基于牛顿—拉普森迭代法的输电导地线找形
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１ 悬索结构找形理论
有限元法找形是将悬索结构划分为适当数目 的 单 元 ，还 必 须 确 定 每 个 单 元 两 端 节 点 坐 标 ，所 以 在有限元 分 析 前 先 对 悬 索 结 构 进 行 理 论 近 似 找 形，确 定 初 始 时 刻 悬 索 位 形。 图 １ 为 承 受 两 个 方 向分布荷载ｑｘ（ｘ）和ｑｚ（ｘ）作用的悬索，张力Ｔ 沿
ｑｚ ＝ｑｄｓ／ｄｘ ＝ｑ ［１＋ （ｄｚ／ｄｘ）２ ］１／２ （４）
将 式 （４）代 入 式 （３）可 得 ：
Ｈｄ２ｚ／ｄｘ２ ＋ｑ ［１＋ （ｄｚ／ｄｘ）２ ］１／２ ＝０ （５）
满 足 边 界 条 件 式 （５）的 解 为 ：
ｚ
＝
Ｈ ｑ
［ｃｏｓｈα－ｃｏｓｈ （２βｘ／ｌ－α）］
（６）
收 稿 日 期 ：２０１１－０６－１８，修 回 日 期 ：２０１１－０９－２５ 作 者 简 介 ：侯 景 鹏 （１９７３－），男 ，副 教 授 ，研 究 方 向 为 输 电 线 路 数 值 模 拟 ，Ｅ－ｍａｉｌ：ｈｏｕｊｉｎｇｐｅｎｇ＠ｍａｉｌ．ｎｅｄｕ．ｅｄｕ．ｃｎ
＋ｑｚ
＝０
（２）
式中，ｑｘ、ｑｚ 分别为ｘ、ｚ 方向的荷载。 式 （１）、（２）即 为 单 索 结 构 平 衡 微 分 方 程 ，一 般
悬索结 构 均 只 承 受 竖 向 荷 载，因 此ｑｘ ＝０，Ｈ 为 常 数 ，由 此 可 得 ：
Ｈｄ２ｚ／ｄｘ２ ＋ｑｚ ＝０
（３）
因竖向荷载均匀分布，则ｑｄｓ＝ｑｚｄｘ，由此可得：
图 ２ 荷 载 沿 导 线 长 均 布 时 单 根 导 线 的 坐 标 系
Ｆｉｇ．２ Ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｓｙｓｔｅｍ ｏｆ ａ ｓｉｎｇｌｅ ｗｉｒｅ ｗｉｔｈ
ｕｎｉｆｏｒｍ ｌｏａｄ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｅｄ ａｌｏｎｇ ｗｉｒｅ
当输 电２ Ｈ ），代 入 式 （６）可 得 ：
（１．东北电力大学 建筑工程学院，吉林 吉林 １３２０１２；２．中国人民解放军第９１８５７部队，浙江 宁波 ３１５８０９）
摘要：基于悬索结构的找形理论，通过预先设定导地线的初应变以表征初应力来建立输电塔线 体 系 的 有 限 元
模型，在重力荷载作用下采用牛顿—拉普森迭代算法计 算 输 电 导 地 线 找 形 。结 果 表 明，该 方 法 可 较 准 确 得 到
· １７８ ·
水 电 能 源 科 学 ２０１２ 年
（ ） 其中
α ＝ｓｉｎｈ－１
βｃ／ｌ ｓｉｎｈβ
＋β；β ＝ｑｌ／（２ Ｈ ）
式 （６）即 为 一 族 悬 链 线 ，可 由 任 意 点 坐 标 确 定
整个曲线形状。图２为单根导线受力的坐标系图。
输电导地线的线形和内力，收敛快、计算精度、运算效率 高，可 为 输 电 导 地 线 及 其 他 大 跨 缆 索 结 构 的 找 形 和 施
工控制提供借鉴。
