第8讲函数与方程最新考纲 1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数； 2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.知识梳理1 •函数的零点(1) 函数的零点的概念对于函数y = f(x)，把使f (x) = 0的实数x叫做函数y = f(x)的零点.(2) 函数的零点与方程的根的关系方程f (x) = 0有实数根？函数y= f (x)的图象与x轴有交点?函数y= f (x)有零点.(3) 零点存在性定理如果函数y = f (x)满足：①在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线；②f (a) - f ( b) v0;则函数y=f(x)在(a, b)上存在零点，即存在c€ (a, b)，使得f(c) = 0，这个c也就是方程f (x) = 0的根.2.二分法(1) 定义：对于在区间［a, b］上连续不断且f (a) • f ( b) v0的函数y = f (x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.(2) 给定精确度&，用二分法求函数f (x)零点近似值的步骤如下：①确定区间［a, b］，验证f(a) - f(b) v 0，给定精确度£；②求区间(a, b)的中点c；③计算f (c)；(i )若f (c) = 0,贝U c就是函数的零点；(ii)若f(a) - f( c) v 0，则令b= c(此时零点x o€ (a, c))；(iii)若f(C) • f(b) V 0，则令a= c(此时零点X o€ (c, b)).④判断是否达到精确度&：即若|a—b| V & ,则得到零点近似值a(或b);否则重复②③④•诊断自测1 . 判断正误(在括号内打“V”或“X”)精彩PPT展示(1) 函数的零点就是函数的图象与X轴的交点.(X)(2) 函数y= f(x)在区间(a, b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a) • f(b) V0.( X)(3) 二次函数y= ax2+ bx+ c( a* 0)在b2- 4ac v 0 时没有零点.(V)⑷只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值. (X)一 6 一2. (2014 •北京卷)已知函数f (x) = X- log 2X.在下列区间中，包含 f (x)零点的区间是X( )A. (0,1)B. (1,2)C. (2,4)D. (4 ,+◎解析由题意知，函数f (x)在(0 ,+^)上为减函数，又f(1) = 6- log 21 = 6>0, f (2)6 3 1 _ r=3 —log 22 = 2> 0, f (4) = 4 —log 24 = —2=—~V 0,由零点存在性定理，可知函数 f (x)在区间(2,4)上必存在零点，故选 C.答案C3. (2014 •湖北七市(州)联考)已知函数f(x)与g( x)的图象在R上连续不断，由下表知方程f (X) = g(x)有实数解的区间是()A.( —1,0)B. (0,1)C. (1,2)D. (2,3)解析记h(x) = f (x) —g(x)，依题意，注意到h(0) v 0, h(1) > 0,因此函数h(x)的零点属于(0,1)，即方程f (x) = g(x)有实数解的区间是(0,1)，故选B.答案B4.(人教A必修1P92A1改编)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是()答案A2x —2, x w 0,5. (2014 •福建卷)函数f(x)= 的零点个数是 ________ .2x —6 + In x, x>0解析当x W0时，由x2—2= 0得x=—2(正根舍去)；当x>0时，f (x) = 2x —6+ Inx 在(0,+s)上为增函数，且f(2) = In 2 —2v 0, f(3) = In 3 > 0,所以f(x)在(0 ,+^) 上有且只有一个零点，综上可知f(x)的零点个数为2.答案2考点一函数零点的判断与求解【例1】(1)(2014 •唐山一模)设f(x) = e x+ x —4,则函数f(x)的零点位于区间()A. ( —1,0)B. (0,1)C. (1,2)D. (2,3)(2)(2014 •湖北卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f (x) = x2—3x.则函数g(x) = f(x) —x+ 3的零点的集合为()A. {1,3}B. { —3, —1,1,3}C. {2 —7, 1,3}D. { —2 —7, 1,3}解析(1) T f (x) = e x+ x —4,••• f'(x) = e x+ 1 >0，二函数f(x)在R 上单调递增，对—1 —1于 A 项，f( —1) = e + ( —1) —4=—5+ e v 0, f(0) =—3v 0, f( —1)f(0) > 0, A 不正确；同理可验证B, D 不正确，对于 C 项，T f(1) = e + 1 —4= e— 3 v 0, f(2) = e2+ 2 — 4 = e —2>0, f(1) f (2) v0.