(1))(1)(1)ln(1)g a a a a b +=+-++-.由题意，得(ln(1))0g a +≥，即 1(1)ln(1)b a a a --++≤. …………… 13分设()1ln (0)h x x x x =->，则()ln 1h x x '=--.因为当10e x <<时，ln 10x -->； 当1e x >时，ln 10x --<， 所以()h x 在1(0,)e 上单调递增，在1(,)e +∞上单调递减.所以当1e x =时，max 11()()1e eh x h ==+. 所以当11e a +=，1(1)ln(1)b a a a =+-++，即11e a =-，2eb =时，b a -有最大值为11e+. …………… 15分 第（1）问：直线不化简，不扣分； 第（2）问：求导不给分；第（3）问：不给出a , b 的取值，扣1分（注：h(x)设得不好，便成了复合函数，注意这里没有超纲）21．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）答案不唯一. 如{1,2,3,,100}A =L ； ……………… 3分 （Ⅱ）假设存在一个0{101,102,,200}x ∈L 使得0x A ∈, ……………… 4分 令0100x s =+，其中s ∈N 且100s ≤≤1，由题意，得100s a a A +∈， ……………… 6分 由s a 为正整数，得100100s a a a +>，这与100a 为集合A 中的最大元素矛盾， 所以任意{101,102,,200}x ∈L ，x A ∉. ……………… 8分 （Ⅲ）设集合{201,202,,205}A I L 中有(15)m m ≤≤个元素，100m a b -=， 由题意，得12100200m a a a -<<<L ≤，10011002100200m m a a a -+-+<<<<L ，由（Ⅱ），得100100m a b -=≤. 假设100b m >-，则1000b m -+>. 因为10010010055100b m m -+-+=<-≤， 由题设条件，得100100m b m a a A --++∈，因为100100100100200m b m a a --+++=≤， 所以由（Ⅱ）可得100100100m b m a a --++≤，这与100m a -为A 中不超过100的最大元素矛盾，所以100100m a m --≤， 又因为121001m a a a -<<<L ≤，i a ∈N ，所以(1100)i a i i m =-≤≤. ……………… 11分 任给集合{201,202,203,204}的1m -元子集B ，令0{1,2,100}{205}A m B =-L U U，以下证明集合0A 符合题意： 对于任意,i j 00)(1i j ≤≤≤1，则200i j +≤.若0i j A +∈，则有m i j +≤100-，所以i a i =，j a j =，从而0i j a a i j A +=+∈.故集合0A 符合题意， ……………… 13分 所以满足条件的集合A 的个数与集合{201,202,203,204}的子集个数相同， 故满足条件的集合A 有4216=个. ……………… 14分第（2）问，说清楚101，然后逐一列举，最多可以给到满分。

昌平区 2020 年高三年级第二次统一练习数学试卷参考答案及评分标准2020.6一、选择题（共10 小题，每小题 4 分，共 40 分）题号（ 1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（ 9）（10）答案B D C A BＣＡA C B二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25分）（11）5（ 12） S n n24n（13） 5（ 14）12 2（ 15）①②；3（注：第 14 题第一空 3 分 ,第二空 2 分；第 15 题全部选对得 5 分，不选或有错选得0分，其他得 3 分.）三、解答题共 6 小题，共85 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（16）（本小题满分 14 分）解：（Ⅰ）在 ABC 中，由正弦定理，因为3a cos B bsin A ，所以 3 sin Acos B sin Bsin A.⋯⋯⋯⋯⋯ ..2分因为 sin A0 ，所以 3 cos B sin B.所以 tan B 3.⋯⋯⋯⋯⋯ ..4分因为0Bπ，π⋯⋯⋯⋯⋯ ..6 分所以B.3（Ⅱ）因为 b2， c2a，由余弦定理 b2a2c22ac cos B 可得4a24a22a2a1.⋯⋯⋯⋯⋯ ..8分2所以 a 23,c43.⋯⋯⋯⋯⋯ ..12分33所以 S ABC 1acsin B1 2 3 433 2 3 .⋯⋯⋯⋯⋯ ..14 分223323（17）（本小题满分 14 分）解 1；选择①因为 PA平面 ABCD ，所以 PA AD，PA CD .⋯⋯⋯⋯⋯ ..1 分因为 PA AD CD 2 ，所以 PD2 2 .因为 PC2 3 ，所以 CD2PD 2PC2.所以 CD PD .⋯⋯⋯⋯⋯ .4分因为 PAI PD P ，所以 CD平面 PAD .⋯⋯⋯⋯⋯ .6分所以 CD AD .因为 CD BC ，所以 AD// BC.⋯⋯⋯⋯⋯ .7分所以四边形 ABCD 是直角梯形.解 2；选择②因为 PA平面 ABCD ，所以 PA AD，PA CD .⋯⋯⋯⋯⋯ ..1分因为 PA AD CD 2 ，zP所以 PD2 2 .因为 PC2 3 ，E所以CD2PD 2PC2.所以 CD PD .⋯⋯⋯⋯⋯.4因为 PAI PD P ，所以 CD平面PAD .所以 CD AD.因为 BC // 平面 PAD ， BC 所以 BC// AD.A Dy 分MB Cx⋯⋯⋯⋯⋯ .6 分平面 ABCD ，平面 PAD I 平面 ABCD =AD ，所以四边形ABCD 是直角梯形.⋯⋯⋯⋯⋯.7分过A作 AD的垂线交 BC于点 M .因为 PA 平面 ABCD ，所以 PA AM , PA AD .⋯⋯⋯⋯⋯.8分如图建立空间直角坐标系 A xyz .⋯⋯⋯⋯⋯.9分则 A(0,0,0), C (2,2,0), D (0,2,0), P(0,0,2) . 因为 E 为 PB 中点， 所以 E(1,1,1).uuur2uuuruuur1 (2,2,(0,2, 2) .⋯⋯⋯⋯⋯ .10 分所以 AE(1,,1),PC 2), PD2r设平面 PCD 的法向量为 n ( x, y, z) ，则 r uuur 0, 2x 2 y 2z 0,n PC r uuur 即 2y 2z 0. ⋯⋯⋯⋯⋯ .11分n PD 0.令 y1,则 z 1, x0 .r (0,1,1)于是 n .⋯⋯⋯⋯⋯ .12 分设直线 AE 与平面 PCD 所成的角为，r uuurr uuur 11 1 1所以 sinn AE2 2.| cos n, AE | ruuur36| n || AE |22所以直线 AE 与平面 PCD 所成角的正弦值为2 .⋯⋯⋯⋯⋯ .14分6(18)（本小题满分 14 分）解：（Ⅰ）因为 (0.05+0.1+0.18+ a0.320.1 0.03 0.02)1 1 ，所以 a0.2 .⋯⋯⋯⋯⋯ .2分因为 0.2 1 100=20 ，所以居家自主学习和锻炼身体总时间该天在 [5,6) 的学生有 20 人.⋯⋯.3 分所以从该校高三年级中随机抽取一名学生， 这名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间在 [5,6) 的概率为20 =0.2 . ⋯⋯⋯⋯⋯ .5分100（Ⅱ）由图中数据可知该天居家自主学习和锻炼身体总时间在[2,3) 和 [8,9) 的人分别有5人和 3 人.⋯⋯⋯⋯⋯.6 分所以 X 的所有可能取值为0,1,2,3.⋯⋯⋯⋯⋯.7 分P( X 0) C 53 5P( X1) C 52C 31 15,C 3，C 3282888P( X 2) C 51C 32 153)C 331⋯⋯⋯⋯⋯.9 分C 3 ， P(XC 3 .565688所以 X 的分布列为X0123P51515128285656所以 X 的期望E(X)051152 15319.⋯⋯⋯⋯ .11 分282856568（ III ）样本中的100 名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间的平均数在[5,6) .⋯14分(19) （本小题满分15 分）c5,a5,a5解：（Ⅰ）由题意得2b4,解得b2,⋯⋯⋯⋯⋯ .3 分a2b2c2 ,c 1.即椭圆的方程为x2y21．⋯⋯⋯⋯⋯ .5分54（Ⅱ）法一由题意，直线l 的斜率存在.当 k 0时，直线l的方程为y1.代入椭圆方程有x 15. 2则 C (15,1), D (15,1) . 22所以 k AC 216216. 15, k AD15151522所以 k AC kAD6612 .⋯⋯⋯⋯⋯ .8分15155当 k0时，则直线 l 的方程为y kx1．y kx1,由x2y2，得 (4 5k 2 ) x210kx150 .⋯⋯⋯⋯⋯.9 分15 4设C( x1 , y1 ) ， D ( x2 , y2 ) ，则 x 1 x 210k2, x 1 x215 ．⋯⋯⋯⋯ 10 分4 5k 4 5k 2又 A(0, 2) ，所以 k AC y 1 2y 2 2⋯⋯⋯⋯⋯ .11分，k ADx 2 .x 1因为 k ACk AD y 12 y 22 (kx 1 3)( kx 2 3)x 1gx 1x 2x 2k 2 x 1x 2 3k (x 1 x 2 ) 923k ( x 1 x 2 ) 9x 1 x 2kx 1x 23k(10k 2 ) 930k 236 45k 2 12k24 5k k 21515. 54 5k 2即直线 AC 的斜率与直线 AD 的斜率乘积为定值．⋯⋯⋯⋯⋯ .1 5 分法二设直线 l 的斜率为 k ，则直线 l 的方程为 y kx 1 ．⋯⋯⋯⋯⋯ .6 分y kx 1,由 x 2 y 2 ，得 (45k 2) x 2 10kx 150 .⋯⋯⋯⋯⋯ .7分154设 C( x 1 , y 1 ) ， D ( x 2 , y 2 ) ，则 xx10k , x x15 ．⋯⋯⋯⋯⋯ .9 分1 24 5k 2 1 2 4 5k 2又 A(0, 2) ，所以 k ACy 1 2，k AD y 2 2 .⋯⋯⋯⋯⋯ .11分x 1 x 2因为 k ACy 1 2 y 2 2 (kx 1 3)( kx 23)k AD x 1 gx 2 x 1x 2k 2 x 1x 2 3k (x 1 x 2 ) 9k 23k ( x 1 x 2 ) 9x 1 x 2x 1x 23k(10k 2 ) 92 30k 2 36 45k 212k 245k k1515.54 5k 2即直线 AC 的斜率与直线AD 的斜率乘积为定值．⋯⋯⋯⋯⋯ .15 分(20)（本小题满分 14 分）解：（Ⅰ）当 a 1时， f (x) 1 x3x 1.3因为 f'( x) x2 1，⋯⋯⋯⋯⋯ .1分所以 f'(0)1.