习题课(一)(函数的概念和图象)教学过程复习(教师引导，学生回答)一、函数的概念1.函数2.函数概念的三要素二、函数的图象1.函数图象的概念2.函数图象的画法三、函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种.1.解析法2.列表法3.图象法导入新课前面一段，我们一起学习了函数的概念，了解了函数图象的一些基本画法，掌握了函数的三种表示方法，并学会了一定的分析问题、解决问题的方法，这一节，我们开始对这部分内容集中训练一下，使大家进一步熟悉函数的有关概念、基本方法与基本的解题思想；并通过典型例题分析进一步提高大家的分析问题、解决问题的能力.推进新课基础训练思路11.设对应法则f 是从集合A 到集合B 的函数，则下列结论中正确的是( )A.B 必是由A 中的数对应的输出值组成的集合B.A 中的每个数在B 中必有输出值C.B 中的每个数在A 中必有输入值D.B 中的每个数在A 中只对应唯一的输入值解答：B ；2.已知P={x|0≤x≤4}，Q={y|0≤y≤2}，下列对应法则中不是从P 到Q 的函数的是( )A.f ：x→y=2x B.f ：x→y=3x C.f ：x→y=53x D.f ：x→y=52x 解答：C ；3.下列各组中表示同一函数的是_____________.A.f(x)=(x-1)0,g(x)=1B.f(x)=x,g(x)=2xC.f(x)=22x ,g(x)=xx 23D.f(x)=|x|,g(x)=⎩⎨⎧<-≥0,0,x x x x E.f(x)=2x-1,g(t)=2t-1F.f(x)=11-+x x ,g(x)=12-x解答：D ，E ；4.已知f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-),1|(|,1),1|(|,122x x x x 则f(f(f(0)))=________________. 解答：1；5.(1)y=12-+x x 的定义域为_______________； (2)y=2-x 2,x ∈{-2,-1,0,1,2}的定义域为____________，值域为____________；(3)y=342++x x 的定义域为____________，值域为____________.解答：(1){x|x ＞-2,且x≠1} (2){-2,-1,0,1,2}，{-2,1,2} (3){x|x≥-1或x≤-3} [0,+∞)6.f(3x)=259+x ，则f(1)=____________. 解答：2点评：第1、2题考查函数的概念，要理解从集合A 到集合B 的一个函数必须满足对于集合A 中的每一个元素在集合B 中都有唯一的元素和它对应，这种对应可以是多对一，也可以是一对一，但不可以是一对多，而集合B 中的元素不一定都能在集合A 中找到对应元素，即函数的值域是集合的子集.第3题考查函数的三要素.判断函数是否为同一函数，应该从函数的三要素入手，若有一个不满足，就不是同一函数.由于函数的值域是由定义域与对应法则共同决定，所以只要定义域与对应法则这两个要素相同，这两个函数就是同一函数，与自变量所用的字母无关. 第4题考查分段函数.所谓分段函数是指函数在定义域的不同子集上对应法则不同，要用几个式子来表示的函数.分段函数的许多问题都应该分段处理，如画图，求值域等，求某个自变量所对应的值时，应根据自变量取值的范围代入正确的表达式中求函数值.此题在求解时应从里到外一层一层去括号.第5题简单考查函数定义域、值域的求法，只需观察法即可.第6题解法一：先用换元法求出函数y=f(x)，再将x=1代入求值.令t=3x ，则x=3t ，则f(t)=2532539+=+∙t t ，即f(x)=2532539+=+∙x x ， 所以f(1)=253+=2. 解法二：当3x=1时，x=31，即f(1)=f(3·31)=25325319+=+∙=2. 解法一是常规思路，解法二用了整体思想，就填空题而言，只需用解法二即可，较简便.思路21.下列图形中，可作为函数图象的是( )2.y=x+xx ||的图象是( )3.有对应f:(1)A={0,2},B={0,1},x→2x ;(2)A={-2,0,2},B={4},x→x 2；(3)A=R ；B={y|y ＞0},x→21x;(4)A=R ,B=R ,x→2x+1.其中能构成从集合A 到集合B 的函数为______________. 4.设f(x)=⎩⎨⎧<≥),0(),0(2x x x x g(x)=⎩⎨⎧<->),0(,),0(,2x x x x 则当x ＜0时，f[g(x)]等于…( ) A.-x B.-x 2 C.x 2 D.x5.求下列函数的值域：(1)y=2x+1,x ∈{1,2}；(2)y=1+x ；(3)y=-x 2-2x+3,(-5≤x≤-2).解答：1.D ；2.C ；3.(1)，(4)；4.B ；5.(1)y ∈{3,5};(2)[1,+∞);(3)[-12,3].点评：第1、3题考查了函数的概念，第2题考查函数的画法，第4题为分段函数的解析式的求解，第5题简单的求值域.都是基础题，作为课前的热身.应用示例思路1例1 求下列函数的定义域：(1)y=x x -||1;(2)y=12+-x x ;(3)y=11+-x x ;(4)y=x--113. 分析：函数的定义域是使函数表达式有意义的x 的集合.解：(1)要使得函数有意义，则|x|-x ＞0，而当x≥0时，|x|-x=x-x=0，当x ＜0时，|x|-x=-x-x=-2x ＞0，所以函数的定义域为(-∞,0).(2)要使函数有意义，需满足⎩⎨⎧≠+≥-,012,0x x 解得(-∞, 21-)∪(21-,0]； (3)要使函数有意义，需满足⎩⎨⎧≥-≥+,01,01x x 解得[1,+∞)；(4)要使函数有意义，需满足⎩⎨⎧≠--≥-,011,01x x 解得(-∞,0)∪(0,1].点评：由函数的解析式求函数的定义域时，应首先分析解析式含有哪几种运算，然后列出自变量所满足的不等式(组)，通过求不等式(组)求得定义域.一般地，要注意以下几个方面：(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R .