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⼆⾃由度机械臂实验报告⼆⾃由度机械臂实验报告实验报告课程名称: 机电系统建模与控制实验项⽬名称: ⼆⾃由度机械臂实验任课教师: 马越组别：第6组成员：刘仕杰.胡据林.王昊阳.于骁实验⽇期：2019年12⽉9⽇⼀、实验简介⼆⾃由度（DOF）串联柔性（2DSFJ）机械臂包括两个⽤于驱动谐波齿轮箱（零回转间隙）的直流电机及⼀个双杆串联机构（）。
两个连接都是刚性的。
主连接通过⼀个柔性关节耦合到第⼀个驱动器上，在其端部载有第⼆个谐波驱动器，该驱动器通过另⼀个柔性关节与第⼆个刚性连接耦合。
两个电机及两个柔性关节都装有正交光学编码器。
每⼀个柔性关节配有两个可更换的弹簧。
使⽤⼀个翼形螺钉零件，就可沿着⽀撑杆，将每根弹簧端移到所希望的不同定位点。
该系统可视为多种⼿臂式机器⼈机构的⾼度近似，是典型的多输⼊多输⼊（MIMO）系统。
⼆、实验内容1. 系统开环时域动态特性和频域特性分析；2. 应⽤极点配置⽅法设计控制器，进⾏时域动态响应特性和频域特性分析（超调量、上升时间、震荡次数等，根据极点分布决定），改变极点分布位置，完成⾄少 2 组不同闭环参数性能对⽐；3. 应⽤ LQR ⽅法设计反馈控制律，进⾏时域动态响应特性和频域特性分析（超调量、上升时间、震荡次数等，根据极点分布决定），改变 Q 和 R 的值，完成⾄少 2 组不同闭环参数性能对⽐；4. 设计全阶状态观测器，完成物理 PSF 与状态观测（⾄少两组观测器极点位置）综合作⽤下的系统性能控制。
三、实验设备1.设备构造与线路图（1）直流电机#1第⼀台直流电机为⼀台可在最⾼27V 下⼯作的Maxon273759 精密刷电机（90 ⽡）。
该电机可提供 3A 的峰值电流，最⼤连续电流为 1.2A。
注意：施⽤在电机上的⾼频信号会对电机刷造成最终损坏。
产⽣⾼频噪⾳的最可能来源是微分反馈。
如果微分增益过⾼，噪⾳电压会被输⼊到电机⾥。
为保护您的电机，请将您的信号频带限制控制在 50Hz以内。
东北大学
硕士学位论文
混凝土泵车液压柔性臂架动力学分析与控制
姓名：张婧
申请学位级别：硕士
专业：机械电子工程
指导教师：刘杰
20060101
东北大学硕士学位论文第四章系统动力学分析与数值仿真
求解器的计算时间主要由方程求解、分析雅可比矩阵和数值计算雅可比矩阵三部分时间组成。
实际工作中，用户采用ＭＥＢＤＦＤＡＥ求解器对所求问题进行数值仿真可以在ＦｏｒｔｒａｎＰｏｗｅｒＳｔａｔｉｏｎ４．０环境下进行。
ＦｏｒｔｒａｎＰｏｗｅｒＳｔａｔｉｏｎ４０是基于Ｆｏｒｔｒａｎ９０标准的Ｆｏｒｔｒａｎ应用程序的集成开发环境，可运行于Ｗｉｎｄｏｗｓ９５及以上的操作系统中。
数值仿真的主要步骤如下：
（１）建立微分代数方程，并化为求解器需要的形式；
（２）通过在ＦｏｒｔｒａｎＰｏｗｅｒＳｔａｔｉｏｎ４．０环境下采用Ｆｏｒｔｒａｎ语－ｋ编制求解程序，对建立的ＤＡＥ方程进行程序输入，在此程序中要调用ＭＥＢＤＦＤＡＥ求解器文件，将编制的程序保存为文件：
（３）建立项目ＰｒｏｊｅｃｔＷｏｒｋｓｐａｃｅ，将ＭＥＢＤＦＤＡＥ求解器文件及（２）中编制的程序文件添加到项目当中，对（２）中编制的程序文件进行编译、链接、执行，最终计算结果以．ｄａｔ的形式输出。
（４１将输出的计算数据绘成图形，进行分析。
ＦｏｒｔｒａｎＰｏｗｅｒＳｔａｔｉｏｎ４．０环境下仿真工作窗口如图４２所示。
图４．２ＦｏｒｔｒａｎＰｏｗｅｒＳｔａｔｉｏｎ４．０环境下仿真工作窗口
