第十二章一次函数12.2 一次函数第4课时一次函数的应用——分段函数一、教学目标1．理解分段函数的特点，会根据题意求出分段函数的解析式并画出函数图象.2．在多变量的问题的解决中，能合理选择某个变量作为自变量，然后根据问题条件寻求可以反映实际问题的函数.3．通过画函数的图象，并借助图象研究函数的性质，体验数与形的内在联系，感受函数图象的简洁美．二、教学重点及难点重点：理解分段函数的特点，会根据题意求出分段函数的解析式并画出函数图象.难点：在多变量的问题的解决中，能合理选择某个变量作为自变量，然后根据问题条件寻求可以反映实际问题的函数.三、教学用具多媒体课件、直尺．四、相关资源《练习题1》图片、《练习题2》图片、《习题3》图片、《习题4》图片、《习题5》图片．五、教学过程【课堂导入】教师带领学生完成课本中例5习题，对分段函数下定义：本例给出的是在自变量的不同取值范围内表示函数关系的表达式有不同的形式,这样的函数称为分段函数，分段函数在生活中也有很多应用.下面我们来看一下一道例题：某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x（分钟）与相应话费y（元）之间的函数图象如图所示：（１）月通话为100分钟时，应交话费多少元；（２）当x≥100时，求y与x之间的函数关系式；（3）月通话为280分钟时，应交话费多少元？插入图片《练习题1》学生思考练习.教师带领学生分析：本题是一道和话费有关的分段函数问题，通过图象可观察到，在0到100分钟之间月话费y(元)是月通话时间x(分钟)的正比例函数,当x≥100时, 月话费y(元)是月通话时间x(分钟)的一次函数.解：（1）观察图象可知月通话为100分钟时，应交话费40元；（2）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b由图上知：x=100时,y=40；x=200时,时，y=60则有4010060200k bk b=+⎧⎨=+⎩,解之得1520kb⎧=⎪⎨⎪=⎩所求函数关系式为1205y x=+（3）把x=280代入关系式1205y x=+ ,得128020765y∴=⨯+=即月通话为280分钟时，应交话费76元．设计意图：开门见山引入课堂知识的教学．【新知讲解】1．定义．教师讲解：在自变量的不同取值范围内表示函数关系的表达式有不同的形式,这样的函数称为分段函数.设计意图：带领学生认识分段函数的相关概念．2．对分段函数图象的理解．教师展示PPT 上习题，引导学生观察.某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用45分钟，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与货车相遇．已知货车的速度为60千米/时，两车的距离y (千米)与货车行驶的时间x (小时)之间的函数图象如图所示，现有以下4个结论：①快递车从甲地到乙地的速度为100千米/时；②甲、乙两地之间的距离为120千米；③图中点B 的坐标为(334，75)；④快递车从乙地返回时的速度为90千米/时．以上4个结论中正确的是________．插入图片《习题2》学生相互交流，得出正确答案.根据题意可判断图中OA 为快递车从甲地行驶到乙地过程中两车的间距，AB 为快递车在甲地卸货时两车的间距，BC 为快递车返回甲地直至两车相遇过程两车的间距．通过分析找出各个阶段量的关系，可求出正确结论．①A 点为快递车到达乙地的时刻，快递车从甲地到乙地共用3小时，两车速度差为120÷3＝40(千米/时)，已知货车速度为60千米/时，则快递车速度为100千米/时，①正确；②甲、乙两地的距离为100×3＝300(千米)，②错误；③B 点为快递车卸货结束的时刻，快递车卸货45分钟，因此B 点横坐标为34，此时货车行驶距离为60×334＝225(千米)，300－225＝75(千米)，所以B 点纵坐标为75，则点B 的坐标为(334，75)，③正确；④BC 段所用时间为414－334＝12 (小时)，在B 点时两车相距75千米，相遇时货车行驶距离为60×12＝30(千米)，快递车行驶距离为75－30＝45(千米)，故此段快递车的速度为45÷12＝90(千米/时)，④正确．故答案为①③④.教师进行方法总结：一个函数是一次函数的条件：自变量是一次整式，一次项系数不为零；判断一个函数是正比例函数的条件：自变量是一次整式，一次项系数不为零，常数项为零．设计意图：通过问题的解答，引导学生进行思考，明确分段函数的图象具体应用．3．分段函数的具体应用．某公司专销产品A ，第一批产品A 上市40天内全部售完．该公司对第一批产品A 上市后的市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中图(3)中的折线表示的是市场日销售量与上市时间的关系；图(4)中的折线表示的是每件产品A 的销售利润与上市时间的关系．（1）试写出第一批产品A 的市场日销售量y 与上市时间t 的关系式；（2）第一批产品A 上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多少万元？插入图片《习题3》解析：(1) 由图3可得，当0≤t ≤30时，市场日销售量y 与上市时间t 的关系是正比例函数，所以设市场的日销售量：y =kt ，∵ 点（30，60）在图象上，∴ 60=30k ．∴ k =2．即 y =2t ，当30≤t ≤40时，市场日销售量y 与上市时间t 的关系是一次函数关系，所以设市场的日销售量：y =k 1t +b ，因为点（30，60）和（40，0）在图象上，所以 116030040k b k b =+⎧⎨=+⎩ ， 解得 k 1=－6，b =240．∴ y =－6t +240．综上可知，当0≤t ≤30时，市场的日销售量：y =2t ，当30≤t ≤40时，市场的日销售量：y =-6t +240.