一次函数分段函数
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一次函数的应用—分段函数课件全文
【解析】y=
2、由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着 时间的增加而减少.干旱持续时间t(天)与蓄水量V(万 米3 )的关系如图所示,回答下列问题：
V/万米
3 1200
A
1000
(1)干旱持续10天，蓄水量为 多少？连续干旱23天呢？
800
600
400
200
B
0 10 20 30 40 50 60 70 t/天
间之间的关系？
当t=0时,s=0,所以L1表示B到海岸的距离
与追赶时间之间的关系.
（2）A、B哪个速度快？B的速度快
s (海里) L1 L2
12
（3）15分内B能否追上A？不能
10
P
（4）如果一直追下去，那么B能否追上A？能 5
（5）当A逃到离海岸12海里的公海时，B 将无法对其进行检查。照此速度，B能否在
y与x的函数表达式也可以合起来表示为
0.6x （0≤x≤160）， y=
0.7x-16 （x＞160）.
（2） 该函数的图象如图4-16.
该函数图象由两个 一次函数的图象拼接在 一起.
图4-16
（3）当x = 150时， y = 0.6×150=90， 即3月份的 电费为90元.
当x = 200时，y = 0.7×200-16=124， 即4月份的电费为124元.
10 5
O 5 10 15 t
1
●
O1
●
2 3t
（3）当t=300时，
A方案： y = 25+0.36t=25+0.36×300=133（元）；
B方案： y = 0.5t=0.5×300=150（元）.
所以此时采用A方案比较合算.
2、由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着 时间的增加而减少.干旱持续时间t(天)与蓄水量V(万 米3 )的关系如图所示,回答下列问题：
V/万米
3 1200
A
1000
(1)干旱持续10天，蓄水量为 多少？连续干旱23天呢？
800
600
400
200
B
0 10 20 30 40 50 60 70 t/天
间之间的关系？
当t=0时,s=0,所以L1表示B到海岸的距离
与追赶时间之间的关系.
（2）A、B哪个速度快？B的速度快
s (海里) L1 L2
12
（3）15分内B能否追上A？不能
10
P
（4）如果一直追下去，那么B能否追上A？能 5
（5）当A逃到离海岸12海里的公海时，B 将无法对其进行检查。照此速度，B能否在
y与x的函数表达式也可以合起来表示为
0.6x （0≤x≤160）， y=
0.7x-16 （x＞160）.
（2） 该函数的图象如图4-16.
该函数图象由两个 一次函数的图象拼接在 一起.
图4-16
（3）当x = 150时， y = 0.6×150=90， 即3月份的 电费为90元.
当x = 200时，y = 0.7×200-16=124， 即4月份的电费为124元.
10 5
O 5 10 15 t
1
●
O1
●
2 3t
（3）当t=300时，
A方案： y = 25+0.36t=25+0.36×300=133（元）；
B方案： y = 0.5t=0.5×300=150（元）.
所以此时采用A方案比较合算.
一次函数分段函数.ppt
y/千米
2 1.1
1.小明从家里出发去菜地浇水， 又去玉米地锄草，然后回家，其 中x表示时间，y表示小明离他家 的距离。
0
15 25 37
55
80 x/分
该图表示的函数是正比例函数吗？
是一次函数吗？你是怎样认为的？
分段函数
在一个变化过程中，函数 y 随自变量 x 变化的 函数解析式有时要分成几部分，这样在确定函解析 式或函数图象时，要根据自变量的取值范围分段描述． 这种函数通常称为分段函数．
(2)若小李 4 月份上网 20 小时，他应付__6_0_____元上网费用；
(3)若小李 5 月份上网费用为 75 元，则他在该月份的上网时间
35
是__________．
点拨：(1)当 x≥30 时，设函数解析式为 y＝kx＋b，
则
30k
40k
b 60，解得 b 90
k
b
3 .所以 30
y＝3x－30.
表示。根据图象提供的有关信息，解答下列问题：
（1）小明全家在旅游景点游 玩了多少小时？
（解2：）由求图出像返可程知，途小中明，全s家(千在旅米游) 与景时点游间玩t(了时4小)的时函。数关系，并回
答小明全家到家是什么时间？
（3解）：若设出s=发kx时+汽b,由车（油1箱4，中1存80油）15 升，该及汽（车1的5，油12箱0）总得容量为35升， 汽你11∴车就45Skk=“每++-6bb何行0==t11驶时+821100加0千①②2油0米和耗加（油1解油41方≤/量9程t≤升”组1。给7得）请小k=-60,b=1020。 明令全S=家0提，得出t一=1个7。合理化建议。 (加∴返油程所途用中S时与间时忽间略t的不函计数)关系是S=-60t+1020，
2 1.1
1.小明从家里出发去菜地浇水， 又去玉米地锄草，然后回家，其 中x表示时间，y表示小明离他家 的距离。
0
15 25 37
55
80 x/分
该图表示的函数是正比例函数吗？
是一次函数吗？你是怎样认为的？
分段函数
在一个变化过程中，函数 y 随自变量 x 变化的 函数解析式有时要分成几部分，这样在确定函解析 式或函数图象时，要根据自变量的取值范围分段描述． 这种函数通常称为分段函数．
(2)若小李 4 月份上网 20 小时，他应付__6_0_____元上网费用；
(3)若小李 5 月份上网费用为 75 元，则他在该月份的上网时间
35
是__________．
点拨：(1)当 x≥30 时，设函数解析式为 y＝kx＋b，
则
30k
40k
b 60，解得 b 90
k
b
3 .所以 30
y＝3x－30.