故f (x)的零点位于区间(1,2).2 2(2)当x>0 时，f (x) = x —3x,令g(x) = x —3x—x+ 3 = 0,得X1 = 3, X2 = 1.2当x v0 时，一x> 0,…f( —x) = ( —x) —3( —x),2 2• —f (x) = x + 3x,「. f (x) =—x —3x.人2令g(x) =—x —3x—x + 3= 0,得X3= —2—.7, X4=—2+ 7>0(舍)，•函数g(x) = f(x) —x + 3的零点的集合是{ —2—7, 1,3}，故选D.答案(1)C (2)D规律方法(1)确定函数的零点所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为确定区间两端点对应的函数值的符号是否相反. (2)根据函数的零点与相应方程根的关系可知，求函数的零点与求相应方程的根是等价的. 对于求方程f(x) = g(x)的根，可以构造函数F( x)=f (x) —g(x)，函数F(x)的零点即方程f (x) = g(x)的根.x2 - 1, x w 1,【训练1】(2015 •莱芜一模)已知函数f(x)= 贝U函数f(x)的零1 + log 2X, x > 1,点为()1A.—, 0B.—2,021C・2 D 0解析当x wi 时，由f (x) = 2x— 1 = 0,解得x= 0;当x> 1 时，由f(x) = 1 + log 2X= 0, 1解得x= 2又因为x> 1,所以此时方程无解•综上，函数f(x)的零点只有0.答案D考点二根据函数零点的存在情况，求参数的值22 e【例2] 已知函数f(x) = —x + 2e x+ m—1, g(x) = x+ —(x> 0).x(1) 若y= g(x) —m有零点，求m的取值范围；(2) 确定m的取值范围，使得g(x) —f (x) = 0有两个相异实根.2解(1)法一•/ g(x) = x+ 乞>2 e2= 2e,x等号成立的条件是x = e,故g(x)的值域是[2e ,+s)，因而只需2e,贝U y= g(x) —m就有零点.2e法二作出g(x) = x +—(x>0)的大致图象如图1.x可知若使y = g(x) —m有零点，则只需m>2e.⑵若g(x) —f (x) = 0有两个相异实根，即y = g(x)与y = f (x)的图象有两个不同的交点,2e 2在同一坐标系中，作出g(x) = x+ —(X > 0)与f(x) =- x + 2e x + m-1的大致图象如图X2.图22••• f(x) = - x—(x —e) + m— 1 + e .•••其图象的对称轴为x = e,开口向下，最大值为m — 1 + e .故当 m — 1 + e 2>2e , 即卩 m >— e 2+ 2e +1 时，y = g (x )与 y = f (x )有两个交点，即 g (x )—f (x ) = 0有两个相异实根.2• m 的取值范围是(一e + 2e + 1,+^).规律方法 函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围， 若方程不易解或不可解， 则将问题转化为构造两个函数， 利用两个函 数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用.x 2【训练2】(1)函数f (x ) = 2 — - — a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围x是() A. (1,3) B. (1,2) C. (0,3)D. (0,2)—|2 — 1| , x v 2,⑵(2014 •太原模拟)已知函数f (x ) =3x -1, x 》2，若方程f (x ) — a = 0有二个不同的实数根，则实数 a 的取值范围是()A. (1,3) c. (0,2)解析 ⑴ 因为函数f (x )= 2x -£— a 在区间(1,2)上单调递增，又函数 f (x )= 2x -X — az\.z\.的一个零点在区间(1,2)内，则有 f (1) • f (2) v 0，所以(一a )(4 — 1 — a ) V 0,即卩 a ( a — 3) v 0.所以 0 v a v 3.(2)画出函数f (x )的图象如图所示，B. (0,3) D. (0,1)观察图象可知，若方程 f (x) —a= 0有三个不同的实数根，则函数y = f(x)的图象与直线y= a有3个不同的交点，此时需满足0v a v 1，故选D.答案(1)C (2)D考点三与二次函数有关的零点问题_ 2【例3】是否存在这样的实数a,使函数f (x) = x + (3a—2)x+ a—1在区间［—1,3］上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.2 2 8 2 8解令f(x) = 0,贝U △= (3 a—2) —4( a—1) = 9a —16a+ 8= 9 a—- + 9>0 恒成立，即f (x) = 0有两个不相等的实数根，•••若实数a满足条件，则只需f( —1) • f(3) <0即可.f( —1) • f(3) = (1 —3a+ 2 + a—1) • (9 + 9a—6+ a —1) = 4(1 —a)(5 a+1)<0, • a< —1或a> 1.5检验：(1)当f (—1) = 0 时，a= 1,所以f (x) = x2+ x.令f (x) = 0，即x + x= 0，得x= 0 或x=— 1.方程在［—1,3］上有两个实数根，不合题意，故a z 1.