第4讲根的判别式及根与系数的关系考点·方法·破译1．掌握一元二次方程根的判别式的运用，能兼顾运用的条件；2．理解掌握一元二次方程的根与系数关系，并会运用根与系数关系求对称式的值.经典·考题·赏板【例１】（成都）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k>-1 B. C.k<1 D.【解法指导】由题意得【变式题组】1．（十堰）下列方程中，有两个不相等实数根的是（）A． B. C. D.2．(潍坊)关于x的方程有实数根，则整数a的最大值是（）A．6 B.7 C.8 D.9【例２】（荆州）关于x的方程只有一解（相同解算一解），则a的值为（）A．a=0 B.a=2 C.a=1 D.a=0或a=2【解法指导】本题考查方程的有关知识，关于x的方程只有一解，有两种情况，①该方程是一元一次方程，此时a=0；②该方程是一元二次方程，方程有两个相等的实数根，,解得a=2.故选D.【变式题组】3．(成都)设是一元二次方程的两个实数根，则的值为_________.4．(南通)设是一元二次方程的两个实数根，则,则a=______【例３】（包头）关于x的一元二次方程的两个实数根分别是，且=7,则的值是（）A．1 B.12 C.13 D.25【解法指导】本题考查一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，要注意所求的值必须满足.由题意知：又∵,而当m=5时，原方程的判别式,此时方程无解，不合题意舍去.,故选C.【变式题组】5．（潍坊）已知关于x的一元二次方程的两个实数根是,则k的值是（）A．8 B.-7 C.6 D.56．（鄂州）设是关于x的一元二次方程的两实根，当a为何值时，有最小值？最小值是多少？【例４】（兰州）已知关于x的一元二次方程.(1)如果此方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围；(2)如果此方程的两个实数根为,且满足,求a的值.【解法指导】 解：（1）.∵方程有两个不相等的实数根，.(2)由题意得：【变式题组】7．(绵阳)已知关于x 的一元二次方程x 2 + 2（k －1）x + k 2－1 = 0有两个不相等的实数根．（1）求实数k 的取值范围； （2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．【例５】 （中山）已知关于x 的方程.（1）求证:方程有两个不相等的实数根.（2）当m 为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解.【解法指导】 证明方程有两个不相等的实数根，一般要把化为完全平方加正常数的形式.（1）证明:因为△=)12(4)2(2--+m m =4)2(2+-m 所以无论m 取何值时, △>0，所以方程有两个不相等的实数根.（2）解：因为方程的两根互为相反数，所以021=+x x ，根据方程的根与系数的关系得02=+m ，解得2-=m ，所以原方程可化为052=-x ，解得51=x ，52-=x【变式题组】8．(中山)已知一元二次方程.(1)若方程有两个实数根，求m 的值；（2）若方程的两个实数根为，且+,求m 的值.【例６】 设实数s ,t 分别满足,并且st ≠1，求的值.【解法指导】 本题要观察s,t 的共同点，应用方程的思想，把它们看做一个一元二次方程的两根，应用根与系数关系求值. 解：∵s ≠0，∴第一个等式可以变形为：,又∵st ≠1，∴t 是一元二次方程x 2 + 99x + 19 = 0的两个不同的实根，于是，有,即st + 1 =－99s ，t = 19s ．∴演练巩固·反馈提高01．(东营)若n （n ≠0）是关于x 的方程的根，则m+n 的值为A.1B.2C.-1D.-202．(株洲)定义：如果一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠满足0a b c ++=，那么我们称这个方程为“凤凰”方程. 已知20(0)ax bx c a ++=≠ 是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是A ．a c =B ．a b =C ．b c =D ． a b c ==03．（崇左）一元二次方程的一个根为-1，则另一个根为 ．04．(贺州)已知关于x 的一元二次方程02=--m x x 有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 ．05．（上海）如果关于x 的方程20x x k -+=（k 为常数）有两个相等的实数根，那么k = ．1、 06．（泰安）关于x 的一元二次方程02)12(22=-+++-k x k x 有实数根，则k 的取值范围是 .07．（淄博）已知关于x 的方程014)3(222=--+--k k x k x ． （1）若这个方程有实数根，求k 的取值范围； （2）若这个方程有一个根为1，求k 的值；（3）若以方程014)3(222=--+--k k x k x 的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数xmy =的图象上，求满足条件的m 的最小值．08．