第三章-晶体定向和晶体学符号

如何建立不同晶系之坐标轴？
等 轴
正 方
斜 方
三 方
3.2
三轴定向
各晶系的定向方法
（Miller’s orientation） 可用于所有晶系。 选择三个不共面的坐标 轴 x, y, z安置晶体。
四轴定向（Bravais’ orientation）
适用于六方晶系。 (why?)
一个直立轴，三个水平轴。
百度文库
• 三个单胞拼成一个六 面柱体来研究。
六方晶系指数及标定
密氏指数：
120°
• 3轴坐标系（a1, a2, c） • 缺点：同一晶面族或晶向族，其指数不类似。 • 如，(100)和(110)属于同一晶面族， [100]和[110]属 于同一晶向族，但是从其指数上看不出来。 • 由六方系对称性可看出，很难从三轴坐标指数找出 等价面指数间的规律性。
晶面族
z
（001）
用{h k l}表示对称性联系的一组晶面， 称为晶面族Family of planes.
y
x （100）
（010）
{110}: (110), (110), (110), (110), (101), (101), (101), (101), (011), (011), (011), (011)
OP在a1, a2, a3轴的垂直投影OA, OB, OC
t= -( u+v ) OA+OB=-5/2+(-1)=-7/2=-OC 满足：
还可以证明： OA+OB+OC=3/2 OP 求密布氏指数首先求出晶向上任一结点 在四轴的垂直投影； 然后将前3个指数分别乘以2/3； 再和第四个数值化为最小整数即为密布 氏指数。 -5/2, -1, 7/2, 0，晶向指数为[5270]
1.等轴晶系定向 晶格常数为:
Y
a = b = g = 90 °
a=b=c
三个互相垂直的L4, Li4 或L2为 x, y, z 轴； z 轴直立，y 轴左右水 平，x 轴前后水平。 如此定向完全符合等 轴晶系几何常数的特 征，选轴原则。

2. 四方晶系晶体定向
晶格常数为:
a = b = g = 90 °
（ 2 ）轴角：两个结晶轴正向 之夹角。用a，b，g 表示。
结晶轴选择原则
符合晶体本身的对称 适宜的对称元素作为结晶轴
适宜的晶棱方向作为结晶轴
尽量使得晶轴之间夹角为90
晶体定向的几个基本概念
（ 3 ）轴单位：晶体坐标系中结晶轴的长度单位。是相应 晶体点阵中平行于晶轴的行列上相邻节点间距。用a, b, c分 别表示x轴、y轴、z轴的轴单位。 （4）轴率：结晶轴的轴单位之连比。用a:b:c 表示。 （5）晶体几何常数：轴率a:b:c和轴角a，b，g的合称。表 示晶体坐标系特征的一组参数，用以区分不同的晶系。
同一晶面族具有类似的指数。
{1010}: (1010), (0110), (1100) (1010), (0110), (1100)
4轴坐标晶向指数 [u v t w]
• 4轴坐标系若按3轴坐标求法，同一晶 向则有无数个不同指数。 [430]：[4300] [1030]…… t= -( u+v ) ，则只有一个指数， • 增加条件， 而且同一晶向族具有类似指数。
• 符号相反的晶面指数只是在区别晶体的外表 面时才有意义 , 在晶体内部这些面都是等效的 。 不考虑符号相反的晶面，则
面等效的晶面数分别为：3个 表示为
面等效的晶面数分别为：6个 表示为
面等效的晶面数分别为：4个 表示为
六方晶系指数及标定
(110)
(100)
(110)
(100)
• 六方系的单胞不 能反映点阵的对称 性;
晶体学基础
第三章
晶体定向和晶体学符号
Chapter Outline





