数值计算(二分法、简单迭代法、Newton迭代法、弦截法(割线法、双点弦法))

⾮线性⽅程求解基于MATLAB的⾮线性⽅程的五种解法探讨摘要：本⽂利⽤matlab软件对⾮线性⽅程解法中的⼆分法、简单迭代法、⽜顿法、割线法以及Steffensen法的数值分析⽅法的算法原理及实现⽅法进⾏了探讨。

对f x x x=+-()2ln2的零点问题，分别运⽤以上五种不同的⽅法进⾏数值实验，⽐较⼏种解法的优缺点并进⾏初步分析评价。

关键词：⼆分法、简单迭代法、⽜顿法、割线法、Steffensen法1、引⾔在很多实际问题中，经常需要求⾮线性⽅程f(x) =0的根。

⽅程f(x) =0的根叫做函数f(x)的零点。

由连续函数的特性知：若f(x)在闭区间[a,b ]上连续,且()()0f a f b<.则f(x) =0在开区间(a,b)内⾄少有⼀个实根。

这时称[a,b]为⽅程f(x) =0的根的存在区间。

本⽂主要对⾮线性⽅程的数值解法进⾏分析，并介绍了⾮线性⽅程数值解法的五种⽅法。

并设=+-.f x x x()2ln2f x在[1,2]上的图形，如图1：. 显然，函数在[1,2]之间有⼀个零点。

⾸先画出()2、计算机配置操作系统Windows 7 旗舰版内存2GB处理器AMD 4核 A6-3400M APU 1.4GHz图.13、⼆分法⼆分法的基本思想是将⽅程根的区间平分为两个⼩区间,把有根的⼩区间再平分为两个更⼩的区间,进⼀步考察根在哪个更⼩的区间内。

如此继续下去,直到求出满⾜精度要求的近似值。

设函数()f x 在区间[a,b ]上连续,且f(a)·f(b) <0，则[a,b ]是⽅程f(x) =0的根的存在区间，设其内有⼀实根，记为x*。

取区间[a,b ]的中点()2k a b x +=并计算1()f x ,则必有下列三种情况之⼀成⽴： (1) 1()f x =0，x1就是⽅程的根x*;(2)()f a .1()f x <0,⽅程的根x*位于区间[a, 1x ]之中,此时令111,a a b x ==; (3)1()f x .()f b <0,⽅程的根x*位于区间[1x ,b ]之中,此时令11a x =,1b b =。

实验报告一：实验题目一、 实验目的掌握求解非线性方程根的二分法、简单迭代法和牛顿迭代法，并通过数值实验比较两种方法的收敛速度。

二、 实验内容1、编写二分法、并使用这两个程序计算02)(=-+=x e x x f 在[0, 1]区间的解，要求误差小于 410- ，比较两种方法收敛速度。

2、在利率问题中，若贷款额为20万元，月还款额为2160元，还期为10年，则年利率为多少？请使用牛顿迭代法求解。

3、由中子迁移理论，燃料棒的临界长度为下面方程的根，用牛顿迭代法求这个方程的最小正根。

4、用牛顿法求方程的根，精确至8位有效数字。

比较牛顿迭代法算单根和重根的收敛速度，并用改进的牛顿迭代法计算重根。

第1题：02)(=-+=x e x x f 区间[0,1] 函数画图可得函数零点约为0.5。

画图函数：function Test1()% f(x) 示意图, f(x) = x + exp(x) - 2; f(x) = 0r = 0:0.01:1;y = r + exp(r) - 2plot(r, y);grid on 二分法程序：计算调用函数：[c,num]=bisect(0,1,1e-4)function [c,num]=bisect(a,b,delta)%Input –a,b 是取值区间范围% -delta 是允许误差%Output -c 牛顿迭代法最后计算所得零点值% -num 是迭代次数ya = a + exp(a) - 2;yb = b + exp(b) - 2;if ya * yb>0return;endfor k=1:100c=(a+b)/2;yc= c + exp(c) - 2;if abs(yc)<=deltaa=c;b=c;elseif yb*yc>0b=c;yb=yc;elsea=c;ya=yc;endif abs(b-a)<deltanum=k; %num为迭代次数break;endendc=(a+b)/2;err=abs(b-a);yc = c + exp(c) - 2;牛顿迭代法程序：计算调用函数：[c,num]=newton(@func1,0.5,1e-4) 调用函数：function [y] = func1(x)y = x + exp(x) - 2;end迭代算法：function[c,num]=newton(func,p0,delta)%Input -func是运算公式% -p0是零点值% -delta是允许误差%Output -c牛顿迭代法最后计算所得零点值% -num是迭代次数num=-1;for k=1:1000y0=func(p0);dy0=diff(func([p0 p0+1e-8]))/1e-8;p1=p0-y0/dy0;err=abs(p1-p0);p0=p1;if(err<delta)num=k;%num为迭代次数break;endendc=p0;第2题：由题意得到算式：计算调用函数：[c,num]=newton(@func2,0.02,1e-8)程序：先用画图法估计出大概零点位置在0.02附近。

