第九节 连续函数的运算

无穷间断点 左右极限至少有一 第二类间断点 振荡间断点 个不存在
思考与练习
讨论函数
f
(x)
x2
x2 1 3x
2
间断点的类型.
答案: x = 1 是第一类可去间断点 ,
x = 2 是第二类无穷间断点 .
备用题 确定函数 f (x)
1 间断点的类型. x
1 e1x
解: 间断点 x 0, x 1
证: x ( , )
y sin(x x) sin x
2
sin
x 2
cos(
x
x 2
)
y
2
sin
x
2
cos(
x
x
2
)
2
x
2
1
x
x 0
0
即 lim y 0
x0
这说明 y sin x 在 ( , )内连续 .
同样可证: 函数 y cos x 在( , )内连续 .
二、 函数的间断点
y
y f (x)
y x
0 x0 x0 x x
y
y f (x)
y
x
0 x0 x0 x x
2. 连续的定义
定义 1：设 f (x) 在U (x0 , )内有定义，若
lim y
x0
lim [
x0
f
( x0
x)
f
(x0 )]
0,
则称 f (x) 在 x0 点连续，x0 称为 f (x)的连续点.
设 x x x0 ,
y
y f (x)
y f ( x) f ( x0 ),
y
x 0 就是 x x0,
x

奇偶性
奇偶函数具有特定的对称性质。
连续函数的函数阶判断
连续性
连续函数的定义和性质决定了其函数阶。
可导性
可导函数的函数阶更高。
连续函数的统计应用
统计学中的连续函数应用包括概率分布、假设检验、回归分析等。
连续函数的图像分析
函数图像
连续函数的图像可以通过绘制函 数曲线来进行分析。
最值求解
通过函数的最值，可以了解函数 的行为特征。
拐点和极值点
拐点和极值点对函数的凸凹性有 重要影响。
连续函数的性质比较
单调性
连续函数的单调区间可以通过 导数符号的变化来判断。
周期性
周期函数在一个周期内具有相 同的函数值。
《高等数学教学课件》 d1-9连续函数的运算
本课件将详细介绍连续函数的各种运算及其性质，包括四则运算、复合运算、 反函数运算、积分运算、微分运算等，帮助你全面掌握高等数学的重要内容。
连续函数的四则运算
1 加法
两个连续函数相加的结果仍然是连续函数。
2 减法
两个连续函数相减的结果仍然是数
通过连续函数的高阶导数，可以分析函数的曲线形状。
3
微分方程
微分方程描述了连续函数与其导数之间的关系。
连续函数的级数运算
1 幂级数
连续函数可以通过幂级数 展开来近似表示。
2 傅里叶级数
3 泰勒级数
连续函数可以通过傅里叶 级数展开来进行频谱分析。
连续函数可以通过泰勒级 数展开来进行多项式逼近。
两个连续函数相乘的结果仍然是连续函数。
4 除法
两个连续函数相除的结果在除数不为零的情 况下仍然是连续函数。
连续函数的复合运算
1 复合函数
连续函数的复合仍然是连 续函数。

x)

u0
.
定理4 若 u (x) 在点 x0 连续，且 (x0 ) u0 , 而
函数 y = f (u) 在点 u u0 处连续，则复合函数 y f (x)
在点 x0 连续 .
例1
求 lim
x2 9 .
x3 x 3
解
lim
x2 9
x2 9 lim

x0
∵ (1 2x) (1 2x) e 解
3 sin x
1 2x
sinx
x
6
1
6
x sin
x
ln(12
x
)
2
x

1
∴ lim(1 2x) e e 3 sin x
lim
x0
6
x sin
x
ln(12
x
)
2
x

6
x0
说明 函数 u(x)v(x) (u(x) 0 , u(x)不恒等于1) 既不是
lim
1
u(x)
1
1 u( x)1v( x)
u ( x)1
elimu( x)1v( x)
说明 在求解此类极限时，先计算 limu(x) 1v(x),
再对极限值取指数 e 即可.
1
例6 求 lim(x 2ex ) x1 . x0
解 因为 所以
lim(x 2ex ) 2 ,
定理3
若
lim
xx0

(x)

(
x0
)
,
u


(x)
,
而函数 y f (u)
在点 u u0 处连续，则有

例、讨论函数y = sin 1的连续性
x
lijuan
解：y = sin 1由y = sin u,u = 1 复合而成
x
x
y = sin u当u ∈ (−∞, +∞)连续
u = 1 当x ∈ (−∞, 0) ∪ (0, +∞)内连续 x
∴ y = sin 1 在(−∞, 0) ∪ (0, +∞)内是连续的（去掉不连续点） x
14
lijuan
定理3与4的比较：
定理3、（1）lim x → x0
g(x)
=
u0存在，
（2）y = f (u)在u = u0处连续
定理4、（1）lim x → x0
g(x)
=
g ( x0
)连续，
（2）lim u →u0
f (u) =
f
(u0 )连续
15
四、初等函数的连续性 lijuan
1、基本初等函数在其定义域内是连续的， 因此，初等函数在其定义区间内连续
证明：∵
lim
x→ x0
g(x)=
g(x0 )
= u0,
lim
u →u0
f (u) =
f
(u0 )
⎫ ⎬
⇐
连续
⎭
连续
= ∴ lim x → x0
f [g(x)] u = g (x)
=
lim f (u)
u →u0
f (u0 )
= f [lim g(x)] x → x0
= f [g(x0 )]
⇒∴连续
13
定理5、设函数u = g(x)当x → x0时极限存在且等于u0，
即：lim x→ x0
g(x) = u0，而函数y