Ｆｉｇ．４．２ＳｉｍｕｌａｔｉｎｇｗｏｒｋｗｉｎｄｏｗｕｎｄｅｒＦｏｒｔｒａｎＰｏｗｅｒＳｔａｔｉｏｎ４．０。
LQR控制的柔性机械臂快速定位方法研究作者：王清清，方传智，李梦来源：《赤峰学院学报·自然科学版》 2015年第7期王清清，方传智，李梦（安徽工程大学机电学院，安徽芜湖 241000）摘要：为了快速实现柔性机械臂的精确定位，减小机械臂移动过程中的抖动，本文利用Lagrange方法建立了柔性机械臂的动力学模型，并在此基础上利用线性二次最优控制LQR （Linear Quadratic Regulator）方法设计了机械臂快速定位控制器.在LabVIEW虚拟仪器软件中进行了仿真实验验证，结果表明：利用 LQR方法控制的机械臂系统响应更快，能更快地到达目标位置，速度提高约2.8倍，大幅减小了达到稳态的时间，同时削弱了运动过程中产生的抖动，机械臂的整体性能得到提高.关键词：柔性机械臂；精确定位；LQR控制器；系统响应中图分类号：TP241 文献标识码：A 文章编号：1673-260X（2015）04-0028-04随着现代工业化生产率大幅提升，多是通过现代自动化的生产线所得，而未来的机械人的发展一定是高速、精密、大承载和轻量化等方向.在特殊行业以及特殊环境中的特种微型机器人，在结构的设计过程中，也需要考虑的重要因素是构件的柔性变形以及影响其运动性能和动力性能等.在研究柔性机器人的研究中有三类[1]，包括针对连杆柔性、关节柔性和综合考虑两者，研究前两者的较多，综合连杆柔性和关节柔性因素的文献较少，具有一定的发展前途.目前，大多数的机器人开始向柔性方向发展，由于机器人的传动机构也是多采用谐波减速器等，所以机器臂在工作的过程中就会产生抖动的现象，这也是本文研究的一个重点问题.大多研究机器人的国内外的专家学者，都是将关节为常值刚度条件进行展开，来研究柔性关节的机器人建模与控制问题[2].机器人的刚度增强的原因[3]有很多种，例如减速器内部的齿轮在工作期间的离心力、惯性和最为关键的，一对齿轮在啮合时，啮合点随着齿轮的转动会发生实时的变化[4]，形成啮合线，在这些原因中，都会使机器人在运动过程中，关节的刚度成动态的表现.关节动态刚度是通过机构系统的振动环境进行判断预测，而预测环境包括对已知系统和响应过程，求解激励[5].朱长春等在振动环境试验响应的神经网络预测方法[6]中提到预测、响应结构抖动环境可以将神经网络运用其中.雷晓燕等在高架轨道诱发环境振动预测与评价研究中对高架轨道结构的环境运用有限元瞬态分析方法针对抖动进行预测与分析.邓长华等在管道联接件参数识别的行波法[7]中，识别管道结构联接件处物理参数运用行波理论的方法，上述文献都是对对结构的振动分析，通过已知系统和响应过程，求解激励.庄未等在运动状态下柔性关节机器入振动环境预测[8]中的结论是判断预测关节动态刚度和阻尼是机构系统激励的基础，针对机械臂系统的3自由度[9]，提出相结合行波理论与关节旋转变换矩阵，预测下机器人的柔性关节在运动状态中的振动情况以及实验分析，建立机器人机构系统的波动方程.柔性机械臂作为柔性多体系统动力学分析与控制理论研究的重要对象，是新型机器人的重要组成成分，在现代工业和国防领域中占有十分重要的地位.相对于传统的刚性机械臂，柔性机械臂具有更好的高速操作性，更低的能耗，所以拥有更大的工作空间.由于柔性机械臂在动作时会产生弹性变形，从而带来机械臂动力学系统方程的非线性、强耦合等问题，这给柔性机械臂的分析和控制带来了困难.近年来，国内外学者致力于柔性机械臂的控制分析问题，提出了多种控制方案.