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电容器的充电曲线与经验公式

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實驗、七 電容器的充電曲線與經驗公式
【目的】 藉測定電容器充電之電流與時間的關係，以瞭解經驗公式的歸納過程。
【儀器】

(1)
(2)

(3)

(4)
(5)
(6)

(7)

(8)

(5)
Fig.7-1
(1)碼錶……………………… １個 (5)數位式多功能電表……… 2個
(2)２×３２μＦ電容器……… １個 (6)１００Ω電阻器……………1個
(3)接線盒……………………… 1個 (7)２.２ＭΩ電阻器………… 2個
(4)電源供應器…………………１台 (8)麵包版………………………1個
(9)接線…………………………１組
【原理】
如Fig.7－2之電路裝置，當電壓Ｕ和電容Ｃ均為定值時，電容Ｃ經一電阻
Ｒ充電，電流Ｉ隨時間t變化的過程，根據克希何夫定律（Kirchhoff’s law ），
可表示為（參考資料１）

I (t) =RUeRCt/ （7－1）

此一理論式，亦可由實驗數據歸納為經驗公式。
為了利用電容器充電時，所得到的實驗數據來歸納出電流Ｉ(t) 與電壓、電
阻、電容、時間的函數關係形式，先假設

I(t) = I0(U,R,C)etCRU),,( （7－2）

則 α=ttII)](/[ln0 ，式中 I0(U,R,C)為起始電流值。
首先固定Ｕ和Ｒ值，改變Ｃ值，在每一個Ｃ值，記錄Ｉ隨ｔ的變化，由㏑I
與ｔ之關係圖，求出其斜率為-α；再由α值隨Ｃ值不同之變化情形，推測α（Ｕ，
Ｒ，Ｃ）與Ｃ之函數關係。在理想情況下，㏑α與㏑Ｃ之關係圖應是一條直線，
且其斜率應為-1，換言之，
α＝β（Ｕ，Ｒ）/Ｃ
亦即（7－2）式變成

I(t) = I0(U,R,C)eCtRU),( （7－3）
同理，固定Ｕ，Ｃ值，改變Ｒ值，在每一個Ｒ值，記錄Ｉ隨ｔ之變化，由㏑I與
ｔ的關係圖，求出其斜率為－α，即－),(RU／Ｃ，由),(RU隨Ｒ值不同之變
化情形，推測),(RU與Ｒ的函數關係，在理想情況下，㏑β與㏑Ｒ之關係圖亦應
為斜率－１的直線，易言之，

β=RU)(
或者
α=RCU)(

因此（7－3）式可寫為
I(t) = I0(U,R,C)eRCtU)( （7－4）
依此類推，固定Ｕ值和Ｃ值，同時作起始電流 ㏑I0 對電阻 ㏑Ｒ圖，在理
想狀況下，應是直線；及固定Ｕ值、Ｒ值作 ㏑I0 對電容 ㏑Ｃ 圖，在理想狀況
下，應是水平線，也就是 I0= RUB)( （7－5）
於是（7－4）式可改寫成
I(t)=RUB)( eRCtU)( （7－6）
固定Ｒ和Ｃ值改變Ｕ值，作 ㏑Ｉ對ｔ圖其斜率即為－δ(U)/RC，再利用已
知的Ｒ、Ｃ值，從而推知δ(U)應為１。另外，固定Ｒ值，作起始電流I0對Ｕ的圖
形，其斜率應為Ｉ/Ｒ，故知Ｂ(U)應等於Ｕ。
綜合以上所有歸納結果，便可以找出電容器充電時，電流與電壓、電阻、電
容及時間之經驗式。