关 键 词 ：牛 顿 — 拉 普 森 迭 代 法 ；导 地 线 ；找 形 ；悬 索 结 构 ；非 线 性
中图分类号：ＴＵ３１２＋ ．１
文 献 标 志 码 ：Ａ
在架空输电 线 路 中，导 地 线 通 过 金 具 和 绝 缘 子串张拉在相邻 的 两 输 电 铁 塔 之 间，是 一 种 典 型 的 悬 索 结 构 ，张 拉 前 松 弛 ，荷 载 作 用 下 可 产 生 较 大 位移，找形前 无 法 进 行 准 确 计 算。 通 过 找 形 赋 予 悬索结构在静载 下 的 应 力 和 位 移 形 态，可 继 续 用 于各种静动 力 计 算。 因 此，导 地 线 的 找 形 是 对 输 电线路结构进行 后 续 分 析 计 算 的 首 要 一 步，直 接 关系后续计算精度。针对大跨悬索结构的找形计 算 ，国 内 外 提 出 了 弹 性 、挠 度 、有 限 位 移 、膜 等 理 论 找形计算 方 法 。 ［１～３］ 近 年 来，随 着 有 限 元 软 件 的 广泛应用与数值 模 拟 技 术 的 日 益 成 熟，有 限 元 法 在大跨 悬 索 结 构 找 形 计 算 中 被 广 泛 应 用。 彭 苗 等 应 ［４］ 用 有 限 元 法 分 析 了 悬 索 桥 的 空 间 主 缆 找 形，周焕廷 等 应 ［５］ 用 ＡＮＳＹＳ 有 限 元 软 件 分 析 了 大跨索网结 构 找 形，效 果 均 较 好。 但 采 用 有 限 元 法对大 跨 越 输 电 导 地 线 找 形 的 研 究 还 较 少。 鉴 此，为精确地模拟 输 电 导 地 线 在 重 力 场 作 用 下 的 初始平衡状态，本 文 采 用 牛 顿—拉 普 森 迭 代 算 法 计算了自重荷载 作 用 下 的 输 电 导 地 线 找 形，通 过 ４次迭代计算获得较精确的导地线几何形状。
以文献 ［６］中 的 ５Ａ－ＺＭ４ 猫 头 直 线 塔 为 例 建 立塔线体系有限 元 模 型，导 地 线 的 特 性 参 数 及 使
［ （ ）］ ｚ
＝
Ｈ ｑ
ｃｏｓｈα－ｃｏｓｈ
ｑｘ Ｈ
－α
（７）
令 跨 中 弧 垂 为 ｆ，ｘ＝ｌ／２，ｚ＝ｆ，得 ：
ｆ
＝
Ｈ ｑ
（ｃｏｓｈα－ｌ）
（８）
Ｈ 可由ｆ 求 出，则 曲 线 形 状 确 定，因 此 输 电
导 地 线 的 形 状 可 由 荷 载 集 度ｑ 和 导 地 线 两 端 坐 标
确定。
２ ＡＮＳＹＳ 有 限 元 分 析 模 型
第３０卷 第２期 ２ ０ １ ２ 年 ２ 月
文 章 编 号 ：１０００－７７０９（２０１２）０２－０１７７－０３
水 电 能 源 科 学 Ｗａｔｅｒ Ｒｅｓｏｕｒｃｅｓ ａｎｄ Ｐｏｗｅｒ
Ｖｏｌ．３０ Ｎｏ．２ Ｆｅｂ．２ ０ １ ２
基于牛顿—拉普森迭代法的输电导地线找形研究
侯 景 鹏１，陈 加 宝１，曾 建 华２，雷 俊 方１，纪 星１
图 １ 悬 索 及 微 分 单 元
Ｆｉｇ．１ Ｓｕｓｐｅｎｓｉｏｎ ａｎｄ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｕｎｉｔ
着索的切线方向。Ｈ 为某点张力的水平分量，其
竖向分量为：
Ｖ ＝ Ｈｔｇθ＝ Ｈｄｚ／ｄｘ
ｘ 向平衡微分方程为：