(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数x 的集合.(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号下的表达式大于或等于零的实数x 的集合.(4)如果f(x)是由几个部分构成的数学式子，那么函数的定义域是使得各部分式子都有意义的实数的集合(即使各个部分都有意义的实数的集合的交集).(5)如果f(x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合.例2 若函数y=f(x)的定义域为[-1,1]，求函数y=f(x+41)+f(x 41-)的定义域. 分析：根据题意，必须使得函数式y=f(x+41)+f(x 41-)中的f(x+41)和f(x 41-)都有意义. 解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≤-≤+≤-,1411,1411x x 化简得43-≤x≤43. 所以函数y=f(x+41)+f(x 41-)的定义域为[43-,43]. 点评：此题是求复合函数的定义域问题.已知f(x)的定义域是[a,b]，求f[g(x)]的定义域，是指满足a≤g(x)≤b 的x 的取值范围.而已知f[g(x)]的定义域是[a,b]指的是x ∈[a,b]. 变式训练1.已知函数f(x)=11+x ，则函数f(f(x))的定义域为( ) A.{x|x≠-1} B.{x|x≠-2}C.{x|x≠-1且x≠-2}D.{x|x≠-1或x≠-2}分析：此题还是复合函数求定义域问题，只是此时f(x)的定义域需要自己从表达式中求得.解：因为f(x)=11+x 的定义域为{x|x≠-1}，而f(f(x))=f(11+x )，所以11+x ≠-1，解得x≠-2，又因为11+x 本身有意义必须满足x≠-1，所以f(f(x))的定义域为{x|x≠-1且x≠-2}. 点评：不要忘记11+x 本身有意义这个隐含条件. 2.已知函数f(x)=2x-1，g(x)=⎩⎨⎧<-≥,0,1,0,2x x x 求f(g(x))和g(f(x))的解析式. 分析：将f(x)代入g(x)的各段函数时要注意定义域的变化.解：当x≥0时，g(x)=x 2，f(g(x))=f(x 2)=2x 2-1，当x ＜0时，g(x)=-1，f(g(x))=f(-1)=-2-1=-3，所以f(g(x))=⎩⎨⎧<-≥-0,3,0,122x x x 当2x-1≥0，即x≥21时，g(f(x))=g(2x-1)=(2x-1)2；当2x-1＜0,即x ＜21时， g(f(x))=g(2x-1)=-1，所以g(f(x))=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-≥-.21,1,21,)12(2x x x 点评：此题是分段函数和复合函数的综合应用，既要注意分段函数的问题应该分段解决，又应注意“里”层函数的值域充当“外”层函数的定义域，最后分段写出函数的解析式.例3 已知函数f(x)=x 2-2x-1的图象如右图所示，画出下列函数的图象，并指出这些函数与y=f(x)的关系：(1)y=f(-x);(2)y=-f(x);(3)y=f(x)+1;(4)y=f(x-2);(5)y=|f(x)|;(6)y=f(|x|).分析：对具体的二次函数画图应该不是问题，本题的难点是根据几组图象归纳出函数图象的变换方式.解：点评：从具体函数出发观察函数的几种变换，使学生对图象的几种基本变换有更为直观的感受.常见的几种变换方法有：1.平移变换(1)水平平移：y=f(x±a)(a ＞0)的图象，可以由y=f(x)的图象向左(+)或向右(-)平移a 个单位得到.(2)竖直平移：y=f(x)±b(b ＞0)的图象，可以由y=f(x)的图象向上(+)或向下(-)平移b 个单位得到.记忆技巧：平移变换，左加右减.2.对称变换(1)y=-f(x)与y=f(x)关于x 轴对称.(2)y=f(-x)与y=f(x)关于y 轴对称.(3)y=-f(-x)与y=f(x)关于原点对称.(4)y=|f(x)|的图象可将y=f(x)的图象在x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到x 轴上方，其余部分不变.(5)y=f(|x|)的图象可将y=f(x)的图象在y 轴左边的部分以y 轴为对称轴翻折到y 轴右边，其余部分不变.记忆技巧：图象的对称可以从观察点的对称入手，如在y=-f(x)上任取一点(x,-y)，则可以在y=f(x)的图象上取得对应的点为(x,y)，而这两个点关于x 轴对称，所以函数y=-f(x)与函数y=f(x)的图象关于轴对称.其余的各组对称记法相同.例4 求下列函数的值域:(1)y=1-x x ;(2)y=245x x -+;(3)y=|x+1|+|x-2|. 分析：分式函数求值域的难点是分子分母上都有自变量，而求值域又不能简单地通过分子分母的值域相除来得到，所以我们常常通过对函数形式的变化使得自变量只出现在分子或分母上.第2小题要注意函数的定义域，含有绝对值的问题我们通常将绝对值去掉，将其转化成不含绝对值的问题来处理.解：(1)因为y=1-x x =111111-+=-+-x x x ，所以其图象是由y=x1向右平移一个单位再向上平移一个单位所得(如右图)，所以这个函数的值域为{y|y≠1}.(2)令t=5+4x-x 2，因为t=5+4x-x 2=-(x-2)2+9，所以t≤9，又因为y=t ，所以t≥0，所以0≤t≤9，得y=t ∈[0,3]，即这个函数的值域为y ∈[0,3].(3)将原函数中的绝对值去掉，化为分段函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<--≤+-.2,12,21,3,1,12x x x x x 分段求其值域得，当x≤-1时，f(x)≥3，当-1＜x≤2时，f(x)=3，当x ＞2时，f(x)≥3，所以值域为y ∈[3,+∞). 