已知关于x 的一元二次方程(1)若方程有两个相等的实数根，求m 的值； （2）若方程的两个实数根之积等于,求的值.09．（孝感）已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m +-+=有两个实数根1x 和2x ． （1）求实数m 的取值范围；（2）当22120x x -=时，求m 的值．10．（鄂州）关于x 的方程04)2(2=+++kx k kx 有两个不相等的实数根. (1)求k 的取值范围.(2)是否存在实数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由 11．（北京）已知：关于x 的一元二次方程2(32)220(0)mx m x m m -+++=>． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为1x ，2x （其中12x x <）．若y 是关于m 的函数，且212y x x =-，求这个函数的解析式；（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量m 的取值范围满足什么条件时，2y m ≤．12．（淄博）已知12,x x 是方程220x x a -+=的两个实数根，且1223x x +=- (1)求12,x x 及a 的值； (2)求32111232x x x x -++的值．培优升级·奥赛检测01．（全国联赛）设213a a +=，213b b +=，且a b ≠，则代数式2211a b+的值为 （ ）A 5. B7. C 9. D.11.02．（延边预赛）已知m 是方程的一个根，则代数式的值等于（ ）A ．2016 B.2017 C.2018 D.201903．如果a 、b 都是质数，且,那么的值为（ ）A ． B. C. D 或204．（全国竞赛）已知实数，且满足的值为（ ）A ．23 B.-23 C.-2 D.-1305.(全国竞赛)设是关于x 的方程的两个实数根，则的最大值为___________06．已知是方程的两个实数根，则07．（全国联赛）对于一切不小于2的自然数n ，关于x 的一元二次方程的两个根记作,则__08．已知关于x的方程：.(1)求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根；（2）若这个方程的两个实根为，满足,求m的值及相应的.09．（全国竞赛）设m是不小于-1的实数，使得关于x的方程有两个不相等的实数根,(1)若,求m的值；（2）求的最大值.。
第04讲全等三角形的判定一、全等三角形判定1——“边边边”全等三角形判定1——“边边边”三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.要点：如图，如果''A B ＝AB，''A C ＝AC，''B C ＝BC，则△ABC≌△'''A B C .二、全等三角形判定2——“边角边”1.全等三角形判定2——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.要点：如图，如果AB ＝''A B ，∠A＝∠'A ，AC ＝''A C ，则△ABC≌△'''A B C .注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2.有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC 与△ABD 中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.三、全等三角形判定3——“角边角”全等三角形判定3——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.要点：如图，如果∠A＝∠'A ，AB＝''A B ，∠B＝∠'B ，则△ABC≌△'''A B C .四、全等三角形判定4——“角角边”1.全等三角形判定4——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）要点：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC 和△ADE 中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC 和△ADE 不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.五、判定方法的选择1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：已知条件可选择的判定方法一边一角对应相等SAS AAS ASA 两角对应相等ASA AAS两边对应相等SAS SSS2.如何选择三角形证全等（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.一、“SSS ”证明三角全等例1．如图，ABC 中，AB AC =，BE EC =，直接使用“SSS ”可判定（）A ．ABD ACD △≌△B ．ABE ACE △≌△C ．BED CED △≌△D ．