直线(学案)

小学数学（线段、射线、直线教案）第一篇：小学数学 (线段、射线、直线教案)小学数学（线段、射线、直线教案）一、教案背景1，面向学生：小学2，学科：数学2，课时：1 3，学生课前准备：学生准备直尺二、教学课题：教养方面：1.认识直线、射线和线段。

2.能正确区分直线、射线和线段；掌握它们的联系和区别。

3.会度量线段的长度；会画指定长度的线段。

培养学生动手能力以及良好的空间观念。

教育方面：线段、射线、直线的认识。

及线段、射线、直线的区别与联系三、教材分析：本单元是在初步认识了长方形、正方形、平行四边形、三角形等几种平面图形及角的基础上进行教学的，是进一步学习空间与图形认识的基础。

本单元的主要教学内容是：线段、射线和直线及线段射线和直线的区别及联系。

四、教学方法及教学思路：利用课件，视频等，并创建活动让学生亲身参与，由此来引导学生对问题的思考，并逐步掌握解决问题的关键。

本课的设计内容分为以下几个部分：1、导入设疑，自主学习。

2、小组合作、讨论探究；3、抓住重点、精讲点拨；4、对比拓展；5、巩固新知、当堂检测；6、课堂小结。

五、教学过程：一、导学预习案1、探索活动阅读课本55—56页，你能提出什么问题？你有什么发现？线段、射线、直线有什么区别和联系？2、收获与困惑A、通过预习自学，你学会了什么？B、你的困惑是什么？二、教学案(一)导入设疑、自主学习：师导入：同学们喜欢猜谜语吗？（喜欢）我们先来猜一个谜语：两棵小树十个杈，不长叶子不开花，能写会算还会画，天天干活不说话。

是什么？今天这节课我们就用我们一双灵巧的小手完成我们这节课所要学习的内容。

师：现在老师来检查同学们提前预习的情况。

请同学们看屏幕：画面上展示的是我国自行设计建造的斜拉索大桥。

最后展示的是世界第一的苏通大桥。

这些雄伟的大桥凝聚了无数设计师们的辛勤劳动，小明的爸爸就是这样一名桥梁设计师。

瞧，小明正在和爸爸学画设计图呢，我们一起去看看吧。

（学生仔细观察情境图）师：看了这幅图，你能提出什么问题（二）小组合作、讨论探究、师：根据学生提出的问题，下面就让我们来当一回设计师，以小组为单位，研究怎样画出这幅设计图。

