高考数学一轮复习 2.2.1 函数的单调性(二)备考练习 苏教版

函数的最值练习1．下列函数中，在(0,2)上为增函数的是__________．①y ＝－3x ＋1；②y ＝|x ＋2|；③4y x＝；④y ＝x 2－4x ＋3． 2．函数f (x )＝|x －2|－2在区间［0,3］上有最小值__________，最大值__________．3．设f (x )＞0是定义在区间D 上的单调递减函数，则下列函数：①y ＝3－f (x )；②2=1+()y f x ；③y ＝［f (x )］2；④=1y __________． 4．若函数f (x )＝x 2－ax ＋3在区间［1,3］上有最小值－1，则a 的值为__________．5．函数f (x )＝x 4＋2x 2－1的最小值是__________．6．函数2()=k f x x-在区间［1,3］上有最大值3，则k ＝__________． 7．已知定义域为(0，＋∞)的函数f (x )＝ax 2＋1(a ＜0)，求满足f (x )＜f (2－x )的x 的取值范围是__________．8．对任意函数f (x )，g (x )在公共定义域内，规定f (x )g (x )＝min{f (x )，g (x )}，若f (x )＝3－x ，g (x )f (x )g (x )的最大值为______． 9．求证：函数y ＝f (x )＝x 2＋21x 在(0，＋∞)上的最小值为2． 10．设x ∈R ，求函数y ＝2|x －1|－3|x |的最大值．11．设a 为实数，函数f (x )＝2x 2＋(x －a )|x －a |．(1)若f (0)≥1，求a 的取值范围；(2)求f (x )的最小值．12．对于定义域为D 的函数y ＝f (x )，若同时满足下列条件：①f (x )在D 内单调递增或单调递减；②存在区间［a ，b ］D ，使f (x )在［a ，b ］上的值域为［a ，b ］，那么把y ＝f (x )(x ∈D )叫闭函数．(1)求闭函数y ＝－x 3符合条件②的区间［a ，b ］．(2)判断函数31()=4f x x x+(x ＞0)是否为闭函数？并说明理由．参考答案1．答案：②2．答案：－2 03．答案：34．答案：45．答案：－16．答案：57．答案：(1,2)8．答案：19．证明：任取x 1，x 2∈(0,1］，且x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0，x 1＋x 2＞0,0＜2212x x ＜1，22121x x ＞1， ∴1－22121x x ＜0． 2121()()f x f x x x --＝1x 2－x 12221222111()x x x x -+- ＝211x x -2221()x x -22211(1)x x - ＝(x 2＋x 1)22211(1)x x -＜0， ∴f (x 2)＜f (x 1)．∴f (x )在(0,1］上是单调减函数．同理可得f (x )在［1，＋∞)上是单调增函数．故f (x )在(0，＋∞)上的最小值为f (1)＝2．10．解法一：去掉绝对值符号后可得：2,1,52,01,2,0,x x y x x x x --≥⎧⎪=-+≤<⎨⎪+<⎩故可得图象如下图．由图可知当x ＝0时，y ma x ＝2．解法二：当x ≥1时，y ≤－3；当0≤x ＜1时，－3＜y ≤2；当x ＜0时，y ＜2．从而可得当x ＝0时，y ma x ＝2．11．解：(1)若f (0)≥1，则－a|a|≥1⇒20, 1a a <⎧⎨≥⎩⇒a≤－1．(2)当x≥a时，f(x)＝3x2－2ax＋a2，f(x)min＝(),0,03f a aaf a≥⎧⎪⎨⎛⎫<⎪⎪⎝⎭⎩＝222,0,2,0,3a aaa⎧≥⎪⎨<⎪⎩当x＜a时，f(x)＝x2＋2ax－a2，f(x)min＝(),0()0f a af a a-≥⎧⎨<⎩＝222,0,2,0,a aa a⎧-≥⎨<⎩综上，f(x)min＝222,0,2,0. 3a aaa⎧-≥⎪⎨<⎪⎩12．解：(1)由题意，y＝－x3在［a，b］上递减，则33,,,b aa bb a⎧=-⎪=-⎨⎪>⎩解得1,1.ab=-⎧⎨=⎩所以，所求的区间为［－1,1］．(2)取x1＝1，x2＝10，则f(x1)＝74＜7610＝f(x2)，即f(x)不是(0，＋∞)上的减函数．取x1＝110，x2＝1100，f(x1)＝340＋10＜3400＋100＝f(x2)，即f(x)不是(0，＋∞)上的增函数．所以，函数在定义域内不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数．。

A.