(2) 由图4可得，当0≤t ≤20时，市场销售利润w 与上市时间t 的关系是正比例函数，所以设市场的日销售量：w =kt ，∵ 点（20，60）在图象上，∴ 60=20k ．∴ k =3．即 w =3t ，当20≤t ≤40时，市场销售利润w 与上市时间t 的关系是常数函数，所以，w =60， ∴ 当0≤t ≤20时，产品的日销售利润：m =3t ×2t =6t ² ；∵k =6＞0，所以，m 随t 的增大而增大，∴ 当t =20时，产品的日销售利润m 最大值为：2400万元.当20≤t ≤30时，产品的日销售利润：m =60×2t =120t ，∵k =120＞0，所以，m 随t 的增大而增大，∴ 当t =30时，产品的日销售利润m 最大值为：3600万元；当30≤t ≤40时，产品的日销售利润：m ＝60×(-6t +240)=-360t +14400；∵k =-360＜0，所以，m 随t 的增大而减小，∴ 当t ＝30时，产品的日销售利润m 最大值为：3600万元，综上可知，当t ＝30天时，这家公司市场的日销售利润最大为3600万元．设计意图：通过习题，展示分段函数的应用．【典型例题】例1 某医药研究所开发了一种新药．在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药2小时后血液中含药量最高，达到每毫升6微克(1微克＝10－3毫克)，接着逐步衰减，10小时后血液中含药量为每毫升3微克．若当成人按规定剂量服药后，每毫升血液中含药量y (微克)随时间x (小时)的变化如图所示．(1)分别求出0≤x ≤2和x >2时，y 与x 之间的函数解析式；(2)如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上时药物对疾病的治疗是有效的，那么这个有效时间是多长？解：(1)当0≤x ≤2时，设函数的解析式为y ＝k 1x (k 1≠0)．把(2，6)代入y ＝k 1x ，得k 1＝3.∴当0≤x ≤2时，y ＝3x .当x >2时，设函数的解析式为y ＝k 2x ＋b (k 2≠0)．把(2，6)，(10，3)代入y ＝k 2x ＋b 中，得⎩⎪⎨⎪⎧2k 2＋b ＝6，10k 2＋b ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝－38，b ＝274.∴当x >2时，y ＝－38x ＋274； (2)把y ＝4代入y ＝3x ，得x ＝43；把y ＝4代入y ＝－38x ＋274，得x ＝223.∵223－43＝6，∴这个有效时间是6小时．插入《习题4》图片设计意图：了解分段函数的应用．【随堂练习】1．为了鼓励明明做家务，明明每月的生活费都是根据上月他的家务劳动时间所得奖励加上基本生活费从父母那里获取的．若设明明每月的家务劳动时间为x 小时，该月可得（即下月他可获得）的总费用为y 元，则y （元）和x （小时）之间的函数图像如图所示．插入图片《习题5》（1）根据图像，请你写出小强每月的基本生活费；父母是如何奖励小强家务劳动的？（2）若小强5月份希望有250元费用，则小强4月份需做家务多少时间？解：（1）从图象上可知道，小强父母给小强的每月基本生活费为150元 ；当0≤x ≤20时，y （元）是x （小时）的一次函数，不妨设y =k 1x +150，同时，图象过点（20，200），所以，200=k 1×20+150，解得：k 1=2.5，所以，y =2.5x +150，当20＜x 时，y （元）是x （小时）的一次函数，不妨设y =k 2x +b ，同时，图象过点（20，200），（30，240），所以，⎩⎨⎧=+=+240302002022b k b k ，解得：k 2=4，b =120，所以，y =4x +120，所以，如果小强每月家务劳动时间不超过20小时，每小时获奖励2.5元；如果小强每月家务劳动时间超过20小时，那么20小时按每小时2.5元奖励，超过部分按每小时4元奖励（2）从图象上可知道，小强工作20 小时最多收入为200元，而5月份得到的费用为250元，大于200元，所以说明4月小强的工作时间一定超过20小时，所以应选择分段函数中当20＜x 时的一段，所以，由题意得，4120250x +=，解得：x =32.5答：当小强4月份家务劳动32.5小时，5月份得到的费用为250元．设计意图：通过学生练习，使教师及时了解学生对分段函数的理解情况，以便教师及时对学生进行矫正．六、课堂小结1．定义：在自变量的不同取值范围内表示函数关系的表达式有不同的形式,这样的函数称为分段函数设计意图：通过小结，回顾本节课所学新知，加深印象.七、板书设计第4课时一次函数的应用——分段函数分段函数的定义分段函数的图象分段函数在生活中的应用。
教学内容
19.2.2一次函数（4）
课标对本节课的教学要求
了解分段函数的特点，会根据题意求出分段函数的解析式并画出函数的图象。
教学目标
1、了解分段函数的特点，会根据题意求出分段函数的解析式并画出函数的图象。
2、能用一次函数及其图象解决简单的实际问题。
教学重点
难点了解分段函数和简单应用。
用一次函数及其图象解决简单的实际问题。
教学准备多媒体
教学时间一课时
教学过程
第（ 1 ）课时教
学
环节教师活动预设
学生活动预
设
设计
意图
备
注
复习旧知待定系数法用待定系数法求函数解析式的步
骤：设一次函数的一般形式y=kx+b(k≠0)；
根据已知条件列出关于k,b的二元一次方程
组；解这个方程组求出k,b的值；写出所求的
函数解析式。
共同复习温故
知新
情【问题1】今年某地区发生严重干旱，自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标生自主探究鼓励
合作
课
堂
小
结
用一次函数及其图象解决简单的实际问题。
板
书设计
19.2.2一次函数（4）
问题(1) 例5 习题
课后记。
