差分方程基本概念和方法

. . 差分方程基本概念和方法

考察定义在整数集上的函数，(),,2,1,0,1,2,nxfnnLL 函数()nxfn在n时刻的一阶差分定义为：

1(1)()nnnxxxfnfn

函数()nxfn在n时刻的二阶差分定义为一阶差分的差分： 21212nnnnnnxxxxxx

同理可依次定义k阶差分knx

定义1．含有自变量n,未知函数nx以及nx的差分2,,nnxxL的函数方程, 称为常差分方程，简称为差分方程。出现在差分方程中的差分的最高阶数，称为差分方程的阶。

k阶差分方程的一般形式为 (,,,,)0knnnFnxxxL

其中(,,,,)knnnFnxxxL为,,,knnnnxxxL的已知函数，且至少knx要在式中出现。

定义2．含有自变量n和两个或两个以上函数值1,,nnxxL的函数方程，称为（常）

差分方程，出现在差分方程中的未知函数下标的最大差，称为差分方程的阶。

k阶差分方程的一般形式为 1(,,,,)0nnnkFnxxxL

其中1(,,,,)nnnkFnxxxL为1,,,nnnknxxxL的已知函数，且nx和nkx要在式中一定要出现。

定义3．如果将已知函数()nxn代入上述差分方程，使其对0,1,2,nL成为恒等式，则称()nxn为差分方程的解。如果差分方程的解中含有k个独立的任意 . . 常数，则称这样的解为差分方程的通解，而通解中给任意常数以确定值的解，称为差分方程的特解。

例如： 设二阶差分方程 21nnnFFF，可以验证12151522nnnFcc







是其通解，其满足条件121FF的特解为：11515225nnnF。 这里nF即为著名的Fibonacci数列。 定义 形如：1122nknknkknxbxbxbxfnL （1,,k

bbL

为常数，0,0,kbfnnk）

的差分方程称为k阶常系数线性非齐次差分方程。

常系数线性非齐次差分方程 1122nknknkknxbxbxbxfnL

对应的齐次差分方程为 11220nknknkknxbxbxbxL

定理4 非齐次差分方程的通解等于对应齐次差分方程的通解加上非齐次方程的特解，即 *nnnxxx

其中 *nx 是对应齐次差分方程的通解， nx 是非齐次差分方程的特解

对于线性齐次差分方程 11220nknknkknxbxbxbxL . . 定义其特征方程为 1110kkkkbbbL，称该特征方程的k个根为特征根，若此k个特征根互异，分别为12,,kL，则齐次差分方程的通解可表为

1122nnnnkkxcccL

差分方程的平衡点及稳定性 一阶线性差分方程的平衡点及稳定性 一阶线性常系数差分方程 1,0,1,2,kkxaxbkL （1）

的平衡点由xaxb解得，为 *1bxa

当k时，若 *kxx，则平衡点*x是稳定的，否则是不稳定的。 容易看出，可以用变量代换方法将方程（1）的平衡点的稳定性问题转换为

10,0,1,2,kkxaxkL （2）

的平衡点*0x 的稳定性问题。 对于方程（2），因为其解可表为 0,1,2,kkxaxkL

所以当且仅当1a时，方程（2）的平衡点（从而方程（1）的平衡点）才是稳定的。 对于二阶线性常系数差分方程，我们考查

21120kkkxaxax （3）

的平衡点*0x的稳定性。其特征方程为：2120aa，记特征根为12,，则（3）的通解为1122kkkxcc。不难验证当且仅当12,满足

121,1 时方程（3）的平衡点才是稳定的。 . . 二. 层次分析法的广泛应用•应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配，人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题，产业结构，教育，医疗，环境，军事等。

•处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。•建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决策层参与。

•构造成对比较阵是数量依据，应由经验丰富、判断力强的专家给出。

国家综合实力国民收入军事力量科技水平社会稳定对外

贸易

美、俄、中、日、德等大国工作选择

贡献收入发展声誉关系位

置

供选择的岗位

例1国家实力分析

例2 工作选择过河的效益A

经济效益B1社会效益B2

环境效益

B3

节省时间C1收入C2岸间商业C3当地商业C4建筑就业C5安全可靠C6交往沟通C7自豪感C8舒适C9进出方便C10美化C11

桥梁D1隧道D2渡船D3

（1）过河效益层次结构

例3横渡江河、海峡方案的抉择 .

. 过河的代价A

经济代价B1环境代价B3社会代价B2

投入资金C1操作维护C2冲击渡船业C3冲击生活方式C4交通拥挤C5居民搬迁C6汽车排放物C7对水的污染C8对生态的破坏C9

桥梁D1隧道D2渡船D2

（2）过河代价层次结构

例3横渡江河、海峡方案的抉择

待评价的科技成果直接经济效益C11

间接经济效益C12

社会效益C13学识水平C21学术创新C22技术水平C23技术创新C24

效益C1水平C2规模C

3

科技成果评价例4 科技成果的综合评价

消费者均衡 .

. q2

U(q1,q2) = c

q10

1

l2

l

3l

消费者均衡问题消费者对甲乙两种商品的偏爱程度用无差别曲线族表示，问他如何分配一定数量的钱，购买这两种商品，以达到最大的满意度。

设甲乙数量为q1,q2, 消费者的无差别曲线族(单调减、下凸、不相交），记作U(q1,q2)=c

U(q1,q2) ~ 效用函数已知甲乙价格p1、p2, 有钱s，试分配s,购买甲乙数量q1、q2, 使U(q1,q2)最大.

s/p2

s/p1q2U(q1,q2) = cq101l2

l

3l

模型及求解

已知价格p1、p2, 钱s, 求q1、q2, 或p1q1/ p2q2, 使U(q1,q2)最大sqpqptsqqUZ221121..

),(max

1122(),LUpqpqs)2,1(0iq

L

i2

121

p

pqUqU



122dqdqKl

几何解释

sqpqp2211直线MN:

最优解Q: MN与l2切点

21/ppKMN斜率·

M

QN··

21/qUqU

0,0,0,0,0.B21222221221qqUqUqUqUq

U

2121p

pqUqU

结果

解释21

,qUqU

——边际效用

消费者均衡状态在两种商品的边际效用之比恰等于它们价格之比时达到。

效用函数U(q1,q2) 应满足的条件A. U(q1,q2) =c所确定的函数q2=q2(q1)单调减、下凸

•解释B的实际意义AB . . 0,,)(.1121qqU效用函数U(q1,q2) 几种常用的形式

2121p

pqUqU



212211ppqp

qp





•消费者均衡状态下购买两种商品费用之比与二者价格之比的平方根成正比。

•U(q1,q2)中参数, 分别表示消费者对甲乙

两种商品的偏爱程度。

1,0,.221qqU

0,,)(.3221baqbqaU2121

p

pqUqU





2211

qp

qp

•购买两种商品费用之比与二者价格无关。•U(q1,q2)中参数,分别表示对甲乙的偏爱程度。

思考：如何推广到m( > 2) 种商品的情况

效用函数U(q1,q2) 几种常用的形式