ｄ Ｈ／ｄｘ＋ｑｘ ＝０ ｚ向平衡微分方程为：
（１）
（ ） ｄ
ｄｘ
Ｈ
ｄｚ ｄｘ
有限元法找形是将悬索结构划分为适当数目 的 单 元 ，还 必 须 确 定 每 个 单 元 两 端 节 点 坐 标 ，所 以 在有限元 分 析 前 先 对 悬 索 结 构 进 行 理 论 近 似 找 形，确 定 初 始 时 刻 悬 索 位 形。 图 １ 为 承 受 两 个 方 向分布荷载ｑｘ（ｘ）和ｑｚ（ｘ）作用的悬索，张力Ｔ 沿
ｑｚ ＝ｑｄｓ／ｄｘ ＝ｑ ［１＋ （ｄｚ／ｄｘ）２ ］１／２ （４）
将 式 （４）代 入 式 （３）可 得 ：
Ｈｄ２ｚ／ｄｘ２ ＋ｑ ［１＋ （ｄｚ／ｄｘ）２ ］１／２ ＝０ （５）
满 足 边 界 条 件 式 （５）的 解 为 ：
ｚ
＝
Ｈ ｑ
［ｃｏｓｈα－ｃｏｓｈ （２βｘ／ｌ－α）］
（６）
收 稿 日 期 ：２０１１－０６－１８，修 回 日 期 ：２０１１－０９－２５ 作 者 简 介 ：侯 景 鹏 （１９７３－），男 ，副 教 授 ，研 究 方 向 为 输 电 线 路 数 值 模 拟 ，Ｅ－ｍａｉｌ：ｈｏｕｊｉｎｇｐｅｎｇ＠ｍａｉｌ．ｎｅｄｕ．ｅｄｕ．ｃｎ
＋ｑｚ
＝０
（２）
式中，ｑｘ、ｑｚ 分别为ｘ、ｚ 方向的荷载。 式 （１）、（２）即 为 单 索 结 构 平 衡 微 分 方 程 ，一 般
悬索结 构 均 只 承 受 竖 向 荷 载，因 此ｑｘ ＝０，Ｈ 为 常 数 ，由 此 可 得 ：
Ｈｄ２ｚ／ｄｘ２ ＋ｑｚ ＝０
（３）
因竖向荷载均匀分布，则ｑｄｓ＝ｑｚｄｘ，由此可得：
图 ２ 荷 载 沿 导 线 长 均 布 时 单 根 导 线 的 坐 标 系
Ｆｉｇ．２ Ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｓｙｓｔｅｍ ｏｆ ａ ｓｉｎｇｌｅ ｗｉｒｅ ｗｉｔｈ
ｕｎｉｆｏｒｍ ｌｏａｄ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｅｄ ａｌｏｎｇ ｗｉｒｅ
当输 电２ Ｈ ），代 入 式 （６）可 得 ：
（１．东北电力大学 建筑工程学院，吉林 吉林 １３２０１２；２．中国人民解放军第９１８５７部队，浙江 宁波 ３１５８０９）
摘要：基于悬索结构的找形理论，通过预先设定导地线的初应变以表征初应力来建立输电塔线 体 系 的 有 限 元
模型，在重力荷载作用下采用牛顿—拉普森迭代算法计 算 输 电 导 地 线 找 形 。结 果 表 明，该 方 法 可 较 准 确 得 到
· １７８ ·
水 电 能 源 科 学 ２０１２ 年
（ ） 其中
α ＝ｓｉｎｈ－１
βｃ／ｌ ｓｉｎｈβ
＋β；β ＝ｑｌ／（２ Ｈ ）
式 （６）即 为 一 族 悬 链 线 ，可 由 任 意 点 坐 标 确 定
整个曲线形状。图２为单根导线受力的坐标系图。
输电导地线的线形和内力，收敛快、计算精度、运算效率 高，可 为 输 电 导 地 线 及 其 他 大 跨 缆 索 结 构 的 找 形 和 施
工控制提供借鉴。
关 键 词 ：牛 顿 — 拉 普 森 迭 代 法 ；导 地 线 ；找 形 ；悬 索 结 构 ；非 线 性