表示。根据图象提供的有关信息，解答下列问题：
（1）小明全家在旅游景点游 玩了多少小时？
（解2：）由求图出像返可程知，途小中明，全s家(千在旅米游) 与景时点游间玩t(了时4小)的时函。数关系，并回
答小明全家到家是什么时间？
（3解）：若设出s=发kx时+汽b,由车（油1箱4，中1存80油）15 升，该及汽（车1的5，油12箱0）总得容量为35升， 汽你11∴车就45Skk=“每++-6bb何行0==t11驶时+821100加0千①②2油0米和耗加（油1解油41方≤/量9程t≤升”组1。给7得）请小k=-60,b=1020。 明令全S=家0提，得出t一=1个7。合理化建议。 (加∴返油程所途用中S时与间时忽间略t的不函计数)关系是S=-60t+1020，
一次函数的应用(分段函数)
价格，从而做出更明智的投资决策。
交通流量的分段函数模型
总结词
交通流量的分段函数模型能够根据交通流量的变化规 律，优化交通管理，提高道路通行效率。
详细描述
交通流量在不同时间段和不同路段的分布是不均匀的。 分段函数可以根据交通流量的变化规律，将流量数据划 分为几个不同的区间，每个区间用一次函数表示。这种 模型可以帮助交通管理部门更好地了解交通流量的分布 情况，预测未来的交通流量，从而制定合理的交通管理 措施，缓解交通拥堵，提高道路通行效率。同时，分段 函数模型还可以用于交通信号灯的控制、停车场的泊位 分配等方面，提高整个交通系统的运行效率。
分段函数与极限的结合
01
02
03
极限的定义
分段函数在某点的极限是 指当自变量趋近于该点时， 函数值的趋近值。
极限的性质
分段函数在某点的极限存 在，则该点的左右极限相 等且等于该点的函数值。
极限的计算
通过求分段函数在某点的 左右极限，可以确定该点 的极限值。
分段函数与导数的结合
导数的定义
分段函数在某点的导数表 示该点附近函数值的切线 斜率。
总结词
分段函数在计算机科学中常被用于实现一些特定的算法和数据结构。
详细描述
例如，在一些排序算法中，分段函数可以用来实现快速查找和定位数据元素的功能。此外，在一些数据压缩算法 中，分段函数也被用来实现高效的数据压缩和解压缩。同时，在一些人工智能算法中，分段函数也被用来实现分 类和预测等功能。
04 分段函数与其他数学知识 的结合
03 分段函数在生活中的应用
经济学中的分段函数应用
总结词
分段函数在经济学中有着广泛的应用，主要用于描述和分析各种经济现象和规 律。
详细描述
交通流量的分段函数模型
总结词
交通流量的分段函数模型能够根据交通流量的变化规 律，优化交通管理，提高道路通行效率。
详细描述
交通流量在不同时间段和不同路段的分布是不均匀的。 分段函数可以根据交通流量的变化规律，将流量数据划 分为几个不同的区间，每个区间用一次函数表示。这种 模型可以帮助交通管理部门更好地了解交通流量的分布 情况，预测未来的交通流量，从而制定合理的交通管理 措施，缓解交通拥堵，提高道路通行效率。同时，分段 函数模型还可以用于交通信号灯的控制、停车场的泊位 分配等方面，提高整个交通系统的运行效率。
分段函数与极限的结合
01
02
03
极限的定义
分段函数在某点的极限是 指当自变量趋近于该点时， 函数值的趋近值。
极限的性质
分段函数在某点的极限存 在，则该点的左右极限相 等且等于该点的函数值。
极限的计算
通过求分段函数在某点的 左右极限，可以确定该点 的极限值。
分段函数与导数的结合
导数的定义
分段函数在某点的导数表 示该点附近函数值的切线 斜率。
总结词
分段函数在计算机科学中常被用于实现一些特定的算法和数据结构。
详细描述
例如，在一些排序算法中，分段函数可以用来实现快速查找和定位数据元素的功能。此外，在一些数据压缩算法 中，分段函数也被用来实现高效的数据压缩和解压缩。同时，在一些人工智能算法中，分段函数也被用来实现分 类和预测等功能。
04 分段函数与其他数学知识 的结合
03 分段函数在生活中的应用
经济学中的分段函数应用
总结词
分段函数在经济学中有着广泛的应用，主要用于描述和分析各种经济现象和规 律。
详细描述
(完整word版)初中一次函数分段函数典例题
识别分段函数,解决收费问题定义：一般地，如果有实数a1，a2，a3……k1,k,2k3……b1,b2,b3……且a1≤a2≤a3……函数Y与自变量X之间存在k1x+b1 x≤a1y = k2x+b2 a1≤x≤a2 ①的函数解析式，则称该函数解析式为X的分段函数。
K3x+b3 a2≤x≤a3…………应该指出:(一), 函数解析式①这个整体只是一个函数,并非是Y=K1X+b1 Y=K2X+b2……等几个不同函数的简单组合,而k1x+b1,k2x+b2……是函数Y的几种不同的表达式.。
这个整体只是一个函数，不能认为它是两个不同的函数，只能说是同一函数中的自变量X在几种不同取值范围内的不同表达式。
(二),由于k1,k2,k3……b1,b2,b3是实数,所以函数Y在X的某个范围内的特殊函数,如正比例函数和常数函数。
(三),由于问题的不同，当然分段函数也可能在自变量某范围内不是一次函数而是其他形式的函数，在这里我们不予讨论。
(四), 一次函数的分段函数是简单的分段函数。
分段函数应用题分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数，分段函数的应用题多设计成两种情况以上，解答时需分段讨论。
在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题，因此，分段计算的应用题成了近几年中考应用题的一种重要题型。
收费问题与我们的生活息息相关,如水费问题、电费问题、话费问题等，这些收费问题往往根据不同的用量，采用不同的收费方式.以收费为题材的数学问题多以分段函数的形式出现在中考试题中，下面请看几例.一、话费中的分段函数例1 （四川广元）某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x（分钟）与相应话费y（元）之间的函数图象如图1所示：（１）月通话为100分钟时，应交话费元；（２）当x≥100时，求y与x之间的函数关系式；（3）月通话为280分钟时，应交话费多少元？图1二、水费中的分段函数例2（广东）某自来水公司为了鼓励居民节约用水，采取了按月用水量分段收费办法，某户居民应交水费y(元)与用水量x(吨)的函数关系如图2.(1)分别写出当0≤x≤15和x≥15时,y与x的函数关系式;(2)若某户该月用水21吨,则应交水费多少元?图2三、电费中分段函数例3 (广东)今年以来，广东大部分地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y（元）与用电量x（度）的函数图象是一条折线（如图3所示），根据图象解下列问题：（1）分别写出当0≤x≤100和x≥100时，y与x的函数关系式；（2）利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准；（3）若该用户某月用电62度，则应缴费多少元？若该用户某月缴费105元时，则该用户该月用了多少度电？图3谈谈中考中的分段函数分段函数，是近几年中考数学中经常遇到的题型。