非线性反馈控制通过求解逆动力学方程[10]计算控制力矩以实现近似解耦和线性控制，该方法以机械臂动力学模型精确已知为前提，对于具有未知负载、存在外界扰动的机械臂难以保证控制性能；自适应控制方法能够通过自适应方法[11~12]辨识机械臂参数，不需要预先已知，但是对于高速运行的柔性机械臂控制需要在线计算大量位置、速度等非线性函数，计算量大且控制器实现困难；神经网络方法[13~14]通过学习模型中的未知信息来逼近机械臂系统的动力学模型以实现控制，但是该方法学习速度较慢，计算量过大，难以满足实时性要求.柔性机械臂控制系统的最优控制要兼顾系统响应和系统控制两方面，综合考虑使性能达到最优.本文在分析现有机械臂控制方法的优缺点后，选取线性二次最优控制方法（LQR）作为机械臂动力学系统的控制器.使用LQR方法[15~16]的优点是不必根据要求的性能确定闭环极点的位置，只需要根据系统的响应曲线寻找出合适的状态变量和控制量的加权矩阵即可，因为求得的控制器是误差指标J最优意义下的控制器，所以系统的性能也是误差指标意义下最优的.1 柔性机械臂的动力学模型本文以电机和齿轮减速箱驱动的单连杆柔性机械臂作为研究对象，模型建立过程如下：系统的弹性势能：T0表达式中各参数定义：kt为电机转矩常量，km为电机反电动势，kg为齿轮箱总传动系数，Rm为电机线圈电阻值，Vm为外加电压，ηm为电动机效率，ηg为齿轮箱效率.将公式（5）分别代入公式（6）、（7）并求解得到以下结果：以上就是柔性机械臂系统的动力学模型.将式（9）、（10）的模型转换成状态方程，便于构建控制器对模型进行最优控制，转换后的方程如下：2 建立LQR控制器LQR控制器的设计原理是线性二次最优控制思路，在系统由于本身因素或者外界干扰影响而失去平衡状态时，该控制器能在较低能耗下控制系统各分量回归接近于平衡状态[17].经过控制的系统实现可线性化，所以解答简单，适用于对柔性机械臂系统的控制.对线性系统的状态空间方程描述一般如下：x(t)=Ax(t)+Bu(t)（12）y(t)=Cx(t)（13）其中A,B,C分别为时间的矩阵函数，最优控制的目的是将系统由非平衡状态控制返回接近至平衡状态.LQR方法给定了决定性能的目标函数：其中u不受限制，Q为半正定矩阵，是对状态变量的加权矩阵，R为正定矩阵，是对输入量的加权矩阵.对于本文建立的柔性机械臂动力学模型，相应的LQR控制器指标函数可以表达为：只要上式的J达到最小，就实现了LQR控制器对柔性机械臂的最优控制.3 仿真实验及结果分析对式（11）模型中的各参数计算赋值：Rm=2.6?赘，k=0.8，kt=0.00767N·m/A，km=0.00767V/(rad/s)，kg= 70，J1=2.6×10-3kg·m2，J2=3.5×10-3kg·m2，Be=4×10-3 Nm·s/rad，ηg=0.9，ηm=0.69.将以上参数代入式（11）计算，结果转化为式（12）、（13）的模式如下：在LabVIEW软件中搭建了LQR模型，模型的参数经过试验比较选择如下：本文研究的柔性机械臂性能评定指标是定位角θ和机械臂移动过程中的摆角α，要求θ在响应过程中能迅速达到目标定位值，要求α能迅速达到期望值0，并且在响应过程中出现尽量少的抖动.将上述机械臂动力学模型参数和LQR控制器模型参数加载到控制程序中，在系统的阶跃响应情况下比较加入控制器和未加控制器的响应结果，结果如下图1所示.将图1中表示θ和α的阶跃响应参数提取列表如下.得到反馈的LQR控制器最优参数为：K=[1.15 -2.51 0.22 -0.04].分析图1中两组阶跃响应图：图（a）中定位角θ的响应曲线经过LQR控制前后有明显区别，在设定一个共同的期望定位角后，LQR控制的系统相对无控制的系统响应时间较快，从表1可知无控制的θ角达到期望值的时间为7.7s，而LQR控制的θ角达到期望值的时间仅为2.75s，效率提高近2.8倍，柔性机械臂的定位速度得到大幅提高.