点评：求函数值域是学习中的一个难点，方法灵活多样，初学时只要掌握几种常用方法，如观察法、图象法、配方法等.用图象法解题首先要能正确画出函数的图象.对于函数图象的画法，除了描点法外，还应掌握几种变换，这在前面的例3中已经总结.对于含绝对值的函数，一般通过对绝对值内表达式符号的讨论，将含绝对值的解析式转化为不含绝对值的解析式，再画出图象.本题中第1小题通过分离常数法将函数变形，发现该函数可以由反比例函数经过平移变化得来，再结合图象得到函数的值域.此题还可以推广为一般结论，对于形如y=bax d cx ++(a≠0)的函数， 因为y=b ax d cx ++=a b x a cb a d a c b ax d a cb b ax a c +-+=++-+2)(， 记2a cb a d -=k ，则y=b ax d cx ++=a bx k a c ++，是由反比例函数y=xk 经过左右平移和上下平移得到的，其中左右平移不影响其值域.y=x k 的值域为{y|y≠0}，经过上(下)平移|a c |个单位后，y=b ax d cx ++(a≠0)的值域为{y|y≠ac }. 记忆技巧：形如y=b axd cx ++ (a≠0)的函数的值域{y|y≠a c }，ac 为原函数中x 的系数之比. 变式训练1.求y=122-x x 的值域. 解：因为y=122-x x =111111222-+=-+-x x x ，而x 2-1∈[-1,0)∪(0,+∞)， 所以112-x ∈(-∞,-1]∪(0,+∞)，1+112-x ∈(-∞,0]∪(1,+∞)，所以这个函数的值域为y ∈(-∞,0]∪(1,+∞).典型错误分析：学生很容易受原题形式的影响，误认为其值域也是{y|y≠1}，殊不知原题中x ∈R ，而变式中x 2∈[0,1)∪(1,+∞).2.已知f(x+199)=4x 2+4x+3(x ∈R )，那么函数f(x)的最小值为__________.分析：此题为函数图象平移知识的应用，由f(x+199)的解析式求f(x)的解析式运算量较大，但如果注意到，f(x+199)与f(x)，其图象仅仅是平移关系，它们取得的最大值和最小值是相同的，由f(x)=4x 2+4x+3=4(x+21)2+2，立即求得f(x)的最小值，即f(x+199)的最小值是2.要注意方法的灵活运用.答案：2.点评：此题若不用平移知识来处理运算量将很大，所以在学习数学的过程中要注意. 例5 (1)已知f(1+x 1)=21x-1，求f(x). (2)已知一次函数y=f(x)满足f[f(x)]=2x-1，试求函数y=f(x)的表达式. (3)已知函数的定义域为非零实数组成的集合，且满足3f(x)+2f(x 1)=4x ，求函数y=f(x)的解析式.分析：已知复合函数表达式求简单函数的表达式用换元法或配凑法.已知函数类型的用待定系数法，抽象函数求表达式用列方程组法.解：(1)方法一：由已知f(1+x 1)=(1+x 1)2-2(1+x 1)，则f(x)=x 2-2x. 因为1+x1≠1,故f(x)=x 2-2x ，(x≠1). 方法二：设t=1+x 1≠1，所以x=11-t ，所以f(t)=(t-1)2-1=t 2-2t ，故f(x)=x 2-2x ，(x ≠1). (2)因为f(x)为一次函数，故可设f(x)=ax+b(a≠0)，则有f[f(x)]=af(x)+b=a(ax+b)+b=a 2x+ab+b,又f[f(x)]=2x-1，所以⎩⎨⎧-=+=,1,22b ab a 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==,21,2b a 或⎪⎩⎪⎨⎧+=-=,21,2b a 所以f(x)=212-+x 或f(x)=212++-x .(3)从题给条件看，只要设法消去f(x1)，即可求得f(x). 因为3f(x)+2f(x 1)=4x ，用x 1代换该式中的x,得3f(x 1)+2f(x)= x4， 上述两式组成方程组，消去f(x 1)，可得f(x)=x x 58512-. 点评：求函数解析式的常用方法有：(1)配凑法和换元法如果已知复合函数f[g(x)]的表达式，要求f(x)的解析式时，若f[g(x)]的表达式右边易配成g(x)的运算形式，则可用配凑法求f(x)的解析式；若在方程t=g(x)中易求出x=g(t)，用换元法求f(x)的解析式.但要注意无论是配凑法还是换元法，所求函数的定义域必须满足两个条件：是函数t=g(x)的值域，且使f(x)的解析式有意义.配凑法和换元法：易配凑时配凑法，易求x 时换元法.(2)待定系数法：已知函数的类型(如一次函数，二次函数，反比例函数等)，一般的方法是设出函数的解析式，然后根据题设条件求待定系数.(3)赋值法(列方程组法)：求抽象函数的解析式，有时要通过取特殊值，或以变量换变量，然后通过解方程组求出解析式.此法又称为列方程组法.变式训练若f(x)=f(-x)x+10，求f(10).解：令x=10，得f(10)=f(-10)×10+10， ①令x=-10，得f(-10)=f(10)×(-10)+10. ②联立①②消去f(-10)即得f(10)=101110. 例6 已知函数f(x)=x 2-4ax+2a+6(a ∈R ),(1)若函数的值域为[0,+∞)，求a 的值；(2)若函数的值均为非负值，求函数g(a)=2-a|a+3|的值域.分析：本题仍是二次函数的值域问题，基本方法为配方法.解：(1)因为f(x)=x 2-4ax+2a+6=(x-2a)2-4a 2+2a+6，值域为[-4a 2+2a+6,+∞).又题目已知值域为[0,+∞)，所以-4a 2+2a+6=0，解得a=-1或23. (2)因为函数f(x)的值域为[-4a 2+2a+6,+∞)，而函数的值均为非负，所以-4a 2+2a+6≥0，解得-1≤a≤23，此时a+3≥0， 所以g(a)=2-a|a+3|=2-a(a+3)=-(a+23)2+417， 因为函数图象开口向下，对称轴a=23-，所以,当a=-1时，g(a)min =4，当a=23时，g(a)max =419-，所以函数的值域为[419-,4]. 