八年级一次函数分段函数经典讲解
认清分段函数,解决收费问题定义：一般地，如果有实数a1，a2，a3……k1,k,2k3……b1,b2,b3……且a1≤a2≤a3……函数Y与自变量X之间存在k1x+b1 x≤a1y = k2x+b2 a1≤x≤a2 ①的函数解析式，则称该函数解析式为X的分段函数。
K3x+b3 a2≤x≤a3…………应该指出:(一), 函数解析式①这个整体只是一个函数,并非是Y=K1X+b1 Y=K2X+b2……等几个不同函数的简单组合,而k1x+b1,k2x+b2……是函数Y的几种不同的表达式.。
所以上例中Y=｛这个整体只是一个函数，不能认为它是两个不同的函数，只能说110X和110×80%X是同一函数中的自变量X在两种不同取值范围内的不同表达式。
(二),由于k1,k2,k3……b1,b2,b3是实数,所以函数Y在X的某个范围内的特殊函数,如正比例函数和常数函数。
(三),由于问题的不同，当然分段函数也可能在自变量某范围内不是一次函数而是其他形式的函数，在这里我们不予讨论。
(四), 一次函数的分段函数是简单的分段函数。
分段函数应用题分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数，分段函数的应用题多设计成两种情况以上，解答时需分段讨论。
在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题，因此，分段计算的应用题成了近几年中考应用题的一种重要题型。
收费问题与我们的生活息息相关,如水费问题、电费问题、话费问题等，这些收费问题往往根据不同的用量，采用不同的收费方式.以收费为题材的数学问题多以分段函数的形式出现在中考试题中，下面请看几例.一、话费中的分段函数例1 （四川广元）某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x（分钟）与相应话费y（元）之间的函数图象如图1所示：（１）月通话为100分钟时，应交话费元；（２）当x≥100时，求y与x之间的函数关系式；（3）月通话为280分钟时，应交话费多少元？图1分析：本题是一道和话费有关的分段函数问题，通过图象可观察到，在0到100分钟之间月话费y(元)是月通话时间x(分钟)的正比例函数,当x≥100时, 月话费y(元)是月通话时间x(分钟)的一次函数.解：（1）观察图象可知月通话为100分钟时，应交话费40元；（2）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b由图上知：x=100时,y=40；x=200时,时，y=60则有4010060200k bk b=+⎧⎨=+⎩,解之得1520kb⎧=⎪⎨⎪=⎩所求函数关系式为1205y x=+..（3）把x=280代入关系式1205y x=+,得128020765y∴=⨯+=即月通话为280分钟时，应交话费76元．二、水费中的分段函数例2（广东）某自来水公司为了鼓励居民节约用水，采取了按月用水量分段收费办法，某户居民应交水费y(元)与用水量x(吨)的函数关系如图2.(1)分别写出当0≤x≤15和x≥15时,y与x的函数关系式;(2)若某户该月用水21吨,则应交水费多少元?分析:本题是一道与收水费有关的分段函数问题.观察图象可知, 0≤x≤15时y是x 的正比例函数; x≥15时,y是x的一次函数.解: (1)当0≤x ≤15时,设y =kx ,把x =15,y =27代入,得27=15k ,所以k =591527=,所以y =59x ;当x ≥15时,设y =ax +b ,将x =15,y =27和x =20,y =39.5代入,得⎩⎨⎧=+=+5.3920,2715b a b a 解得a =2.5,b =-10.5所以y =2.5x -10.5 图2 (2) 当该用户该月用21吨水时, 三、电费中分段函数例3 (广东)今年以来，广东大部分地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y （元）与用电量x （度）的函数图象是一条折线（如图3所示），根据图象解下列问题：（1）分别写出当0≤x ≤100和x ≥100时，y 与x 的函数关系式； （2）利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准；（3）若该用户某月用电62度，则应缴费多少元？若该用户某月缴费105元时，则该用户该月用了多少度电？图3分析:从函数图象上看图象分为两段,当0≤x ≤100时,电费y 是电量x 的正比例函数,当x ≥100时,y 是x 的一次函数,且函数图象经过点(100,65)和(130,89),设出相应的函数关系式,将点的坐标代入即可确定函数关系式,根据函数关系式可解决问题.解: (1)设当0≤x ≤100时,函数关系式为y =kx ,将x =100,y =65代入,得k =0.65,所以y =0.65x ;设当x ≥100时,函数关系式为y =a x +b,将x =100,y =65和x =130,y =89代入,得⎩⎨⎧=+=+.89130,65100b a b a 解得a=0.8,b=-15.所以y =0.8x -15综上可得0.65(0100)0.815(100)xx y x x ⎧=⎨-⎩≤≤≥(2)用户月用电量在0度到100度之间时,每度电的收费的标准是0.65元;超出100度时,每度电的收费标准是0.80元.(3)用户月用电62度时,用户应缴费40.3元,若用户月缴费105元时,该户该月用了150度电.谈谈中考中的分段函数分段函数，是近几年中考数学中经常遇到的题型。
八年级数学上册 第12章 一次函数 12.2 一次函数 第4课时 分段函数课件
得,x+( x+60 )=180,
解得x=60,
∴x+60=120,
∴轿车和卡车的速度分别为120千米/时和60千米/时.