ABE EDC≌例2．如图，在ACE △和BDF V 中，AE BF =，CE DF =，要利用“SSS ”证明ACE BDF V V ≌，需增加的一个条件可以是（）A ．AB BD =B ．DC AC =C ．AB CD =D ．AC BC=例3．如图，木工师傅常用角尺平分任意一个角，做法如下：如图，在AOB ∠的边OA OB 、上分别取OM ON =，移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与M 、N 重合，得到AOB ∠的平分线OP ．做法中用到的三角形全等的判定方法是（）A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．HL例4．已知AOB ∠．下面是“作一个角等于已知角，即作A O B AOB '''=∠∠”的尺规作图痕迹．该尺规作图的依据是（）A ．SASB ．SSSC ．AASD ．ASA例5．一个三角形的三边长为5，x ，14，另一个三角形的三边长为5，10，y ，如果由“SSS ”可以判定两个三角形全等，则x y +的值为（）A ．15B ．19C ．24D ．25例6．如图，AD BC 、交于点O ，AC BD BC AD ==，．求证：C D ∠=∠．例7．如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB AE =，AC AD =，BC DE =，48C ∠=︒，求D ∠．二、“SAS ”证明三角全等例8．如图，已知12∠=∠，AC AB =，则ABD ACD △≌△的依据是（）A ．ASAB ．AASC ．SSSD ．SAS例9．如图，AB 与CD 相交于点O ，且O 是AB CD ，的中点，则AOC 与BOD 全等的理由是（）A ．SASB ．ASAC ．SSSD ．HL例10．如图，若AB DE =，BC EF =，B E ∠=∠，则判定ABC DEF ≌△△的方法是（）A ．AASB ．ASAC ．SASD ．SSS例11．如图，若已知AE AC =，用“SAS ”说明ABC ADE △≌△，还需要的一个条件是（）A ．BC DE =B ．AB AD =C ．BO DO =D ．EO CO=例12．如图，点A 、B 、C 、D 在同一直线上，AF DE =，A D ∠=∠，AC DB =．求证：ABF DCE △△≌．例13．如图，已知点B ，E ，C ，F 在同一直线上，BE CF =，ABC DFE ∠=∠，AB DF =．求证：ABC DFE △≌△．例14．如图，在ABC 中，AB AC =，点D 、E 都在边BC 上，且BE CD =，求证：AD AE =．例15．如图，AD BC ，相交于点O ，OB OC OA OD ==，，延长AD 到F ，延长DA 到E ，AE DF =，连接CF BE ，．求证BE CF ∥．三、“AAS 、ASA ”证明三角全等例16．如图，已知12∠=∠，B C ∠=∠，不正确的等式是（）A ．AB AC =B ．BAE CAD ∠=∠C ．BE DC =D ．BD DE=例17．小刚把一块三角形玻璃打碎成了如图所示的三块，现要到玻璃店取配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）A ．带①去B ．带②去C ．带③去D ．带①和②去例18．已知D 是ABC 的边AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE EF =，FC AB ∥，若2BD =，5CF =，则AB 的长为（）A ．1B ．3C ．5D ．7例19．已知，如图，AB AE =，AB DE ∥，ACB D ∠=∠，求证：ABC EAD △△≌．例20．如图，12∠=∠，34∠∠=，求证AC AD =．∵34∠∠=，∴180︒-______180=︒-______，∴ABD ABC ∠=∠．在ABD △和ABC 中，____________________________________∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴ABD ABC ≅△△（）．∴______＝______．例21．已知：如图，A ，E ，F ，B 在同一条直线上，CE AB DF AB AE BF A B ⊥⊥=∠=∠，，，．求证：CE DF =．例22．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，点E 为对角线BD 上一点，A BEC ∠=∠，且AD BE =．求证：ABD ECB ≌．一、单选题1．如下，给定三角形的六个元素中的三个元素，画出的三角形的形状和大小完全确定的是（）①三边；②两角及其中一角的对边；③两边及其夹角；④两边及其中一边的对角．A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④2．如图，在△ABC 与△ADC 中，若BAC DAC ∠=∠，则下列条件不能判定△ABC 与△ADC 全等的是()A ．B D ∠=∠B ．BCA DCA ∠=∠C ．BC DC =D ．AB AD =3．