摘 要在科学工作中经常出现这类问题，我们关注求解非线性方程或非线性方程组——求x 使得f （x ）=0或求得X= 使得F （X ）=0。

这些方程中，至少一个变量以任意的非线性方程形式出现。

在实变量变量的实值函数这种最简单的情况下，提出的一般问题是：已知函数f ：R →R ，求x 的解使得f （X ）=0这里主要讨论解决这类问题的一般方法和过程。

在许多应用中可以发现非线性方程的例子。

例如在光的衍射理论中，我们需要用到方程：X-tanX=0在行星轨道的计算中我们需要开普勒方程：X-asinX=b其中a 和b 任意取值。

在科学研究和科学计算中常常碰到以上的非线性方程求解问题。

非线性方程的解一般不能解析求出。

所以数值解法显得非常重要,而数值解法在实际中的实现则更为重要。

本文将介绍几种数值解法以及Matlab 中的实现程序。

为研究非线性方程数值解，给出了二分法、简单迭代法和牛顿迭代法的Matlab 程序，并进行了近似计算。

结果表明，牛顿迭代法收敛最快。

关键词:非线性方程;Matlab 程序;二分法;迭代法;简单迭代法;弦截法。

()T1n x x x ⋅⋅⋅2，，非线性方程数值解法1 二分法设f (x)在[a,b]连续,假定f (a)<0,f (b)>0,取中点 ,检查f (x0)符号。

若f (x0)=0,则x0就是一个根;若f (x0)>0,记a为a1,x0为b1,则得有根区间[a1,b1];若f(x0)<0,记x0为a1,b为b1,则得有根区间[a1,b1]。

后两种情况都得到有根区间[a1,b1],它的长度为原区间的一半。

对[a1,b1],令 ,再用同样的方法,可得新的有根区间[a2,b2],它的长度为[a1,b1]的一半,如此反复进行下去，其中每一个区间是前一区间的一半。

有这就是方程的根。

而即为方程的近似根,且有估计误差下面用二分法求在区间[1,2]上的根.因为二分法只能求单根,首先可以搜索函数(2.2)在区间[1,2]的根的情况。

数值分析非线性方程的数值解法数值分析是一种应用数学方法来分析和解决数学问题的领域。

非线性方程是数值分析中一类重要的问题，其解法包括了迭代法、牛顿法、割线法等。

本文将详细介绍这些数值解法及其原理和应用。

一、迭代法迭代法是解非线性方程的一种常用数值方法。

该方法的基本思想是通过不断迭代逼近方程的根，直到达到所需精度或满足停止准则为止。

迭代法的求根过程如下：1.选择适当的初始值x0。

2. 利用迭代公式xn+1 = g(xn)，计算下一个近似根。

3.重复步骤2，直到满足停止准则为止。

常用的迭代法有简单迭代法、弦截法和牛顿法。

简单迭代法的迭代公式为xn+1 = f(xn)，其中f(x)为原方程的一个改写形式。

该方法的收敛性要求函数f(x)在解附近有收敛性且导数在一个区间内收敛。

弦截法的迭代公式为xn+1 = xn - f(xn) * (xn-xn-1) / (f(xn)-f(xn-1))。

该方法通过连接两个点上的函数值的割线来逼近方程的根。

牛顿法的迭代公式为xn+1 = xn - f(xn) / f'(xn)，其中f'(x)为f(x)的导数。

该方法通过用切线来逼近方程的根。

二、牛顿法牛顿法是解非线性方程的一种常用迭代法。

该方法通过使用方程的导数来逼近方程的根。

迭代过程如下：1.选择适当的初始值x0。

2. 利用迭代公式xn+1 = xn - f(xn) / f'(xn)，计算下一个近似根。

3.重复步骤2，直到满足停止准则为止。

牛顿法的收敛速度较快，但要求方程的导数存在且不为0。

三、割线法割线法是解非线性方程的另一种常用迭代法。

该方法通过连接两个点上的函数值的割线来逼近方程的根。

迭代过程如下：1.选择适当的初始值x0和x12. 计算下一个近似根xn+1 = xn - f(xn) * (xn-xn-1) / (f(xn)-f(xn-1))。