( 2 )卡车到达(dàodá)甲城需180÷60=3( 小时 ),
轿车从甲城到乙城需180÷120=1.5( 小时 ),
3+0.5-1.5×2=0.5( 小时 ),
∴轿车在乙城停留了0.5小时,
过10本的那部分书的价格将打折,并依此得到付款(fù kuǎn)金额y( 单位:元 )与一次性购买该书的数
量x( 单位:本 )之间的函数关系如图所示,则下列结论错误的是 ( D )
A.一次性520
C.一次性购买10本以上时,超过10本的那部分书的价格(jiàgé)打八折
每小时多行驶60千米,两车到达甲城后均停止行驶,两车之间的路程y( 千米 )与轿车行驶时间t( 小时 )的
函数图象(tú xiànɡ)如图所示,请结合图象提供的信息解答下列问题:
( 1 )请直接写出甲城和乙城之间的路程,并求出轿车和卡车的速度;
( 2 )求轿车在乙城停留的时间,并直接写出点D的坐标;
放学后,小明沿原路返回,且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上学时一致,下列说法:
①小明家距学校4千米;
②小明上学所用的时间为12分钟;
③小明上坡的速度是0.5千米/分钟;
④小明放学回家所用时间为15分钟.
其中正确的有 ( C )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
第四页，共十四页。
2.甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道,所挖管道长度y( 米 )与挖掘时间
( 1
m=
)请直接写出 m 与 t 之间的函数表达式
解得x=60,
∴x+60=120,
∴轿车和卡车的速度分别为120千米/时和60千米/时.
( 2 )卡车到达(dàodá)甲城需180÷60=3( 小时 ),
轿车从甲城到乙城需180÷120=1.5( 小时 ),
3+0.5-1.5×2=0.5( 小时 ),
∴轿车在乙城停留了0.5小时,
过10本的那部分书的价格将打折,并依此得到付款(fù kuǎn)金额y( 单位:元 )与一次性购买该书的数
量x( 单位:本 )之间的函数关系如图所示,则下列结论错误的是 ( D )
A.一次性520
C.一次性购买10本以上时,超过10本的那部分书的价格(jiàgé)打八折
每小时多行驶60千米,两车到达甲城后均停止行驶,两车之间的路程y( 千米 )与轿车行驶时间t( 小时 )的
函数图象(tú xiànɡ)如图所示,请结合图象提供的信息解答下列问题:
( 1 )请直接写出甲城和乙城之间的路程,并求出轿车和卡车的速度;
( 2 )求轿车在乙城停留的时间,并直接写出点D的坐标;
放学后,小明沿原路返回,且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上学时一致,下列说法:
①小明家距学校4千米;
②小明上学所用的时间为12分钟;
③小明上坡的速度是0.5千米/分钟;
④小明放学回家所用时间为15分钟.
其中正确的有 ( C )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
第四页，共十四页。
2.甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道,所挖管道长度y( 米 )与挖掘时间
( 1
m=
)请直接写出 m 与 t 之间的函数表达式
12.2 一次函数(3)---分段函数
9
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4.作出函数 y = |x|的图象 x ( x ≥0 ) 解:函数可变为: y = -x (x ＜ 0 )
{
分别作出 y = x (x≥0)及y = - x (x<0)的图象
即得 y = 的图象
{ -x
x
( x ≥0 ) (x ＜ 0 )
1.某市出租车的计价方式为：开始3km内收费6
3.如图中折线表示一骑车人离家的距离y与时间x之间的关系， 骑车人9：00离开家，15：00回家，请你根据这个折线图回答下 列问题： （1）这个人什么时间离家最远？这时他离家多远？ （2）何时他开始第一次休息？休息多长时间？这时他离家多远？ （3）11：00~12：30他骑了多少千米？ （4）他在9：00~10：30和10：30~12：30的平均速度各是多少？ （5）他返家时的平均速度是多少？ （6）14：00时他离家多远？何时他距家10千米？
900÷12=75(km/h)
当慢车行驶4h时，慢车和 快车相遇，两车行驶的路程 之和为900km，所以慢车和 快车行驶的速度之和为:
C B
O
4
12 x/h
900÷4=225(km/h) 所以快车的速度为225-75=150（km/h）
2.一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往
甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x(h)，两 车之间的距离为y(km)，图中的折线表示y与x之间的函 y/km 数关系． （4）求线段BC所表示的 y 900 A D 与 x之间的函数关系式， 并 写出自变量的取值范围； C 根据题意，快车行驶900km到达
解:跑步的速度 y (米/分)随跑步时间 x (分钟)变化的函数关系 式为: y=
一次函数的分段函数的解析式的求法
一次函数的分段函数的解析式 的求法
复习： 用待定系数法求一次函数解析式的步骤是什么？
1.设一次函数的一般形式y=kx+b(k≠0) ; 2.根据已知条件列出关于k , b 的二元一次方程组 3.解这个方程组,求出k, b ;
4 .将已经求出的 k, b的值代入所设解析式.
已知一次函数的图象经过点(3,4)与 （－4，－3）.求这个一次函数的解析式．
• 〔1〕求y与x的函数关系式； • 〔2〕利用函数关系式，说明电力公司采取的
收费标准； • 〔3〕假设该用户某月用电62度，那么应缴费
多少元？假设该用户某月缴费105元时，那么 该用户该月用了多少度电？
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 ….
求出分段函数后，如何求 当x=a时的函数值？
付款金额/元 2.5 5 7.5 10 12 5 x (0≤x ≤2)
分析:付款金额与种子价格相关,问题中种子价格不是固 定不变的,它与购买种子数量有关. 求出分段函数后，已知函数值，怎么求对应的自变量的值？
小结：
1.求分段函数时分段的依据 是什么？
2.求出分段函数后，如何求 当x=a时的函数值？
3.求出分段函数后，已知函 数值，怎么求对应的自变量 的值？
• 练习： 今年以来，电力公司为鼓励市民节约用 电，采取按 月用电量分段收费方法，假设某户 居民每月应交电费y〔元〕与用电量x〔度〕的 函数图象是一条折线〔如下图〕，根据图象解 以下问题：
小明运动的路程图像又是什么函数的图像呢？这种函数 的解析式应该怎样怎么来求？
创设情境提出问题
思考：这个函数的图像有几段？怎样求函
数的解析式？
探索新知
解这个方“程组,黄求出k,金b ; 1号”玉米种子的价格为5元/千克，
复习： 用待定系数法求一次函数解析式的步骤是什么？
1.设一次函数的一般形式y=kx+b(k≠0) ; 2.根据已知条件列出关于k , b 的二元一次方程组 3.解这个方程组,求出k, b ;
4 .将已经求出的 k, b的值代入所设解析式.
