武汉大学近二十年数学分析考研真题 1
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武汉大学数学分析1992
1．给定数列如下：
}{nx
00>x
，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−=−+11)1(1knnnxaxkkx，",2,1,0=n
（1）证明数列收敛。
}{nx
（2）求出其极限值。
2．设函数定义在区间)(xfI上，试对“函数在)(xfI上不一致连续”的含义作一肯定语
气的（即不用否定词的）叙述，并且证明：函数在区间xxln),0(+∞上不一致连续。
3．设函数在区间上严格递增且连续，)(xf],0[a0)0(=f，为的反函数，试证
明成立等式：
。
)(xg)(
xf
[]
xxgaxxfafad)(d)(
)(
0
0
∫∫
−=
4．给定级数
∑
+∞
=+01n
n
n
x
。
（1）求它的和函数。
)(
xS
（2）证明广义积分
xxSd)(
1
0
∫
收敛，交写出它的值。
5．对于函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(2222222yxyxyxyxyxf，证明：
（1）
处处对),(yxfx，对可导；
y
（2）偏导函数
，有界；
),(
yxf
x
′
),(yxf
y
′
（3）在点不可微。
),(yxf)0,0(
（4）一阶偏导函数
，中至少有一个在点不连续。
),(
yxf
x′),(yxfy
′
)0,0(
6．计算下列积分：
（1）xxxxabdln10−∫，其中为常数，ba,ba<<0。
（2），其中为平面上由直线∫∫−Dyyxedd2Dxy=及曲线31xy=围成的有界闭区域。
武汉大学数学分析1994
1．设正无穷大数列（即对于任意正数}{nxM，存在自然数，当时，成立），
NNn>Mx
n
>
E为的一切项组成的数集。试证必存在自然数}{nxp，使得Expinf
=
。
2．设函数
在点的某空心邻域内有定义，对于任意以为极限且含于的数列
，极限都存在（有限数）。
)(xf0x0U0x0U
}{
n
x
)(limnnxf
∞→
（1）试证：相对于一切满足上述条件的数列
来说，数列的极限是唯一确定的，
即如果和是任意两个以为极限且含于的数列，那么总有
}{nx)}({
n
xf
}{nx}{
n
x′0x
0
U
)(lim)(limnnnnxfxf′=
∞→∞→
。
（2）记（1）中
的唯一确定的极限为，试证：)}({nxfAAxfxx=→)(lim0。
3．设函数在点的邻域)(xf0xI内有定义，证明：导数)(0xf′存在的充要条件是存在这样
的函数，它在)(xgI内有定义，在点连续，且使得在0xI内成立等式：