DC
R
C
100R



A

a
b
U

Fig.7-2 電容器充電時的實驗電路圖
【步驟】
1. 實驗裝置如Fig.7-2所示。測量μA值的數位式多功能電表及提供U值的電源
供應器之使用方法參閱附錄。
2. 固定電壓及電阻，測定電容器充電時，電流與時間的關係：
2a.選用電容C，調整並固定電壓U等於9伏特(所需電壓值可先用數位式多
功能電表測量)，電阻R值為22MΩ( ×106Ω)
2b.將開關由b撥至a的位置，同時開始計時，並記錄數位式多功能電表所顯
示的起始最大電流值，然後每隔五秒鐘記錄一次電流值，直至電流於15
秒內無變化則停止量測，將開關撥到b的位置。(電表須提調至A檔才可
讀出)
2c.分別更換三種不同值的電容器，重複步驟2b .。(2×32μF電容器為兩個各
自獨立的32μF電容器共立於一個座子上，此兩電容器可單獨或串聯或並
聯使用，可得不同之電容值。)
2d.將所得數據作電流Ι對時間t圖。
2e.作 lnI對t圖，並計算圖中各電容值C所對應的斜率α。作 ln|α|對lnC圖。
此圖形具何種物裡意義？能與原理中那個公式印證？
3. 固定電容及電壓，測定電容器充電時電流與時間的關係：
3a.選用電阻R調整並固定電壓U為9伏特，選用並固定適當的電容器C，
重覆步驟2b .。
3b.以串聯的方式變換三組電阻值R，重覆步驟3a .。
3c.作lnI對t圖，計算圖中各電阻值R所對應的斜率β，作ln|β|對lnR圖。
此圖形具何物裡意義？能與原理中那個公式印證？
3d.取計時開始時，各電阻R所對應的起始最大電流值0I， 作ln0I對lnR 圖。
此圖能推導出原理中那個公式？
4. 固定電容及電阻，測定電容器充電時電流與時間的關係：
4a.選擇並固定適當的電阻及電容值，電壓分別由2V至9V重覆步驟2b.，至
少有四組數據。作lnI對時間t圖。
4b.取計時開始，各電壓值U所對應的起始最大電流值0I，作0I對U圖。解
釋圖形的物理意義及找出原理中相對應之公式。

【問題與討論】
1.為何測量電流值時，有時數位式多功能電表之數值會在兩個值之間跳動不已而
無法停於某固定值？如此對我們的實驗有何影響？
2.試述克西荷夫定律，並據以推導公式( 7-1 ) 。
3.當電壓固定為0V，電阻固定為0R，輪流使用不同之電容C1，C2，C3且
C1> C2 > C3，做電容器之充電實驗，試問三個電容器的起始最大電流值應為
多少？假設三個電容器充電時的電流分別降為起始電流值的一半所需的對應
時間分別為t1，t2，t3，試比較三個時間的長短。又你的實驗結果和本題所討
論的結果符合嗎？為什麼？
4.試由實驗步驟中繪得的所有直線圖，直接推算斜率。分類作表列出斜率為正或
負的實驗值，並標記其所對應的理論公式。再比較實驗值與理論值之間的差距。
5.在Fig.7-2中，所加裝的100Ω電阻器有何目的？

【參考資料】
1. Van Valkenburg. Network Analysis. 3rd ed. (Prentice Hall, Inc., 1974) P.105
.
【實驗可能發生問題】
1.電表無電流:
a.確定電源on。
b.確定實驗回路無斷路。(此實驗為大電阻,故電流檔位注意有無調至μA為
檔。
c.此時先確定電表之保險絲是否完好，壞掉需更新。
d.可能實驗接線經拉扯後斷路，用電表確定接線是否導通。
e.任何迴路中之導線部分應避免接觸到其他物品(如桌面等)。
以上步驟驗證後還是無法改善時，請找助教。

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电感和电容的储能计算公式

电感和电容的储能计算公式

电感和电容的储能计算公式电感计算公式：⽅法1、L=µ×Ae*N2/ l其中：L表⽰电感量、µ表⽰磁⼼的磁导率、Ae表⽰磁⼼的截⾯积、N表⽰线圈的匝数、lm表⽰磁⼼的磁路长度。

⽅法2、经验公式：L=（k*µ0*µs*N2*S）/l其中µ0 为真空磁导率=4π*10（-7）。

（10的负七次⽅）µs 为线圈内部磁芯的相对磁导率，空⼼线圈时µs=1N2 为线圈圈数的平⽅S 线圈的截⾯积，单位为平⽅⽶l 线圈的长度，单位为⽶k 系数，取决于线圈的半径（R）与长度（l）的⽐值。

