北师大版必修三 3.2.2 建立概率模型 作业

建立概率模型
1．(2019·全国卷Ⅲ)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率
是( )

A.16 B.14
C.13 D.12
解析：选D 法一：设两位男同学分别为A，B，两位女同学分别为a，b，则用“树形
图”表示四位同学排成一列所有可能的结果如图所示．

由图知，共有24种等可能的结果，其中两位女同学相邻的结果(画“√”的情况)共有
12种，故所求概率为1224＝12.
法二：两位男同学与两位女同学随机排成一列，因为男同学人数与女同学人数相等，所
以两女同学相邻与不相邻的排法种数相同，所以两女同学相邻与不相邻的概率均为12.
2．四条线段的长度分别是1,3,5,7，从这四条线段中任取三条，则所取出的三条线段能
构成一个三角形的概率是( )

A.14 B.13
C.12 D.25
解析：选A 从四条长度各异的线段中任取一条，每条被取出的可能性均相等，所以该
问题属于古典概型．又因为所有基本事件包括(1,3,5)，(1,3,7)，(1,5,7)，(3,5,7)四种，而能构
成三角形的基本事件只有(3,5,7)一种，所以所取出的三条线段能构成一个三角形的概率P＝
1
4
.

3．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲在心中任想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才
所想的数字，把乙猜的数字记为b，且a，b∈{1,2,3,4}．若|a－b|≤1，则称甲、乙“心有灵
犀”．现任意找两人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为( )
A.58 B.18
C.38 D.14
解析：选A 甲、乙所猜数字的情况有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，
(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)共16种情况，其中满足|a－b|≤1
的情况有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)共10种情况，故
所求概率为1016＝58.
4．甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任
意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是( )

A.318 B.418
C.518 D.618
解析：选C 正方形四个顶点可以确定6条直线，甲、乙各自任选一条共有36个基本
事件．两条直线相互垂直的情况有5种(4组邻边和对角线)，其包括10个基本事件，所以所
求概率等于1036＝518.
5.如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污
损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为________．

解析：从图中的数据知甲组数据的平均数为88＋89＋90＋91＋925＝90.
若甲、乙两组平均数相等，则有90×5－(83＋83＋87＋99)＝98.
若甲组的平均成绩超过乙组的平均成绩，则被污损的数字可为0,1，…，7，共8种情况，
故其概率P＝810＝45.
答案：45
6．设集合P＝{－2，－1,0,1,2}，x∈P且y∈P，则点(x，y)在圆x2＋y2＝4内部的概率
为________．
解析：以(x，y)为基本事件，用列表法或坐标轴法可知满足x∈P且y∈P的基本事件有
25个，且每个基本事件发生的可能性都相等．点(x，y)在圆x2＋y2＝4内部，则x，y∈{－1,1,0}，
用列表法或坐标轴法可知满足x∈{－1，1,0}且y∈{－1,1,0}的基本事件有9个．所以点(x，y)
在圆x2＋y2＝4内部的概率为925.
答案：925
7．甲、乙、丙、丁、戊5人站成一排合影，则甲站在乙的左边的概率为________．
解析：我们不考虑丙、丁、戊具体站在什么位置，只考虑甲、乙的相对位置，只有甲站

在乙的左边和甲站在乙的右边，共2个等可能发生的结果，因此甲站在乙的左边的概率为12.
答案：12
8．一个袋子中有红、白、蓝三种颜色的球共24个，除颜色外其他特征完全相同，已
知蓝色球3个．若从袋子中随机取出1个球，取到红色球的概率是16.
(1)求红色球的个数；
(2)若将这三种颜色的球分别进行编号，并将1号红色球，1号白色球，2号蓝色球和3
号蓝色球这四个球装入另一个袋子中，甲乙两人先后从这个袋子中各取一个球(甲先取，取
出的球不放回)，求甲取出的球的编号比乙大的概率．

解：(1)设红色球有x个，依题意得x24＝16，解得x＝4，
∴红色球有4个．
(2)记“甲取出的球的编号比乙的大”为事件A，所有的基本事件有(红1，白1)，(红1，
蓝2)，(红1，蓝3)，(白1，红1)，(白1，蓝2)，(白1，蓝3)，(蓝2，红1)，(蓝2，白1)，
(蓝2，蓝3)，(蓝3，红1)，(蓝3，白1)，(蓝3，蓝2)，共12个．
事件A包含的基本事件有(蓝2，红1)，(蓝2，白1)，(蓝3，红1)，(蓝3，白1)，(蓝3，
蓝2)，共5个，
∴P(A)＝512.
9．(2019·天津高考)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、
继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单
位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽
取25人调查专项附加扣除的享受情况．
(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，
E，F.享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取
2人接受采访.
员工
项目
A B C D E F

子女教育 ○ ○ × ○ × ○
继续教育 × × ○ × ○ ○
大病医疗 × × × ○ × ×
住房贷款利息 ○ ○ × × ○ ○
住房租金 × × ○ × × ×
赡养老人 ○ ○ × × × ○
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
②设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的
概率．
解：(1)由已知得老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，由于采用分层抽样的方法从中抽
取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人、9人、10人．
(2)①从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，
E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，
{D，F}，{E，F}，共15种．
②由表格知，符合题意的所有结果为{A，B}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，D}，{B，
E}，{B，F}，{C，E}，{C，F}，{D，F}，{E，F}，共11种．
所以，事件M发生的概率P(M)＝1115.

10．某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S＝x＋y＋z评价该产品的等
级．若S≤4, 则该产品为一等品．先从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质
量指标列表如下：
产品编号
A1 A2 A3 A4 A5

质量指标(x,
y, z)
(1,1,2) (2,1,1) (2,2,2) (1,1,1) (1,2,1)

产品编号
A6 A7 A8 A9 A10
质量指标(x,
y, z)
(1,2,2) (2,1,1) (2,2,1) (1,1,1) (2,1,2)

(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；
(2)在该样本的一等品中， 随机抽取2件产品，
①用产品编号列出所有可能的结果；
②设事件B为“在取出的2件产品中， 每件产品的综合指标S都等于4”， 求事件
B发生的概率．
解：(1)计算10件产品的综合指标S，如下表：
产品编号
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10

S 4 4 6 3 4 5 4 5 3 5
其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故该样本的一等品率为610＝0.6，

从而可估计该批产品的一等品率为0.6.
(2)①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A4}，
{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，
A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}，共15种．
②在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7，则事
件B发生的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}，
共6种．所以P(B)＝615＝25.