⋯⋯⋯⋯⋯ .2 分所以曲线 y f (x) 在点 (0，1) 处的切线方程为 x y 10 .⋯⋯⋯⋯⋯.4分（ II ）定义域为R .因为 f '( x)x2a, a R .①当 a0 时，f'(x)0恒成立 .所以函数 y f(x) 在(-,+) 上单调递增.⋯⋯⋯⋯⋯.5 分②当 a0 时，f'(x)0恒成立 .所以函数 y f( x) 在(-,+) 上单调递增.⋯⋯⋯⋯⋯.6 分③当 a0 时，令f '(x)0 ，则 x a 或 x a .⋯⋯⋯⋯⋯ .7 分所以当 f '(x)0 时， x a 或 x a ；当 f '(x)0时，a x a .⋯⋯⋯⋯⋯ .8分所以函数 y f ( x) 在 (, a ) 和（ a，) 上单调递增，在 (a, a ) 上单调递减.⋯⋯⋯⋯⋯.9 分综上可知，当 a0 时，函数y f (x) 在(-,+ ) 上单调递增；当 a0 时，函数y f ( x) 在 (, a ) 和（a，) 上单调递增，在( a , a ) 上单调递减.（III ）法一：由（Ⅱ）可知，（ 1）当a0 时，函数y f (x) 在(-,+ ) 上单调递增；所以当 x(0,2)时， f min (x) f (0) a.因为 |1 a | =(1 a)a1，所以 f ( x)|1 a | .⋯⋯⋯⋯⋯.10分（ 2）当a0 时，函数y f ( x) 在 (, a ) 和（ a，) 上单调递增，在( a , a ) 上单调递减.①当 0 a 1，即0 a1时，|1 a | 0.所以当 x(0,2) 时，函数 y f ( x) 在 (0, a ) 上单调递减，（ a，2)上单调递增，f min (x) f ( a )1( a )3a a + a3 a( 2a +1) 0 3所以 f ( x)|1a | .⋯⋯⋯⋯⋯ .1 1 分②当 1 a 2 ，即1 a 4 时，|1 a | =1 a 0 .由上可知 fmin ( x) f (a)a(21)，a3因为 a(2 a 1)(1a)2a2a a 1 ，33设 g (x)2x x1,(1x4) . 2x3因为 g '(x)2x0，所以 g( x) 在 (1,4) 上单调递增.所以 g( x)g (1)10 .3所以 a(2 a 1)(1a)2a2a a1033所以 f ( x)|1 a |.⋯⋯⋯⋯⋯ .13 分③当 a2，即a4时，|1 a | =1a0 .所以当 x(0,2)时， f min ( x) f (2)81 a .a3所以 f (x)|1 a | .综上可知，当x(0,2)时， f (x)|1 a |.⋯⋯⋯⋯⋯ .14 分（III ）法二：因为 f ( x) (|1 a |) f ( x) |1 a |，①当 a 1 时，因为 x (0,2) ，所以所以ax x .f ( x)|1 a | =f ( x) 1 a 1 x3ax 1 1 x3x 1 .⋯⋯⋯⋯⋯10分33②当 a 1 时，f ( x)|1a | = f ( x)a1 1 x3ax2a11 x3a(2x)133因为 x(0,2)，所以 a(2x)(2x) .所以 f ( x)|1 a |1x3a(2 x)11x3(2x)11x3x 1 .. 11分1 x3333设 g( x)x 1.3因为 g '( x)x2 1( x1)( x1) ，所以当 g '( x)0 时，x1或 x1，当 g '( x)0 时， 1 x 1.⋯⋯⋯⋯⋯ .12分所以 g(x) 在 (0,1) 上单调递减，在(1,2) 上单调递增.⋯⋯⋯⋯⋯ 13分所以 g( x)g(1)10.min3所以当 x(0,2) 时， f ( x)|1 a | .⋯⋯⋯⋯⋯ .14分(21)（本小题满分 14 分）解：（Ⅰ）数列⑴不是{ a n } 的完全数列；数列⑵是{ a n } 的完全数列．⋯⋯⋯⋯⋯.2分理由如下：数列⑴： 3,5,7,9,11 中，因为3+9=5+7=12，所以数列⑴不是{ a } 的完全数列；数列⑵： 2,4,8,16 中，所有项的和都不相等，数列⑵是{ a n } 的完全数列． ⋯ .4 分（Ⅱ）假设数列{ b k } 长度为 m ≥ 7 ，不妨设 m= 7 ，各项为 b 1 b 2 b 3L b 7 ．考虑数列 { b k } 的长度为 2,3,L ,7 的所有子列，一共有27 1 7 120 个．记数列 { b k } 的长度为 2,3,L ,7 的所有子列中， 各个子列的所有项之和的最小值为a ，最大值为 A . 所以 ab 1b 2 ， A b 1 b 2 25 24 23 2221 b 1 b 2 115 ．所以其中必有两个子列的所有项之和相同． 所以假设不成立．再考虑长度为 6 的子列： 12， 18， 21， 23， 24，25，满足题意 .所以子列 { b k } 的最大长度为 6．⋯⋯⋯⋯⋯ .9分（Ⅲ）数列 { a n } 的子列 { b k } 长度 m 5 ，且 { b k } 为完全数列，且各项为b 1 b 2 b 3 Lb 5 ．所以，由题意得，这 5 项中任意 i (1≤ i ≤ 5) 项之和不小于 2i 1 ．即对于任意的 1≤ i ≤ 5 ，有 b 1 b 2 Lb i ≥ 2i1 ，即 b 1 b 2i 1.L b i ≥ 1 2 4 L 2对于任意的 1≤ i ≤ 5 ， (b 1 1) (b 22) L(b i - 2i 1)≥ 0，设 c i b i 2i 1（ (i 1,2,3,4,5) ），则数列 { c i } 的前 j 项和 D j ≥ 0 ( j 1,2,3,4,5) ．下面证明： 1 1 11 1≤ 1 1 1 1 1 ．b 1 b 2 b 3 b 4b 5 2 4 8 16 1 1 1 1) (1 1 1 11 )因为(1b 1 b 2 b 3b 4 b 524816(1 1) (11) (1 1) (1 1) (1 1 )b 1 2 b 2 4 b 3 8 b 4 16 b 5 b 1 1 b 2 2 b 34 b 4 8 b 516b 12b 2 4b 38b 416b 5D 1 D 2D 1 D 3D 2D 4 D 3D 5 D 4b 12b 2 4b 38b 4 16b 511) D 2(1111) D 4(11)D 5 ≥ 0 ，D 1 (2b 2) D 3(8b 416b 5b 1 2b 24b 34b 3 8b 4 16b 5所以11111≤ 1111131 ，当且仅当b1b2b3b4b524816 16b i 2i 1( i1,2,3,4,5)时，等号成立．所以11111 的最大值为31 ．⋯⋯⋯⋯⋯ .14 分b1b2b3b4b516。

2020高考数学模拟试题（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合，则A∩B＝（）A．{x|﹣3≤x≤1}B．{x|0≤x≤1}C．{x|﹣3≤x＜1}D．{x|﹣1≤x≤0} 2．设复数z＝，则|z|＝（）A．B．C．D．3．在等差数列{a n}中，若a3＝5，S4＝24，则a9＝（）A．﹣5B．﹣7C．﹣9D．﹣114．已知幂函数f（x）＝xα的图象经过点（3，5），且a＝（）α，b＝，c＝logα，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a5．为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复．若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（）A．该市总有15000 户低收入家庭B．在该市从业人员中，低收入家庭共有1800 户C．在该市无业人员中，低收入家庭有4350 户D．在该市大于18 岁在读学生中，低收入家庭有800 户6．平面内不共线的三点O，A，B，满足||＝1，||＝2，点C为线段AB的中点，若||＝，则∠AOB＝（）A．B．C．D．7．（1+2x﹣）8的展开式中x2y2项的系数是（）A．420B．﹣420C．1680D．﹣16808．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍薨．如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为（）A．B．C．27D．189．函数f（x）＝6|sin x|﹣的图象大致为（）A．B．C．D．10．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗……，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为A＝{（x，y）}，设点（x，y）∈A，则z＝x+2y的取值范围是（）A．[﹣2﹣，2]B．[﹣2，2]C．[﹣2，2+]D．[﹣4，2+] 11．关于函数f（x）＝|cos x|+cos|2x|有下列四个结论：①f（x）是偶函数；②π是f（x）的最小正周期；③f（x）在[π，π]上单调递增；④f（x）的值域为[﹣2，2]．上述结论中，正确的个数为（）A．1B．2C．3D．412．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推，若该数列前n项和N 满足：①N＞80②N是2的整数次幂，则满足条件的最小的n为（）A．21B．91C．95D．101二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．椭圆＝1的离心率是．14．设某总体是由编号为01，02，……，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体编号为．1818 0792 4544 1716 5809 7983 8617第1行6206 7650 0310 5523 6405 0526 6238第2行15．已知点A（0，1），抛物线C：y2＝ax（a＞0）的焦点为F，连接FA，与抛物线C相交于点M，延长FA，与抛物线C的准线相交于点N，若|FM|：|MN|＝1：2，则实数a的值为．16．已知四棱锥S﹣ABCD的底面为矩形，SA⊥底面ABCD，点E在线段BC上，以AD为直径的圆过点E．若SA＝AB＝3，则△SED面积的最小值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每道试题考试必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（a﹣b）2＝c2﹣ab．（1）求角C；（2）若4c cos（A+）+b sin C＝0，且a＝1，求△ABC的面积．18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC＝BC，AB＝2BC，D为线段AB上一点，且AD＝3DB，PD⊥平面ABC，PA与平面ABC所成的角为45°．（1）求证：平面PAB⊥平面PCD；（2）求二面角P﹣AC﹣D的平面角的余弦值．19．已知椭圆C：+y2＝1，不与坐标轴垂直的直线l与椭圆C相交于M，N两点．（1）若线段MN的中点坐标为（1，），求直线l的方程；（2）若直线l过点P（p，0），点Q（q，0）满足k QM+k QN＝0，求pq的值．