计算出的电感量的单位为亨利（H）。

电容计算公式实践证明：任⼀电容器容纳电荷的情况和⼀个篮球容纳⽓体的情况类似。

篮球⼤⽓的⽓压越⼤，则容纳的⽓体越多；电容器所加电压越⼤，则容纳的电荷也越多。

这样⼀来，要衡量它容纳电荷的本领，就必须在同⼀电压下来衡量，单位电压下所能容纳电荷的多少叫电容，⽤C表⽰，单位法拉：C=q/U上公式中q是电容器在外家电压U时所容纳的电荷量。

实际使⽤中常见的电容器的容量在其被制造出来时都有表明，电容器元件表⾯的数字或者⾊环就包含了容量信息。

1法拉等于1库仑每伏特，即电容为1法拉的电容器，在正常操作范围内，每增加1伏特的电势差可以多储存1库仑的电荷。

电容单位换算电容的容量单位是法拉（⽤字母F表⽰），但是在实际应⽤上，法拉这⼀单位太⼤了。

往往使⽤最多的是微法（uF）或⽪法（PF）。

1F=1000,000微法=106微法（uF）1uF=1000,000⽪法=106⽪法（PF）电容的⼤⼩与电容器的⼏何尺⼨和介质的性质有关。

除了电容器有电容外，在实际中，电⽓设备、线路与部件都具有⾃然形成的电容。

如较长的输电线之间，较长的电缆都具有电容。

rc串联充电时间计算公式 推导

rc串联充电时间计算公式 推导

在RC电路中，充电时间可以通过使用电流和电容来计算。

假设我们有一个串联的电阻(R)和电容(C)电路，并且我们将电路连接到一个恒定的电压源。

首先，让我们来考虑电容充电的过程。

当电压源连接到电路时，电容开始充电。

充电的速率取决于电流的大小。

根据欧姆定律，电流(I)通过电阻的大小与电压(V)之间的关系为：I = V / R。

而根据电容的定义，电荷(Q)与电容(C)和电压(V)之间的关系为：Q = C × V。

充电过程中，电荷的变化率等于电流，即：dQ/dt = I。

将上述公式代入，我们可以得到：dQ/dt = (V / R) × C。

由于电流是电荷随时间的变化率，我们可以将其表示为：I = dQ/dt。

因此，我们可以将上述方程改写为：dQ/dt = (V / R) × C = I。

现在，我们可以对上述方程进行分离变量并进行积分，以求解充电时间。

将方程重新排列，得到：dQ = (V / R) × C × dt。

将方程两边同时积分，得到：∫dQ = ∫(V / R) × C × dt。

对电荷进行积分，得到：Q = (V / R) × C × t + Q0。

其中，Q0代表充电开始时电容上的电荷量。

当电容完全充电时，电容上的电荷量等于其最大值，即：Q = C × V。

将上述方程代入，我们可以求解充电时间(t)：C × V = (V / R) × C × t + Q0。

化简方程，得到：t = R × C + Q0 / (V × C)。

所以，串联充电时间的计算公式为：t = R × C + Q0 / (V × C)。

需要注意的是，上述公式假设电路中没有其他电阻或电容，并且电压源为恒定电压。

如果有其他电路元件存在或电压源不是完全恒定的，那么实际的计算可能会更加复杂。

电容器对电流的响应与充放电时间计算

电容器对电流的响应与充放电时间计算

电容器对电流的响应与充放电时间计算电容器是一种常用的电路元件，它能够存储电荷并在电路中提供电流。

在实际应用中，了解电容器对电流的响应以及如何计算充放电时间对于设计和优化电路至关重要。

首先，我们来了解电容器对电流的响应。

电容器的特点之一是对电流变化有很强的响应能力。

当我们在电容器两端施加电压时，电容器会开始充电，即储存电荷。

充电过程中，电流的大小取决于电容器的电容量以及充电电压的变化速率。

根据欧姆定律和基尔霍夫定律，我们可以推导出电容器充电过程中电流如何随时间变化。

假设电容器的电容量为C，充电电压为V(t)，电流为I(t)，那么根据欧姆定律，有I(t) = C * dV(t)/dt其中，dV(t)/dt表示充电电压变化的速率。