3.重复步骤2，直到满足停止准则为止。

割线法的收敛速度介于简单迭代法和牛顿法之间。

数值求解方法数值求解方法是一种通过数值计算来解决数学问题的方法。

在许多实际问题中，我们需要求解各种方程或函数的根、极值、积分等问题，而数值求解方法可以提供一种有效的途径来解决这些问题。

本文将介绍几种常见的数值求解方法，并分析其原理和应用。

一、二分法二分法是一种简单而有效的数值求解方法，它通过不断将求解区间一分为二，并根据函数值的正负判断根的位置，最终逼近根的位置。

二分法的原理是基于函数在连续区间上的性质，通过不断缩小求解区间的范围来逼近根的位置。

二分法的优点是简单易用，但收敛速度相对较慢，对于某些特殊函数可能不适用。

二、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种通过线性逼近来求解方程的数值方法。

它通过对方程进行泰勒展开，利用切线与x轴的交点作为下一个近似解，从而逐步逼近方程的根。

牛顿迭代法的优点是收敛速度快，但对于某些复杂函数可能存在收敛性问题，需要进行合理的初始近似值选择。

三、割线法割线法是一种通过线性逼近来求解方程的数值方法，类似于牛顿迭代法。

它通过对方程进行割线近似，利用割线与x轴的交点作为下一个近似解，从而逐步逼近方程的根。

割线法的优点是相对于牛顿迭代法而言，不需要计算函数的导数，因此更加简单易用，但收敛速度较慢。

四、高斯消元法高斯消元法是一种用于求解线性方程组的数值方法。

它通过对方程组进行一系列的行变换，将方程组化为上三角形矩阵，然后通过回代求解得到方程组的解。

高斯消元法的优点是简单直观，适用于一般的线性方程组求解，但对于某些特殊的方程组可能存在奇异性或多解的问题。

五、龙贝格积分法龙贝格积分法是一种用于数值积分的方法，通过对区间进行逐步细分，并计算相应的复合梯形面积来逼近积分值。

龙贝格积分法的优点是收敛速度较快，精度较高，适用于各种类型的函数积分求解，但对于某些特殊函数可能存在收敛性问题。

六、插值法插值法是一种通过已知数据点来求解未知数据点的数值方法。

它通过构造一个插值函数，使得该函数在已知数据点上与原函数值相等，从而通过插值函数来求解未知数据点的近似值。

数值分析基本概念与方法数值分析是一种应用数学的学科，通过使用数值方法和算法来解决数学问题。

它涉及到将问题转化为数字形式，然后使用计算机进行计算和分析。

本文将讨论数值分析的基本概念和常用方法。

一、误差与收敛性在数值分析中，误差是一个重要的概念。

它指的是数值方法的近似解与真实解之间的差距。

误差可以分为截断误差和舍入误差两种类型。

截断误差是由于使用有限步骤的近似方法而引入的误差，而舍入误差是由于计算机无法存储无限精度的数字而引入的误差。

数值方法的收敛性是指随着使用更精确的近似方法，近似解逐渐接近真实解。

我们通常希望选择收敛性较好的数值方法来获得更精确的结果。

二、插值与拟合插值是一种常用的数值方法，用于根据给定的离散数据点，构建拟合曲线或曲面。

插值方法通过使用已知数据点之间的函数关系来估计未知点的值。

常见的插值方法包括拉格朗日插值和牛顿插值。

拟合是另一种常用的数值方法，用于找到一个函数或曲线，最能拟合给定的离散数据点。

拟合方法通过选择适当的函数形式和参数来实现。

最小二乘法是一种常见的拟合方法，它通过最小化数据点与拟合曲线之间的误差来确定最佳拟合。

三、数值积分数值积分是计算函数定积分的一种方法。

定积分通常用于计算曲线下面的面积或求解物理问题中的积分方程。

数值积分方法基于将定积分转化为求和或求平均值的问题。

矩形法和梯形法是最简单的数值积分方法。

矩形法将曲线下面的面积近似为由矩形组成的总面积，而梯形法将曲线下面的面积近似为由梯形组成的总面积。

辛普森法则是一种更精确的数值积分方法，它使用二次多项式逼近曲线，并通过拟合曲线下的小区间来计算积分。

四、数值微分数值微分是计算函数导数的一种方法。

导数在数学和物理中具有广泛的应用，如求解微分方程和优化问题等。

常用的数值微分方法包括前向差分法、后向差分法和中心差分法。