点评：此题还是二次函数的求值域问题.虽然函数中含有参数a ，但因为题目告诉了函数的值域，且定义域为R ，所以很容易求出参数a 的值.第(2)小题中g(a)去掉绝对值其实还是二次函数求值域，只是要注意题目隐含的a 的范围. 变式训练已知函数f(x)=ax 2+2ax+1在[-3,2]上有最大值4，求实数a 的值.分析：含参二次函数问题，通过图象观察开口对称轴即可得函数的最值.解：由f(x)=ax 2+2ax+1=a(x+1)2-a+1，所以抛物线的对称轴为x 0=-1∈[-3,2]，当a ＞0时，有y max =f(2)，即f(2)=4，解得a=83；当a ＜0时，有y max =f(-1)，即f(-1)=4，解得a=-3，所以a=83或a=-3. 点评：含参的二次函数求值域问题，本来是一个难点，由于对称轴确定，所以降低了难度，只是要注意开口方向的讨论.有关含参二次函数的问题还有很多，如对对称轴的讨论，对区间的讨论，或把这几种讨论综合在一起，这在后面的“函数与方程”这一节中还会专题研究，但不管如何变化，基本思路都是通过图象研究开口、对称轴与定义区间的关系，从而得到函数的最值.将二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a≠0)最值的求法简单归纳如下：(1)当定义域为实数集R 时：①若a ＞0，则当x=a b 2-时，f(x)取得最小值f(x)min =ab ac 442-，但没有最大值； ②若a ＜0，则当x=a b 2-时，f(x)取得最大值f(x)max =ab ac 442-，但没有最小值. (2)当定义域为x ∈[a,b]时，首先应判定其顶点横坐标x 0=ab 2-是否在定义域[a,b]内. ①若x 0∈[a,b]，则当a ＞0时，函数的最小值是f(x 0)，函数的最大值是f(a)，f(b)中的较大者〔当x 0＜2b a +时，函数的最大值为f(b)；当x 0＞2b a +时，函数的最大值为f(a)；当x 0=2b a +时，函数的最大值为f(a)=f(b)〕. 当a ＜0时，函数的最大值是f(x 0)，函数的最小值是f(a)，f(b)中的较小者〔当x 0＜2ba +时，函数的最小值为f(b)；当x 0＞2b a +时，函数的最小值为f(a)；当x 0=2b a +时，函数的最小值为f(a)=f(b)〕.②若x 0，则当a ＞0且x 0＜a 时，f(x)在[a,b]上的值随着x 值的增大而增大，此时函数的最大值为f(b)，函数的最小值为f(a)；当a ＞0且x 0＞b 时，f(x)在[a,b]上的值随着x 值的增大而减小，此时函数的最大值为f(a)，函数的最小值为f(b)；当a ＜0且x 0＞b 时，f(x)在[a,b]上的值随着x 值的增大而增大，此时函数的最大值为f(b)，函数的最小值为f(a)；当a ＜0且x 0＜a 时，f(x)在[a,b]上的值随着x 值的增大而减小，此时函数的最大值为f(a)，函数的最小值为f(b)；注意到：求函数的值域有时可转化为求函数的最值，反之，求函数的最值也可转化为函数的值域.思路2例1 已知函数f(x)的定义域是[0，1]，则函数f(x 2)的定义域是____________. 分析：由函数的定义可知f(x 2)中x 2的范围应在f(x)中的x 的取值范围内.解：由0≤x 2≤1，解得-1≤x≤1，所以f(x 2)的定义域为[－1，1].点评：针对题目中函数关系抽象的特点，可将f(x)具体化，能有助于对问题的理解与判断.设f(x)=)1(x x -，它的定义域是[0，1]，这时，f(x 2)=)1(22x x -的定义域是[-1，1]，由此可见，列举实例是处理抽象函数有关问题的有效方法.例2 求下列函数的定义域：(1)y=34+x ；(2)y=21++x x ； (3)y=431++-++x x x ；(4)y=2561xx --. 分析：函数的定义域即为使得函数有意义的x 的取值范围.解：(1)由4x+3≥0，解得x≥43-，所以所求函数定义域为{x|x≥43-}. (2)由⎩⎨⎧≠+≠+02,01x x ，得x≥-1,所以所求函数定义域为{x|x≥-1}. (3)⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥-≠+,04,0,03x x x 解得⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤-≠,4,0,3x x x 所以-4≤x≤0且x≠-3，所以所求函数定义域为[-4，-3)∪(-3，0].(4)由6-5x-x 2＞0，解得：-6＜x ＜1，所以所求函数定义域为：(-6，1).点评：求具体函数的定义域就是求使得函数的表达式有意义的x 的集合.例3 作出下列函数的图象：(1)y=|x-1|;(2)y=1-x,x ∈Z ;(3)y=|x 2-4x+3|;(4)y=1-x x .解：问题：根据图象可以得到哪些东西?学生可能会回答：可以得到函数的定义域，值域.此时教师纠正以下大家的说法，函数的定义域是应该在作图之前就研究的，但得到函数的图象后可以求得函数的值域是非常正确的，所以我们也可以把题目改成求函数的值域，解答也可以通过画图来完成.变式训练讨论关于x 的方程|x 2-4x+3|=a(a ∈R )的实数解的个数.解：将方程的解理解成函数y=|x 2-4x+3|与函数y=a 图象交点的个数.由图象得，当a ∈(-∞,0)时，两函数图象没有交点，所以方程无解；当a=0或a ∈(1,+∞)时，两函数图象有两个交点，方程有两解；当a=1时，两函数图象有三个交点，方程有三解；当a ∈(0,1)时，两函数图象有四个交点，方程有四解.点评：(1)作函数图象之前先要考察函数的定义域；(2)掌握通过函数图象解决一类函数问题的基本方法.例4 已知函数y=f(x)满足f(x 1)=21x x -，求函数y=f(x)的解析式. 分析：函数的解析式y=f(x)是由自变量x 确定函数值y 的关系式，所以问题的实质是求x 1经过怎样的运算得到21xx -这一结果. 