已知一次函数的图象经过点(3,4)与 （－4，－3）.求这个一次函数的解析式．
• 〔1〕求y与x的函数关系式； • 〔2〕利用函数关系式，说明电力公司采取的
收费标准； • 〔3〕假设该用户某月用电62度，那么应缴费
多少元？假设该用户某月缴费105元时，那么 该用户该月用了多少度电？
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 ….
求出分段函数后，如何求 当x=a时的函数值？
付款金额/元 2.5 5 7.5 10 12 5 x (0≤x ≤2)
分析:付款金额与种子价格相关,问题中种子价格不是固 定不变的,它与购买种子数量有关. 求出分段函数后，已知函数值，怎么求对应的自变量的值？
小结：
1.求分段函数时分段的依据 是什么？
2.求出分段函数后，如何求 当x=a时的函数值？
3.求出分段函数后，已知函 数值，怎么求对应的自变量 的值？
• 练习： 今年以来，电力公司为鼓励市民节约用 电，采取按 月用电量分段收费方法，假设某户 居民每月应交电费y〔元〕与用电量x〔度〕的 函数图象是一条折线〔如下图〕，根据图象解 以下问题：
小明运动的路程图像又是什么函数的图像呢？这种函数 的解析式应该怎样怎么来求？
创设情境提出问题
思考：这个函数的图像有几段？怎样求函
数的解析式？
探索新知
解这个方“程组,黄求出k,金b ; 1号”玉米种子的价格为5元/千克，
八年级数学 第12章 一次函数12.2 一次函数第4课时 分段函数及其应用
Image
12/9/2021
第十七页，共十七页。
y=10×2.5+18=43.
∴这次(zhè cì)快寄的费用是43元.
第十五页，共十七页。
课堂 小 (kètáng) 结
1.本节课学习了什么(shén me)内容？
2.你有何收获？
第十六页，共十七页。
内容(nèiróng)总结
No 第4课时 分段函数及其应用。前面我们学习了有关一次函数的一些知识及如何(rúhé)确定解析式，如何
第三页，共十七页。
分析(fēnxī)：
（1）x≤8时，每立方米收费（1+0.3）元 （2）x＞8时，超过的部分每立方米收费（1.5+1.2）元 解（1）y与x之间的函数(hánshù)表达式为：
y 1 1 . 5 0 .1 3 .2 x x 1 .3 8 x 0 1 .3 x 8 8 2 ,.7 x 1 1 .2 x ＞ 8 .
(rúhé)利用一次函数知识解决相关实际问题呢。（2）x＞8时，超过的部分每立方米收费（1.5+1.2）元。(2)函
数y在x的某个范围内可能是特殊函数，如一次函数.。0.5t+0.6（t＞2）.。0.8t（t≤2），。（2）已知小李给外 婆快寄了2.5kg樱桃，请你求出这次快寄的费用是多少元。y=10×2.5+18=43.。2.5t+0.6（t＞2）.
第十一页，共十七页。
2.小芳以200米/分钟的速度(sùdù)起跑后，先匀加速跑5分钟， 每分钟提高速度20米/分，又匀速跑10分钟，请写出这段时间 里她的跑步速度y(米/分钟)随跑步时间x(分钟)变化的函数关系式。
解:跑步(pǎo bù)的速度 y (米/分)随跑步时间 x (分钟)变化的函 数关系式为:
12/9/2021
第十七页，共十七页。
y=10×2.5+18=43.
∴这次(zhè cì)快寄的费用是43元.
第十五页，共十七页。
课堂 小 (kètáng) 结
1.本节课学习了什么(shén me)内容？
2.你有何收获？
第十六页，共十七页。
内容(nèiróng)总结
No 第4课时 分段函数及其应用。前面我们学习了有关一次函数的一些知识及如何(rúhé)确定解析式，如何
第三页，共十七页。
分析(fēnxī)：
（1）x≤8时，每立方米收费（1+0.3）元 （2）x＞8时，超过的部分每立方米收费（1.5+1.2）元 解（1）y与x之间的函数(hánshù)表达式为：
y 1 1 . 5 0 .1 3 .2 x x 1 .3 8 x 0 1 .3 x 8 8 2 ,.7 x 1 1 .2 x ＞ 8 .
(rúhé)利用一次函数知识解决相关实际问题呢。（2）x＞8时，超过的部分每立方米收费（1.5+1.2）元。(2)函
数y在x的某个范围内可能是特殊函数，如一次函数.。0.5t+0.6（t＞2）.。0.8t（t≤2），。（2）已知小李给外 婆快寄了2.5kg樱桃，请你求出这次快寄的费用是多少元。y=10×2.5+18=43.。2.5t+0.6（t＞2）.