B.
C.
D.
答案 :B
解析 :由二次函数 y=x2-3x+ 2 的对称轴为 x=且开口向上 ,所以单调减区间为 .
3.下列函数为增函数的是 ( ).
A.f (x)= (x> 0)
B.f(x)=-
C.f (x)=-x+
D. f (x)= 1+
答案 :D
解析 :由题可知函数 f (x)= 1+ 的定义域为 [0,+ ∞),所以在区间 [0,+ ∞)上为增函数 .
》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《 《《《《《《《《《《《
2.2.1 函数的单调性
第 1 课时 函数的单调性
1.(2016湖北枣阳白水高中高一月考 有> 0 成立 ,则必有 ( ). A.f (x)在 R 上是增函数 B.f (x)在 R 上是减函数 C.函数 f(x)是先 增后减 D.函数 f(x)是先减后增
)若定义在 R 上的函数 f(x)对任意两个不相等的实数
a,b,总
答案 :A
解析 :由 > 0 知 f( a)-f(b)与 a-b 同号 ,即当 a<b 时 ,f (a)<f (b),或当 a>b 时 ,f(a)>f (b),所以 f(x)在 R 上是
增函数 . 2.函数 y=x2-3x+ 2 的单调减区间是 ( ).
答案 :>
解析 :因为 a+b>0,所以 a>-b 或 b>-a.
又因为原函数为增函数 ,所以有 f (a)>f (-b),f(b)>f (-a).
所以两式相加 ,得到 f (a)+f (b)>f (-a)+f (-b).

第5课函数的单调性与最值[最新考纲]内容要求A B C函数的单调性√函数的最值√1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I⊆A，如果对于区间I内的任意两个值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，区间I叫作y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M是y＝f(x)的最大值M是y＝f(x)的最小值1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对于函数f (x )，x ∈D ，若对任意x 1，x 2∈D ，x 1≠x 2且(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，则函数f (x )在区间D 上是增函数．( )(2)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )(3)函数y ＝|x |是R 上的增函数．( ) (4)所有的单调函数都有最值．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×2．(2016·高考改编)下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是________．(填序号) ①y ＝11－x ；②y ＝cos x ； ③y ＝ln(x ＋1)； ④y ＝2－x.④ [①中，y ＝11－x 在(－∞，1)和(1，＋∞)上为增函数，故y ＝11－x 在(－1,1)上为增函数；②中，y ＝cos x 在(－1,1)上先增后减；③中，y ＝ln(x ＋1)在(－1，＋∞)上为增函数，故y ＝ln(x ＋1)在(－1,1)上为增函数；④中，y ＝2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上为减函数，故y ＝2－x在(－1,1)上是减函数．]3．(教材改编)已知函数f (x )＝2x －1，x ∈[2,6]，则f (x )的最大值为________，最小值为________．2 25 [可判断函数f (x )＝2x －1在[2,6]上为减函数，所以f (x )max ＝f (2)＝2，f (x )min ＝f (6)＝25.]4．设函数f (x )＝x 2－2x ，x ∈[－2，a ]，若函数的最小值为g (a )，则g (a )＝________.⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ，－2<a <1－1，a ≥1 [∵f (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，∴当a ≥1时，函数在[－2,1]上递减，在[－1，a ]上递增，g (a )＝－1.当－2<a <1时，函数在[－2，a ]上递减，∴g (a )＝a 2－2a ，综上可知，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ，－2<a <1，－1，a ≥1.]5．(教材改编)已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a 的取值X 围为________．(－∞，1]∪[2，＋∞) [∵f (x )＝x 2－2ax －3＝(x －a )2－a 2－3， ∴f (x )关于x ＝a 对称．要使y ＝f (x )在区间[1,2]上具有单调性， 只需a ≥2或a ≤1.]函数单调性的判断(1)函数f (x )＝log 2(x 2－1)的单调递减区间为________． (2)试讨论函数f (x )＝x ＋k x(k ＞0)的单调性．(1)(－∞，－1) [由x 2－1＞0得x ＞1或x ＜－1，即函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．令t ＝x 2－1，因为y ＝log 2t 在t ∈(0，＋∞)上为增函数，t ＝x 2－1在x ∈(－∞，－1)上是减函数，所以函数f (x )＝log 2(x 2－1)的单调递减区间为(－∞，－1)．](2)法一：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．在(0，＋∞)内任取x 1，x 2，令0＜x 1＜x 2，那么f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋k x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋k x 1＝(x 2－x 1)＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－1x 1＝(x 2－x 1)x 1x 2－kx 1x 2.