解：因为f(x 1)=21x x -=1)1(112222-=-x x xx x x ，所以f(x)=12-x x ，因为x 1≠0，所以f(x)=12-x x ,(x≠0且x≠±1). 点评：在已知形如f(h(x))=g(x)的关系的条件下，求函数y=f(x)的解析式，常用的方法有两种：一是配凑法，二是换元法.例如本题也可以运用换元法求解，其过程如下：设x 1=t ，则x=t 1，代入f(x 1)=21x x -，得f(t)=1)1(1122-=-t t tt .因为t=x 1≠0，所以f(x)=12-x x ,(x≠0且x≠±1). 求函数的解析式还有待定系数法和赋值法(列方程组法)在思路1中已经总结过，这里不再重复.例5 求f(x)=1342+-x x 的值域. 分析：求函数的值域除了思路1中所讲的几种方法外，还可以从方程的角度去理解.如果我们将函数y=f(x)看作是关于自变量x 的方程，y 在值域中任意取一个值y 0，y 0对应的自变量x 0一定为方程y 0=f(x)在定义域中的一个解，即方程y 0=f(x)在定义域内有解；另一方面，若y 取某个值y 0，方程y 0=f(x)在定义域内有解x 0，则y 0一定为x 0对应的函数值.从方程的角度，函数的值域即为使关于x 的方程y=f(x)在定义域内有解的y 的取值范围，如y=x 1变形得xy=1，方程在定义域{x|x≠0}内有解的条件为y≠0，即y≠0为函数的值域.解：由解析式得yx 2-4x+(y+3)=0，所以函数的值域即使得关于x 的方程在定义域R 内有解的y 的取值范围.当y=0时，x=43∈R ，所以y=0属于函数的值域. 当y≠0时，若方程有实数解，则Δ=16-4y 2-12y≥0，解得-4≤y≤1(y≠0)，故函数的值域为[-4,1]. 点评：此法又称为判别式法，要理解它必须理解函数的对应关系，一般处理分母为二次函数的分式函数的值域问题，但求解时要注意，对函数式变形后方程必须在定义域内有解. 巩固训练1.若函数y=f(x)的图象向左、向下各平移2个单位，即得y=2x 的图象，则f(x)的表达式为( )A.f(x)=2(x+2)+2B.f(x)=2(x+2)-2C.f(x)=2(x-2)+2D.f(x)=2(x-2)-2答案：C ；2.已知函数f(x+1)的定义域为[0,3]，则函数f(x)的定义域为__________.答案：[1,4]；3.下列各组的两个函数：(1)f(x)=x 0与g(x)=x x 2；(2)f(x)=x 2与g(x)=(x )4；(3)f(x)=x 3与g(x)=39x ；(4)f(x)=x x -+11与g(x)=21x -.其中为同一函数的是____________. 答案：(3)(4)；4.已知函数f(x)满足f(2x+1)=3x+2，且f(a)=4，则实数a 的值为_______________. 答案：37； 5.如果f(x)=x+1，试求f(f(f(x)))的表达式，并猜一猜f n x f f f f 个))))((((的表达式.答案： 因为f(f(x))=f(x+1)=(x+1)+1=x+2，所以f(f(f(x)))=f(x+2)=(x+2)+1=x+3，所以可以猜想fn x f f f f 个))))((((=x+n ；6.函数y=112+-x x 的图象对称中心坐标是____________. 答案：(-1,2)；7.方程11-x =|x+1|的实根的个数共有______________个. 答案：1个.(提示：该方程的解的个数等于函数y=11-x 与函数y=|x+1|的交点的个数，由图象可得交点为一个).8.(1)已知f(2x+1)=x 2-2x ，则f(2)=______________.(2)已知f(x 1+1)=221xx -，则f(x)=_____________. (3)已知f(x+x 1)=x 2+21x，则f(x)的解析式为______________. 答案：(1)4267-；(2)x 2-2x(x≠1)；(3)f(x)=x 2-2. 9.求下列函数的值域：(1)y=x11-;(2)y=132--x x ;(3)y=211x -;(4)y=2x x -. 答案：(1)令t=1x 1-，则t≠1，又因为t≥0，所以t ∈[0,1)∪(1,+∞)，所以y=1x 1-的值域为[0,1)∪(1,+∞).(2)因为y=112132--=--x x x ，所以值域为{y|y≠2}. (3)因为y-yx 2=1，即yx 2=y-1要使得关于x 的方程有解，所以yy 1-＞0，得y ＜0或y ＞1，即y=211x-的值域为(-∞,0)∪(1,+∞). (4)令t=x ,则t≥0，所以x=t 2，y=2t 2-t=2(t 41-)281-，当t=41时，y min =81-，所以值域为[81-,+∞). 10.设函数f(x)=x 2-x+21的定义域为[n,n+1],n ∈N *，则f(x)的值域中所含f(x)整数的个数是( )A.1B.2C.3D.2n 答案：D.课堂小结本节课主要是对函数的概念和图象的集中训练，在函数整个一章中，都是以定义、性质、图象作为主要的内容，性质和图象相互联系、相互转化，有关函数性质的很多结论是在观察图象的基础上，通过概括、归纳得出的，并借助于函数图象所具有的直观性强的优点形成记忆，在分析和解决与函数有关的问题中，也常常是函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合，相互为用.作业课本第32页习题2.1(2) 7、12.设计感想函数是初等数学中最基本的概念之一，贯穿于整个初等数学体系之中，是对初中数学中的函数概念的深化与归纳.本节的主要内容为函数的概念与图象以及函数的表达式.在教学过程中应突出本章的核心——函数的概念.函数，其本质是两个变量之间的相互依赖关系，体现函数对应法则的“输入”“输出”功能，函数的性质只是对应法则在定义域上的表现，离开了函数的定义域谈函数的性质是没有意义的，所以，要深刻理解函数的概念，为以后研究函数的性质打下基础.函数就是从一个数集到另一个数集的单值对应，“单值对应”是函数对应法则的根本特征.“箭头图”给出了“单值对应”从一个集合到另一个集合的方向性，应突出“输入”与“输出”的关系.