(2)当f(3) = 0 时，a=—5,此时f(x) = x2—£x—g.5 52 13 6令f (x) = 0，即x —x—三=0,5 52解得x=—二或x= 3.5方程在［—1,3］上有两个实数根，1不合题意，故—二.51综上所述，a的取值范围是 5 U (1 ,+^).规律方法解决与二次函数有关的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组.【训练3】已知f (x) = x2+ (a2—1)x + (a—2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围.2 2解法一设方程x + (a —1)x+ (a —2) = 0 的两根分别为X1,X2(X1<X2)，则(x— 1)(x2—1) v 0,• •• X1X2—(X1+ X2)+ 1 v 0,由根与系数的关系，得(a —2) + (a2—1) + 1V 0,即a + a—2v 0,…一2v a v 1.法二函数图象大致如图，则有f(1) v 0,2即 1 + (a —1) + a—2 v 0 ,• —2 v a v 1.故实数a的取值范围是(一2,1).课堂总结想归绷感悟提升［思想方法］1 •判定函数零点的常用方法有：(1)零点存在性定理；(2)数形结合；(3)解方程f(x) = 0.2. 研究方程f(x) = g(x)的解，实质就是研究Gx) = f(x) —g(x)的零点.3•转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题.［易错防范］1. 函数f (x)的零点是一个实数，是方程f(x) = 0的根，也是函数y = f(x)的图象与x 轴交点的横坐标.2. 函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1. (2014 •青岛统一检测)函数f (x) = 2x+ x3—2在区间(0,2)内的零点个数是()A. 0B. 1C. 2D. 3解析因为函数y = 2x, y= x3在R上均为增函数，故函数 f (x) = 2x+ x3—2在R上为增x 3函数，又f(0) v 0, f (2) > 0,故函数f(x) = 2 + x —2在区间(0,2)内只有一个零点，故选B.答案B12. (2015 •西安五校联考)函数y= ln( x + 1)与y = -的图象交点的横坐标所在区间为X( )A. (0,1)B. (1,2)B. (2,3) D. (3,4)1 一1 解析函数y= ln( x + 1)与y = x的图象交点的横坐标，即为函数f (x) = ln( x + 1) -x的z\. z\.1零点，••• f(x)在(0 ,+s)上为增函数，且f(1) = In 2 —1v 0, f(2) = In 3 —-> 0,「. f (x)的零点所在区间为(1,2).答案B3. (2015 •长沙模拟)若a v b v c,则函数f (x) = (x—a)( x —b) + (x —b)( x —c) + (x —c)( x —a)的两个零点分别位于区间()A. (a, b)和(b, c)内B. ( —g, a)和(a, b)内C. (b, c)和(c,+g)内D. ( —g, a)和(c,+ )内解析依题意，注意到 f (a) = (a—b)( a —c) >0, f (b) = ( b —c)•( b—a) v 0, f(c)=(c—b)( c —a) >0，因此由零点的存在性定理知函数 f (x)的零点位于区间(a,b)和(b, c) 内,故选A.答案A4. (2014 •昆明三中、玉溪一中统考)若函数f (x) =3ax+ 1 —2a在区间(一1,1)内存在一个零点，则a的取值范围是()1A. 5,+gB. ( —g,—1) U1-kg5’十C. -1, 5解析当a= 0时，f (x) = 1与x轴无交点，不合题意，所以a^0；函数f (x) = 3ax+ 1—2a在区间(一1,1)内是单调函数，所以 f ( —1) • f(1) v 0，即(5a—1)( a+ 1) > 0,解得a 1v-1或a>5.答案BD. ( —g, —1)则X1 , X2 , X3的大小关系是()5. 已知函数f (x) = x+ 2x, g(x) = x+ ln x, h(x) = x —_ x— 1 的零点分别为X1, X2, X3,A. X2V X i v X3B. X i v X2V X3C. X i v X3< X2D. X3< X2V X i解析依据零点的意义，转化为函数y = X分别和y = —2, y=—In X , y=』x+1的交点的横坐标大小问题，作出草图，易得X i V 0 V X2V 1 V X3.答案B二、填空题6. (2015 •淄博期末)函数f(x) = X—ln( X + 1) —1的零点个数是 _________ .解析函数f (X) = X —In( X+ 1) —1的零点个数，即为函数y = In( X+ 1)与y = X— 1图象的交点个数.在同一坐标系内分别作出函数y= ln( X + 1)与y= X —1的图象，如图，由图可知函数f(x) = X—In( x+ 1) —1的零点个数是2.答案27. _____________________________________________________________________ 函数f (X) = 3X— 7+ In X的零点位于区间(n, n +1)( n€ N)内，贝U n = ____________________ .