因为0＜x 1＜x 2，所以x 2－x 1＞0，x 1x 2＞0. 故当x 1，x 2∈(k ，＋∞)时，f (x 1)＜f (x 2)， 即函数在(k ，＋∞)上单调递增． 当x 1，x 2∈(0，k )时，f (x 1)＞f (x 2)， 即函数在(0，k )上单调递减．考虑到函数f (x )＝x ＋k x(k ＞0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(－∞，－k )上单调递增，在(－k ，0)上单调递减．综上，函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上单调递增，在(－k ，0)和(0，k )上单调递减．法二：f ′(x )＝1－k x2.令f ′(x )＞0得x 2＞k ，即x ∈(－∞，－k )或x ∈(k ，＋∞)，故函数的单调增区间为(－∞，－k )和(k ，＋∞)．令f ′(x )＜0得x 2＜k ，即x ∈(－k ，0)或x ∈(0，k )，故函数的单调减区间为(－k ，0)和(0，k )．故函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上单调递增，在(－k ，0)和(0，k )上单调递减．[规律方法] 1.利用定义判断或证明函数的单调性时，作差后应注意差式的分解变形要彻底．2．利用导数法证明函数的单调性时，求导运算及导函数符号判断要准确．易错警示：求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如本题(1)． [变式训练1] 讨论函数f (x )＝axx 2－1(a >0)在x ∈(－1,1)上的单调性.【导学号：62172024】[解] 设－1<x 1<x 2<1， 则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1＝ax 1x 22－ax 1－ax 2x 21＋ax 2x 21－1x 22－1＝a x 2－x 1x 1x 2＋1x 21－1x 22－1.∵－1<x 1<x 2<1，a >0，∴x 2－x 1>0，x 1x 2＋1>0，(x 21－1)(x 22－1)>0. ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 故函数f (x )在(－1,1)上为减函数.利用函数的单调性求最值已知f (x )＝x 2＋2x ＋ax，x ∈[1，＋∞)，且a ≤1.(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试某某数a 的取值X 围．[思路点拨] (1)先判断函数f (x )在[1，＋∞)上的单调性，再求最小值；(2)根据f (x )min＞0求a 的X 围，而求f (x )min 应对a 分类讨论．[解] (1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2，f ′(x )＝1－12x 2＞0，x ∈[1，＋∞)，即f (x )在[1，＋∞)上是增函数，∴f (x )min ＝f (1)＝1＋12×1＋2＝72.(2)f (x )＝x ＋ax＋2，x ∈[1，＋∞)．法一：①当a ≤0时，f (x )在[1，＋∞)内为增函数．f (x )min ＝f (1)＝a ＋3.要使f (x )＞0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，只需a ＋3＞0， ∴－3＜a ≤0.②当0＜a ≤1时，f (x )在[1，＋∞)内为增函数，f (x )min ＝f (1)＝a ＋3，∴a ＋3＞0，a ＞－3，∴0＜a ≤1.综上所述，f (x )在[1，＋∞)上恒大于零时，a 的取值X 围是(－3,1]． 法二：f (x )＝x ＋a x＋2＞0，∵x ≥1，∴x 2＋2x ＋a ＞0，∴a ＞－(x 2＋2x )，而－(x 2＋2x )在x ＝1时取得最大值－3，∴－3＜a ≤1，即a 的取值X 围为(－3,1]．[规律方法] 利用函数的单调性求最值是求函数最值的重要方法，若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上是增函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (b )，最小值为f (a )．请思考，若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上是减函数呢？ [变式训练2] (2016·高考)函数f (x )＝xx －1(x ≥2)的最大值为________．2 [法一：∵f ′(x )＝－1x －12，∴x ≥2时，f ′(x )＜0恒成立，∴f (x )在[2，＋∞)上单调递减，∴f (x )在[2，＋∞)上的最大值为f (2)＝2. 法二：∵f (x )＝xx －1＝x －1＋1x －1＝1＋1x －1， ∴f (x )的图象是将y ＝1x的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的．∵y ＝1x在[2，＋∞)上单调递减，∴f (x )在[2，＋∞)上单调递减，故f (x )在[2，＋∞)上的最大值为f (2)＝2.法三：由题意可得f (x )＝1＋1x －1. ∵x ≥2，∴x －1≥1，∴0＜1x －1≤1， ∴1＜1＋1x －1≤2，即1＜x x －1≤2. 故f (x )在[2，＋∞)上的最大值为2.]函数单调性的应用☞角度1 比较大小设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是________.【导学号：62172025】b <a <c [因为函数y ＝0.6x 是减函数，0<0.6<1.5，所以1>0.60.6>0.61.5，即b <a <1.因为函数y ＝x 0.6在(0，＋∞)上是增函数，1<1.5，所以1.50.6>10.6＝1，即c >1.综上，b <a <c .]