在函数概念的理解中，应突出以下几点：(1)集合A 与集合B 都是数集；(2)对应法则的方向是从A 到B ；(3)强调“非空”“每一个”“唯一”这三个关键词.为了让学生深刻理解函数的概念，在基础训练中用不同形式的题目让学生体会函数概念的这几个特点.思路1着重从函数解析法入手，让学生对函数的这种对应关系有更进一步的理解，如第1、2、3题.而思路2着重从函数图象法入手让学生体会函数概念，同样见第1、2、3题，教师在使用时可以灵活选择.理解函数是由定义域、值域、对应法则三要素构成的整体，让学生能主动将函数与函数解析式区分开来.应用配凑法求函数时，有些函数的解析式在现阶段学生还没有能力求其定义域，所以可以将题目改成求函数的解析式，这样既对某些类型进行了配凑训练，又避免了求定义域，也不会因为没写定义域使得函数概念不完整.如巩固训练第8题的第3小题：已知f(x+x 1)=x 2+21x，则f(x)的解析式为_________________. 本节中首次引入了抽象的函数符号f(x)，学生往往只接受具体的函数解析式，而不能接受f(x)，所以应让学生从符号f(x)的含义认识开始.f(x)符号本身就是三要素的体现，它还指明了谁是谁的函数，有利于我们分清函数解析式中的常量与变量.如f(x)=x 2，它应表示以为x 自变量的二次函数，而如果写成y=x 2，则我们就不能准确了解谁是自变量，谁是应变量，当y 为变量时，它就不代表二次函数.函数的图象是描述两个变量之间函数关系的一种重要方法，是研究函数性质的重要依据，根据图象可以准确求得函数的值域.画函数图象除了常见的描点法外，还应掌握常见的几种函数的画法，如一次函数、二次函数、反比例函数等，并在此基础上利用平移和翻折变换，画出较复杂函数的图形.但画函数的图象一定要注意定义域.通过对函数图象的描绘与研究，培养数形结合的意识，提高运用数形结合的思想方法解决数学问题的能力.要学好本部分内容，在理解函数概念的基础上熟练运用图象是关键. 在例题的设计中，思路1从具体的二次函数图象出发，让学生分别画出(1)y=f(-x);(2)y=-f(x);(3)y=f(x)+1,(4)y=f(x-2);(5)y=|f(x)|;(6)y=f(|x|)的图象，让学生再一次系统体会了图象平移变换、翻折变换等变换方法，适合基础一般的学生，而思路2直接给出几个函数让学生作图，这样就要求学生对各类函数的图象的处理方法能熟练掌握.含绝对值的问题如何处理，翻折变换如何处理，分式函数如何处理，各种方法要灵活使用，要求较高.列表法、图象法、解析式法是三种常用的函数表示方法，在实际情景中要会根据不同的要求选择恰当的方法表示函数.要简单了解分段函数的特点以及应用，分段函数是指函数的表达式是分段表示的，是一个函数，分段函数的问题一般要分段处理.。
全方位教学辅导教案姓名性别年级高一教学内容函数与映射的概念及其函数的表示法重点难点教学重点：理解函数的概念；区间”、“无穷大”的概念，定义域的求法，映射的概念教学难点：函数的概念，无穷大”的概念，定义域的求法，映射的概念教学目标1．理解函数的定义；明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素；2．能够正确理解和使用“区间”、“无穷大”等记号；掌握分式函数、根式函数定义域的求法，掌握求函数解析式的思想方法3.了解映射的概念及表示方法4.了解象与原象的概念，会判断一些简单的对应是否是映射，会求象或原象.5.会结合简单的图示，了解一一映射的概念教学过程课前检查与交流作业完成情况：交流与沟通针对性授课一、函数的概念一、复习引入：初中（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数.并将自变量x取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义.初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等问题1：（）是函数吗？问题2：与是同一函数吗？观察对应：304560902122239411-12-23-33-32-21-1149123123456(1)(2)(3)(4)开平方求正弦求平方乘以2AAAAB BBB1二、讲解新课：（一）函数的有关概念设A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的函数，记作，x A其中叫自变量，的取值范围A叫做函数的定义域；与的值相对应的的值叫做函数值，函数值的集合（B）叫做函数y=f(x)的值域.函数符号表示“y是x的函数”，有时简记作函数.(1)函数实际上就是集合A到集合B的一个特殊对应这里A, B 为非空的数集.（2）A：定义域，原象的集合；：值域，象的集合,其中B ；：对应法则， A ， B（3）函数符号：是的函数，简记（二）已学函数的定义域和值域1．一次函数:定义域R,值域R;2．反比例函:定义域,值域;3．二次函数:定义域R值域：当时，；当时，（三）函数的值：关于函数值例：=+3x+1 则f(2)=+3×2+1=11注意：1在中表示对应法则，不同的函数其含义不一样2不一定是解析式，有时可能是“列表”“图象”3与是不同的，前者为变数，后者为常数（四）函数的三要素：对应法则、定义域A、值域只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数三、例题讲解例1求下列函数的定义域：①；②；③.例2 已知函数=3-5x+2，求f(3), f(-), f(a+1).例3下列函数中哪个与函数是同一个函数？⑴；⑵；⑶例4 下列各组中的两个函数是否为相同的函数？①②③二、函数－区间的概念及求定义域的方法教学过程：一、复习引入：函数的三要素是：定义域、值域和定义域到值域的对应法则；对应法则是函数的核心(它规定了x和y之间的某种关系)，定义域是函数的重要组成部分（对应法则相同而定义域不同的映射就是两个不同的函数）；定义域和对应法则一经确定，值域就随之确定前面我们已经学习了函数的概念，，现在我们来学习区间的概念和记号二、讲解新课：1．