2018年硕士研究生入学考试
数学一 试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.
（1） 下列函数不可导的是：
()(
)()(
)sin sin cos cos
A y x x
B y x
C y x
D y
====
（2）22过点（1，
0，0）与（0，1，0）且与z=x 相切的平面方程为y + ()()()()0与10与222与x+y-z=1与222
A z
x y z B z x y z C y x D y
x c y z =+-==+-===+-=
（3）0
23
(1)(2n 1)!
n
n n ∞
=+-=+∑
()()()()sin 1cos 12sin 1cos 1
sin 1cos 13sin 12cos 1
A B C D ++++
（4
）2
2
2
2
22
2
2
(1x)1x
N= K=(11x
M dx dx x e π
π
π
π
ππ
-
--++=
++⎰⎰⎰），则M,N,K
的大小关系为
()()()()A M N K B M K N C K M N D N
M K
>>>>>>>>
（5）下列矩阵中，与矩阵110011001⎛⎫
⎪ ⎪
⎪⎝⎭
相似的为______. A.111011001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ B.101011001-⎛⎫
⎪ ⎪
⎪⎝⎭ C.111010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ D.101010001-⎛⎫
⎪ ⎪
⎪⎝⎭
（6）.设A ，B 为n 阶矩阵，记()r X 为矩阵X 的秩，（X Y ） 表示分块矩阵，则
A.()()r A AB r A =
B.()()r A BA r A =
C.()max{(),()}r A B r A r B =
D.()()T
T r A B r A B =
（7）设()f x 为某分部的概率密度函数，(1)(1)f x f x +=-，20
()d 0.6f x x =⎰，则
{0}p X = .
A. 0.2
B. 0.3
C. 0.4
D. 0.6 （8）给定总体2(,)X
N μσ，2σ已知，给定样本12,,
,n X X X ，对总体均值μ进
行检验，令0010:,:H H μμμμ=≠，则
A . 若显著性水平0.05α=时拒绝0H ，则0.01α=时也拒绝0H . B. 若显著性水平0.05α=时接受0H ，则0.01α=时拒绝0H . C. 若显著性水平0.05α=时拒绝0H ，则0.01α=时接受0H . D. 若显著性水平0.05α=时接受0H ，则0.01α=时也接受0H .
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．
指定位置上.
（9）1
sin 01tan lim ,1tan kx
x x e x →-⎛⎫
= ⎪+⎝⎭
则k =
（10）()y f x =的图像过（0,0），且与x y a =相切与（1,2），求1
'()xf x dx =⎰
（11）(,,),(1,1,0)F x y z xy yz xzk rot F εη=-+=求
（12）曲线S 由22210x y z x y z ++=++=与相交而成，求xydS =⎰ （13）二阶矩阵A 有两个不同特征值，12,αα是A 的线性无关的特征向量，
21212()(),=A A αααα+=+则
（14）A,B 独立，A,C 独立，11
,()()(),()2
4
BC P A P B P AC AB
C P C φ≠===，则=
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．
指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）.求不定积分2x e ⎰
（16）.一根绳长2m ，截成三段，分别折成圆、三角形、正方形，这三段分别为多长是所得的面积总和最小，并求该最小值。
（17）.x =取正面，求33()xdydz y z dxdz z dxdy ∑
+++⎰⎰
（18）微分方程'()y y f x +=
（I ）当()f x x =时，求微分方程的通解.
（II ）当()f x 为周期函数时，证微分方程有通解与其对应，且该通解也为周期函数.
（19）数列{}n x ，10x >，11n n x x n x e e +=-.证：{}n x 收敛，并求lim n n x →∞
.
（20）设实二次型2221231232313(,,)()()(),f x x x x x x x x x ax =-+++++其中a 是参数，
（I ）求123(,,)0f x x x =的解 （II ）求123(,,)f x x x 的规范形
（21）已知a 是常数，且矩阵1213027a A a ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦可经初等变换化为矩阵12011111a B ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦
（I ）求a
（II ）求满足AP B =的可逆矩阵P
（22）,X Y 随机变量相互独立，1{1}P X y ==，2{1}P X y =-=，Y 服从λ的泊松分布.
Z XY =
（1）求cov(,)X Z . （2）求Z 得概率分布.
（23）12,,
,n X X X 来自总体X 的分布，1()2x
f x e σ
σ
-=（σ未知，x -∞<<+∞）.
（1）求σ得极大似然估计. （2）求()E σ∧
，()D σ∧
.