2.2.1直线点斜式方程学习目标核心素养1.了解直线方程的点斜式的推导过程．(难点)2.掌握直线方程的点斜式并会应用．(重点)3.掌握直线方程的斜截式，了解截距的概念．(重点、易错点)通过对直线的点斜式方程的学习，培养逻辑推理、数学运算的数学素养.斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足．若以桥面所在直线为x轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上同一点的直线．已知某一斜拉索过桥塔上一点B，那么该斜拉索位置确定吗？新知初探1．直线的点斜式方程和斜截式方程点斜式斜截式已知条件点P(x0，y0)和斜率k斜率k和直线在y轴上的截距b图示方程形式y－y0＝适用条件斜率存在2．直线在y轴上的截距定义：直线l与y轴的交点(0，b)的.符号：可正，可负，也可为零．初试身手1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线的点斜式方程能表示平面上的所有直线．()(2)y －y 0x －x 0＝k 与y －y 0＝k (x －x 0)都是直线的点斜式方程． ( ) (3)直线的纵截距是直线与y 轴交点的纵坐标．( )2．直线l 的点斜式方程是y －2＝3(x ＋1)，则直线l 的斜率是( ) A ．2 B ．－1 C ．3 D ．－3 3．直线x a 2－yb 2＝1在y 轴上的截距是( )A ．|b |B ．－b 2C ．b 2D ．±b4．过点(2,1)且与直线y ＝3x ＋1平行的直线的点斜式方程为________．题型探究题型一 直线的点斜式方程【例1】 (1)一条直线经过点(2,5)，倾斜角为45°，则这条直线的点斜式方程为________． (2)经过点(－5,2)且平行于y 轴的直线方程为________． 规律方法求直线的点斜式方程的步骤提醒：斜率不存在时，过点P (x 0，y 0)的直线与x 轴垂直，直线上所有点的横坐标相等，都为x 0，故直线方程为x ＝x 0. [跟进训练]1．分别求出经过点P (3,4)，且满足下列条件的直线方程，并画出图形． (1)斜率k ＝2；(2)与x 轴平行；(3)与x 轴垂直．题型二 直线的斜截式方程【例2】 根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y 轴上的截距是5； (2)倾斜角为150°，在y 轴上的截距是－2；(3)倾斜角为60°，与y 轴的交点到坐标原点的距离为3. 规律方法求直线的斜截式方程(1)先求参数k 和b ，再写出斜截式方程．(2)斜率可以是已知的，也可以利用倾斜角来求出，还可以利用平行、垂直关系求出斜率． (3)b 是直线在y 轴上的截距，即直线与y 轴交点的纵坐标，不是交点到原点的距离． [跟进训练]2．已知直线l 的斜率为16，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l 的斜截式方程．题型三 斜截式在两直线平行与垂直中的应用 [探究问题]1．已知l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，若l 1∥l 2，应满足什么条件？若l 1⊥l 2，应满足什么条件？2．一次函数的解析式与直线的斜截式方程y ＝kx ＋b 有什么不同？【例3】 (1)当a 为何值时，直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－2)x ＋2平行？ (2)当a 为何值时，直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直？1．[变结论]本例(1)中l 2恒过哪个定点？过该定点且与l 1平行的直线方程是什么？2．[变结论]在例(2)中a 为何值时，两直线平行？ 已知两直线的斜截式方程，判定两直线平行与垂直 设直线l 1的方程为y ＝k 1x ＋b 1，直线l 2的方程为y ＝k 2x ＋b 2. (1)l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，且b 1≠b 2； (2)l 1与l 2重合⇔k 1＝k 2，且b 1＝b 2； (3)l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.课堂小结1．建立点斜式方程的依据是：直线上任一点与这条直线上一个定点的连线的斜率相同，故有y －y 1x －x 1＝k ，此式是不含点P 1(x 1，y 1)的两条反向射线的方程，必须化为y －y 1＝k (x －x 1)才是整条直线的方程．当直线的斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x ＝x 1. 2．斜截式方程可看作点斜式的特殊情况，表示过点(0，b )、斜率为k 的直线y －b ＝k (x －0)，即y ＝kx ＋b ，其特征是方程等号的一端只是一个y ，其系数是1；等号的另一端是x 的一次式，而不一定是x 的一次函数(k ＝0时)．