☞角度2 解不等式已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则不等式f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的解集是________． ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，2x －1＜13，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，x ＜23，所以12≤x ＜23.]☞角度3 求参数的取值X 围(1)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值X 围是________．(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2x －1，x ≤1，log a x ，x ＞1，若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值X 围为________．(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0 (2)(2,3] [(1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增， 所以a ＜0，且－1a ≥4，解得－14≤a ＜0.综上所述，实数a 的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0.(2)要使函数f (x )在R 上单调递增，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a －2＞0，f 1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a ＞2，a －2－1≤0，解得2＜a≤3，即实数a的取值X围是(2,3]．][规律方法] 1.比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．2．解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．3．利用单调性求参数．视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．易错警示：(1)若函数在区间[a，b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．[思想与方法]1．判断函数单调性的四种方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论．(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时为增函数，不同时为减函数．(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性判断函数单调性．(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性． 2．求函数最值的常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值． [易错与防X]1．易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．2．分段函数单调性不仅要考虑各段的单调性，还要注意衔接点．3．函数在两个不同的区间上单调性相同，要分开写，用“，”隔开，不能用“∪”连结．课时分层训练(五) A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、填空题1．函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，则k 的取值X 围是________.【导学号：62172026】⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12 [由题意知2k ＋1＜0，得k ＜－12.] 2．给定函数：①y ＝x ；②y ＝log 12(x ＋1)；③y ＝|x －1|；④y ＝2x ＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是________．②③ [①y ＝x 在区间(0,1)上单调递增；②y ＝log 12(x ＋1)在区间(0,1)上单调递减；③y ＝|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥1，1－x ，x <1，在区间(0,1)上单调递减；④y ＝2x ＋1在区间(0,1)上单调递增．]3．已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值X 围是________. 【导学号：62172027】(－∞，1] [函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，x ≥－a ，－x －a ，x <－a ，即函数f (x )在(－∞，－a )上是减函数，在[－a ，＋∞)上是增函数，要使函数f (x )在(－∞，－1)上单调递减，则－a ≥－1，即a ≤1.]4．函数f (x )＝2xx ＋1在[1,2]上的最大值和最小值分别是________．43，1 [f (x )＝2x x ＋1＝2x ＋1－2x ＋1＝2－2x ＋1在[1,2]上是增函数，∴f (x )max ＝f (2)＝43，f (x )min ＝f (1)＝1.]5．设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值X 围为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 [由已知得函数f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (|x |)， 由f (x )>f (2x －1)，可得f (|x |)>f (|2x －1|)． 