摆动角α表示机械臂移动过程中的抖动强弱，是机械臂稳定性评估的重要参数.从图（b）结合表1可知，施加LQR控制前后，α到达期望值0的时间接近，分别为控制前的2.2s和控制后2.1s.但是未加LQR控制的α响应曲线在达到期望过程中存在较多峰值，抖动效果太强，在工作过程中会对作用对象造成破坏，长时间抖动也会影响机械臂本身寿命和精度.而经过LQR控制的α角在响应过程中只存在一个较高峰值，随后迅速削弱向期望值0逼近并保持，说明经过LQR方法控制的系统自动调节平衡能力远强于未加LQR控制的系统，同时大幅度削弱了抖动，对作用对象和柔性机械臂都有较好的保护.分析了LQR控制系统响应的优越性后，作出LQR控制的柔性机械臂系统的输出效果曲线，如图2所示.图2中定位角θ稳定上升到目标位置，控制效果偏差从初始位置迅速降低到0，由于LQR系统很好的消除了机械臂动作过程中的抖动，摆动角α输出曲线基本保持在0位置，图1、图2的分析结果表明经过LQR控制的柔性机械臂系统能够实现快速精确定位，并且能有效削弱定位过程中机械臂的抖动.4 总结目前，机器人的方向开始往柔性方向发展，而机器人的传动机构多采用谐波减速器等，所以机器臂在工作的过程中就会产生抖动的现象，这也是本文研究的一个重点问题.柔性机械臂的快速定位和抖动消除是一个复杂的问题，建立柔性机械臂系统控制器模型不仅要考虑定位的快速准确，更要保证模型能够削弱机械臂动作过程中的抖动.本文提出利用LQR 方法建立柔性机械臂的控制模型，在LabVIEW软件中进行了仿真实验.实验结果表明，LQR方法控制后的柔性机械臂可以快速精确地到达目标位置，并且可以大幅削弱定位过程中机械臂的抖动，该方法效果稳定快速，能够用于控制柔性机械臂的快速定位.参考文献:〔1〕姜春福，余跃庆.神经网络在机器人控制中的研究进展[J].北京工业大学学报，2003（l）.〔2〕褚明，贾庆轩，孙汉旭，等．空间柔性操作臂的动力学／控制耦合特性研究[J]．北京邮电大学学报，2008，31(3)：98-102．〔3〕刘晓平，李景溃，员超，等．120kg点焊机器人运动状态下的动态特性分析[J]．中国机械工程，2002，13(13)：1137-1140．〔4〕刘国华，李亮玉，赵继学．考虑反向齿面啮合力的齿轮系统时变啮合刚度的研究[J]．天津工业大学学报，2006，25(6)：54—57．〔5〕庄未，刘晓平.运动状态下柔性关节机器入振动环境预测[J].北京邮电大学学报，2009（5）.〔6〕朱长春，王懋礼，曾启铭，等．振动环境试验响应的神经网络预测方法[J]．振动与冲击，2007，26(4).〔7〕邓长华，任建亭，任兴民，等．管道联接件参数识别的行波法[J]．应用力学学报，2007，24(4)：584-587．〔8〕庄未，刘晓平.运动状态下柔性关节机器入振动环境预测[J].北京邮电大学学报，2009（5）.〔9〕宋西蒙．倒立摆系统LQR一模糊控制算法研究[D].西安电子科技大学，2006.〔10〕孙迪生，王炎.机器人控制技术[M].北京：机械工业出版社，1997.〔11〕崔美瑜，徐世杰.基于直接自适应控制的挠性航天器高精度姿态控制[J].航天控制，2011，29（5）：35-39.〔12〕高秀兰，鲁开讲，等.并联机构非线性PID自适应控制[J].机械设计与制造，2012（12）：125-127.〔13〕刘成良，等.神经网络在机器人运动控制中的应用研究[J].机械科学与技术，2003，22（2）：226-228.〔14〕姜春福，等.神经网络在机器人控制中的研究进展[J].北京工业大学学报，2003，29（1）：5-11.〔15〕谭文龙.一种改进的二级倒立摆LQR控制器参数优化方法[J].重庆理工大学学报，2012，26（3）：85-88.〔16〕宋西蒙.倒立摆系统LQR—模糊控制算法研究[D].西安电子科技大学,2006. 〔17〕李洋.基于LQR算法两轮自平衡小车的系统设计与研究[D].太原理工大学,2011.。