前向差分法使用函数在当前点和下一个点之间的斜率来近似导数。

后向差分法使用函数在当前点和上一个点之间的斜率来近似导数。

二分法、牛顿法、割线法、简易牛顿法二分法是一种简单而常用的求解方程近似解的方法。

其基本思想是将函数的定义域分为两个部分，并通过比较函数在这两个部分的取值来确定方程的解在哪一部分。

然后，再将该部分继续二分，直到找到近似解为止。

牛顿法是一种迭代求解方程根的方法。

它基于函数的局部线性逼近，通过不断更新当前的近似解，直到满足精度要求为止。

牛顿法的核心思想是利用函数的导数来不断修正当前的近似解，使得每次迭代都能更接近方程的根。

割线法是一种类似于牛顿法的迭代求解方程根的方法。

它也是基于函数的局部线性逼近，但不需要计算函数的导数。

割线法通过连接两个近似解的割线来估计方程的根，并利用割线与坐标轴的交点作为下一个近似解，不断迭代直到满足精度要求。

简易牛顿法是对牛顿法的一个简化版本。

在简易牛顿法中，不需要每次迭代都计算函数的导数，而是利用两个近似解的函数值来估计导数。

这样可以减少计算量，并在一定程度上提高计算效率。

二分法、牛顿法、割线法和简易牛顿法都是常用的求解方程近似解的方法，它们各自有着不同的特点和适用范围。

在实际应用中，我们可以根据具体的问题选择合适的方法来求解方程的近似解。

二分法适用于函数在定义域上单调且连续的情况，它的收敛速度较慢但稳定可靠。

牛顿法适用于函数在定义域上具有充分光滑的情况，它的收敛速度较快但对初值敏感。

割线法适用于函数在定义域上具有充分光滑的情况，它的收敛速度介于二分法和牛顿法之间。

简易牛顿法是对牛顿法的简化，适用于函数在定义域上具有充分光滑的情况，它的收敛速度介于割线法和牛顿法之间。

无论是二分法、牛顿法、割线法还是简易牛顿法，它们的求解过程都可以表示为迭代的形式。

通过不断更新当前的近似解，直到满足精度要求为止。

在每一次迭代中，我们都可以利用函数的信息来修正当前的近似解，使其更接近方程的根。

这种迭代的过程可以通过循环结构来实现，其中迭代的终止条件可以是近似解的精度达到要求或者迭代次数达到一定的限制。

现代数值计算方法公式总结现代数值计算方法公式一、插值法1.拉格朗日（Lagrange）插值法a)两点一次：b)三点二次：2.牛顿（Newton）插值a)n次牛顿法多项式：其中一阶差二阶差商三阶差商四阶差商商b)向前差分：下减上c)向后差分：上减下3.三次埃米尔特（Hermite）插值二、拟合曲线（最小二乘）三、数值积分1.牛顿-柯特思（Newton-Cotes）公式梯形求积公式（2节点）复化梯形求积公式辛普生求积公式（3节点）复化辛普生求积公式2.高斯（Gauss）公式高斯-勒让德求积公式1.先用勒让德公式求解x i2.利用“高斯积分公式具有2n+1次代数精度”将x i带入求A i3.将xi、Ai带入公式求取积分、并计算误差。

普通积分化标准形式：积分区间[a,b]变换3.代数精度若求积公式对f(x)=1,x,x2,…x m时精确成立，而对f(x)=x m+1时不成立，则称此求积公式具有m次代数精确度四、解线性代数方程组的直接方法三角形分解法求解，先将A分解为，则原式变为，那么问题就变为了求解五、解线性代数方程的迭代法1.范数向量范数定义：设其中R为实数域、C为复数域，若某实值函数满足条件1）非负性，||x||=0当且仅当x=0成立2）其次行3）三角不等式称为域上的一个向量范数常见范数：矩阵范数定义：设其中R为实数域、C为复数域，若某实值函数满足条件1）非负性，||A||=0当且仅当A=0成立2）其次行3）三角不等式4）乘积性质称为域上的一个矩阵范数常见范数：行范数列范数为的最大按模特征值2.谱半径3.雅可比迭代向量：用第i个方程解出xi的方程，分量通式如下：矩阵：对于Ax=b，先将A拆分成对角线矩阵D减去下三角矩阵L，再减去上三角矩阵U。

其中4.高斯-塞德尔迭代向量：用第i个方程解出xi的方程，并将上式得到的带入下边的公式，分量通式如下：矩阵：对于Ax=b，先将A拆分成对角线矩阵D减去下三角矩阵L，再减去上三角矩阵U。