解析求函数f(x) = 3X— 7 + In X的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，女口f(2) =—1+ In 2，由于In 2 v In e = 1,所以f (2) v 0, f(3) = 2+ In 3，由于In 3 > 1, 所以f(3) >0，所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内，故n= 2.答案22X— 1 , X> 0,&已知函数f (X) = 2若函数g(x) = f(x) —m有3个零点，则实数—X —2X,X< 0,m的取值范围是_________ .2x—1, x > 0, 解析画出f(X)= 2 的图象，如图.—x —2x, x<0由函数g(x) = f(x) —m有3个零点，结合图象得：O v m< 1，即m€ (0,1).答案(0,1)三、解答题9•若关于x的方程22x+ 2x a+ a+ 1 = 0有实根，求实数a的取值范围.解法一(换元法)x 2设t = 2 ( t>0)，则原方程可变为t + at + a+ 1= 0, (*)原方程有实根，即方程(*)有正根.令f (t) = t2+ at + a+ 1.①若方程(*)有两个正实根t1, t2,2 A = a —4 a+1 > 0,贝U 11 +12=—a>0, 解得一1<a<2—2-*2 ；11 • 12= a+1>0,②若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根，不合题意，舍去)，则f(0) = a+ 1<0, 解得a<—1；③当a=—1时，t = 1, x= 0符合题意.综上，a的取值范围是(一R, 2—2 ,.;2].法二(分离变量法)，、一一22x+1 、一. _x .由方程，解得a=— + 1，设t = 2 ( t >0),t2+ 1 丄 2 丄 2则a=—F+7=—t+ R—1=2—t +1 +市，2 _ _其中t + 1>1，由基本不等式，得(t + 1) + 沖/2，当且仅当t = ； 2- 1时取等号, 故 a w 2- 2 2综上，a 的取值范围是(一汽2-2 ,-'2].10. 已知关于x 的二次方程x + 2mx + 2讨1 = 0有两根，其中一根在区间(—1,0)内， 另一根在区间(1,2)内，求m 的范围.解 由条件，抛物线f (x ) = x 2 + 2mx+ 2m+ 1与x 轴的交点分别在区间(一1,0)和(1,2) 内，如图所示，故m 的取值范围是能力提升题组 (建议用时：25分钟)11. (2014 •合肥检测)若函数f (x ) = ax 2 — x — 1有且仅有一个零点，则实数 a 的取值为A. 0n <—,f 0 = 2m+ 1<0,2m€ R,f —1 =2>0, ? 1f 1 = 4讨 2<0, m <—f 2 = 6m^ 5>05 m>—二即—6<m <—2.B.1 得1C. 0 或一匚D. 24解析当a= 0时，函数f(x) = —x- 1为一次函数，则一1是函数的零点，即函数仅有一个零点；当a^0时，函数f(x) = ax2—x—1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程2 “ 1 ax —x—1 = 0有两个相等实根A = 1 + 4a = 0,解得a= — ~.1综上，当a= 0或a=—4时，函数仅有一个零点.答案C12. (2014 •洛阳统一考试)已知方程|x2—a| —x+2 = 0(a>0)有两个不等的实数根，则实数a的取值范围是()A. (0,4)B. (4 ,+^)C. (0,2)D. (2 ,+^)解析依题意，知方程|x2—a| = x —2有两个不等的实数根，即函数y=|x2—a|的图象与函数y = x—2的图象有两个不同交点.如图，贝U a>2，即a>4，选B.答案B13. (2014 •江苏卷)已知f (x)是定义在R上且周期为3的函数，当x€ ［0,3)时，f (x)2 1=| x —2x+ 2|.若函数y= f (x) —a在区间［—3,4］上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是_________解析函数y=f (x) —a在区间［—3,4］上有互不相同的10个零点，即函数y =f(x) , x€ ［—3,4］与y= a的图象有10个不同交点，在坐标系中作出函数f(x)在一个周期内的图象1如图，可知当0v a v 2时满足题意.1答案0, 214. 已知二次函数f(x)的最小值为一4,且关于x的不等式f(x) <0的解集为{x| —K x<3, x€ R}.(1) 求函数f (x)的解析式；f x(2) 求函数g(x) = ---- —4ln x的零点个数.x解(1) ••• f (x)是二次函数，且关于x的不等式f(x) <0的解集为{x| —1< x<3,x € R},•'•f(x) = a(x + 1)( x—3) = ax2—2ax—3a, 且a>0.f (x) min = f (1) =—4a =—4, a= 1.故函数f (x)的解析式为f(x) = x2—2x— 3.x —2x —3 3(2) v g( x) = 一—4ln x = x —一一4ln x—2( x>0),x x当x当0<x时，g(x) g(1) 4<0.1又因为g(x)在(3 ,+s)单调递增，因而g(x)在(3 ,+s)上只有1个零点.故g(x)在(0 , +8 ) 只有 1 个零点 .。