某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（）．A ．带①去B ．带②去C ．带③去D ．①②③都带4．如图，E 、B 、F 、C 四点在一条直线上，EB ＝FC ，AC DF ∥，再添一个条件仍不能证明△ABC ≌△DEF 的是（）A ．AB ED ∥B ．DF ＝AC C ．ED ＝AB D ．∠A ＝∠D 5．如图，在ABC 和DEC 中，已知AB DE =，添加两个条件仍不能使ABC DEC ≌△△的是（）A ．BC EC =，B E ∠=∠B ．BC EC =，AC DC =C ．BC DC =，AD ∠=∠D ．BE ∠=∠，A D ∠=∠6．如图，AB AC =，点D 、E 分别在AB 、AC 上，补充一个条件后，仍不能判定△ABE 与△ACD 全等的是（）A ．BC ∠=∠B ．AD AE =C ．BE CD =D ．AEB ADC∠=∠7．如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则1∠与2∠的和为（）A ．45︒B ．60︒C ．90︒D ．100︒8．在下列各组的三个条件中，能判定△ABC 和△DEF 全等的是（）A ．AC=DF ，BC=DE ，∠B =∠D B ．∠A =∠F ，∠B =∠E ，∠C =∠D C ．AB=DF ，∠B =∠E ，∠C =∠F D ．AB=EF ，∠A =∠E ，∠B =∠F9．根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC 的是（）A ．3cm AB =，7cm BC =，4cm AC =B ．3cm AB =，7cm BC =，8cm AC =C ．30A ∠=︒，3cm AB =D ．30A ∠=︒，100B ∠=︒，50C ∠=︒10．如图，在方格纸中，以AB 为一边作△ABP ，使之与△ABC 全等，从P 1，P 2，P 3，P 4四个点中找出符合条件的点P ，则点P 有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．如图，在△ABC 与△AEF 中，AB ＝AE ，BC ＝EF ，∠ABC ＝∠AEF ，∠EAB ＝40°，AB 交EF 于点D ，连接EB ．下列结论：①∠FAC ＝40°；②AF ＝AC ；③∠EBC ＝110°；④AD ＝AC ；⑤∠EFB ＝40°，正确的个数为（）个．A ．1B ．2C ．3D ．412．如图1，已知AB=AC ，D 为∠BAC 的平分线上一点，连接BD 、CD ；如图2，已知AB=AC ，D 、E 为∠BAC 的平分线上两点，连接BD 、CD 、BE 、CE ；如图3，已知AB=AC ，D 、E 、F 为∠BAC 的平分线上三点，连接BD 、CD 、BE 、CE 、BF 、CF ；…，依次规律，第n 个图形中全等三角形的对数是（）A ．nB ．2n-1C ．()12n n +D ．3（n+1）二、填空题13．如图，已知AC DB =．要使ABC DCB ≅ ．只需添加的一个条件是______．14．三角形全等的判定方法——“角边角”（即ASA ）指的是_______________________________15．如图，要测量水池宽AB ，可从点A 出发在地面上画一条线段AC ，使AC AB ⊥，再从点C 观测，在BA 的延长线上测得一点D ，使ACD ACB ∠=∠，这时量得120m AD =，则水池宽AB 的长度是__m ．16．如图，点D 是△ABC 的边AB 上一点，FC ∥AB ，连接DF 交AC 于点E ，若CE =AE ，AB =7，CF =4，则BD 的长为________．17．填表．已知两个对应相等的边或角应寻找的条件证明三角形全等的依据两边SAS SSS一角及其对边AAS一角及其邻边SASAAS 或ASA两角ASA 或AAS 18．在ABC 与DEF 中，,,,3cm,5cm A D B E BC EF AB AC ∠=∠∠=∠===，那么DE =______cm ．19．如图，在ABC 中，CE 平分ACB ∠，CE AD ⊥于点E ，若ABC 的面积为212cm ，则阴影部分的面积为________2cm ．20．如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别在边AB 和边AC 上，且∠EDF=90°，则下列结论一定成立的是_______①△ADF ≌△BDE②S 四边形AEDF =12S △ABC ③BE+CF=AD④EF=AD三、解答题21．已知：如图，A 、B 、C 、D 四点在一条直线上，且AB ＝CD ，∠A ＝∠D ，∠ECA ＝∠FBD ．求证：AE ＝DF ．22．如图，在△ABC 中，已知∠ABC ＝∠ACB ，BD 、CE 分别平分∠ABC 、∠ACB ，那么△BDC 与△CEB 全等吗？为什么？解：因为BD 、CE 分别平分∠ABC 、∠ACB （已知），所以∠DBC＝12（），∠ECB＝12（）．由∠ABC＝∠ACB（已知），所以∠DBC＝∠ECB（）．在△BDC与△CEB中，，（），（）．所以△BDC≌△CEB（ASA）．23．如图，两车从路段A，B的两端同时出发，以相同的速度行驶，相同时间后分别到达C，D两地，两车行进的路线平行．