晶胞选取原则 晶体学坐标系 各晶系的定向方法 原子坐标 晶向指数 晶面指数 晶带指数 晶面间距与晶面夹角
晶胞及其选取原则
空间点阵按照平行六面体划 分为许多形状和大小相同的网 格，此平行六面体称为点阵晶 胞或单元晶胞（Unit cell）。
晶面间距与晶格常数
SUMMARY
• 晶胞选取原则
• 各晶系的定向方法
• 晶向指数 • 晶面指数 • 晶带定律 • 晶面间距与晶面夹角
23
晶带方程的应用
hu ＋ kv ＋ lw＝0
(1) 判断一晶面是否属于某晶带。
(2)已知两晶面，求包含此两晶面的晶带符号。 (3) 求属于某两晶带的晶面符号。
晶带方程的应用
※ 由2个不平行晶面（h1k1l1）和（h2k2l2） 确定晶带轴方向指数[u v w] ：
h1u ＋k1v ＋ l1w＝0 h2u ＋k2v ＋ l2w＝0
—— 在一个平面里，相邻晶列之间的距离相等
—— 每一簇晶列定义了一个方向 ——晶向
晶向的标志---晶向指数
三轴定向：
取某一原子为原点O，晶胞的三个基矢 —— 沿晶向到最近的一个格点的位矢 —— 一组整数
晶向指数 —— 对于单胞，也有类 似的晶向指数
• 一种表示晶体中面和方 向的符号，密氏指数（英 晶体学家Miller,1939）。
晶格常数为: a < > b < > g < > 90 °, a < > b < > c
二、晶体的四轴定向---六方晶系晶体定向
六方晶系四轴定向水平轴的安置
晶格常数为: a = b = 90°, g =120°, a = b < > c

选择唯一的高次轴作为直立结晶轴c轴，在垂直 z 轴的平面内选择三个相同的、即互成120°交 角的L2或P的法线，或适当的显著晶棱方向作为 水平结晶轴，即x 轴、 y 轴以及 d 轴(u轴)。
<100>: [100], [010], [001], [100], [010], [001]
面对角线OB的晶向
—— 面对角线晶向 共有12个
体对角线OC的晶向
体对角线晶向共有8个
二、晶面符号：晶面指数
—— 在晶体中作一簇平行的平面，这些相互平行、等 间距的平面可以将所有的格点包括无遗。
—— 这些相互平行的平面称为晶体的晶面
晶向指数
晶向指数
确定晶向指数4步骤
1）确定坐标系，过原点作平行于欲求晶向的直线； 2）求该直线上任一点的坐标（a，b，c）； 3）将此3个坐标值化成最小整数 u，v，w； 4）加以方括号，即[u v w]。
简单立方晶格的晶向标志
立方边OA的晶向 立方边共有6个不同的晶向
晶向族<u v w>
晶向族代表由对称性联系的一系列等同晶向 的组合。
晶面的标志---晶面指数
取某一原子为原点O，晶胞的三个基矢
为坐标系的三个轴不一定相互正交；
—— 晶格中一族的晶面不仅平行，并且相邻晶面之间的距 离相等。 —— 一族晶面必包含了
所有格点而无遗漏。
设
末端上的格点分别落在离原点的距离 的晶面上 —— 整数 —— 晶面间距
—— 最靠近原点的晶面 在坐标轴上的截距。
原子坐标
• 以晶胞基矢为单位矢量建 立晶体学坐标系，以晶胞基 矢长度为单位，以数字表示 晶胞中原子中心所处的位置。
体心立方晶胞
面心立方晶胞
也可以将原子的位置投影到晶胞底面上，以数字 标明原子的高度；
原子坐标常在立方晶系的晶胞中使用。
3.4 晶体学符号
一、晶向符号：晶向指数
—— 在晶体中作一簇 平行的直线，这些平 行直线可以将所有的 格点包括无遗； 平行直线簇 —— 晶列