如y ＝c 是直线的斜截式方程，而2y ＝3x ＋4不是直线的斜截式方程．当堂检测1．倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋1＝02．已知直线的方程是y ＋2＝－x －1，则( ) A ．直线经过点(－1,2)，斜率为－1 B ．直线经过点(2，－1)，斜率为－1 C ．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1D．直线经过点(－2，－1)，斜率为13．已知直线l过点A(2,1)且与直线y－1＝4x－3垂直，则直线l的方程为________．4．无论k取何值时，直线y＝kx＋2k－3所过的定点是________．5．直线l1过点P(－1,2)，斜率为－33，把l1绕点P按顺时针方向旋转30°角得直线l2，求直线l1和l2的方程．参考答案新知初探1．k(x－x0) y＝kx＋b思考：[提示]不能．有斜率的直线才能写成点斜式方程，凡是垂直于x轴的直线，其方程都不能用点斜式表示．2．纵坐标b初试身手1．(1)×(2)×(3)√2．C【解析】由直线的点斜式方程可知直线l的斜率是3.3．B【解析】令x＝0，则y＝－b2.4．y－1＝3(x－2)【解析】y＝3x＋1的斜率为3，∴所求直线的斜率为3，即所求直线方程的点斜式方程为y －1＝3(x－2)．题型探究题型一直线的点斜式方程【例1】(1)y－5＝x－2(2)x＝－5【解析】(1)因为倾斜角为45°，所以斜率k＝tan 45°＝1，所以直线的点斜式方程为y－5＝x－2.(2)因为直线平行于y轴，所以直线不存在斜率，所以方程为x＝－5.提醒：斜率不存在时，过点P(x0，y0)的直线与x轴垂直，直线上所有点的横坐标相等，都为x0，故直线方程为x＝x0.[跟进训练]1．解：(1)由点斜式方程得y－4＝2(x－3)．(2)与x轴平行时，k＝0，∴y－4＝0×(x－3)，即y＝4.(3)与x轴垂直，斜率不存在，方程为x＝3.题型二直线的斜截式方程【例2】解：(1)由直线的斜截式方程可知，所求直线方程为y＝2x＋5.(2)因为倾斜角α＝150°，所以斜率k ＝tan 150°＝－33，由斜截式可得直线方程为y ＝－33x －2.(3)因为直线的倾斜角为60°，所以斜率k ＝tan 60°＝ 3.因为直线与y 轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线在y 轴上的截距b ＝3或b ＝－3，故所求直线的斜截式方程为y ＝3x ＋3或y ＝3x －3. [跟进训练]2．解：设直线方程为y ＝16x ＋b ，则x ＝0时，y ＝b ；y ＝0时，x ＝－6b .由已知可得12·|b |·|－6b |＝3，即6|b |2＝6，∴b ＝±1.故所求直线方程为y ＝16x ＋1或y ＝16x －1.题型三 斜截式在两直线平行与垂直中的应用 [探究问题]1．[提示] k 1＝k 2且b 1≠b 2；k 1·k 2＝－1.2． [提示] 一次函数的x 的系数k ≠0，否则就不是一次函数，而斜截式方程y ＝kx ＋b 中的k 可以是0.【例3】 解：(1)由题意可知，kl 1＝－1，kl 2＝a 2－2，∵l 1∥l 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2＝－1，2a ≠2，解得a ＝－1. 故当a ＝－1时，直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－2)x ＋2平行． (2)由题意可知，kl 1＝2a －1，kl 2＝4，∵l 1⊥l 2，∴4(2a －1)＝－1， 解得a ＝38.故当a ＝38时，直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直．1． 解：在y ＝(a 2－2)x ＋2中，当x ＝0时，y ＝2.故直线l 2恒过定点(0,2)． 当与l 1平行时，斜率k ＝－1.故过(0,2)且与l 1平行的直线方程为y ＝－x ＋2.2． 解：根据平行的条件知，⎩⎪⎨⎪⎧2a －1＝43≠－3，解得a ＝52.即a ＝52时，l 1∥l 2.1． D【解析】α＝135°的斜率k ＝－1，所以方程为y ＝－x －1即x ＋y ＋1＝0.2． C【解析】直线方程y ＋2＝－x －1可化为y －(－2)＝－[x －(－1)]，故直线经过点(－1，－2)，斜率为－1.3． y －1＝－14(x －2)【解析】由条件可知k l ＝－14，∴方程为y －1＝－14(x －2)．4． (－2，－3)【解析】直线方程能化成点斜式方程：y ＋3＝k (x ＋2)， 所以过定点(－2，－3)． 5．解：直线l 1的方程是y －2＝－33(x ＋1)，即3x ＋3y －6＋3＝0. ∵k 1＝－33＝tan α1，∴α1＝150°. 如图，l 1绕点P 按顺时针方向旋转30°，得到直线l 2的倾斜角为α2＝150°－30°＝120°，∴k 2＝tan 120°＝－3，∴l 2的方程为y －2＝－3(x ＋1)，即3x ＋y －2＋3＝0.。