第十一页，共十七页。
2.小芳以200米/分钟的速度(sùdù)起跑后，先匀加速跑5分钟， 每分钟提高速度20米/分，又匀速跑10分钟，请写出这段时间 里她的跑步速度y(米/分钟)随跑步时间x(分钟)变化的函数关系式。
解:跑步(pǎo bù)的速度 y (米/分)随跑步时间 x (分钟)变化的函 数关系式为:
沪科版数学八年级上册第12章一次函数分段函数教学设计
-组织学生进行小组讨论，共同探讨一次函数及分段函数的相关问题，鼓励学生发表自己的观点，倾听他人的意见，提高合作交流能力。
-组织学生分享在实际问题中运用一次函数和分段函数的解题经验，促进学生之间的相互学习，提高知识的运用能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发学生的学习积极性，树立学生的自信心。
-通过设计实际案例，如“出租车的计费标准”，让学生学会运用分段函数知识解决问题，提高解决问题的能力。
（二）过程与方法
1.培养学生的观察能力，让学生通过观察实例、图像等，发现一次函数及分段函数的规律。
-组织学生观察不同一次函数的图像，引导学生发现斜率k与截距b的变化对图像的影响，培养学生的观察能力。
-引导学生观察分段函数的图像和实际案例，让学生通过自主探究，发现分段函数的性质及其在各个区间内函数值的变化规律。
5.学生在解决实际问题时，可能缺乏独立思考、分析问题的能力。教师应关注学生的思维过程，引导学生运用所学知识，形成解决问题的策略。
针对以上学情，教师应充分运用多样化的教学手段和方法，关注学生的个体差异，激发学生的学习兴趣，提高学生的数学素养。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.一次函数的斜率、截距概念及其在实际问题中的应用是本章节的教学重点，也是学生的难点。斜率、截距的理解与运用直接关系到学生对一次函数图像特征的理解。
2.学生在解决分段函数问题时，往往对函数值的计算和图像的绘制感到困惑。教师应引导学生学会分析分段函数的特点，逐步引导学生掌握分段函数的计算方法。
3.部分学生对数学学科兴趣不足，学习积极性不高。教师需结合生活实际，设计有趣、具有挑战性的问题，激发学生的学习兴趣，提高学生的参与度。
4.学生在小组合作中，可能存在交流不充分、分工不明确等问题。教师应引导学生学会有效沟通、合理分工，培养学生的团队协作能力。
-组织学生分享在实际问题中运用一次函数和分段函数的解题经验，促进学生之间的相互学习，提高知识的运用能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发学生的学习积极性，树立学生的自信心。
-通过设计实际案例，如“出租车的计费标准”，让学生学会运用分段函数知识解决问题，提高解决问题的能力。
（二）过程与方法
1.培养学生的观察能力，让学生通过观察实例、图像等，发现一次函数及分段函数的规律。
-组织学生观察不同一次函数的图像，引导学生发现斜率k与截距b的变化对图像的影响，培养学生的观察能力。
-引导学生观察分段函数的图像和实际案例，让学生通过自主探究，发现分段函数的性质及其在各个区间内函数值的变化规律。
5.学生在解决实际问题时，可能缺乏独立思考、分析问题的能力。教师应关注学生的思维过程，引导学生运用所学知识，形成解决问题的策略。
针对以上学情，教师应充分运用多样化的教学手段和方法，关注学生的个体差异，激发学生的学习兴趣，提高学生的数学素养。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.一次函数的斜率、截距概念及其在实际问题中的应用是本章节的教学重点，也是学生的难点。斜率、截距的理解与运用直接关系到学生对一次函数图像特征的理解。
2.学生在解决分段函数问题时，往往对函数值的计算和图像的绘制感到困惑。教师应引导学生学会分析分段函数的特点，逐步引导学生掌握分段函数的计算方法。
3.部分学生对数学学科兴趣不足，学习积极性不高。教师需结合生活实际，设计有趣、具有挑战性的问题，激发学生的学习兴趣，提高学生的参与度。
4.学生在小组合作中，可能存在交流不充分、分工不明确等问题。教师应引导学生学会有效沟通、合理分工，培养学生的团队协作能力。
一次函数(分段函数)PPT教学课件
b
3 .所以 30
y＝3x－30.
(2)当 0≤x<30 时，y＝60，
所以 4 月份上网 20 小时，应付上网费 60 元．
பைடு நூலகம்
(3)由 75＝3x－30，解得 x＝35，
所以 5 月份小李上网 35 小时．
2.“五一黄金周”的某一 天，小明全家上午8时自驾小汽车 从家里出发，到距离180千米的某著名旅游景点游玩。该小汽
小明全家当天17:00到家。
14
（3）本题答案不唯一，只要合理即可，但需注意合理性， 主要体现在： ①9:30前必须加一次油； ②若8:30前将油箱加满，则当天在油用完前的适当时 间必须第二次加油； ③全程可多次加油，但加油总量至少为25升。
15
试一试：近几年来，由于经济和社会发展迅速，用电矛盾 越来越突出。为缓解用电紧张，某电力公司特制定了新的 用电收费标准，每月用电量x（度）与应付电费y（元）的关 系如图所示。
9
（2）求y与x之间的函数关系式
B A
O(0,0) A(100,60) B(200,110)
当0 x 100时：
y3x 5
当x 100时：y 1 x 10
2
10
（2）求y与x之间的函数关系式
（3）月用电量为260度时， 应交电费多少元？
B A
当x 260时，
y 1 260 10 2
例题讲解
例3：某地区的电力资源丰富， 并且得到了较好的开发。 该地区一家供电公司为了 鼓励居民用电，采用分段 计费的方法来计算电费。 月用电量x（度）与相应 电费y（元）之间的函数 图象如图所示。
• （1）月用电量为100度时， 应交电费 60元；
一次函数分段函数(段)
分段函数1、二段型分段函数1、1正比例函数与一次函数构成得分段函数解答这类分段函数问题得关键,就就是分别确定好正比例函数得解析式与一次函数得解析式。