当x >0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2，因为y ＝ln(1＋x )与y ＝－11＋x2在(0，＋∞)上都单调递增，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．由f (|x |)>f (|2x －1|)，可得|x |>|2x －1|，两边平方可得x 2>(2x －1)2，整理得3x 2－4x ＋1<0，解得13<x <1.所以符合题意的x 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.] 6．函数f (x )＝－(x －3)|x |的递增区间是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32 [f (x )＝－(x －3)|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x ，x ＞0，x 2－3x ，x ≤0.作出该函数的图象，观察图象知递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32.]7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥1，2x ，x <1的值域为________．(－∞，2) [当x ≥1时，f (x )＝log 12x ≤log 121＝0.当x <1时，f (x )＝2x∈(0,2)， ∴f (x )的值域为(－∞，2)．]8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2x ，x ≥2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1，x <2，满足对任意的实数x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值X 围为________．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，138 [由f x 1－f x 2x 1－x 2<0可知f (x )在R 上是减函数，故⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1≥2a －2，解得a ≤138.]9．已知函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为________. 【导学号：62172028】b <a <c [∵y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52. 又2<52<3，且f (x )在(1，＋∞)上单调递增，∴f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (3)， ∴f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<f (3)， 即b <a <c .]10．f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，则不等式f (x )＋f (x －8)≤2的解集为________．(8,9] [因为2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2可得f [x (x －8)]≤f (9)，f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x －8>0，x x －8≤9，解得8<x ≤9.]二、解答题11．(2017·某某模拟)已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)，(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值． [解] (1)证明：任取x 1>x 2>0，则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2，∵x 1>x 2>0，∴x 1－x 2>0，x 1x 2>0，∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)由(1)可知f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上为增函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1a －2＝12，f (2)＝1a －12＝2，解得a ＝25.12．已知f (x )＝xx －a (x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值X 围.【导学号：62172029】[解] (1)证明：设x 1＜x 2＜－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2 ＝2x 1－x 2x 1＋2x 2＋2. ∵(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0，∴f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增．(2)f (x )＝xx －a ＝x －a ＋a x －a ＝1＋a x －a ， 当a ＞0时，f (x )在(－∞，a )，(a ，＋∞)上是减函数，又f (x )在(1，＋∞)内单调递减，∴0＜a ≤1，故实数a 的取值X 围是(0,1]．B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于________．6 [由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2. ∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数，∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.]2．(2017·某某模拟)已知函数y ＝log 12(x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2]上是增函数，则实数a 的取值X 围是________．