数值计算方法1. 简介数值计算方法是一种利用计算机对数值进行近似计算的方法。

在实际问题中，无法直接找到解析解的情况下，数值计算方法可以通过一系列的数学算法和计算机程序来求解数值近似解。

本文将介绍数值计算方法的常见算法和应用。

2. 常见数值计算方法2.1 二分法二分法是一种通过逐步缩小区间来逼近根的方法。

它可以用于求解方程的根或函数的零点。

二分法的思想是首先选择一个区间，然后将区间分为两个子区间，根据函数的性质判断根可能在哪个子区间中，然后在选择的子区间内继续进行二分，不断逼近根的位置，直到达到指定的精度。

2.2 牛顿迭代法牛顿迭代法是一种通过线性逼近来求解方程根的方法。

它通过计算函数在某点的斜率，然后使用一条直线来逼近函数，进而求解方程的根。

牛顿迭代法的迭代公式如下：X[n+1] = X[n] - f(X[n])/f'(X[n])其中，X[n]是第n次迭代的近似根，f(X[n])是函数在X[n]处的值，f'(X[n])是函数在X[n]处的斜率。

2.3 插值法插值法是一种通过已知数据点来构造代表函数的曲线或多项式的方法。

在插值方法中，可以利用已知数据点之间的关系，通过求解系数来构造函数的近似表达式。

常见的插值方法有拉格朗日插值法和牛顿插值法。

2.4 数值积分数值积分是一种通过将函数转化为插值多项式来计算定积分的方法。

数值积分方法可以将曲线的面积近似分成多个小矩形或梯形，然后计算各个小矩形或梯形的面积之和来得到定积分的近似值。

3. 数值计算方法的应用数值计算方法在各个领域都有广泛的应用，包括物理、金融、工程等。

以下是数值计算方法的一些典型应用：3.1 方程求解数值计算方法可以用来求解方程的根，例如光速逼近法可以用来求解非线性方程，在实际物理问题中有广泛的应用。

3.2 数据拟合数据拟合是一种通过已知数据点来构造函数的曲线或多项式的方法。

数值计算方法可以通过插值法或最小二乘法来拟合数据，用来分析和预测数据的趋势。

数值计算方法简介数值计算方法是一种用计算机处理数学问题的方法，它已经成为现代科学和工程中不可或缺的一部分。

目前，数值计算方法已经应用到了各个领域，比如工程学、物理学、经济学等等。

下面我们来简单介绍一些数值计算方法的基本概念和方法。

一.数值方法的分类数值计算方法可以分为以下两类：直接方法和迭代方法。

直接方法就是通过一定的公式或计算过程，直接求得问题的解。

而迭代方法则是通过不断地逼近解来求解问题。

迭代方法的精度一般会随着迭代次数的增加而增加，但同时也会增加计算的时间和计算的次数。

二.方程求解方法方程求解是数值计算方法中重要的一部分，它可以通过一定的计算方法来求解各种类型的方程，比如线性方程、非线性方程、微分方程等等。

其中，最常用的方程求解方法包括牛顿迭代法、二分法、割线法等等。

以求解非线性方程为例，牛顿迭代法是一种常用的方法。

假设要求解方程$f(x)=0$，我们可以首先给出一些初值$x_0$，然后通过不断使用牛顿迭代公式$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$，来逼近方程的解。

三.插值和拟合插值和拟合是数值计算中另一个重要的内容，其主要任务是通过已知的数据点来确定一个函数，从而使其在其他点上的值也可以被预测或计算。

其中，插值一般用于在已知数据点之间构建函数，而拟合则是用于对数据点进行近似。

最常用的插值方法包括拉格朗日插值和牛顿插值，其中拉格朗日插值函数为$L_n(x)=\sum_{i=0}^n y_i \frac{\prod_{j=0,j\neq i}^n (x-x_j)}{\prod_{j=0,j\neq i}^n (x_i-x_j)}$，其中$y_i$为已知数据点$(x_i,y_i)$的纵坐标值。

拟合方法中，最常用的是最小二乘法。

最小二乘法即是通过已知数据点，找到一条尽可能接近这些点的函数，也就是使这些点到函数的距离最小。

具体的做法是通过求解一个最小二乘问题，找到一个函数$f(x)$，使得$\sum_{i=1}^n (y_i-f(x_i))^2$最小。

牛顿迭代法与二分法数学中，有用的方法和技术有很多，其中牛顿迭代法和二分法是两种经典的数值计算方法。

这两种方法都可以用于求解各种类型的方程和问题，在不同场合下往往有不同的适用范围和性质。

在本文中，我们将对这两种方法进行简单介绍和比较，以加深读者对它们的理解和应用。

一. 牛顿迭代法牛顿迭代法，又称牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），是一种用于寻找函数零点的一种迭代算法。