例1某家庭装修房屋,由甲、乙两个装修公司合作完成,选由甲装修公司单独装修3天,剩下得工作由甲、乙两个装修公司合作完成.工程进度满足如图1所示得函数关系,该家庭共支付工资8000元.(1)完成此房屋装修共需多少天？(2)若按完成工作量得多少支付工资,甲装修公司应得多少元？例2、一名考生步行前往考场, 10分钟走了总路程得,估计步行不能准时到达,于就是她改乘出租车赶往考场,她得行程与时间关系如图2所示(假定总路程为1),则她到达考场所花得时间比一直步行提前了( )A.20分钟Ｂ.22分钟Ｃ.24分钟 D.26分钟例3、某公司专销产品A,第一批产品A上市40天内全部售完.该公司对第一批产品A上市后得市场销售情况进行了跟踪调查,调查结果如图所示,其中图(3)中得折线表示得就是市场日销售量与上市时间得关系;图(4)中得折线表示得就是每件产品A得销售利润与上市时间得关系.(1)试写出第一批产品A得市场日销售量y与上市时间t得关系式;(2)第一批产品A上市后,哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润就是多少万元？1、2一次函数与一次函数构成得分段函数例4、为了鼓励小强做家务,小强每月得费用都就是根据上月她得家务劳动时间所得奖励加上基本生活费从父母那里获取得.若设小强每月得家务劳动时间为x小时,该月可得(即下月她可获得)得总费用为y元,则y(元)与x(小时)之间得函数图像如图5所示.(1)根据图像,请您写出小强每月得基本生活费;父母就是如何奖励小强家务劳动得？(2)若小强5月份希望有250元费用,则小强4月份需做家务多少时间？1、3常数函数与一次函数构成得分段函数例5、有甲、乙两家通迅公司,甲公司每月通话得收费标准如图6所示;乙公司每月通话收费标准如表1所示.(1)观察图6,甲公司用户月通话时间不超过100分钟时应付话费金额就是元;甲公司用户通话100分钟以后,每分钟得通话费为元;(2)李女士买了一部手机,如果她得月通话时间不超过100分钟,她选择哪家通迅公司更合算？如果她得月通话时间超过100分钟,又将如何选择？2、三段型分段函数例6 如图7,矩形ABCD中,AB＝1,AD＝2,M就是CD得中点,点P在矩形得边上沿A→B →C→M运动,则△APM得面积y与点P经过得路程x之间得函数关系用图象表示大致就是下图中得( )3、四段型分段函数例7、星期天,小强骑自行车到郊外与同学一起游玩,从家出发2小时到达目得地,游玩3小时后按原路以原速返回,小强离家4小时40分钟后,妈妈驾车沿相同路线迎接小强,如图11,就是她们离家得路程y(千米)与时间x(时)得函数图像。
一次函数的扩展(分段函数
分段函数在其定义域的某些子区间上，可以采用一次函数的形式来描述变量间的变化关 系。
实际应用举例
经济学中的税收计算
税收往往根据收入的不同区间采用不同的税率，这可以通过分段函数来表示。例如，个人所得税的计算就可 以根据收入的不同水平，采用不同的税率进行计算。
物理学中的运动描述
在某些情况下，物体的运动规律在不同的时间段内遵循不同的规律，这可以用分段函数来描述。例如，自由 落体运动在初始阶段和后续阶段的速度和位移关系可以用不同的函数来表示。
分段函数的图像由各个区间上 的函数图像组成，整体上呈现 为多个相连的直线段。在分段 点处，函数图像可能发生转折 或连续但不可导。
分段函数具有多样性、灵活性 和复杂性。不同区间上的一次 函数可以有不同的斜率和截距 ，从而构成丰富多样的分段函 数。
对未来学习的建议
01
03
深入学习分段函数 02
加强数学基础
在某些情况下，分段函数的最值可能出现在分段点处，因此需要特别注意分段点的取值情况。
与其他知识点结合应用
分段函数可以与导数、积分等知识点 结合应用，解决一些复杂的数学问题 。
在一些实际问题中，分段函数可以与 概率、统计等知识点结合应用，建立 更加符合实际情况的数学模型。
06 总结与展望
知识点回顾总结
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
扣除数进行计算。
05 分段函数在数学领域的应 用
解方程和不等式问题
分段函数可以表示复杂的数学关系， 通过解方程或不等式，可以找到满足 特定条件的解集。
VS
在解决一些实际问题时，分段函数可 以描述不同区间内变量的关系，从而 建立数学模型进行求解。
求最值问题
分段函数的最值问题可以通过分析各段函数的单调性和极值点来解决。
实际应用举例
经济学中的税收计算
税收往往根据收入的不同区间采用不同的税率，这可以通过分段函数来表示。例如，个人所得税的计算就可 以根据收入的不同水平，采用不同的税率进行计算。
物理学中的运动描述
在某些情况下，物体的运动规律在不同的时间段内遵循不同的规律，这可以用分段函数来描述。例如，自由 落体运动在初始阶段和后续阶段的速度和位移关系可以用不同的函数来表示。
分段函数的图像由各个区间上 的函数图像组成，整体上呈现 为多个相连的直线段。在分段 点处，函数图像可能发生转折 或连续但不可导。
分段函数具有多样性、灵活性 和复杂性。不同区间上的一次 函数可以有不同的斜率和截距 ，从而构成丰富多样的分段函 数。
对未来学习的建议
01
03
深入学习分段函数 02
加强数学基础
在某些情况下，分段函数的最值可能出现在分段点处，因此需要特别注意分段点的取值情况。
与其他知识点结合应用
分段函数可以与导数、积分等知识点 结合应用，解决一些复杂的数学问题 。
在一些实际问题中，分段函数可以与 概率、统计等知识点结合应用，建立 更加符合实际情况的数学模型。
06 总结与展望
知识点回顾总结
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
扣除数进行计算。
05 分段函数在数学领域的应 用
解方程和不等式问题
分段函数可以表示复杂的数学关系， 通过解方程或不等式，可以找到满足 特定条件的解集。
VS
在解决一些实际问题时，分段函数可 以描述不同区间内变量的关系，从而 建立数学模型进行求解。
求最值问题
分段函数的最值问题可以通过分析各段函数的单调性和极值点来解决。
一次函数的应用——分段函数
100 y(元）
75 70 50 25
O 25 50 75 100 x(度）
⑴请你根据图象所描述的信息，分别求出当0≤x≤50 和x>50时，y与x的函数表达式；
解:当0≤x≤50 时，由图象可设 y=k1x，
∵其经过（50，25），代入得25=50k1，
∴k1=0.5，∴y=0.5x ;
100 y(元）
当x＞50时，由图象可设 y=k2x+b，75
70
∵其经过（50,25）、（100,7=0.9x-20.
25 O 25 50 75 100 x(度）
⑵根据你的分析：当每月用电量不超过50度时，收 费标准是多少？当每月用电量超过50度时，收费标 准是多少？
解：不超过50度部分按0.5元/度计算，超过部分按 0.9元/度计算.