区间的概念和记号在研究函数时,常常用到区间的概念，它是数学中常用的述语和符号.设a,b R ,且a<b.我们规定：①满足不等式a x b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；②满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为（a,b）；③满足不等式a x<b 或a<x b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a，b) ,(a，b].这里的实数a和b叫做相应区间的端点.在数轴上，这些区间都可以用一条以a和b为端点的线段来表示，在图中，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点：数轴表示定义名称符号{x|a x b} 闭区间[a，b]{x|a<x<b} 开区间(a，b){x|a x<b} 左闭右开区间[a，b]{x|a<x b} 左开右闭区间(a，b)这样实数集R也可用区间表示为(-,+),“”读作“无穷大”，“-”读作“负无穷大”，“+”读作“正无穷大”.还可把满足x a，x>a，x b，x<b 的实数x的集合分别表示为[a，+，（a，+）,(- ,b,(- ,b).注意：书写区间记号时：①有完整的区间外围记号（上述四者之一）；②有两个区间端点，且左端点小于右端点；③两个端点之间用“，”隔开.2．求函数定义域的基本方法我们知道，根据函数的定义，所谓“给定一个函数”，就应该指明这个函数的定义域和对应法则（此时值域也往往随着确定），不指明这两点是不能算给定了一个函数的，那么为什么又在给定函数之后来求它的定义域呢？这是由于用解析式表示函数时，我们约定：如果不单独指出函数的定义域是什么集合，那么函数的定义域就是能使这个式子有意义的所有实数x的集合.有这个约定，我们在用解析式给出函数的对应法则的同时也就给定了定义域，而求函数的定义域就是在这个意义之下写出使式子有意义的所有实数组成的集合.3．分段函数：有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数通常称为分段函数.分段函数是一个函数，而不是几个函数.4．复合函数：设f(x)=2x3，g(x)=x2+2，则称f[g(x)] =2(x2+2)3=2x2+1（或g[f(x)] =(2x3)2+2=4x212x+11）为复合函数三、讲解范例：下面举例说明函数定义域的求法.例1已知例2已知f(x)=x2 1 g(x)=求f[g(x)]例3 求下列函数的定义域：①②③④⑤例4 若函数的定义域是R，求实数a 的取值范围例5 若函数的定义域为[1，1]，求函数的定义域求用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R；②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；④若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；⑤若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题.求解函数解析式例6 已知f(x)满足，求；例7设二次函数满足且=0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求的解析式.四、练习：1．设的定义域是[3，]，求函数的定义域2．已知f(x)是一次函数, 且f[f(x)]=4x1, 求f(x)的解析式3．若,求f(x)检测：补充：1已知：=x x+3 求：f(x+1), f()2已知函数=4x+3，g(x)=x,求f[f(x)]，f[g(x)]，g[f(x)]，g[g(x)].3 若求f(x)三、函数－映射内容分析：本节是在集合与简易逻辑和函数的概念之后学习的，映射概念本身就属于集合的知识因此，要联系前一章的内容和函数的概念来学习本节，映射是是两个集合的元素与元素的对应关系的一个基本概念映射中涉及的“原象的集合A”“象的集合B”以及“从集合A到集合B的对应法则f”可以更广泛的理解集合A、B不仅仅是数集，还可以是点集、向量的集合等，本章主要是指数的集合随着内容的增多和深入，可以逐渐加深对映射概念的理解，例如实数对与平面点集的对应，曲线与方程的对应等都是映射的例子映射是现代数学的一个基本概念教学过程：一、复习引入：在初中我们已学过一些对应的例子：（学生思考、讨论、回答）①看电影时，电影票与座位之间存在者一一对应的关系②对任意实数a，数轴上都有唯一的一点A与此相对应③坐标平面内任意一点A 都有唯一的有序数对(x, y)和它对应④任意一个三角形，都有唯一的确定的面积与此相对应⑤高一（2）班的每一个学生与学号一一对应函数的概念本节我们将学习一种特殊的对应—映射.二、讲解新课：看下面的例子：设A，B分别是两个集合，为简明起见，设A，B分别是两个有限集0 300 450 600 902122 239 4 11 -12 -23 -33-32-21-1149123123456(1)(2)(3)(4)开平方求正弦求平方乘以2A AAAB BBB1说明：（2）（3）（4）这三个对应的共同特点是：对于左边集合A中的任何一个元素，在右边集合B中都有唯一的元素和它对应映射：设A，B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射记作：象、原象：给定一个集合A到集合B的映射，且，如果元素和元素对应，则元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象关键字词：（学生思考、讨论、回答，教师整理、强调）①“A到B”：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射,A到B是求平方，B到A则是开平方，因此映射是有序的；②“任一”：就是说对集合A中任何一个元素，集合B中都有元素和它对应，这是映射的存在性；③“唯一”：对于集合A中的任何一个元素，集合B中都是唯一的元素和它对应，这是映射的唯一性；④“在集合B中”：也就是说A中元素的象必在集合B中，这是映射的封闭性.