当我们施加一个恒定的电压源V0时，充电过程可以简化为一个一阶微分方程。

解这个微分方程可以得到电流随时间的变化关系。

具体解此方程的方法有很多，比较常用的是假设I(t) = I0 * exp(-t/RC)的形式，其中I0为电流的初始值，R为电路的电阻，C为电容器的电容量。

通过这种假设，我们可以得到电流随时间变化的指数衰减曲线。

这个指数衰减曲线的斜率表征了电容器对电流变化的响应速度，斜率越大，响应速度越快。

接下来，我们来计算电容器的充放电时间。

充放电时间是指电容器从放电到充电（或者从充电到放电）所需要的时间。

在理想情况下，充放电的时间是无限长的。

然而，在实际应用中，我们往往需要考虑实际电路元件的特性和限制。

根据电容器充放电的特性，我们可以利用以下公式计算充放电时间。

充电时间（t_charge）= 5 * R * C放电时间（t_discharge）= 5 * R * C其中，R为电路的电阻，C为电容器的电容量。

这里需要说明的是，以上公式是一个近似值，适用于起伏较小的电压。

如果电压的变化较大，我们需要使用更为精确的计算方法。

另外，由于电容器内部存在一些电阻和电感，所以在具体应用中，我们还要考虑这些因素对充放电时间的影响。

电容

电容


这个时候电荷受到的阻碍力是最小的， 也即容抗小。 因为我们知道， 容抗越大， 阻碍力越大， 容抗越小，阻碍力越小。 在刚开始，30V 给电容充电这一瞬间，电荷流动速度是最快的。但是，随着充电的过程， 水箱的水位是不断的上升，如果水箱高度等效为电压的话，也就是说这电压不断的上升。 当 电容的电压升到 15V 的时候，我们从图 3-2 中，可以观察到电荷流入电容的方式，这时， 我 们能够明显的看到他的斜率变缓了，随着电容中的电压上升，斜坡越来越小，电荷流入电容 中的速度越来越慢。 因此， 充电的快慢与电源和电容的压差有关。 压差越大， 充电速度越快， 压差越小，充电速度越慢。电容呈现的就是这么一个现状。通过以上规律，我们就能够画出 电容充电时大概的电压波形。如图 3-3 所示。 电容充电电压的公式： U Vin (1 e
Vin t e 。这个电流公式与我们画的电流波形也是一致的。 R
图 3-1
图 3-2
图 3-3
图 3-4 4、电容的计算 我们对电容的计算，目的是要知道，我们在电路中需要一个多大的电容。为什么要需要 这么个电容？它的电压要多高？它的容量要多大？这是我们接下来要学习的。 在这里，我们仍然是用水缸的例子讲解。 我们说，水进入水缸是有纹波的，排出时是比较平滑的。在这边，我们假设，如果每分 钟输入的水量为 1 升， 且每分钟排出的水量也为 1 升， 那么这个水缸里原有的水量是保持不 变的。这个水缸就稳定在一个状态下。 我们还可以假设， 仍然认为每分钟输入的水量为 1 升， 但是， 排出的水量不再为 1 升了， 有的时候提水的人少了，可能为 0.5 升，有的时候提水的人多了，也有可能是 2 升。这时候 就会出现这种情况，一会儿，提水的人多了，一会儿提水的人少了，也即，一会儿需要 2 升，一会儿需要 0.5 升。当用 2 升的时候，我们知道，输入为 1 升，取的时候为 2 升，因此， 如果没有这个水缸，后面的人能够一下取出 2 升水吗？我们说取不到的。但是，如果有这个 水缸，并且水缸里面原本就储存有水，当输入为 1 升，取出为 2 升时，这是可以的，只不过 水缸里面的水位会下降一点。如果接下来后面的人只需要 0.5 升，那么，这个水缸的水位就 会上升。 因此，我们说，水缸输入的水与输出的水就能够达到一个比较理想状态下的平衡。且对 输出的用水量没有更多的限制。如果没有水缸，当输入为 1 升时，后面的人也只能使用 1 升，不能多用，也不能少用。有了这个水缸，就没有这方面的限制了。 相较于电容，它的工作原理和水缸的是一样的。当有多余的电荷流入电容，就储存在电