那么C，D两地到路段AB的距离相等吗？为什么？24．已知：如图，A、F、C、D在同一直线上，AB∥DE，AB＝DE，AF＝CD，求证：(1)BC＝EF；(2)BC∥EF．25．如图，在△ABC和△DEF中，边AC，DE交于点H，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF．(1)若∠B ＝55°，∠ACB ＝100°，求∠CHE 的度数．(2)求证：△ABC ≌△DEF ．26．已知：如图，在△AOB 和△COD 中，OA =OB ，OC =OD ，∠AOB =∠COD =50°．(1)求证：AC =BD ；(2)求∠APB 的度数．27．如图，AD 为△ABC 的中线，DE 平分∠ADB ，DF 平分∠ADC ，BE ⊥DE ，CF ⊥DF ．（1）求证；DE ⊥DF ；（2）求证：△BDE ≌△DCF ；（3）求证：EF ∥BC ．28．已知：等边△ABC 边长为3，点D 、点E 分别在射线AB 、射线BC 上，且BD ＝CE ＝a （0＜a ＜3），将直线DE 绕点E 顺时针旋转60°，得到直线EF 交直线AC 于点F ．(1)如图1，当点D 在线段AB 上，点E 在线段BC 上时，说明BD +CF ＝3的理由．(2)如图2，当点D 在线段AB 上，点E 在线段BC 的延长线上时，请判断线段BD ，CF 之间的数量关系并说明理由．(3)当点D 在线段AB 延长线上时，线段BD ，CF 之间的数量关系又如何？请在备用图中画图探究，并直接写出线段BD ，CF 之间的数量关系．29．如图，已知ABC 中，20cm AB AC ==，16cm BC =，点D 为AB 的中点．（1）如果点P 在线段BC 上以6cm /s 的速度由B 点向C 点运动，同时点Q 在线段CA 上由C 向A 点运动．①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP V 是否全等，请说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP V 全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC 三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC 的哪条边上相遇？30．（1）如图1，∠MAN =90°，射线AE 在这个角的内部，点B 、C 在∠MAN 的边AM ，AN 上，且AB =AC ，CF ⊥AE 于点F ，BD ⊥AE 于点D ．求证：ABD CAF ≅ ．（2）如图2，点B 、C 在∠MAN 的边AM 、AN 上，点E 、F 在∠MAN 内部射线AD 上，∠1，∠2分别是ABE △，CAF V 的外角，已知AB =AC ，∠1=∠2=∠BAC ，求证：ABE CAF ≅ ；（3）如图3，在ABC 中，AB =AC ，AB >BC ，点D 在边BC 上，CD =2BD ，点E 、F 在线段AD 上，12BAC ∠=∠=∠，若ABC 的面积是15，则ACF 与BDE 的面积之和是_________．一、单选题1．（2022·浙江金华·统考中考真题）如图，AC 与BD 相交于点O ，,OA OD OB OC ==，不添加辅助线，判定ABO DCO △≌△的依据是（）A ．SSSB ．SASC ．AASD ．HL2．（2022·四川成都·统考中考真题）如图，在ABC 和DEF 中，点A ，E ，B ，D 在同一直线上，AC DF ∥，AC DF =，只添加一个条件，能判定ABC DEF ≌△△的是（）A ．BC DE =B ．AE DB =C ．A DEF ∠=∠D ．ABC D∠=∠二、填空题3．（2022·黑龙江·统考中考真题）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，OA OC =，请你添加一个条件________，使△≌△AOB COD ．4．（2021·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，AC AD =，12∠=∠，要使ABC AED ≌△△，应添加的条件是_________．（只需写出一个条件即可）三、解答题5．（2022·福建·统考中考真题）如图，点C ，F 在BE 上，BF EC =，=AB DE ，B E ∠=∠．求证：A D ∠=∠．6．（2021·四川宜宾·统考中考真题）如图，已知OA ＝OC ，OB ＝OD ，∠AOC ＝∠BOD ．求证：△AOB ≌△COD ．7．（2019·江苏南通·统考中考真题）如图，有一池塘，要测池塘两端A ，B 的距离，可先在平地上取一个点C ，从点C 不经过池塘可以直接到达点A 和B ．连接AC 并延长到点D ，使CD CA =．连接BC 并延长到点E ，使CE CB =．连接DE ，那么量出DE 的长就是A ，B 的距离．为什么？8．（2011·辽宁丹东·中考真题）如图，在△ABC 中，D 为BC 的中点，过D 点的直线GF 交AC 于点F ，交AC 的平行线BG 于点G ，DE ⊥GF ，并交AB 于点E ，连接EG ，EF ．（1）求证：BG ＝CF ．（2）请你猜想BE +CF 与EF 的大小关系，并说明理由．。