基于观测器的柔性关节机械臂滑模控制黄华;李光;林鹏;杨韵;李庆【摘要】柔性机械臂在运动过程中会产生如扭曲、弹性、剪切等形变，给柔性机械臂的分析和控制带来困难。
为了满足柔性机械臂高性能的控制要求，提出将基于观测器的滑模控制方法用于柔性机械臂中，设计一个观测器观测柔性机械臂系统各个状态变量，并且采用滑模变结构设计控制器。
仿真结果表明，基于观测器的柔性关节机械臂滑模控制方法能够很好地观测到系统各个状态变量，且状态估计误差趋近于零，满足柔性臂的快速跟踪性要求，具有很好的实践意义。
%Flexible manipulator arm occurs twisted, elastic and shearing deformations in the process of movement, which brings difficulty to its analysis and control. In order to meet the requirements of high performance control of flexible arm, proposes the observer-based sliding mode control method for flexible manipulator, designs an observer to monitor the state variables of flexible manipulator arm system, and applies sliding mode variable structure to design the controller. The simulated result shows that the proposed method does well in observing the variables of the system and the state estima-tion error approaches to zero, which meets the fast tracking of flexible arm, and has good practical significance.【期刊名称】《湖南工业大学学报》【年(卷),期】2014(000)001【总页数】5页(P62-66)【关键词】柔性机械臂;滑模控制;状态观测器【作者】黄华;李光;林鹏;杨韵;李庆【作者单位】湖南工业大学电气与信息工程学院，湖南株洲 412007;湖南工业大学机械工程学院，湖南株洲 412007;湖南工业大学机械工程学院，湖南株洲412007;湖南工业大学机械工程学院，湖南株洲 412007;湖南工业大学机械工程学院，湖南株洲 412007【正文语种】中文【中图分类】TP368.4目前，关于机械臂的研究主要集中在机械臂是刚性的情况，但实际应用中，空间机械臂由于质量轻、体积小，所以必须考虑机械臂的柔性才能取得良好的控制精度和稳定性。
柔性机械臂振动控制1引言随着人类科技水平的不断进步，机器人的应用越来越广泛。