[22，22＋2) [设y ＝log 12t ，t ＝x 2－ax ＋a . 因为y ＝log 12t 在(0，＋∞)上是单调减函数，要想满足题意，则t ＝x 2－ax ＋a 在(－∞，2]上为单调减函数，且t min >0，故需⎩⎪⎨⎪⎧ a 2≥2，22－2a ＋a >0，解得22≤a <2＋2 2.] 3．规定符号“*”表示一种两个正实数之间的运算，即a *b ＝ab ＋a ＋b ，a ，b 是正实数，已知1*k =3，求函数f （x ）=k *x 的值域.[解] 由题意知1]k )＋1＋k ＝3，解得k ＝1或k ＝－2(舍去)，所以f (x )＝k *x ＝1]x )＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34，因为x ＞0，所以f (x )＞1，即f (x )的值域是(1，＋∞)．4．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值．[解] (1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，当x >1时，f (x )<0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)∵f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数，∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)． 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫93＝f (9)－f (3)， 而f (3)＝－1，∴f (9)＝－2.∴f (x )在[2,9]上的最小值为－2.。

2.3 函数的单调性与最值一、填空题1．函数f (x )＝log 2(x 2－4x －5)的单调增区间为________．解析 由题意知x 2－4x －5>0，解得x <－1或x >5，即函数f (x )＝log 2(x 2－4x －5)的定义域为(－∞，－1)∪(5，＋∞)，根据外层函数为单调增函数，而内层函数u ＝x 2－4x －5＝(x－2)2－9在(5，＋∞)上单调递增，所以所求函数的单调增区间为(5，＋∞). 答案 (5，＋∞)2．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是________．(填所有正确的编号) ①y ＝－x ＋1；②y ＝x ；③y ＝x 2－4x ＋5；④y ＝2x.解析 y ＝－x ＋1在R 上递减；y ＝x 在R ＋上递增；y ＝x 2－4x ＋5在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，y ＝2x在R ＋上递减．答案 ②3．定义在R 的奇函数f (x )单调递增，且对任意实数a ，b 满足f (a )＋f (b －1)＝0，则a ＋b ＝________.解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x ) ∴f (a )＝－f (b －1)＝f (1－b ) 又∵f (x )单调递增 ∴a ＝1－b 即a ＋b ＝1. 答案 14．若函数f (x )＝x 2＋(a 2－4a ＋1)x ＋2在区间(－∞，1]上是减函数，则a 的取值范围是________．解析 因为f (x )是二次函数且开口向上， 所以要使f (x )在(－∞，1]上是单调递减函数， 则必有－a 2－4a ＋12≥1，即a 2－4a ＋3≤0，解得1≤a ≤3.答案 [1,3]5．下列函数：①y ＝x 3；②y ＝|x |＋1；③y ＝－x 2＋1；④y ＝2－|x |，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数序号是________． 解析 y ＝x 3是奇函数，y ＝－x 2＋1与y ＝2－|x |在(0，＋∞)上是减函数．答案 ②6．已知f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数，且f (x )在(－1,1)上是减函数，不等式f (1－x )＋f (1－x 2)＜0的解集为________．解析 由f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数， 及f (1－x )＋f (1－x 2)＜0得f (1－x )＜－f (1－x 2)．所以f (1－x )＜f (x 2－1)．又因为f (x )在(－1,1)上是减函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＜1－x ＜1，－1＜1－x 2＜1，解得0＜x ＜1.1－x ＞x 2－1.故原不等式的解集为(0,1)． 答案 (0,1)7．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≤0时，y ＝f (x )是减函数，若|x 1|＜|x 2|，则结论：①f (x 1)－f (x 2)＜0；②f (x 1)－f (x 2)＞0；③f (x 1)＋f (x 2)＜0；④f (x 1)＋f (x 2)＞0中成立的是________(填所有正确的编号)．解析 由题意，得f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且f (x 1)＝f (|x 1|)，f (x 2)＝f (|x 2|)，从而由0≤|x 1|＜|x 2|，得f (|x 1|)＜f (|x 2|)，即f (x 1)＜f (x 2)，f (x 1)－f (x 2)＜0，只能①是正确的． 答案 ①8.设a=log 54(b ,=log 253)c ,=log 45,则a ，b ，c 的大小关系是_____．解析 因为0<log 53<log 541<<log 45,所以b<a<c.答案 b<a<c 9．如果对于函数f (x )的定义域内任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)≤f (x 2)且存在两个不相等的自变量m 1，m 2，使得f (m 1)＝f (m 2)，则称为定义域上的不严格的增函数．