20．某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏，每次由一个小孩与其一位家长参与，测试家长对小孩饮食习惯的了解程度．在每一轮游戏中，主持人给出A，B，C，D四种食物，要求小孩根据自己的喜爱程度对其排序，然后由家长猜测小孩的排序结果．设小孩对四种食物排除的序号依次为x A x B x C x D，家长猜测的序号依次为y A y B y C y D，其中x A x B x C x D和y A y B y C y D都是1，2，3，4四个数字的一种排列．定义随机变量X＝（x A﹣y A）2+（x B﹣y B）2+（x C﹣y C）2+（x D﹣y D）2，用X来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度．（1）若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解．（ⅰ）求他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率；（ⅱ）求X的分布列（简要说明方法，不用写出详细计算过程）；（2）若有一组小孩和家长进行来三轮游戏，三轮的结果都满足X＜4，请判断这位家长对小孩饮食习惯是否了解，说明理由．21．已知函数f（x）＝ln（ax+b）﹣x（a，b∈R，ab≠0）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≤0恒成立，求e a（b﹣1）的最大值．四、（二）选考题：请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝1．（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）已知点M（2，0），若直线l与曲线C相交于P、Q两点，求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知x，y，z均为正数．（1）若xy＜1，证明：|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；（2）若＝，求2xy⋅2yz⋅2xz的最小值．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合，则A∩B＝（）A．{x|﹣3≤x≤1}B．{x|0≤x≤1}C．{x|﹣3≤x＜1}D．{x|﹣1≤x≤0}【解答】解：解一元二次不等式x2+2x﹣3≤0得：﹣3≤x≤1，即A＝{x|﹣3≤x≤1}，解根式不等式＜2得：0≤x＜4，即B＝{x|0≤x＜4}，即A∩B＝，故选：B．2．设复数z＝，则|z|＝（）A．B．C．D．【解答】解：z＝＝＝＝﹣﹣i，则|z|＝＝＝＝，故选：D．3．在等差数列{a n}中，若a3＝5，S4＝24，则a9＝（）A．﹣5B．﹣7C．﹣9D．﹣11【解答】解：数列{a n}为等差数列，设首项为a1，公差为d，∵a3＝5，S4＝24，∴a1+2d＝5，4a1+d＝24，联立解得a1＝9，d＝﹣2，则a9＝9﹣2×8＝﹣7．故选：B．4．已知幂函数f（x）＝xα的图象经过点（3，5），且a＝（）α，b＝，c＝logα，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a【解答】解：∵幂函数f（x）＝xα的图象经过点（3，5），∴3α＝5，∴α＝log35∈（1，2），∴0＜a＝（）α＜1，b＝＞1，c＝logα＜logα1＝0，∴c＜a＜b．故选：A．5．为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复．若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（）A．该市总有15000 户低收入家庭B．在该市从业人员中，低收入家庭共有1800 户C．在该市无业人员中，低收入家庭有4350 户D．在该市大于18 岁在读学生中，低收入家庭有800 户【解答】解：由题意知，该市老年低收入家庭共有900户，所占比例为6%，则该市总有低收入家庭900÷6%＝15000（户），A正确；该市从业人员中，低收入家庭共有15000×12%＝1800（户），B正确；该市无业人员中，低收入家庭有15000×29%%＝4350（户），C正确；该市大于18 岁在读学生中，低收入家庭有15000×4%＝600（户），D错误．故选：D．6．平面内不共线的三点O，A，B，满足||＝1，||＝2，点C为线段AB的中点，若||＝，则∠AOB＝（）A．B．C．D．【解答】解：延长OC到E，使得CE＝OC＝，连AE，BE，则四边形OAEB为平行四边形，∴BE＝1，∴cos∠OBE＝＝，∴∠OBE＝，∴∠AOB＝π﹣∠OBE＝π﹣＝．故选：C．7．（1+2x﹣）8的展开式中x2y2项的系数是（）A．420B．﹣420C．1680D．﹣1680【解答】解：（1+2x﹣）8的展表示8个因式（1+2x﹣）的乘积，故其中有2个因式取2x，有2个因式取﹣，其余的4个因式都取1，可得含x2y2的项．故展开式中x2y2项的系数是•22•••＝420，故选：A．8．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍薨．如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为（）A．B．C．27D．18【解答】解：原图为正四棱台，两底的长分别为2和6，高为2，该刍薨的体积为，故选：B．9．函数f（x）＝6|sin x|﹣的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：f（﹣x）＝f（x），则f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，排除C，f（π）＝1﹣＜0，排除B，f（）＝6﹣≈6﹣＞4，排除D，故选：A．10．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗……，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为A＝{（x，y）}，设点（x，y）∈A，则z＝x+2y的取值范围是（）A．[﹣2﹣，2]B．[﹣2，2]C．[﹣2，2+]D．[﹣4，2+]【解答】解：如图，作直线x+2y＝0，当直线上移与圆x2+（y﹣1）2＝1相切时，z＝x+2y 取最大值，此时，圆心（0，1）到直线z＝x+2y的距离等于1，即，解得z的最大值为：2+，当下移与圆x2+y2＝4相切时，x+2y取最小值，同理，即z的最小值为：﹣2，所以z∈．故选：C．11．关于函数f（x）＝|cos x|+cos|2x|有下列四个结论：①f（x）是偶函数；②π是f（x）的最小正周期；③f（x）在[π，π]上单调递增；④f（x）的值域为[﹣2，2]．上述结论中，正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：f（x）＝|cos x|+cos|2x|＝|cos x|+2cos2|x|﹣1，由cos|x|＝cos x，可得f（x）＝|cos x|+2cos2x﹣1＝2|cos x|2+|cos x|﹣1，由f（﹣x）＝2|cos（﹣x）|2+|cos（﹣x）|﹣1＝f（x），则f（x）为偶函数，故①正确；可令t＝|cos x|，可得g（t）＝2t2+t﹣1，由y＝|cos x|的最小正周期π，可得f（x）的最小正周期为π，故②正确；由y＝cos x在[﹣，0]递增，在[0，]递减，可得f（x）在[，π]递增，在[π，]递减，故③错误；由t∈[0，1]，g（t）＝2（t+）2﹣，可得g（t）在[0，1]递增，则g（t）的值域为[﹣1，2]，故④错误．故选：B．12．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推，若该数列前n项和N 满足：①N＞80②N是2的整数次幂，则满足条件的最小的n为（）A．21B．91C．95D．101【解答】解：依题意，因为N满足条件①N＞80②N是2的整数次幂，所以S n＝N＝2k，（k∈N*，且k≥7）如图：第m行各项的和为2m﹣1，前m行之和＝（21﹣1）+（22﹣1）+……+（2m﹣1）＝（2+22+23+……+2m）﹣m＝2m+1﹣m﹣2，设满足条件的n在第m+1行，则前m行之和为2m+1﹣m﹣2≤2m+1，故N＝2m+1，则m+2＝1+2+4+……+2s，则满足条件的m的最小值为13，且N为第14行的第4项．所以n＝+4＝95．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．椭圆＝1的离心率是．【解答】解：由椭圆的标准方程可知，a＝2，b＝，∴c＝＝1∴e＝＝．故答案为：．14．设某总体是由编号为01，02，……，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体编号为06．1818 0792 4544 1716 5809 7983 8617第1行6206 7650 0310 5523 6405 0526 6238第2行【解答】解：由题意依次选取的样本编号为：18，07，17，16，09，（17重复，舍去）06；所以选出来的第6个个体编号为06．故答案为：06．15．已知点A（0，1），抛物线C：y2＝ax（a＞0）的焦点为F，连接FA，与抛物线C相交于点M，延长FA，与抛物线C的准线相交于点N，若|FM|：|MN|＝1：2，则实数a的值为．【解答】解：抛物线C：y2＝ax（a＞0）的焦点为F（，0），准线方程为x＝﹣，可得直线AF的方程为y＝1﹣x，设M（x1，y1），N（﹣，y2），可得y2＝1﹣•（﹣）＝2，由|FM|：|MN|＝1：2，可得＝，可得y1＝，代入直线方程可得x1＝，代入抛物线方程可得＝a•，可得a＝．故答案为：．16．已知四棱锥S﹣ABCD的底面为矩形，SA⊥底面ABCD，点E在线段BC上，以AD为直径的圆过点E．若SA＝AB＝3，则△SED面积的最小值为．【解答】解：设BE＝x，EC＝y，则BC＝AD＝x+y，∵SA⊥平面ABCD，ED⊂平面ABCD，∴SA⊥ED，∵AE⊥ED，SA∩AE＝A，∴ED⊥平面SAE，∴ED⊥SE，由题意得AE＝，ED＝，在Rt△AED中，AE2+ED2＝AD2，∴x2+3+y2+3＝（x+y）2，化简，得xy＝3，在Rt△SED中，SE＝，ED＝＝，∴S△SED＝＝，∵3x2+≥2＝36，当且仅当x＝，时，等号成立，∴＝．∴△SED面积的最小值为．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每道试题考试必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（a﹣b）2＝c2﹣ab．（1）求角C；（2）若4c cos（A+）+b sin C＝0，且a＝1，求△ABC的面积．