新一代机器人正向着高速化、精密化和轻型化的方向飞速发展, 传统的将机器人视为刚体系统的分析与设计方法已显得愈加不适用。
近二十年,计及构件及关节弹性影响的柔性机器人动力学分析与振动控制问题已受到国内外学者的广泛关注[1]。
在工业、医疗、军事等领域内，它能够代替人类完成大量重复、机械的工作。
近些年，人类对外太空的探索不断深入，空间机器人因为具有较强的恶劣环境的适应能力，且完成任务的精确程度较高，正受到越来越多科研机构的关注和重视。
机械臂作为机器人的重要组成部分，其未来的发展趋势是高速、高精度和轻型化。
操作灵活、性能稳定的柔性机械臂，无论在航天领域还是在工业领域都具有很高的应用价值。
柔性机械臂系统的动力学特点是大范围刚体运动的同时，伴随着柔性臂杆的小幅弹性振动。
柔性臂杆的弹性振动将极大地影响机械臂末端的定位精度，甚至影响机器人系统的稳定性。
2研究背景及意义随着工业自动化程度的提高，工业机器人的应用范围也从传统的汽车制造领域推广到了机械加工业、电子电气业、食品工业、物流、医疗等领域，机器人的科，类包括了焊接机器人、喷涂机器人、洁净机器人和医疗机器人等。
瑞典ABB公司制造的“IRB5400-12”喷涂机器人(图1所示)，具有6个自由度，工作时关节轴的最大转速137o/S，末端定位精度0.15mm，其性能特点是喷涂精确、工作域大、负载能力强且运行可靠性高。
日本FANUC公司制造的“M-10iA”工业机器人(图2所示)，工作半径1420mm，重复精度士0.8mm，主要用途包括搬运、弧焊、机床上下料等。
图1 IRB“5400-12”喷漆机器人图2 “M-10iA”工业机器人日本松下公司和IRT研究院（(Information and Robotics Technology）联合研制的“KAR”洗碗机辅助机器人(图3所示)，臂杆上安装了18个传感器，手爪配备防滑材料，可以牢牢抓住碗碟，防止意外跌落[2]。
如图4所示，是“KAR”机器人正在完成洗碗工作。
图3“KAR”洗碗机辅助机器人图4 “KAR”机器人正在完成洗碗动作分析上述材料可以发现，机器人的应用已经渗透到了人类生活的各个方面，它能够代替人类完成许多单调、重复的作业，甚至危险、恶劣环境下的作业，对人类的作用越来越重要。
从近年来机器人的发展趋势看，无论是工业机器人、服务机器人，还是空间机器人，都朝着智能化、模块化和系统化的方向发展。
作为机器人的重要组成部分，机械臂的发展趋势呈现高速、高精度、高可靠性，便于操作和维修的特点。
近年来，很多学者针对机械臂协调操作柔性负载进行了研究，这些研究主要集中在对保证系统稳定性的控制器设计与操作技巧的讨论，然而在许多工作场合需要精确操作，此时就不得不考虑柔性负载的振动问题。
在航天、印刷线路板、汽车工业等领域由于大型或者轻薄金属板的应用，在操作过程中不可避免的要引起振动，这些领域对精确性与安全性的要求很高，因此振动必须得到控制。
由于对象的振动必然会给机械臂的稳定带来影响，因此必须寻找合适的方法抑制这种影响，以使危害降低到最小程度。
为了防止对柔性对象带来损害，内力必须得到控制。
从国内外的研究现状来看，操作柔性负载机械臂协调运动系统的研究刚刚处于起步阶段，对于协调控制及振动抑制问题学术上还没有形成完整的体系，特别是对振动抑制进行研究的还很少，大多数学者都是对操作柔性物体过程中的某一个具体问题进行研究的，因此对机械臂协调操作柔性负载的研究具有很重要的意义和前景。
3柔性机械臂关键技术的研究现状对柔性对象的研究刚刚处于起步阶段，进行研究的学者还很少，特别是对柔性负载振动进行直接抑制的还不多，还有许多关键问题需要解决。