它的基本思想是从一个初始近似值开始，使用函数的导数来逐步改进这个近似值，直到满足所需的精度要求为止。

具体步骤如下：1. 选定一个初始值 $x_0$ ，计算函数 $f(x)$ 在这个点的值和导数 $f'(x)$；2. 计算迭代公式 $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$，即用当前点的函数值和导数值确定一个切线，并将其与 $x$ 轴交点作为下一个近似值；3. 如果迭代满足要求，则停止，否则返回第二步。

牛顿迭代法的优点是迭代速度较快，可以高效地求解接近函数原始根的方程。

例如，如果要求 $\sqrt{a}$ 的值，可令 $f(x) = x^2 - a$，则零点为 $\sqrt{a}$。

经过一定次数的迭代，可以得到很高精度的近似值。

然而，牛顿迭代法也有一些局限性，如收敛性和迭代次数等问题，需要根据具体问题和条件进行评估和调整。

二. 二分法二分法（bisect method）是一种寻找函数零点的一种简单算法，其基本思想是不断缩小区间，直到找到目标区间的根。

具体步骤如下：1. 选定一个有根区间 $[a, b]$，并计算函数 $f(a)$ 和 $f(b)$ 在两个端点的值；2. 计算区间中点$c = \frac{a+b}{2}$，并计算函数$f(c)$ 的值；3. 判断函数值的符号，并用二分法将 $[a, b]$ 划分为两个子区间，其中一个包含了零点，另一个不包含，即更新区间 $[a, b]$ 为$[a, c]$ 或 $[c, b]$；4. 重复步骤 2-3 直到找到满足误差要求的近似根。

数值分析——二分法及迭代法数值分析是研究用数值方法解决数学问题的一门学科。

在数值分析中，二分法和迭代法是两种常用的数值求解方法。

本文将对二分法和迭代法进行详细介绍，并比较它们的特点和适用范围。

一、二分法二分法是一种通过将问题分解为两个子问题，并选择其中一个子问题进行求解的方法。

它适用于解决连续函数的求根问题。

二分法的基本思想是利用中值定理，通过不断缩小区间来逼近根的位置。

具体步骤如下：1.选取一个初始的区间[a,b]，确保f(a)和f(b)的符号相反。

2.计算区间的中点c=(a+b)/23.判断f(c)的符号，并更新区间。

若f(c)与f(a)符号相反，则更新区间为[a,c]；否则更新区间为[c,b]。

4.重复步骤2和步骤3，直到满足停止准则（例如满足一定精度要求，或达到最大迭代次数）。

5.最后得到的近似根为区间的中点c。

二分法的优点是收敛速度快，且能够保证收敛到根的位置。

然而，二分法的缺点是每次迭代只能减少一半的区间长度，所以其收敛速度相对较慢。

此外，二分法需要事先确定区间，并且要求f(a)和f(b)的符号相反，这对于一些问题来说可能并不容易实现。

因此，二分法主要适用于单峰函数求根问题。

二、迭代法迭代法是一种通过迭代逐步逼近解的方法。

它适用于一般的数值求解问题。

迭代法的基本思想是通过不断迭代的过程，将原始问题转化为一个具有相同解的等价问题，并通过逐步逼近来求解。

具体步骤如下：1.选取一个初始的近似解x_0。

2.根据迭代公式x_{k+1}=g(x_k)，计算下一个近似解x_{k+1}，其中g(x)是一个适当的函数。

3.判断迭代是否达到停止准则（例如满足一定精度要求，或达到最大迭代次数）。

若满足停止准则，则停止迭代；否则返回步骤2继续迭代。

4.最终得到的近似解为迭代过程中的最后一个近似解x_k。

迭代法的优点是适用范围广，可以求解一般的数值问题。

此外，迭代法的迭代公式可以根据具体问题的特点进行选择，使得迭代过程更加高效。

非线性方程的求解方法非线性方程是数学中的基本概念，对于许多科学领域而言，非线性方程的求解具有重要的意义。

然而，与线性方程相比，非线性方程的求解方法较为复杂，因此需要掌握一些有效的解法。

本文将介绍几种非线性方程的求解方法。

一、牛顿迭代法牛顿迭代法也叫牛顿-拉夫逊迭代法，是一种求解非线性方程的有效方法。

该方法的基本思路是，选择一个初始值，通过迭代计算不断逼近非线性方程的根。

牛顿迭代法的公式为：$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$其中，$f(x)$表示非线性方程，$f'(x)$表示$ f(x) $的一阶导数。