【解答】（1）由（a﹣b）2＝c2﹣ab，得a2+b2﹣c2＝ab，所以由余弦定理，得，又因为C∈（0，π），所以；（2）由，得，得﹣4c sin A+b sin C＝0，由正弦定理，得4ca＝bc．因为c≠0，所以4a＝b，又因a＝1，所以b＝4，所以△ABC的面积．18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC＝BC，AB＝2BC，D为线段AB上一点，且AD＝3DB，PD⊥平面ABC，PA与平面ABC所成的角为45°．（1）求证：平面PAB⊥平面PCD；（2）求二面角P﹣AC﹣D的平面角的余弦值．【解答】解：（1）证明：∵AC＝BC，AB＝2BC，∴，∴AB2＝AC2+BC2，∴AC⊥BC，在Rt△ABC中，由AC＝BC，得∠CAB＝30°，设BD＝1，由AD＝3BD，得AD＝3，BC＝2，AC＝2，在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AD2+AC2﹣2AD•AC cos30°＝3，∴CD＝，∴CD2+AD2＝AC2，∴CD⊥AD，∵PD⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴PD⊥CD，又PD∩AD＝D，∴CD⊥平面PAB，又CD⊂平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD．（2）解：∵PD⊥平面ABC，∴PA与平面ABC所成角为∠PAD，即∠PAD＝45°，∴△PAD为等腰直角三角形，PD＝AD，由（1）得PD＝AD＝3，以D为坐标原点，分别以DC，DB，DP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），C（，0，0），A（0，﹣3，0），P（0，0，3），＝（0，﹣3，﹣3），＝（），则＝＝（0，0，3）是平面ACD的一个法向量，设平面PAC的一个法向量＝（x，y，z），则，取x＝，得＝（，﹣1，1），设二面角P﹣AC﹣D的平面角为θ，则cosθ＝＝，∴二面角P﹣AC﹣D的平面角的余弦值为．19．已知椭圆C：+y2＝1，不与坐标轴垂直的直线l与椭圆C相交于M，N两点．（1）若线段MN的中点坐标为（1，），求直线l的方程；（2）若直线l过点P（p，0），点Q（q，0）满足k QM+k QN＝0，求pq的值．【解答】解：（1）设M（x1，y1），N（x2，y2），则，两式相减，可得，①由题意可知x1+x2＝2，y1+y2＝1，代入①可得直线MN的斜率k＝＝﹣，所以直线MN的方程y﹣＝﹣（x﹣1），即x+2y﹣2＝0，所以直线MN的方程x+2y﹣2＝0；（2）由题意可知设直线MN的方程y＝k（x﹣p），M（x1，y1），N（x2，y2），联立，整理得（1+4k2）x2﹣8k2px+4k2p2﹣4＝0，则x1+x2＝，，x1x2＝，由k QM+k QN＝0，则+＝0，即y1（x2﹣q）+y2（x1﹣q）＝0，∴k（x1﹣p）（x2﹣q）+k（x2﹣p）（x1﹣q）＝0，化简得2x1x2﹣（p+q）（x1+x2）+2pq ＝0，∴﹣﹣+2pq＝0，化简得：2pq﹣8＝0，∴pq＝4．20．某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏，每次由一个小孩与其一位家长参与，测试家长对小孩饮食习惯的了解程度．在每一轮游戏中，主持人给出A，B，C，D四种食物，要求小孩根据自己的喜爱程度对其排序，然后由家长猜测小孩的排序结果．设小孩对四种食物排除的序号依次为x A x B x C x D，家长猜测的序号依次为y A y B y C y D，其中x A x B x C x D和y A y B y C y D都是1，2，3，4四个数字的一种排列．定义随机变量X＝（x A﹣y A）2+（x B﹣y B）2+（x C﹣y C）2+（x D﹣y D）2，用X来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度．（1）若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解．（ⅰ）求他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率；（ⅱ）求X的分布列（简要说明方法，不用写出详细计算过程）；（2）若有一组小孩和家长进行来三轮游戏，三轮的结果都满足X＜4，请判断这位家长对小孩饮食习惯是否了解，说明理由．【解答】解：（1）（i）若家长对小孩子的饮食习惯完全不了解，则家长对小孩的排序是随意猜测的，先考虑小孩的排序为x A，x B，x C，x D为1234的情况，家长的排序有＝24种等可能结果，其中满足“家长的排序与对应位置的数字完全不同”的情况有9种，分别为：2143，2341，2413，3142，3412，3421，4123，4312，4321，∴家长的排序与对应位置的数字完全不同的概率P＝．基小孩对四种食物的排序是其他情况，只需将角标A，B，C，D按照小孩的顺序调整即可，假设小孩的排序x A，x B，x C，x D为1423的情况，四种食物按1234的排列为ACDB，再研究y A y B y C y D的情况即可，其实这样处理后与第一种情况的计算结果是一致的，∴他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率为．（ii）根据（i）的分析，同样只考虑小孩排序为1234的情况，家长的排序一共有24种情况，列出所有情况，分别计算每种情况下的x的值，X的分布列如下表：X02468101214161820 P（2）这位家长对小孩的饮食习惯比较了解．理由如下：假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解，由（1）可知，在一轮游戏中，P（X＜4）＝P（X＝0）+P（X＝2）＝，三轮游戏结果都满足“X＜4”的概率为（）3＝，这个结果发生的可能性很小，∴这位家长对小孩饮食习惯比较了解．21．已知函数f（x）＝ln（ax+b）﹣x（a，b∈R，ab≠0）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≤0恒成立，求e a（b﹣1）的最大值．【解答】解：（1）①当a＞0时，则f（x）的定义域为（﹣，+∞），＝，由f′（x）＝0，得x＝1﹣＞﹣，所以f（x）在（﹣，1﹣）单调递增，在（1﹣，+∞）单调递减，②当a＜0时，则f（x）的定义域为（﹣∞，﹣），由f′（x）＝0得x＝1﹣＞﹣，所以f（x）在（﹣∞，﹣）单调递减，（也可由符合函数单调性得出）．（2）由（1）知：当a＜0时，取x0＜且x0＜0时，f（x0）＞ln（a×+b）﹣x0＞0，与题意不合，当a＞0时，f（x）max＝f（1﹣）＝lna﹣1+≤0，即b﹣1≤a﹣alna﹣1，所以e a（b﹣1）≤（a﹣alna﹣1）e a，令h（x）＝（x﹣xlnx﹣1）e x，则h′（x）＝（x﹣xlnx﹣lnx﹣1）e x，令u（x）＝x﹣xlnx﹣lnx﹣1，则u′（x）＝﹣lnx﹣，则u″（x）＝，u′（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．则u′（x）max＝u′（1）＜0，从而u（x）在（0，+∞）单调递减，又因为u（1）＝0．所以当x∈（0，1）时，u（x）＞0，即h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，u（x）＜0，即h′（x）＜0，则h（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，所以h（x）max＝h（1）＝0．四、（二）选考题：请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝1．（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）已知点M（2，0），若直线l与曲线C相交于P、Q两点，求的值．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（m为参数），两式相加得到m，进一步转换为．直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝1，转换为直角坐标方程为．（2）将直线的方程转换为参数方程为（t为参数），代入得到（t1和t2为P、Q对应的参数），所以，，所以＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知x，y，z均为正数．（1）若xy＜1，证明：|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；（2）若＝，求2xy⋅2yz⋅2xz的最小值．【解答】解：（1）证明：∵x，y，z均为正数，∴|x+z|⋅|y+z|＝（x+z）（y+z）≥＝，当且仅当x＝y＝z时取等号．又∵0＜xy＜1，∴，∴|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；（2）∵＝，∴．∵，，，当且仅当x＝y＝z＝1时取等号，∴，∴xy+yz+xz≥3，∴2xy⋅2yz⋅2xz＝2xy+yz+xz≥8，∴2xy⋅2yz⋅2xz的最小值为8．。

2020年郑州市高三三测数学文科试题评分参考一、选择题二、填空题13. 8 ； 14.11； 15.6； 16.3.17- 三、解答题 17．（1）由2561,4141==a a ，得41,641143=∴==q a a q ，所以n n a )41(=.……………2分 23)41(log 324-=--=n b n n .……………………………………5分由（1），得)131231(31)13)(23(111+--=+-==+n n n n b b c n n n ，………8分 S n =13(1−14+14−17+⋯+13n−2−13n+1)=13(1−13n+1)=n3n+1.12分18．（1）因为.024.5357.5708050100)20406030(150K 22>≈⨯⨯⨯⨯-⨯=，……………2分 所以有97.5％的把握认为参与马拉松赛事与性别有关.……………3分 （2）（i ）根据分层抽样方法得，男生6438=⨯人，女生2人， 所以选取的8人中，男生有6人，女生有2人.……………5分 （ii ）设抽取的6名男生分别为F E D C B A ,,,,,，2名女生为b a ,；从中抽取两人，分别记为(A,B)，),(),,(),,(),,(F A E A D A C A ,),(),,(b A a A ,(B,C),),(),,(),,(F B E B D B ,),(),,(b B a B ,),(),,(),,(),,(),,(b C a C F C E C D C ,),(),,(F D E D ,),(),,(b D a D ,),(),,(),,(b E a E F E ,),(),,(),,(b a b F a F 共28种情形，……………8分其中2男的共15种情形，……………10分 所以，所求概率2815=p .