机械臂代替人手可以大大增加效率，可以使准确度提高，在工作空间中用机器人取代人可以使安全性大大提高，并且机器人不易疲劳可以连续工作，这几方面又间接带来经济上的效益。
对操作对象是柔性的机械臂的控制与对象是刚性的机械臂的控制有很大的区别。
传统刚性机械臂的基座粗壮，臂杆短，操作空间有限，灵活性较差，难以满足现代自动化生产以及高精密行业的使用要求。
结构轻、载重/自重比高的柔性机械臂以其能耗低、操作灵活、响应快速的优点，逐渐在制造业、航天工业等领域中占据了越来越重要的地位。
柔性机械臂由柔性单元件构成，主要包括柔性关节和柔性臂杆两个部分。
这些柔性部件在机械臂运动过程中会产生一定程度的扭曲、弹性、剪切变形，使得柔性机械臂成为一类刚柔耦合、非线性的无限维分布参数系统，其动力学模型比刚性机械臂更为复杂。
从目前的调研情况看，想要建立完整而精确的动力学模型是困难的，这就使得柔性机械臂的轨迹规划和末端定位控制比刚性机械臂要困难很多。
针对柔性机械臂容易发生弹性振动影响系统稳定性和机械臂末端定位精度的问题，分析柔性机械臂振动的动力学特性，设计有效控制策略实现柔性机械臂的轨迹规划和末端精确定位，以提高机械臂的工作稳定性和系统可靠性，是近年来国内外学者的研究重点。
4柔性机械臂的动力学建模为了有效地实现柔性机械臂的振动控制，分析柔性机械臂振动的动力学特性，建立较为准确的数学模型是非常重要的，它为控制器的设计提供了理论依据。
对柔性机械臂进行动力学分析时，需要考虑四个基本问题，文献[3]做了详细阐述，包括变形的描述、变形场的离散化、建模方法、近似分析。
根据柔性机械臂振动时的动力学特点，借助振动模态理论和材料力学中的相关理论，建立柔性臂杆的振动数学模型。
图5 柔性机械臂的运动示意图将未变形时柔性臂杆的轴线选作x 轴，原点O 取在臂杆与关节轮毂的联接处，臂杆上任意一点P 的横向振动位移为u ，图5为柔性机械臂的运动示意图。
取距离原点x 处，长度为dx 的微段作为分离体，分析其振动式的受力情况。
设柔性臂杆长度为常量L ，臂杆的横截面积为常量A ，材料弹性模量为常量E,体密度为常量p ，横截面关于中性轴的惯性矩为常量I ，u(x ，t)表示微段在向振动位移，f(x ，t)和m(x ，t)分别表示该微段上分布的横向外力和外力矩，V 和M 分别是截面上的剪切力和弯矩，臂杆的t 时刻的横，22t)(x,tu Adx ∂∂ρ是微段的惯性力。
微段的受力情况如图6所示，图中所有力和力矩均按正方向画出。
图6 柔性机械臂振动受力分析图根据牛顿第二定律，该微段横向振动时满足dx f tu Adx x V -t)dx f(x ,dx )x V (V -V t)dx (x ,t)(x ,22∂∂=∂∂++=∂∂ρ (1) 忽略横截面绕中性轴的转动惯量，对微段右侧端面内任意一点取矩，并略去高阶小量得到dx dx xM M t)m(x ,Vdx M +∂∂+=+ (2) 根据材料力学中挠曲轴近似微分方程EI M tu =∂∂22t)(x,，将其代入上式，得到化简后的柔性臂杆的弯曲振动微分方程为x t)m(x ,-t)f(x,xt)(x ,t)(x ,4422∂∂=∂∂+∂∂u EI t u A ρ (3) 上述方程中的载荷是分布力与分布力矩，如果是集中力F(t)和集中力矩M(t)，则相应项变为: )-(x F(t)t)(x ,1ζδ=f ，)()(),(2ζδ-=x t M t x m ,其中1ζ和2ζ是施力点，(x)δ为狄拉克函数。