已知函数g (x )的定义域、值域分别为A ，B ，A ＝{1,2,3}，B ⊆A 且g (x )为定义域A 上的不严格的增函数，那么这样的函数g (x )共有________个．解析 分B 中元素为1个，2个，3个讨论．B 中只有一个元素，此时各有一个函数；B 有两个元素，此时各有两个函数；B 有3个元素时，不合题意．因此共有3＋6＝9个函数． 答案 910．已知函数f (x )＝1－1－x 2，x ∈[0,1]，对于满足0＜x 1＜x 2＜1的任意x 1、x 2，给出下列结论：①(x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]＜0；②x 2f (x 1)＜x 1f (x 2)；③f (x 2)－f (x 1)＞x 2－x 1；④f x 1＋f x 22＞f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22.其中正确结论的序号是________．解析 函数f (x )＝1－1－x 2，x ∈[0,1]的图象如图所示，命题①可等价为⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x 1＞0f x 2＜fx 1，即f (x )在x ∈[0,1]上是单调递增函数，结合图象可知，命题①错误；对于命题②，作差即可知其正确；命题③可变形为f x 2－f x 1x 2－x 1＞1，不等式左端的几何意义是图象上任意两点连线的斜率，由图象知斜率不都大于1，命题③错误；对于命题④，因为图象是凹函数，满足f x 1＋f x 22＞f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，所以命题④正确．答案 ②④11.若函数f (x )=a|x -b|+2在[0),+∞上为增函数,则实数a,b 的取值范围为 . 解析 由f (x )=a|x -b|+2知其图象关于x =b 对称,且在[0),+∞上为增函数,所以00b a ≤,>. 答案 00b a ≤,>12．设y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[－1,0]上是增函数，给出下列关于函数y ＝f (x )的判断：①y ＝f (x )是周期函数；②y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称；③y ＝f (x )在[0,1]上是增函数；④f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0.其中正确判断的序号是________(把你认为正确判断的序号都填上)． 解析 ①由f (x ＋1)＝－f (x )，得f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，即①正确．②由f (1－x )＝－f (－x )＝－f (x )＝f (1＋x )知②正确．③由偶函数在[－1,0]与[0,1]上具有相反的单调性知③不正确．④在f (x ＋1)＝－f (x )中令x ＝－12，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0.答案 ①②④13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x－2，x ≤0，2ax －1，x ＞0(a 是常数且a ＞0)．对于下列命题：①函数f (x )的最小值是－1； ②函数f (x )在R 上是单调函数；③若f (x )＞0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，则a 的取值范围是a ＞1； ④对任意的x 1＜0，x 2＜0且x 1≠x 2，恒有f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f x 1＋f x 22.其中正确命题的序号是__________(写出所有正确命题的序号)． 解析 (数形结合法)根据题意可画出草图， 由图象可知，①显然正确；函数f (x )在R 上不是单调函数，故②错误；若f (x )＞0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 上恒成立，则2a ×12－1＞0，a ＞1，故③正确；由图象可知在(－∞，0)上对任意的x 1＜0，x 2＜0 且x 1≠x 2，恒有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f x 1＋f x 22成立，故④正确． 答案 ①③④【点评】 采用数形结合法.注意本题中的③和④的理解，此题充分体现了数形结合法的直观性与便捷性. 二、解答题14.已知t 为常数,函数y =|22x x t --|在区间[03],上的最大值为2，求t 的值. 解析 显然函数y =|22x x t --|的最大值只能在x =1或x =3时取到,若在x =1时取到,则|1-2-t|=2,得t=1或t=-3. t=1,x =3时,y =2;t=-3,x =3时,y =6(舍去); 若在x =3时取到,则|9-6-t|=2,得t=1或t=5. t=1,x =1时,y =2;t=5,x =1时,y =6(舍去),所以t=1.15. 设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a 、b ∈R )．(1)若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立，求实数a 、b 的值；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围． 解析 (1)∵f (－1)＝0，∴a －b ＋1＝0，即b ＝a ＋1.又对任意实数x 均有f (x )≥0成立，∴a >0且Δ＝b 2－4a ≤0恒成立，即a >0且(a －1)2≤0恒成立，∴a ＝1，b ＝2.(2)由(1)可知f (x )＝x 2＋2x ＋1，∴g (x )＝x 2＋(2－k )x ＋1.∵g (x )在x ∈[－2,2]时是单调函数，∴[－2,2]⊆⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，k －22或[－2,2]⊆⎝ ⎛⎭⎪⎫k －22，＋∞.