……………12分19．（1）证明：由题意222PB AB PA =+， 所以∠BAP =90°，则PA ⊥AB ，……………2分又侧面PAB ⊥底面ABCD ，面PAB ∩面ABCD =AB ，PA ⊂面PAB ， 则PA ⊥面ABCD .……………4分BD ⊂面ABCD ，则PA ⊥BD ,又因为∠BCD =120∘，ABCD 为平行四边形， 则∠ABC =60∘，又AB =AC ，则ΔABC 为等边三角形，则ABCD 为菱形，则BD ⊥AC . 又PA ∩AC =A ，则BD ⊥面PAC .……………6分 （2）由ACD P PAC M V V --=21，则M`为PB 中点， 由AB =AC =2，∠BCD =120°，得BD =2√3.……………8分 由(I )知，,21PAB D PAB M AMB P V V V ---==……………10分1112223P ABD V -==⨯=……………12分 20.⑴由题易知C 1的半径r 1=√3，C 2圆的半径r 2=2.……………2分又∵椭圆与C 1、C 2同时相切，则212,a r b r ==⎧⎪⎨==⎪⎩……………4分则C ：x 24+y 23=1.……………5分⑵①当l 斜率为0时，l 与椭圆C 相切，不符合题意.……………6分 ②l 斜率不为0时，设l ：x =my +n ， 原点到l 的距离d =√2=r 1=√3.则n 2=3m 2+3 (i )由22,1,43x my n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩……………7分可得：(3m 2+4)y 2+6mny +3n 2−12=0， 设A (x 1,y 1) B (x 2,y 2)，由求根公式得: y 1+y 2=−6mn3m 2+4，y 1y 2=3n 2−123m 2+4，|AB |=√m 2+1√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√m 2+1√48(3m 2−n 2+4)(3m 2+4)2，将(i )代入得|AB |=√m 2+14√33m +4=√3√2+1+12，……………9分令t =2+1则t ≥1，g (t )=3t +1t在[1，+∞)上单调递增，……………11分则t =1，即m =0时，|AB |max =√3.……………12分21.（1）依题意知f (x )的定义域为(0,+∞)，……………1分 当6=m 时，,52ln )(2x x x x f -+=∴,)1)(14(541)(xx x x x x f --=-+='……………2分 令0)(=x f ，解得41,1==x x则当0<x <14或x >1时，f ′(x )>0,f (x )单调递增，……………3分 当14<x <1时，f ′(x )<0，)(x f 单调递减．……………4分 ∴所以当1=x 时函数)(x f 取得极小值，且极小值为3)1(-=f ， 当41=x 时函数)(x f 取得极大值，且极大值为894ln )41(--=f ．…………5分 （2）由22)(x x f =，可得x m x )1(ln -=， 又x >0，所以lnx x=m −1，1ln +=∴xxm ．……………7分 令g (x )=1+lnx x(x >0)，则g ′(x )=1−lnx x 2，由g ′(x )≥0，得1≤x ≤e ；由g ′(x )≤0，得4≤≤x e ，……………8分 ∴ g (x )在区间[1,e]上是增函数，在区间]4,[e 上是减函数.∴当x =e 时函数g (x )有最大值，且最大值为g (e )=1+1e ，……………9分又,22ln 1)4(g ,1)1(g +==……………10分 ∴ 当em 1122ln 1+<≤+时，方程在区间]4,1[上有两个实数解.……………11分 ∴实数m 的取值范围为em 1122ln 1+<≤+．……………12分 22.（Ⅰ）曲线1C 的普通方程为：0sin cos sin =--θθθy x ,曲线2C 的普通方程为：13422=+y x ;………………………………………………5分 （Ⅱ）将⎩⎨⎧θ=θ+=.sin t ,cos t 1:1y x C （t 为参数）代入2C ：13422=+y x 化简整理得：(sin 2θ+3)t 2+6tcosθ−9=0, 设A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2，则Δ=36cos 2θ+36(sin 2θ+3)=144>0恒成立， t 1+t 2=−6cosθsin 2θ+3,t 1t 2=−9sin 2θ+3，∴|PA |+|PB |=|t 1|+|t 2|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=12sin 2θ+3,∵sin 2θ∈[0,1] ∴|PA |+|PB |∈[3,4].……………………………………………10分 23.（1）当3=m 时，1213)(-++=x x x f ，原不等式4)(>x f 等价于⎪⎩⎪⎨⎧>--<4531x x 或⎪⎩⎪⎨⎧>+≤≤-422131x x 或⎪⎩⎪⎨⎧>>4521x x ，解得：54-<x 或无解或54>x ， 所以，4)(>x f 的解集为),54()54,(+∞--∞Y ．………………………………………5分（2）02,02,211,20<->+<-∴<<m m m m Θ．则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+≤≤-+--<+-=-++=21,)2(,211,2)2(,1,)2(121)(x x m x m x m m x x m x mx x f所以函数)(x f 在)1,(m --∞上单调递减，在]21,1[m -上单调递减，在),21(+∞上单调递增． 所以当x =12时，f(x)取得最小值，21)21()(min m f x f +==．因为对任意m x f R x 23)(,≥∈恒成立，所以mm x f 2321)(min ≥+=.又因为0>m ，所以0322≥-+m m ，解得1≥m （3-≤m 不合题意）．所以m 的最小值为1．……………………………………………10分。

2020年重庆市高三学业抽测（第二次）文科数学一、选择题：1. 已知集合22{|230},{|log 1}A x x x B x x =--≤=>，则=B A YA ．(2)+∞，B ．]3,2(C ．]3,1[- D. ),1[+∞- 2. 欧拉公式i cos isin xe x x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指 数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数理论里 非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，7πi 5e 表示的复数位于复平面中的A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 在停课不停学期间，某学校组织高三年级学生参加网络数学测试，测试成绩的频率分布直方图如下图，测试成绩的分组为[10,30),[30,50),[50,70),[70,90),[90,110),[110,130),[130,150],若低于70分的人数是175人，则该校高三年级的学生人数是A ．350B ．500C ．600D ．10004．已知点1(2,)8在幂函数()nf x x =的图象上，设3()3a f =，(ln π)b f =，2()2c f =， 则a ，b ，c 的大小关系为A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．a c b <<5. 已知点22(sin,cos )33P ππ落在角θ的终边上，且02θπ∈（，），则θ的值为 A ．3π B ．23π C ．53π D ．116π6. 已知:p x k ≥，2:11q x <+，若p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是A ．[1,)+∞B ．(1,)+∞C ．(,1]-∞-D ．(,1)-∞-7. 某街道招募了志愿者5人，其中1人来自社区A ，2人来自社区B ，2人来自社区C ．现从中随机选取2个志愿者参加抗击新型冠状病毒活动，则这2人来自不同社区的概率为频率 组距0.005 0.01 分) 0.0075 0.0125 0.015 10 30 50 70 90 110 130 150 0.0025(第3题图)A ．35B ．34C ．710 D ．458.已知函数()cos (0)f x x x ωωω=->, 1()2f x =, 2()2f x =-,且12||x x -最小值为2π,若将()y f x =的图象沿x 轴向左平移ϕ(0)ϕ>个单位，所得图象关于原点对 称，则实数ϕ的最小值为 A.12πB.6π C.3π D.712π 9. 设实数x 、y满足y =54y x +-的最大值为 A ．12- B ．2- C ．12 D ．210. 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与抛物线C 交于M ，N 两点，若4PF MF =u u u r u u u r，则||MN =A ．32B ．3C ．92D ．911. 已知(34)2,1()log ,1a a x a x f x x x --<⎧=⎨≥⎩对任意1x ，2(,)x ∈-∞+∞且12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x ->-，那么实数a 的取值范围是A ．(1,)+∞B ．(0,1)C ．4(,2]3D ．4(,4]312. 两球1O 和2O 在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的内部，且互相外切，若球1O 与过点A的正方体的三个面相切，球2O 与过点1C 的正方体的三个面相切，则球1O 和2O 的表面积之和的最小值为A．3(2π B．4(2π C．6(2π D．12(2π 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡相应的位置上．13. 设非零向量,a b r r 满足()a a b ⊥-r r r ，且||2||b a =r r，则向量a r 与b r 的夹角为________． 14. 在高台跳水运动中，某运动员相对于水面的高度h (单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系式24.9 6.510h t t =-++，则该运动员在2t =时的瞬时速度是 (/)m s ．15. 设ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos sin cos sin a B C b A C c +=，则ABC △外接圆的面积是 ．