当机械臂处于自由振动时，f(x,t)和m(x,t)恒等于零，于是推出柔性臂杆的弯曲自由振动微分方程为0x t)(x,t)(x,4422=∂∂+∂∂u EI t u A ρ (4) 这是一个四阶常系数齐次偏微分方程，用分离变量法求解，可以得到柔性机械臂的固定频率和主振型。
建立精确的、适用的柔性机械臂动力学模型是柔性臂振动控制研究的基础。
5柔性机械臂振动控制5.1基于线性二次型最优控制的柔性臂振动控制柔性机械臂是典型的机电耦合的动力系统，也是带有分布参数的强耦合、非线性、时变、多输入、多输出系统，且具有逆运动学不确定性。
迄今为止，对柔性机械臂的振动控制的研究尚难尽人意。
研究目标大多还停留在对单个柔性机械臂控制规律的摸索中。
随着研究的深入和工程实际的需要，使得相应的控制系统分析和控制器的设计日趋复杂，几乎涉及到控制的所以领域。
振动控制主要解决柔性臂杆弹性振动的抑制问题，控制效果的好坏直接影响柔性机械臂的稳定性和末端定位精度。
从是否需要外界输入能量的角度考虑，振动控制可以分为:被动控制、主动控制和主被动混合控制[4]。
目前，应用较为广泛的控制算法主要有PD控制、最优控制、自适应控制、变结构控制[5]、智能控制等。
建立旋转柔性机械臂动力学模型的目的是为了对柔性机械臂进行振动主动控制。
柔性机械臂振动的主要来源有两个方面:(1)柔性臂本身在运行过程中由于弹性而引起的变形和振动。
柔性机械臂的轻质、柔性化大幅度地提高了工作效率和机动性，降低了能耗，但带来了更为突出的、需解决的振动问题[5]。
(2)由驱动系统的弹性及非线性因素引起的振动。
在柔性机械臂的驱动系统中，存在着转轴之间的库仑干摩擦阻尼，传动装置中的齿轮间隙及谐波齿轮减速器的弹性等因素，都可能引起柔性臂的振动。
当柔性机械臂的运动速度不高时，忽略这些因素，还能得到较好的近似效果。
但在高速度高精度的性能要求下，则必须计入库仑干摩擦阻尼、齿轮间隙及谐波齿轮减速器的弹性等因素。
线性二次型最优控制系统原理如图7所示。
图7线性二次型最优控制原理图实现状态反馈需要用传感器测量状态变量，但许多中间状态变量不易测得或不可能测得，给工程实现带来困难。
例如在进行状态反馈设计时，受控系统的状态变量x往往不能直接获得，可测量到的经常是系统的输出，这时一般用状态观测器来重构状态变量。
这里的状态观测器是指一个物理上可以实现的动力学系统，它在待观测系统的输入和输出(可测量得到)的驱动下产生一组逼近于待观测系统状态变量的输出，则动力学系统所输出的一组状态变量可作为待观测系统的状态变量的估计值。
5.2仿真分析考虑在水平平面内转动的单连杆柔性机械臂。
取前一阶模态，设状态变量,]q ,q ,[T 11。
，θθ=x 得到始于控制的柔性臂状态空间模型为： u x x ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2-5002-0105-06019010000100。
[]x y 000.03-1==‘θ设跟踪轨迹线(t)ξ为阶跃函数，其赋值为1rad ，即：3Cz (t)=ξ， (5)选取[]Tz 0001(0)3=可使(t)ξ与规划跟踪轨迹一致。
参考有关文献[7-8]，结合多次筛选，取,10000000001000001000⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=。
x R=0.1，得最优控制],z --K[x (t)*u 3=此时控制器的增益[],4.56638.862530.9531100-=K柔性机械臂的端部转角‘θ如图8所示，从图中可以看出，大约经过5秒的时间柔性机械臂能够达到规定的位置，并且在达到规定位置时的振动很快地衰减。