函数解析式为：
20(0≤t≤2)
T= 5t+10(2<t≤4)
T=5t+10(2<t≤4)
20 T=20(0≤t≤2)
10
(2)函数图像为：
O 1 2 3 4 t/h
2.近几年来，由于经济和社会发展迅速，用电量越来 越多.为缓解用电紧张，某电力公司特制定了新的用 电收费标准，每月用电量x（度）与应付电费y（元） 的关系如图所示.
y=4（x-2）+10=4x+2.
10
∴y = 5x(0≤x≤2) 4x+2(x>2)
y=5x(0≤x≤2)
函数图象为:
O 123
x
思考：你能由上面的函数解析式或函数图象解 决以下问题吗？ （1）一次购买1.5 kg 种子，需付款多少元？ （2）30元最多能购买多少种子？
总结归纳
75 70 50 25
O 25 50 75 100 x(度）
⑴请你根据图象所描述的信息，分别求出当0≤x≤50 和x>50时，y与x的函数表达式；
解:当0≤x≤50 时，由图象可设 y=k1x，
∵其经过（50，25），代入得25=50k1，
∴k1=0.5，∴y=0.5x ;
100 y(元）
当x＞50时，由图象可设 y=k2x+b，75
70
∵其经过（50,25）、（100,7=0.9x-20.
25 O 25 50 75 100 x(度）
⑵根据你的分析：当每月用电量不超过50度时，收 费标准是多少？当每月用电量超过50度时，收费标 准是多少？
解：不超过50度部分按0.5元/度计算，超过部分按 0.9元/度计算.
函数解析式为：
20(0≤t≤2)
T= 5t+10(2<t≤4)
T=5t+10(2<t≤4)
20 T=20(0≤t≤2)
10
(2)函数图像为：
O 1 2 3 4 t/h
2.近几年来，由于经济和社会发展迅速，用电量越来 越多.为缓解用电紧张，某电力公司特制定了新的用 电收费标准，每月用电量x（度）与应付电费y（元） 的关系如图所示.
y=4（x-2）+10=4x+2.
10
∴y = 5x(0≤x≤2) 4x+2(x>2)
y=5x(0≤x≤2)
函数图象为:
O 123
x
思考：你能由上面的函数解析式或函数图象解 决以下问题吗？ （1）一次购买1.5 kg 种子，需付款多少元？ （2）30元最多能购买多少种子？
总结归纳
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(2)若小李4月份上网20小时，他应付___6__0___元上网费用；
(3)若小李5月份上网费用为75 元，则他在该月份的上网时间
是__3_5__小__时___．
2020/10/24
五、学以致用 作函数图像
（1）y=|x+1|+|x-2| （2）讨论方程|x+1|+|x-2|=a有解时a的取值范围。
14.2.2 一次函数（4）
——分段函数
2020/10/24
一、创设情境提出问题
思考：上图的图象所表示的函数是正比例函
数？是一次函数？你是怎样认为的？
2020/10/24
2020/10/24
解：设购买种子数量为x千克，付款金额为y元 当0≤x≤2时， y=5x 当x﹥2时，y=10+4(x-2)=4x+2
综上y=
5x 4 x+2
(0≤x ≤2) (x﹥2)
y
10
函数图象如图
0 123
x
我们称此类函数为分段函数．
2020/10/24
三、回归引例
开始时引入图象所表示 的函数也是分段函数， 你能写出它的解析式吗？
6t （0≤t≤2）
s=
12 （ 2＜t≤3）
-4t+24（ 3＜t≤6）个函数，求出的分段函 数解析式必须写出自变量的取值范围．
0x4
y 8
4x8
2x24 8x12
（2）画出函数的图象，如右图 所示.
2020/10/24
某市推出电脑上网包月制，每月收取费用 y(元)与上网 时间x(小时)的函数关系如图 2，其中 BA 是线段，且 BA∥x 轴，AC 是射线．
图2
(1)当 x≥30 时，y 与 x 之间的式为___y_＝___3_x__－___3_0；
2020/10/24
作业布置
课本第121页 第12题
2020/10/24
2020/10/24
四、分段函数的应用
例、如图所示,在边长为4的正方形ABCD的边上有一点 P,沿着折线BCDA由点B(起点)向点A(终点)运动.设点P 运动的路程为x,△ABP的面积为y. (1)求y与x之间的函数关系式; (2)画出函数的图象.
2020/10/24
解：所求的函数关系式为
2x
(3)若小李5月份上网费用为75 元，则他在该月份的上网时间
是__3_5__小__时___．
2020/10/24
五、学以致用 作函数图像
（1）y=|x+1|+|x-2| （2）讨论方程|x+1|+|x-2|=a有解时a的取值范围。
14.2.2 一次函数（4）
——分段函数
2020/10/24
一、创设情境提出问题
思考：上图的图象所表示的函数是正比例函
数？是一次函数？你是怎样认为的？
2020/10/24
2020/10/24
解：设购买种子数量为x千克，付款金额为y元 当0≤x≤2时， y=5x 当x﹥2时，y=10+4(x-2)=4x+2
综上y=
5x 4 x+2
(0≤x ≤2) (x﹥2)
y
10
函数图象如图
0 123
x
我们称此类函数为分段函数．
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三、回归引例
开始时引入图象所表示 的函数也是分段函数， 你能写出它的解析式吗？
6t （0≤t≤2）
s=
12 （ 2＜t≤3）
-4t+24（ 3＜t≤6）个函数，求出的分段函 数解析式必须写出自变量的取值范围．
0x4
y 8
4x8
2x24 8x12
（2）画出函数的图象，如右图 所示.
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某市推出电脑上网包月制，每月收取费用 y(元)与上网 时间x(小时)的函数关系如图 2，其中 BA 是线段，且 BA∥x 轴，AC 是射线．
图2
(1)当 x≥30 时，y 与 x 之间的式为___y_＝___3_x__－___3_0；
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作业布置
课本第121页 第12题
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四、分段函数的应用
例、如图所示,在边长为4的正方形ABCD的边上有一点 P,沿着折线BCDA由点B(起点)向点A(终点)运动.设点P 运动的路程为x,△ABP的面积为y. (1)求y与x之间的函数关系式; (2)画出函数的图象.
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解：所求的函数关系式为
2x