初中直线教案【教学目标】1. 知识与技能：理解直线的定义和特点，能够正确表示直线，并掌握直线的性质。

2. 过程与方法：通过观察、操作和思考，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的耐心和细致观察的习惯。

【教学重点】直线的定义和特点，直线的表示方法。

【教学难点】直线的性质和应用。

【教学过程】一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾已学过的线段、射线的概念和特点。

2. 提问：线段、射线和直线有什么联系和区别？二、探究直线的定义和特点（15分钟）1. 教师展示直线模型，引导学生观察直线的特点。

2. 学生尝试用自己的语言描述直线的特点。

3. 教师总结直线的定义：直线是没有端点的，无限延伸的线段。

4. 学生练习用符号表示直线。

三、直线性质的探究（15分钟）1. 教师提出问题：直线有什么性质？2. 学生通过观察、操作和思考，总结出直线的性质。

3. 教师引导学生用数学语言表达直线的性质。

四、直线的应用（15分钟）1. 教师提出问题：直线在日常生活中有哪些应用？2. 学生举例说明直线在生活中的应用。

3. 教师引导学生运用直线解决实际问题。

五、总结和评价（5分钟）1. 教师引导学生总结本节课所学的内容。

2. 学生分享自己的学习收获。

3. 教师对学生的表现进行评价，给予鼓励和指导。

【教学反思】本节课通过展示直线模型，引导学生观察和描述直线的特点，培养了学生的空间想象能力和语言表达能力。

在探究直线性质的过程中，学生通过观察、操作和思考，总结出直线的性质，提高了学生的逻辑思维能力。

直线在日常生活中的应用环节，使学生感受到了数学与生活的紧密联系，激发了学生的学习兴趣。

整节课学生参与度高，教学效果良好。

但在教学过程中，要注意引导学生用数学语言表达直线的性质，培养学生的数学表达能力。

课堂探究探究一直线方程的点斜式利用点斜式求直线方程的步骤如下:①确定直线要经过的定点(x0,y0）．②明确直线的斜率k．③由点斜式直接写出直线方程．注意：点斜式使用的前提条件是斜率存在；当斜率不存在时，直线没有点斜式方程，其方程为x＝x0．【典型例题1】求满足下列条件的直线的方程：（1)过点P（－4，3)，斜率k＝－2；（2）过点P(2，－5)，且与x轴平行;(3）过点P（3，－1)，且与y轴平行．思路分析：利用直线方程的点斜式及特殊位置的直线表示形式解答．解：（1）直线过点P（－4，3），斜率k＝－2，由点斜式得y－3＝－2(x＋4)，整理得所求方程为2x＋y＋5＝0．(2）直线过点P（2，－5)，且与x轴平行，则斜率k＝0，故所求直线方程为y＋5＝0(x－2)，即y＝－5．（3)直线与y轴平行，说明斜率不存在，又因为直线过点P(3,－1)，所以直线的方程为x＝3．探究二直线方程的斜截式(1)由直线斜截式方程的推导过程可以看出,在点斜式中若点P(x0,y0）为直线l与y轴的交点，得到的直线方程即为斜截式,因此斜截式为点斜式的特殊情况．（2）直线与x轴垂直时,斜率不存在,不能用直线方程的斜截式表示．因此，斜截式方程不能表示与x轴垂直的直线．（3）斜截式方程y＝kx＋b的特点：左端y的系数恒为1，右端x的系数k和常数项b均有明显的几何意义，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，截距实质上为直线与y轴交点的纵坐标，直线与y轴的交点与原点的距离为｜b｜．【典型例题2】(1）写出直线斜率为－1，在y轴上截距为－2的直线的斜截式方程；的直线的斜截式方程；(2）求过点A(6，－4），斜率为－43（3）已知直线l的方程为2x＋y－1＝0，求直线的斜率、在y 轴上的截距以及与y轴交点的坐标．解：(1）易知k＝－1，b＝－2，故直线的斜截式方程为y＝－x －2．(2）由于直线的斜率k ＝－43，且过点A （6,－4),根据直线的点斜式方程得直线方程为y ＋4＝－43 (x －6)，化成斜截式为y ＝－43x ＋4．（3)直线方程2x ＋y －1＝0可化为y ＝－2x ＋1，由直线的斜截式方程知:直线的斜率k ＝－2,在y 轴上的截距b ＝1，直线与y 轴交点的坐标为(0，1）．探究三 直线方程的两点式（1）当直线斜率不存在(x 1＝x 2）或斜率为0(y 1＝y 2)时，不能用两点式求出它的方程，若x 1＝x 2，y 1≠y 2，则直线方程为x －x 1＝0；若y 1＝y 2,x 1≠x 2，则直线方程为y －y 1＝0．（2)直线方程的两点式不能表示与坐标轴垂直的两类直线．