16. 已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，一条渐近线为l ，过点2F且与l 平行的直线交双曲线C 于点M ,若12||2||MF MF =,则双曲线C 的离心率为 ． 三、解答题：共70分．解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．并答在答题卡相应的位置上．第17题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题第23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17.（本小题满分为12分）一奶茶店制作了一款新奶茶，为了进行合理定价先进行试销售，其单价（元）与销量（杯）的相关数据如下表：（Ⅰ）已知销量与单价具有线性相关关系，求关于的线性回归方程；（Ⅱ）若该款新奶茶每杯的成本为元，试销售结束后，请利用（Ⅰ）所求的线性回归方程确定单价定为多少元时，销售的利润最大？（结果保留到整数）参考公式：线性回归方程ˆˆy bxa =+中斜率和截距最小二乘法估计计算公式： ，，参考数据：514195i ii x y ==∑，．18．（本小题满分为12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，121n n a S +=+． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设31log ()n n n b a a +=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：12111...2nT T T +++<．x y y x y x 7.71221ni ii ni i x y nx ybx nx==-=-∑∑$$a y bx =-$521453.75i i x ==∑19.（本小题满分为12分）如图，平面平面，其中为矩形，为直角梯形，，，．（Ⅰ）求证：FD ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）若三棱锥B ADF -的体积为13， 求点A 到面BDF 的距离．（第19题图）20.（本小题满分为12分）已知函数，．(为自然对数的底数)（Ⅰ）若对于任意实数，恒成立，试确定的取值范围；（Ⅱ）当时，函数在上是否存在极值?若存在，请求出这个极值；若不存在，请说明理由．21.（本小题满分12分）已知圆22:(2)24C x y ++=与定点(2,0)M ，动圆I 过M 点且与圆C 相切，记动圆圆心I 的轨迹为曲线E ． （Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）斜率为k 的直线l 过点M ,且与曲线E 交于,A B 两点，P 为直线3x =上的一点，若ABP∆为等边三角形，求直线l 的方程.ABCD ⊥ADEF ABCD ADEF AF DE ∥AF FE ⊥222AF EF DE ===()()xf x e ax a =+∈R ()ln xg x e x =e 0x ≥()0f x >a 1a =-()()()M x g x f x =-[1,]e（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如多做，则按所做的第一题计分. 22.【选修4-4：坐标系与参数方程】(本小题满分10分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 2sin 8cos ρθθ=．（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点的直角坐标为(2,0)，直线和曲线交于、两点，求的值．23.【选修4-5：不等式选讲】(本小题满分10分）已知2()2f x x a =+.（Ⅰ）当2a =时，求不等式()15f x x +-≥的解集；（Ⅱ）若对于任意实数x ，不等式23()2x f x a +-<成立，求实数a 的取值范围.xOy l t O x C l C M l C A B 11||||MA MB +文科数学参考答案及评分意见一、选择题：15:;610:;1112:DCBCD BDAAC DD :::．二、填空题：13. 14．13.1- 15．π416三、解答题：17．解：（Ⅰ）由表中数据，计算，1(120110907060)905y =++++=， (2)分则5152221419559.59032453.7559.5i ii ii x y nx ybxnx==--⨯⨯===--⨯-∑∑$，$90329.5394a y bx =-=+⨯=$， 所以关于的线性相关方程为$32394y x =-+．.......................................6分（Ⅱ）设定价为元，则利润函数为(32394)(7.7)y x x =-+-，其中，..............8分 则232640.43033.8y x x =-+-，所以640.4102(32)x =-≈⨯-（元），........................11分为使得销售的利润最大，确定单价应该定为元．.......................................12分 18．解：（Ⅰ）因为121n n a S +=+，所以2n ≥，121n n a S -=+，..........................2分 两式相减化简得13n n a a +=(2)n ≥，...................................................4分 又11a =，所以23a =，213a a =符合上式，所以{}n a 是以1为首项，以3为公比的等比数列，所以13n n a -=．........................6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知31log ()n n n b a a +=g 13log 3321n nn -=⨯=-，所以2(121)2n n n T n +-==，.....8分3π1(8.599.51010.5)9.55x =⨯++++=y x x 7.7x ≥10所以22212111111111......1...121223(1)n T T T n n n+++=+++<++++⋅⋅-....................10分 11111111...222231n n n=+-+-++-=-<-．........................................12分19．解：（Ⅰ）证明：作DHAF ⊥于H ，∵，， ∴，∴，...............2分∵，∴，∴，∴，即，................4分∵面面，为两个面的交线，∴面．.....................6分 （Ⅱ）因为平面平面，，所以平面，，所以，又AD DF ==.............9分∴，2BDF S =V ，设点A 到面BDF 的距离为h ,则11332h =⨯，3h =．..12分 20．解：（Ⅰ）∵对于任意实数，恒成立， ∴若，则为任意实数时，恒成立；....................................1分若，恒成立，即在上恒成立，......................2分设，则，.....................................3分 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 所以当时，取得最大值，，所以的取值范围为，综上，对于任意实数，恒成立的实数的取值范围为．...............5分AF FE ⊥222AF EF DE ===1HF DH==45HDF ∠=︒2AF =1AH=45ADH ∠=︒90ADF ∠=︒DFAD ⊥ABCD ⊥ADEF AD FD ⊥ABCD ABCD ⊥ADEFAB AD⊥AB ⊥ADEF111||1||333B ADF ADF V S AB AB -∆=⨯⨯=⨯⨯=1AB=BD =0x ≥()0f x >0x =()0xf x e=>0x >()0xf x e ax =+>xe a x >-0x >()x e Q x x =-22(1)()x x xxe e x e Q x x x--⋅'=-=(0,1)x ∈()0Q x '>()Q x (0,1)(1,)x ∈+∞()0Q x '<()Q x (1,)+∞1x =()Q x max ()(1)Q x Q e ==-a (,)e -+∞0x ≥()0f x >a (,)e -+∞（Ⅱ）依题意，，所以，....................................6分设，则，.......................................8分 当，，故在上单调增函数， 因此在上的最小值为，即，.................10分 又，所以在上，，所以在上是增函数，即在上不存在极值．.............12分 21．解：（Ⅰ）设圆的半径为，题意可知，点满足：，，所以，，由椭圆定义知点的轨迹是以为焦点的椭圆，.................................3分 所以故轨迹方程为：． .................................................5分（Ⅱ）直线的方程为，联立 消去得. 直线恒过定点，在椭圆内部，所以恒成立，设，，则有， ..................7分 ()ln xx M x e x e x =-+1()ln 1(ln 1)1x x x x e M x e x e x e x x'=+-+=+-⋅+1()ln 1h x x x =+-22111()x h x x x x-'=-+=[1,]x e ∈()0h x '≥()h x [1,]e()h x [1,]e (1)0h=1()ln 1(1)0h x x h x=+-≥=0x e >[1,]e 1()(ln 1)10xM x x e x'=+-⋅+>()M x [1,]e ()()()M x g x f x =-[1,]e I r I ||IC r =||IM r =||||IC IM+=I ,C M 2a c ==b =E 22162x y +=l (2)y k x =-2212(62)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩y ()222231601212k x k x k +--+=(2)y k x =-(2,0)0∆>11(,)A x y 22(,)B x y 21221231k x x k +=+212212631k k x x -⋅=+21221)|||31k AB x x k +=-==+设的中点为，则，，直线的斜率为（由题意知0k ≠），又P 为直线上的一点，所以 ,......................................9分 当为等边三角形时，,解得，即直线的方程为或．.......................12分22．