∴2≤k －22或k －22≤－2，解得k ≥6或k ≤－2，即实数k 的取值范围为(－∞，－2]∪[6，＋∞)．16．已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x ＞0时，f (x )＜0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数．(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．解析 (1)证明 法一 ∵函数f (x )对于任意x ，y ∈R 总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )， ∴令x ＝y ＝0，得f (0)＝0. 再令y ＝－x ，得f (－x )＝－f (x )． 在R 上任取x 1＞x 2，则x 1－x 2＞0，f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1－x 2)．又∵x ＞0时，f (x )＜0，而x 1－x 2＞0，∴f (x 1－x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)． 因此f (x )在R 上是减函数． 法二 设x 1＞x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2＋x 2)－f (x 2) ＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)． 又∵x ＞0时，f (x )＜0，而x 1－x 2＞0， ∴f (x 1－x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， ∴f (x )在R 上为减函数． (2) ∵f (x )在R 上是减函数， ∴f (x )在[－3,3]上也是减函数，∴f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f (－3)与f (3)． 而f (3)＝3f (1)＝－2，f (－3)＝－f (3)＝2. ∴f (x )在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.17．函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明；(3)如果f (4)＝1，f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．解析 (1)令x 1＝x 2＝1，有f (1×1)＝f (1)＋f (1)，解得f (1)＝0.(2)f (x )为偶函数，令x 1＝x 2＝－1，有f [(－1)×(－1)]＝f (－1)＋f (－1)，解得f (－1)＝0令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，即f (－x )＝f (x )． 所以f (x )为偶函数．(3)f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，f (16×4)＝f (16)＋f (4)＝3. 所以f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3即f [(3x ＋1)(2x －6)]≤f (64)① 因为f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以①等价于不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋12x －6＞0，3x ＋12x －6≤64，或⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋12x －6＜0，－3x ＋12x －6≤64.⎩⎪⎨⎪⎧x ＞3或x ＜－13，－73≤x ≤5，或⎩⎪⎨⎪⎧－13＜x ＜3，x ∈R ，所以3＜x ≤5或－73≤x ＜－13或－13＜x ＜3.故x 的取值范围为{x |－73≤x ＜－13或－13＜x ＜3或3＜x ≤5}．18．在区间D 上，如果函数f (x )为增函数，而函数1xf (x )为减函数，则称函数f (x )为“弱增函数”，已知函数f (x )＝1－11＋x. (1)判断函数f (x )在区间(0,1]上是否为“弱增函数”；(2)设x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1≠x 2，证明：|f (x 1)－f (x 2)|＜12|x 1－x 2|；(3)当x ∈[0,1]时，不等式1－ax ≤11＋x ≤1－bx 恒成立，求实数a ，b 的取值范围． 解析 (1) 显然f (x )在区间(0,1)上为增函数，因为1xf (x )＝1x ·⎝⎛⎭⎪⎫1－11＋x ＝1x ·1＋x －11＋x＝1x·x1＋x 1＋x ＋1＝11＋x ＋1＋x，所以1xf (x )为减函数，因此f (x )是“弱增”函数．(2)证明|f (x 1)－f (x 2)|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪11＋x 1－11＋x 2＝|1＋x 2－1＋x 1||1＋x 11＋x 2|＝|x 1－x 2|1＋x 1·1＋x 2·1＋x 1＋1＋x 2.因为x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1≠x 2，所以1＋x 1·1＋x 2·(1＋x 1＋1＋x 2)＞2，所以|f (x 1)－f (x 2)|＜12|x 1－x 2|.(3) 当x ∈[0,1]时，不等式1－ax ≤11＋x≤1－bx 恒成立．所以当x ＝0时，不等式显然成立，当x ∈(0,1]时，等于⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1xf x ，b ≤1x fx恒成立由(1)知1x f (x )为减函数，1－22≤1xf (x )＜12，所以a ≥12且b ≤1－22.。