若变形为(x 2－x 1）(y －y 1）＝(y 2－y 1）(x －x 1),此时可表示过任意两点的直线的方程．【典型例题3】 (1)求过两点(2，－5)和(－2,3)的直线的两点式方程；(2)求过两点A (0,0)，B （1，1）的直线方程．解：（1)由直线的两点式方程得所求直线的方程为(5)3(5)y ----＝222x ---，即58y +＝24x --．（2）由直线的两点式方程得直线AB 的方程为010y --＝010x --，即y ＝x ，也就是x －y ＝0．探究四 直线方程的截距式对直线的截距式方程应注意以下几点: ①在方程x a ＋y b＝1中，要求a ≠0，b ≠0,即两个截距都不为0,因此它不能表示过坐标原点或平行于x 轴、y 轴的直线．②当题目条件中涉及截距相等或互为相反数时，若选用截距式来求解,注意截距都为0，即直线过原点这种情况．【典型例题4】 在x ,y 轴上的截距分别是－3，4的直线方程是( ）A ．4x ＋3y －12＝0B ．4x －3y ＋12＝0C ．4x ＋3y －1＝0D ．4x －3y ＋1＝0解析：根据直线方程的截距式写出直线方程3x -＋4y ＝1,化简得4x－3y ＋12＝0，故选B ．答案:B探究五 直线方程的一般式（1）直线的一般式方程与其他四种形式的转化：（2)当直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C满足下列条件时，直线Ax＋By＋C＝0有如下性质：①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交;②当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y 轴平行，与x轴垂直;③当A＝0,B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直；④当A＝0,B≠0,C＝0时，直线与x轴重合;⑤当A≠0，B＝0，C＝0时,直线与y轴重合．【典型例题5】设直线l的方程为（a＋1）x＋y＋2－a＝0（a ∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等,求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．思路分析：(1）从截距的定义入手,因方程中含有变量a，故需要对截距进行分类讨论．(2）中涉及图象过象限问题，可将方程转化为斜截式，从斜率和截距两方面进行综合考虑．解：（1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零,当然相等．所以a ＝2，直线l 的方程即3x ＋y ＝0．当a ≠2时,截距存在且均不为0, 所以21a a -+＝a －2，即a ＋1＝1， 所以a ＝0，直线l 的方程为x ＋y ＋2＝0．（2）将l 的方程化为y ＝－（a ＋1）x ＋a －2,则(1)0,20a a -+>⎧⎨-≤⎩或(1)0,20a a -+=⎧⎨-≤⎩所以a ≤－1． 综上所述,a 的取值范围是a ≤－1．点评 对于与截距有关的问题,一定要注意截距为0的特殊情况，再者对直线方程的一般式往往根据需要将其转化为点斜式、斜截式等形式．探究六 易错辨析易错点：忽视截距为零的情况而致误【典型例题6】 求经过点P (2,3），并且在两坐标轴上截距相等的直线l 的方程．错解：设直线方程为x a ＋y a＝1， 将x ＝2，y ＝3代入， 得2a ＋3a＝1，解得a ＝5． 故所求的直线方程为x ＋y －5＝0．错因分析：忘记截距为0的情况，而导致丢解．正解1：(1）当截距为0时,直线l 过点(0，0）,（2，3)，所以直线l 的斜率为k ＝3020--＝32， 所以直线l 的方程为y ＝32x ， 即3x －2y ＝0．（2)当截距不为0时，可设直线l 的方程为x a ＋y a＝1． 因为直线l 过点P (2,3)， 所以2a ＋3a＝1，所以a ＝5． 所以直线l 的方程为x ＋y －5＝0．综上可知，直线l 的方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0．正解2：由题意知,直线l 的斜率存在，且不为0．设直线方程为y －3＝k （x －2),且k ≠0．令x ＝0，则y ＝3－2k ；令y ＝0，则x ＝2－3k． 由题意，知3－2k ＝2－3k ，解得k ＝32或k ＝－1．故满足条件的直线方程是y－3＝3（x－2）或y－3＝－(x－2)，2即3x－2y＝0或x＋y－5＝0．。