牛顿迭代法的优点在于速度快，迭代次数少，但其局限性在于收敛性受初始点选取的影响较大。

二、割线法割线法（Secant method）也是一种求解非线性方程的有效方法。

与牛顿迭代法不同，割线法使用的是两个初始值，并根据两点间的连线与$ x $轴的交点来作为新的近似根。

割线法的公式为：$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)(x_n-x_{n-1})}{f(x_n)-f(x_{n-1})}$$割线法的优势是不需要求解导数，但其缺点在于需要两次迭代才能得到下一个近似根，因此计算量较大。

三、二分法二分法（Bisection method）是求解非线性方程的另一种有效方法。

该方法的基本思路是找到非线性方程的一个区间，使函数值在该区间内的符号相反，然后通过逐步缩小区间，在区间内不断逼近非线性方程的根。

二分法的公式为：$$x_{n+1}=\frac{x_n+x_{n-1}}{2}$$其中，$x_n$和$x_{n-1}$是区间的端点。

二分法的优点在于收敛性稳定，但其缺点在于迭代次数较多，因此计算量也较大。

四、弦截法弦截法（Regula Falsi method）也是一种求解非线性方程的有效方法。

它和二分法类似，都是通过缩小根所在的区间来逼近根。

不同之处在于，弦截法不是以区间中点为迭代点，而是以区间两个端点之间的连线与$ x $轴的交点为迭代点。

数值计算方法复习知识点数值计算是计算机科学的一个重要分支，它研究如何使用计算机来进行数值计算和数值模拟。

在实际应用中，许多问题无法用解析表达式求解，只能通过数值计算方法来近似求解。

因此，数值计算方法的学习对于掌握计算机科学和工程中的相关问题具有重要意义。

1.插值与拟合插值是通过已知数据点构造出一个函数，使得该函数在已知数据点上的取值与给定数据点相同。

常用的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值。

拟合是通过已知数据点，在一定误差范围内，用一个函数逼近这些数据点的过程。

最小二乘法是一种常用的拟合方法。

2.数值积分数值积分是通过数值计算方法对定积分进行近似求解的过程。

常用的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则和龙贝格法则。

3.数值微分数值微分是通过数值计算方法来计算函数的导数。

常用的数值微分方法有前向差分法和中心差分法。

4.常微分方程数值解常微分方程是研究自变量只有一个的微分方程。

常微分方程数值解是通过数值计算方法来求解常微分方程的近似解。

常用的常微分方程数值解方法有欧拉法、改进欧拉法和龙格-库塔法等。

5.线性方程组的数值解法线性方程组是一个包含多个线性方程的方程组。

线性方程组的数值解法主要包括直接法和迭代法。

直接法是通过一系列代数运算直接求解出方程组的解，常用的直接法有高斯消元法和LU分解法。

迭代法是通过一系列迭代运算逐步逼近方程组的解，常用的迭代法有雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法等。