中图分类号：ＴＵ３１２＋ ．１
文 献 标 志 码 ：Ａ
在架空输电 线 路 中，导 地 线 通 过 金 具 和 绝 缘 子串张拉在相邻 的 两 输 电 铁 塔 之 间，是 一 种 典 型 的 悬 索 结 构 ，张 拉 前 松 弛 ，荷 载 作 用 下 可 产 生 较 大 位移，找形前 无 法 进 行 准 确 计 算。 通 过 找 形 赋 予 悬索结构在静载 下 的 应 力 和 位 移 形 态，可 继 续 用 于各种静动 力 计 算。 因 此，导 地 线 的 找 形 是 对 输 电线路结构进行 后 续 分 析 计 算 的 首 要 一 步，直 接 关系后续计算精度。针对大跨悬索结构的找形计 算 ，国 内 外 提 出 了 弹 性 、挠 度 、有 限 位 移 、膜 等 理 论 找形计算 方 法 。 ［１～３］ 近 年 来，随 着 有 限 元 软 件 的 广泛应用与数值 模 拟 技 术 的 日 益 成 熟，有 限 元 法 在大跨 悬 索 结 构 找 形 计 算 中 被 广 泛 应 用。 彭 苗 等 应 ［４］ 用 有 限 元 法 分 析 了 悬 索 桥 的 空 间 主 缆 找 形，周焕廷 等 应 ［５］ 用 ＡＮＳＹＳ 有 限 元 软 件 分 析 了 大跨索网结 构 找 形，效 果 均 较 好。 但 采 用 有 限 元 法对大 跨 越 输 电 导 地 线 找 形 的 研 究 还 较 少。 鉴 此，为精确地模拟 输 电 导 地 线 在 重 力 场 作 用 下 的 初始平衡状态，本 文 采 用 牛 顿—拉 普 森 迭 代 算 法 计算了自重荷载 作 用 下 的 输 电 导 地 线 找 形，通 过 ４次迭代计算获得较精确的导地线几何形状。
以文献 ［６］中 的 ５Ａ－ＺＭ４ 猫 头 直 线 塔 为 例 建 立塔线体系有限 元 模 型，导 地 线 的 特 性 参 数 及 使
［ （ ）］ ｚ
＝
Ｈ ｑ
ｃｏｓｈα－ｃｏｓｈ
ｑｘ Ｈ
－α
（７）
令 跨 中 弧 垂 为 ｆ，ｘ＝ｌ／２，ｚ＝ｆ，得 ：
ｆ
＝
Ｈ ｑ
（ｃｏｓｈα－ｌ）
（８）
Ｈ 可由ｆ 求 出，则 曲 线 形 状 确 定，因 此 输 电
导 地 线 的 形 状 可 由 荷 载 集 度ｑ 和 导 地 线 两 端 坐 标
确定。
２ ＡＮＳＹＳ 有 限 元 分 析 模 型
第３０卷 第２期 ２ ０ １ ２ 年 ２ 月
文 章 编 号 ：１０００－７７０９（２０１２）０２－０１７７－０３
水 电 能 源 科 学 Ｗａｔｅｒ Ｒｅｓｏｕｒｃｅｓ ａｎｄ Ｐｏｗｅｒ
Ｖｏｌ．３０ Ｎｏ．２ Ｆｅｂ．２ ０ １ ２
基于牛顿—拉普森迭代法的输电导地线找形研究
侯 景 鹏１，陈 加 宝１，曾 建 华２，雷 俊 方１，纪 星１
图 １ 悬 索 及 微 分 单 元
Ｆｉｇ．１ Ｓｕｓｐｅｎｓｉｏｎ ａｎｄ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｕｎｉｔ
着索的切线方向。Ｈ 为某点张力的水平分量，其
竖向分量为：
Ｖ ＝ Ｈｔｇθ＝ Ｈｄｚ／ｄｘ
ｘ 向平衡微分方程为：
ｄ Ｈ／ｄｘ＋ｑｘ ＝０ ｚ向平衡微分方程为：
（１）
（ ） ｄ
ｄｘ
Ｈ
ｄｚ ｄｘ