选取晶胞的原则：
Ⅰ) 反应点阵的对称性； Ⅱ）平行六面体内的棱和角 相等的数目应最多； Ⅲ）棱与棱之间直角的数目 应最多； Ⅳ）包含阵点的点数最少。
初基晶胞与复杂晶胞
• 三个基矢构成的平行六面体称为初基晶胞。 初基晶胞包含一个阵点，只在平行六面体顶 角上有阵点。
•复杂晶胞：除在顶角外，在 体心、面心或底心上有阵点。
四轴定向：
四轴定向坐标系的晶面指数：
三、晶带与晶带符号
晶带：彼此间相交的晶列相互平行的（交线平行 的）晶面族的集合，即平行或相交于同一晶列的 晶面族的总称。
三、晶带与晶带符号
晶带符号：用晶带轴表示，
晶带 晶带轴——晶带中与晶面交线平行的直线，平行于晶带 中所有的晶面。 这些晶面称为共带面。
晶带定律：任一属于[u v w]晶带的晶面（h k l）（共 带面），必有(晶带方程)： hu ＋ kv ＋ lw＝0
u: v: w = k1 l1 k2 l2 l1 h1 : : l2 h2 h1 k1 h2 k2
※ 由2个晶带确定同属于这2个晶带 [u1v1w1]和[u2v2w2]的晶面指数(hkl) ：
h: k: l = w1 u1 v1 w1 : : w2 u2 v2 w2 u1 v 1 u2 v 2
晶面间距
• 点阵晶胞和结构晶胞都称为晶胞。
•点阵晶胞的结点代表空间点阵中的阵点位置。 结构晶胞的结点代表晶体中原子所在的位置。
晶胞的两个要素确定空间结构
(1) 大小和形状，由6个点阵常数a, b, c 以及夹角α, β, γ确定；
(2) 各个原子的位置，由原子坐标表示。
3.1
晶体定向的目的：
晶体学坐标系
4. 单斜晶系晶体定向
晶格常数为: a = g = 90 ° b > 90 ° a < > b < > c
L2为 y 轴; 或对称面法线为 y 轴； x 轴和z轴只能 选择适当的晶棱方向。 z 轴起立， y 轴左右水平， x 轴前后向前下倾斜；
5. 三斜晶系晶体定向
• 没有合适的对称元素可供 选择作为结晶轴。只有选择 3个适当大的晶棱方向，即 选择3个相互间夹角接近于 90度的晶棱方向作为结晶轴。
建立坐标系，简单明确地描述晶体中平面（晶面）、直线 （晶棱及晶列）的空间方位。为研究晶体的结构特性提供 定量标记。
晶体中平行直线簇 —— 晶列
晶体的定向：
在晶体中设置符合晶体对称特征或与晶体点阵参数一 致的坐标系，并将晶体按相应的空间取向关系进行安置。
晶体定向的几个基本概念
（ 1 ）结晶轴：晶体坐标系中的 坐标轴，需满足晶体对称性特 征。用 x 轴、 y 轴、 z 轴或 X 轴、 Y 轴、Z轴表示。
a=b<>c
唯一的L4或Li4为 z 轴; 相互垂直的L2, 或相互
垂直的对称面法线, 或适当的晶棱为 x, y 轴； z 轴直立， y 轴左右水平，x 轴前后水平。
3. 正交（斜方）晶系晶体定向
晶格常数为: a = b = g = 90 °

a<>b<>c
三个相互垂直的L2为 z, x, y 轴; 或L2为z轴, 相互垂直的对称面法线为 x, y 轴 z 轴直立， y 轴左右水平，x 轴前后水平
确定晶面指数4步骤
1）以各晶轴点阵常数为单位，求 晶面与三晶轴的截距m, n, p; 2）取截距之倒数； 3）化为最小整数h，k，l；
4）加以圆括号，即（h k l）。
晶面指数（Indices of Crystallographic Plane）
a/2
3/4c a/2
立方晶格的几种主要晶面标记
六方晶系指数及标定
密布氏晶面指数：
120° 120° • 采用4轴坐标系（a1, a2, a3, c) 。 • a1, a2, a3, 轴共面，轴间夹角120度，垂直C轴; • 晶面指数（h k i l ) 求法与密氏指数相同； • 任一平面的a1, a2, a3晶面指数关系：i= -( h+k )
—— 同族中其它晶面的截距是
的整数倍
的倒数是晶面族中最靠近原点的晶面的截距；
密勒指数 —— 标记这个晶面系 —— 以单胞的基矢为参考， 所得出的晶面的密勒指数， 有着重要的意义。
整数定律（有理指数定律）
• 采用整数定律证明晶面指数都是小的整数。 • 如果以平行于三根不共面晶列（晶棱）的直线作为 坐标轴，则晶体上任意两晶面在三个坐标轴上的对应 截距的系数之比为简单整数比。其倒数之比即为晶面 指数，也是小的整数。
法线
c b O a
邻近两平行晶面间的垂直距离称为 晶面间距； • 从原点作（h k l）晶面的法线； • 法线被最近邻的（h k l）面所交截 的距离即是晶面间距。
•
*
• 立方晶系晶面夹角
晶面夹角 —— 晶面法线之间的夹角
晶面与 晶面的夹角为
• 立方晶系中晶向 [h k l] 与晶面 (h k l) 垂直