6.非线性方程的数值解法非线性方程是含有未知数的函数与该未知数的组合线性关系不成立的方程。

非线性方程的数值解法包括二分法、牛顿法和割线法等。

7.特征值与特征向量特征值和特征向量是矩阵理论中的重要概念。

特征值是矩阵运算中的一个标量，特征向量是矩阵运算中的一个向量。

特征值和特征向量的计算可以通过幂法、反幂法和QR分解等数值计算方法来实现。

8.插值和误差分析插值方法的误差分析是指通过数值计算方法来分析插值近似值与精确值之间的误差大小。

数值计算研究的经典算法数值计算是计算机科学和应用数学领域的一个重要分支，研究如何使用计算机来解决复杂的数学问题。

经典算法是指在数值计算领域被广泛应用和研究的算法。

下面是一些经典算法的介绍。

1. 二分法（Bisection Method）：二分法是一种求解非线性方程的迭代算法。

通过将函数值的区间分成两部分，并反复缩小区间范围来逼近方程的根。

二分法是一种简单且稳定的算法，广泛应用于求解方程的近似解。

2. 牛顿迭代法（Newton's Method）：牛顿迭代法是一种求解方程的迭代算法。

通过使用函数的切线来逼近方程的根。

牛顿迭代法收敛速度较快，但在一些情况下可能会发散。

3. 高斯消元法（Gaussian Elimination）：高斯消元法是一种求解线性方程组的直接算法。

通过将方程组转化为等价的三角形式，从而求解未知数的值。

高斯消元法是一种经典且有效的求解线性方程组的方法。

5. 最小二乘法（Least Squares Method）：最小二乘法是一种求解过度约束的方程组的方法。

通过最小化测量值与拟合曲线之间的正交距离来确定未知参数的值。

最小二乘法广泛应用于曲线拟合、数据拟合等领域。

6. 插值算法（Interpolation）：插值算法是在已知有限个数据点的基础上，利用其中一种规则来推断出其他未知点的值。

常用的插值算法包括拉格朗日插值、牛顿插值等。

7. 数值积分算法（Numerical Integration）：数值积分算法是通过近似方法计算函数的积分。

常用的数值积分算法包括梯形法则、辛普森法则等。

8. 优化算法（Optimization）：优化算法是通过最大化或最小化目标函数来确定最优解的方法。

常用的优化算法包括梯度下降法、牛顿法、遗传算法等。

9. 傅里叶变换（Fourier Transform）：傅里叶变换是一种将时域函数转换为频域函数的方法。

傅里叶变换广泛应用于信号处理、图像处理等领域。

以上介绍的是数值计算领域的一些经典算法，这些算法在实际应用中被广泛使用，为求解复杂的数值计算问题提供了有效的方法。

二分法、不动点迭代法和牛顿迭代法是数值计算中常用的三种求根方法。

它们在不同的数学领域及实际问题中有着广泛的应用。

本文将对这三种方法进行介绍和比较。

一、二分法1. 原理二分法是一种基于区间不断缩小的求根方法。

其原理是通过在函数值的两个不同点处得到异号的情况下缩小区间来逼近实根。

具体过程为：首先确定一个区间[a,b]，使得f(a)和f(b)异号，然后将区间一分为二，取中点c=(a+b)/2，若f(c)为零或在一定误差范围内，则c即为所求的根；否则，根据f(a)和f(c)的符号确定新的区间[a,c]或[c,b]，重复上述步骤，直到满足要求。

2. 特点二分法的优点是简单易实现，对于连续且单调函数一定能收敛。

但其缺点是收敛速度较慢，尤其在根附近时迭代次数较多。

二、不动点迭代法1. 原理不动点迭代法是求解方程f(x)=0的一种迭代方法，通过将方程变换为x=g(x)，其中g(x)为连续函数，然后通过不断地迭代计算得到方程的根。

具体过程为：给定一个初始近似值x0，通过不断迭代计算xn+1=g(xn)来逼近实根。

2. 特点不动点迭代法的优点是迭代过程简单，不需要对函数进行求导。

但其缺点是收敛性有一定要求，不是所有的g(x)函数都能得到收敛结果。

三、牛顿迭代法1. 原理牛顿迭代法是一种通过不断线性化函数来逼近方程根的方法。

其原理是通过对函数f(x)进行泰勒展开，并取展开式的线性部分来进行迭代计算。

具体过程为：给定一个初始近似值x0，通过不断迭代计算xn+1=xn-f(xn)/f'(xn)来逼近实根。

2. 特点牛顿迭代法的优点是收敛速度较快，在根附近有二次收敛性。

但其缺点是需要对函数进行求导，且初始值的选取对迭代结果有一定影响。

二分法、不动点迭代法和牛顿迭代法都是求解方程根的有效方法，各有其优缺点和适用范围。

在实际应用中，根据问题的特性和计算要求来选择适当的方法，以达到准确和高效的求解目的。

4. 比较与应用通过对二分法、不动点迭代法和牛顿迭代法的介绍，我们可以对它们进行比较与应用。

本科生实验报告实验课程______________ 数值计算方法 _______________________ 学院名称_____________ 信息科学与技术学院_________________ 专业名称______________ 计算机科学与技术 ___________________ 学生 _________________________________________学生学号_______________________________________________指导教师___________________________________________实验地点_______________________________________________实验成绩__________________________________________________二0 一六年五月二◦一六年五月实验一非线性方程求根1.1问题描述实验目的：掌握非线性方程求根的基本步骤及方法，。

实验容：试分别用二分法、简单迭代法、Newton迭代法、弦截法(割线法、双点弦法)，求x5-3x3+x-仁0在区间［-8,8］上的全部实根，误差限为10-6。

要求：讨论求解的全过程，对所用算法的局部收敛性，优缺点等作分析及比较，第2章算法思想2.1 二分法思想：在函数的单调有根区间，将有根区间不断的二分，寻找方程的解。

步骤：1.取中点 mid=(x0+x1)/22若f(mid)=0,则mid为方程的根，否则比较与两端的符号，若与f(x0) 异号，则根在［x0,mid］之间，否则在［mid,x1］之间。

3并重复上述步骤，直达达到精度要求，则mid为方程的近似解。

开始读入a,b,eyes输出mid结束2.2简单迭代法思想：迭代法是一种逐次逼近的方法，它是固定公式反复校正跟的近似值, 使之逐步精确，最后得到精度要求的结果。