解：（Ⅰ）将222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩中参数消去得20x y --=，............................2分 将代入2sin 8cos ρθθ=，得28y x =，∴直线和曲线的直角坐标方程分别为20x y --=和28y x =．........................5分 （ii ）将直线的参数方程代入曲线的普通方程，得2320t --=， 设、两点对应的参数为、，则，，且12t t +=1232t t =-，∴16，.............................. ..........8分 ∴12=．..............................10分 23.解:（Ⅰ）当时，()|1||24||1|5f x x x x +-=++-≥，则得； .................................................2分AB 00(,)Q x y 202631k x k =+02231k y k =-+PQ 1k-3x =3P x =2023(1)|||31P k PQ x x k +=-=+ABP ∆||||2PQ AB =223(1)31k k +=+1k =±l 20x y --=20x y +-=t cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩l C l C A B 1t 2t 1||||MA t =2||||MB t =1212||||||8t t t t +=-==1212121212||||||11111||||||||||||t t t t MA MB t t t t t t +-+=+===2a =22415x x x <-⎧⎨---+≥⎩83x ≤-得； ..................................................3分 得， ....................................................4 分 所以的解集为....................................5分（Ⅱ）对于任意实数，不等式成立，即恒成立，又因为，................................7分 要使原不等式恒成立，则只需， 由得所以实数的取值范围是. ...................................................10分212415x x x -≤≤⎧⎨+-+≥⎩01x ≤≤12415x x x >⎧⎨++-≥⎩1x >()15f x x +-≥8(,][0,)3-∞-+∞U x 23()2x f x a +-<22322x x a a +-+<2222322323x x a x x a a +-+≤+--=-232a a -<2232a a a -<-<13a <<a (1,3)。

综合测评(时间：120分钟 满分：150分)第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．①某高校为了解学生家庭经济收入情况，从来自城镇的150名学生和来自农村的450名学生中抽取100名学生的样本；②某车间主任从100件产品中抽取10件样本进行产品质量检验．Ⅰ.简单随机抽样法；Ⅱ.分层抽样法． 上述两问题和两方法配对正确的是( ) A ．①配Ⅰ，②配Ⅱ B ．①配Ⅱ，②配Ⅰ C ．①配Ⅰ，②配Ⅰ D ．①配Ⅱ，②配Ⅱ答案：B2．在区间[－2,3]上随机选取一个数x ，则x ≤1的概率为( ) A ．45 B ．35 C ．25D ．15解析：P ＝1＋23＋2＝35，故选B ．答案：B3．(2017·全国卷Ⅰ)为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田．这n 块地的亩产量(单位：kg)分别为x 1，x 2，…，x n ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )A ．x 1，x 2，…，x n 的平均数B ．x 1，x 2，…，x n 的标准差C ．x 1，x 2，…，x n 的最大值D ．x 1，x 2，…，x n 的中位数解析：刻画评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差，故选B ． 答案：B4．(2017·天津卷)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为19，则输出N 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：第一次循环：N ＝19－1＝18；第二次循环：N ＝6；第三次循环：N ＝2，此时2<3，跳出循环，故输出的值N ＝2.答案：C5．在样本频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个长方形面积和的25，且样本容量为140，则中间一组的频数为( )A ．28B ．40C ．56D ．60解析：设中间一个长方形的面积为x ，则其他8个小长方形面积之和为52x ，则x ＋52x ＝1，所以x ＝27，所以中间一组的频数为27×140＝40，故选B ．答案：B6．下边茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中有一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是( )A ．45B ．25C ．910D ．710解析：∵x 甲＝90×3＋80×2＋8＋9＋1＋25＝90，x 乙＝80×3＋90×2＋3＋3＋7＋x ＋95＝442＋x5，欲使甲的平均成绩超过乙的平均成绩，x 的值为0,1,2,3,4,5,6,7，其概率P ＝810＝45. 答案：A7．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明．右面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红(朱)色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2×勾×股＋(股－勾)2＝4×朱实＋黄实＝弦实，化简，得勾2＋股2＝弦2.设勾股形中勾股比为1∶3，若向弦图内随机抛掷1 000颗图钉(大小忽略不计)，则落在黄色图形内的图钉数大约为( )A ．866B ．500C ．300D ．134解析：设正方形的边长为2a ，则S 矩＝4a 2，S 黄＝(3a －a )2＝(3－1)2a 2， 由题意得3－12a24a2＝m1 000，得m ≈134. ∴落在黄色图形内的图钉数大约为134. 答案：D8．下面的茎叶图表示柜台记录的一天的销售额情况(单位：元)，则销售额中的中位数是( )A ．30.5B ．31C ．31.5D ．32解析：由茎叶图可知中位数是31，故选B ． 答案：B9．如果一组数x 1，x 2，…，x n 的平均数是x ，方差是s 2，则另一组数据3x 1＋2，3x 2＋2，…，3x n ＋2的平均数和方差分别是( )A ． 3 x ，s 2B ． 3 x ＋2，s 2C ． 3 x ＋2，3s 2D ． 3 x ＋2，3s 2＋26s ＋2解析：∵x 1，x 2，x 3，…，x n 的平均数为x ， ∴x 1＋x 2＋x 3＋…＋x n ＝n x .∴3x 1＋2＋3x 2＋2＋…＋3x n ＋2＝3n x ＋n 2，∴其平均数为3n x ＋n 2n＝3x ＋2，由方差的性质可知，其方差为3s 2.答案：C10．若框图所给的程序运行的结果S ＝90，那么判断框中应填入的关于k 的判断条件是( )A ．k <7B ．k <8C ．k <9D ．k <10解析：第一次循环：S ＝10，k ＝9；第二次循环：S ＝90，k ＝8，此时跳出循环，故选C ． 答案：C11．已知x ，y 的取值如下表所示：x 0 1 3 4 y2.24.34.86.7从散点图分析，y 与x 线性相关，且y ＝0.95x ＋a ，则a 的值为( ) A ．2.8 B ．2.6 C ．3.6D ．3.2解析：x ＝0＋1＋3＋44＝2，y ＝2.2＋4.3＋4.8＋6.74＝4.5，a ^＝y －0.95x ＝4.5－0.95×2＝2.6.答案：B12．为了了解学生遵守《中华人民共和国交通安全法》的情况，调查部门在某学校进行了如下的随机调查：向被调查者提出两个问题：(1)你的学号是奇数吗？(2)在过路口的时候你是否闯过红灯？要求被调查者背对调查人员抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第(1)个问题；否则就回答第(2)个问题．被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需要回答“是”或“不是”，因为只有被调查者本人知道回答了哪个问题，所以都如实做了回答．结果被调查的600人(学号从1到600)中有180人回答了“是”，由此可以估计在这600人中闯过红灯的人数是( )A ．30B ．60C ．120D ．150解析：抛掷一枚硬币出现正面和反面的概率都是0.5，因此600个被调查的学生中大约有300个人回答了第一个问题，300个人回答了第二个问题．又因为学号是奇数和偶数的概率相等，都是0.5，故300个回答第一个问题的学生中大约有150人回答了“是”．所以300个回答第二个问题的学生中有180－150＝30个回答了“是”，即曾经闯过红灯． 故在这600个人中闯过红灯的人数大约是60. 答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．若一组样本数据4,3,9,10，a 的平均数为8，则该组数据的方差是________． 解析：由题意可知15(4＋3＋9＋10＋a )＝8，∴a ＝14，∴s 2＝15(42＋52＋12＋22＋62)＝825.答案：82514．某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示．(1)直方图中的a ＝________；(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为________． 解析：(1)由题意得(0.2＋0.8＋1.5＋2.0＋2.5＋a )×0.1＝1，得a ＝3.(2)消费金额在区间[0.5,0.9]内的频率为1－(1.5＋2.5)×0.1＝0.6，其频数为10 000×0.6＝6 000.答案：(1)3 (2)6 00015．如图，一个等腰直角三角形的直角边长为2，分别以三个顶点为圆心，1为半径在三角形内作圆弧，三段圆弧与斜边围成区域M (图中白色部分)．