指出：根据定义，（2）（3）（4）这三个对应都是集合A到集合B的映射；注意到其中（2）（4）是一对一，（3）是多对一思考：（1）为什么不是集合A到集合B的映射？回答：对于（1），在集合A中的每一个元素，在集合B中都有两个元素与之相对应，因此，（1）不是集合A到集合B的映射思考：如果从对应来说，什么样的对应才是一个映射?一对一，多对一是映射但一对多显然不是映射辨析：①任意性：映射中的两个集合A,B可以是数集、点集或由图形组成的集合等；②有序性：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；③存在性：映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象；④唯一性：映射中集合A的任一元素在集合B中的象是唯一的；⑤封闭性：映射中集合A的任一元素的象都必须是B中的元素，不要求B中的每一个元素都有原象，即A中元素的象集是B的子集.映射三要素：集合A、B以及对应法则，缺一不可；三、例题讲解例1 判断下列对应是否映射？有没有对应法则？a e a e a eb f b f b fc g c g c gd d(是) （不是）（是）是映射的有对应法则，对应法则是用图形表示出来的例2下列各组映射是否同一映射？a e a e d eb f b f b fc g c g c g例3判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射？（1）设A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则（2）设，对应法则（3），，（4）设（5），四、练习：1．设A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6,7,8,9}，集合A中的元素x按照对应法则“乘2加1”和集合B中的元素2x+1对应．这个对应是不是映射？（是）2．设A=N*，B={0，1}，集合A中的元素x按照对应法则“x除以2得的余数”和集合B中的元素对应．这个对应是不是映射？（不是（A中没有象））3．A=Z，B=N*，集合A中的元素x按照对应法则“求绝对值”和集合B 中的元素对应．这个对应是不是映射？（是）4．A={0,1,2,4}，B={0,1,4,9,64}，集合A中的元素x按照对应法则“f ：a b=(a1)2”和集合B中的元素对应．这个对应是不是映射？（是）5．在从集合A到集合B的映射中，下列说法哪一个是正确的？（A）B中的某一个元素b的原象可能不止一个（B）A中的某一个元素a的象可能不止一个（C）A中的两个不同元素所对应的象必不相同（D）B中的两个不同元素的原象可能相同6．下面哪一个说法正确？（A）对于任意两个集合A与B，都可以建立一个从集合A到集合B的映射（B）对于两个无限集合A与B，一定不能建立一个从集合A到集合B的映射（C）如果集合A中只有一个元素，B为任一非空集合，那么从集合A到集合B 只能建立一个映射（D）如果集合B只有一个元素，A为任一非空集合，则从集合A到集合B只能建立一个映射7．集合A=N，B={m|m=,n∈N},f:x→y=，x∈A，y∈B.请计算在f作用下，象，的原象分别是多少.( 5，6.)分析：求象的原象只需解方程=求出x即可.同理可求的原象.课堂检测课后作业1判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（）⑴，；⑵，；⑶，；⑷，；⑸， A⑴、⑵ B⑵、⑶ C⑷ D⑶、⑸2函数的图象与直线的公共点数目是（）A B C或 D或3已知，若，则的值是（）A B或 C，或 D4设函数则实数的取值范围是5函数的定义域6若二次函数的图象与x轴交于，且函数的最大值为，则这个二次函数的表达式是7函数的定义域是__________________8函数的最小值是_________________9求函数的定义域10.是关于的一元二次方程的两个实根，又，求的解析式及此函数的定义域11已知函数在有最大值和最小值，求、的。
高一数学二次函数知识点归纳高一数学二次函数是一种常见的函数类型，掌握二次函数的知识对我们学习数学以及实际生活中的问题解决都具有重要作用。
下面是对高一数学二次函数知识点的归纳和三个例子。
（一）基本概念高一数学二次函数的一般式为 y = ax² + bx + c（其中a ≠ 0），其中 a，b，c是实数，x，y是变量。
a 是函数的二次项系数，控制着图像的开口方向和大小，当 a>0 时，开口朝上；a<0 时，开口朝下。
b 是一次项系数，控制着图像的横向位置；c 是常数项系数，控制着图像的纵向位置。
二次函数的图像是一个抛物线。
（二）二次函数的性质①对称性：二次函数图像关于 x=-b/2a 对称，称为抛物线的对称轴；②零点：也就是函数值为0的点。
求二次函数的零点需要先将其转化为一元二次方程，使用求根公式即可求解；③最值：也就是函数的极值点，当二次函数的抛物线朝上时，函数的最小值为 y=a*(-(b²-4ac)/4a)+c；当抛物线朝下时，函数的最大值为 y=a*(-(b²-4ac)/4a)+c。
（三）例子1. 求二次函数 y = x² + 3x + 2 的对称轴、开口方向和最小值。
解：对称轴为x=-b/2a = -3/2，因此抛物线沿着这条直线对称。
a=1>0，因此开口朝上。
最小值为 y=a*(-(b²-4ac)/4a)+c = -1/4。
2. 求二次函数y = −2 x² + 8 x − 3 的零点和最大值。
解：将函数转化为一元二次方程：-2x²+8x-3 = 0；使用求根公式求解，得到 x1=1.5，x2=1.7；a=-2<0，因此抛物线朝下，最大值为 y=a*(-(b²-4ac)/4a)+c = 2.2。
3. 已知二次函数 y=3x²+6x-1，求其图像通过的点。
解：将 x 带入函数式得到 y=3x²+6x-1；当 x=0 时，y=-1；因此，通过的点为 (0,-1)。
