第三章多维随机变量及其概率分布
内容介绍
本章讨论多维随机变量的问题，重点讨论二维随机变量及其概率分布。
考点分析
内容讲解
§3.1多维随机变量的概念
1. 维随机变量的概念：
个随机变量，，…，构成的整体＝（，，…，）称为一个维随机变量，
称为的第个分量（）.
2.二维随机变量分布函数的概念：
设（，）为一个二维随机变量，记
，，，
称二元函数为二维随机变量（，）的联合分布函数，或称为（，）的分布函数.
记函数＝
＝，
则称函数和为二维随机变量（，）的两个分量和的边缘分布函数.
3. 二维随机变量分布函数的性质：
（1）是变量（或）的不减函数；
（2）01，对任意给定的，；对任意给定的，；
，；
（3）关于和关于均右连续，即.
（4）对任意给定的，有
.
例题1. P62
【例3－1】判断二元函数是不是某二维随机变量的分布函数。【答疑编号12030101】
解：我们取,
= 1-1-1+0=-1<0,不满足第4条性质，所以不是。
4.二维离散型随机变量
（1）定义：若二维随机变量（X，Y）只取有限多对或可列无穷多对（），（＝1，2，…），则称（X，Y）为二维离散型随机变量.
（2）分布律：
① 设二维随机变量（X，Y）的所有可能取值为（），（＝1，2，…），（X，Y）的各个可能取值的概率为
，（＝1，2，…），
称，（＝1，2，…）为（X，Y）的分布律.
（X，Y）的分布律还可以写成如下列表形式
②（X，Y）分布律的性质
[1] ，（＝1，2，…）；
[2]
例题2. P62
【例3－2】设（X,Y）的分布律为
求a的值。
【答疑编号12030102】
解：
（3）分布函数
由离散型二维随机变量（X，Y）分布律，可以求得其分布函数
.
例题3. P63
【例3－3】设（X,Y）的分布律为
求：（1）P{X=0}；
【答疑编号12030103】
（2）P{Y≤2}；
【答疑编号12030104】
（3）P{X<1,Y≤2}；
【答疑编号12030105】
（4）P{X+Y=2}
【答疑编号12030106】
（1）{X=0}=P{X=0,Y=1}∪P{X=0,Y=2}∪{X=0,Y=3}
（2）
{Y=1}={X=0，Y=1}∪{X=1，Y=1}
{Y=2}={X=0，Y=2}∪{X=1，Y=2}，
（3）{X＜1,Y≤2}={X=0,Y=1}∪{ X=0,Y=2},且事件{X=0,Y=1},{X=0,Y=2}互不相容，所以
P{X＜1,Y≤2}=P{X=0,Y=1}+ P{X=0,Y=2}=0.1+0.1=0.2
（4）{X+Y=2}={X=0,Y=2}∪{X=1,Y=1},类似可得
P{X+Y=2}=P｛X=0,Y=2｝+P{X=1,Y=1}=0.1+0.25=0.35
例题4. P64
【例3－4】现有1，2，3三个整数，X表示从这三个数字中随机抽取的一个整数，Y表示从1至X 中随机抽取的一个整数，试求（X,Y）的分布律。
【答疑编号12030107】
解：
P{X=1，Y=1}
=P{X=1}·P{Y=1|X=1}
=，
，
，
所以{X，Y}的分布律为：
（4）边缘分布律：
① 定义：对于离散型随机变量（X,Y），分量X（或Y）的分布律称为（X,Y）关于X（或Y）的边
缘分布律，记为（或
② 求法：它们可由（X,Y）的分布律求出，
， .
③ 性质：
例题5. P64
【例3－5】求例3-4中（X,Y）关于X和Y的边缘分布律。
【答疑编号12030108】
解：X与Y的可能值均为1，2，3.
（X，Y）关于X的边缘分布律为：
（X，Y）关于Y的边缘分布律为：
可以将（X，Y）的分布律与边缘分布律写在同一张表上：
值得注意的是：对于二维离散型随机变量（X，Y），虽然它的联合分布可以确定它的两个边缘分布，但在一般情况下，由（X，Y）的两个边缘分布律是不能确定（X，Y）的分布律的。
例题6. P65
【例3-6】设盒中有2个红球3个白球，从中每次任取一球，连续取两次，记X，Y分别表示第一次与第二次取出的红球个数，分别对有放回摸球与不放回摸球两种情况求出（X，Y）的分布律与边缘分布律。
【答疑编号12030109】
解：（1）有放回摸球情况：
由于事件{X=i}与事件{Y=j}相互独立（i，j=0，1），所以
P{X=0，Y=0}=P{X=0}·P{Y=0}=
P{X=0，Y=1}=P{X=0}·P{Y=1}=
P{X=1，Y=0}=P{X=1}·P{Y=0}=
P{X=1，Y=1}=P{X=1}·P{Y=1}=
则（X，Y）的分布律与边缘分布律为
（2）不放回摸球情况：
类似地有
P{X=0，Y=1}=
P{X=1，Y=0}=
P{X=1，Y=1}=
则（X，Y）的分布律与边缘分布律为