若在此三角形内随机取一点P ，则点P 落在区域M 内的概率为________．解析：P ＝2－π×12212×2×2＝2－π22＝1－π4.答案：1－π416．若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运行后输出的结果是________．解析：由题意得S ＝0，i ＝1；S ＝1，i ＝2；S ＝4，i ＝3；S ＝11，i ＝4；S ＝26，i ＝5；S ＝57，i ＝6，此时S >n ，所以输出的结果为6.答案：6三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)(2019·全国卷Ⅱ)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表.y 的分组 [－0.20,0) [0,0.20) [0.20,0.40[0.40,0.60[0.60,0.80))) 企业数22453147(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．(精确到0.01)附：74≈8.602.解：(1)根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为14＋7100＝0.21.产值负增长的企业频率为2100＝0.02. 用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%.(2)y ＝1100(－0.10×2＋0.10×24＋0.30×53＋0.50×14＋0.70×7)＝0.30，s 2＝1100 i ＝15n i (y i －y )2＝1100[(－0.40)2×2＋(－0.20)2×24＋02×53＋0.202×14＋0.402×7]＝0.029 6，s ＝0.029 6＝0.02×74≈0.17.所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为0.30,0.17.18．(12分)某市用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过w 立方米的部分按4元/立方米收费，超出w 立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10 000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到频率分布直方图：(1)如果w 为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w 至少定为多少？(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w ＝3时，估计该市居民该月的人均水费．解：(1)由用水量的频率分布直方图知，该市居民该月用水量在区间[0.5,1]，(1,1.5]，(1.5,2]，(2,2.5]，(2.5,3]内的频率依次为0.1,0.15,0.2,0.25,0.15.所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%.依题意，w 至少定为3.(2)由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：12×0.15＋17×0.05＋22×0.05＋27×0.05＝10.5.19．(12分)某企业有甲、乙两个研发小组．为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：(a ，b )，(a ，b －)，(a ，b )，(a －，b )，(a －，b －)，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b －)，(a －，b )，(a ，b －)，(a －，b －)，(a ，b )，(a ，b －)，(a －，b )，(a ，b )．其中a ，a －分别表示甲组研发成功和失败；b ，b －分别表示乙组研发成功和失败． (1)若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分．试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率． 解：(1)甲组研发新产品的成绩为1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1. 其平均数为x －甲＝1015＝23；方差为s 2甲＝115⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－232×5＝29.乙组研发新产品的成绩为1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1. 其平均数为x －乙＝915＝35；方差为s 2乙＝115⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－352×9＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－352×6＝625.因为x －甲>x －乙，s 2甲<s 2乙，所以甲组的研发水平优于乙组． (2)记E ＝{恰有一组研发成功}．在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是(a ，b －)，(a －，b )，(a ，b －)，(a －，b )，(a ，b －)，(a ，b －)，(a －，b )，共7个，故事件E 发生的频率为715.将频率视为概率，即得所求概率为P (E )＝715.20．(12分)(2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：(1)求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率．解：(1)需求量不超过300瓶，即最高气温低于25 ℃，从表中可知有54天， ∴所求概率为P ＝5490＝35.(2)Y 的可能值列表如下：[20,25)：Y ＝300×6＋150×2－450×4＝300； 不低于25 ℃：Y ＝450×(6－4)＝900， ∴Y 大于0的概率为36＋25＋7＋490＝0.8.21．(12分)某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：m ，n 均不小于25”的概率；(2)若选取的是3月1日至3月5日的两组数据，请根据3月2日至3月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^.参考公式：回归直线的方程是y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝∑ni ＝1x i y i －n x －y －∑n i ＝1x 2i －n x －2，a ^＝y －－b x －解：(1)m ，n 的所有取值情况有：(23,25)，(23,30)，(23,26)，(23,16)，(25,30)，(25,26)，(25,16)，(30,26)，(30,16)，(26,16)，即基本事件总数为10.设“m ，n 均不小于25”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为(25,30)，(25,26)，(30,26)． 所以P (A )＝310，故事件A 的概率为310.(2)由数据，求得x －＝13×(11＋13＋12)＝12，y －＝13×(25＋30＋26)＝27,3x －y －＝972.∑3i ＝1x i y i ＝11×25＋13×30＋12×26＝977，∑3i ＝1x 2i ＝112＋132＋122＝434,3x －2＝432. 由公式，求得b ^＝∑ni ＝1x i y i －n x －y －∑n i ＝1x 2i －n x －2＝977－972434－432＝52，a ^＝y －－b ^x －＝27－52×12＝－3.所以y 关于x 的线性回归方程为y ＝52x －3.22．(12分)从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：(1)从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；(2)求频率分布直方图中的a ，b 的值；(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组．(只需写出结论)解：(1)根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有6＋2＋2＝10名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是1－10100＝0.9. 从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9.(2)课外阅读时间落在组[4,6)的有17人，频率为0.17，所以a ＝频率组距＝0.172＝0.085. 课外阅读时间落在组[8,10)的有25人，频率为0.25，所以b ＝频率组距＝0.252＝0.125. (3)学生课外阅读时间的平均数为：1100(1×6＋3×8＋5×17＋7×22＋9×25＋11×12＋13×6＋15×2＋17×2)＝7.68，所以样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组．。

1 2019-2020学年第一学期期末质量检测理科数学评分细则与参考答案说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 24y x =-； 14. 0.88； 15. p =2，（2分）k =（3分）; 16. 1818.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分) 解：（1）2222sin a c b ac C +=+………………………………………… …………2分………… …………4分分 ABC ∆的面积sin 22S bc A ==,又4A =，所以bc = …………………… …8分 由正弦定理sinA sin sin a b cB C==，sin sin ,sin sin a B a C b c A A == 所以22222sin sin 52sin sin 2sin cos sin sin 88884a B C bc a a a A πππππ=====， ………… …10分 所以28a =，a = …………………… ……………………………… ……………………12分 18．(12分）解：(1) 由题意又AB=2，所以AE ⊥BE ，又平面PEB平面ABED EB =,且平面PEB ⊥平面ABED ,所以AE ⊥平面PEB ， …………2分。