2.1-2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 秋学期高中数学必修2(人教A版)PPT课件

∴EH ∥BD且EH =
1 2
BD
E
同理，FG ∥BD且FG =
1Leabharlann 2 BD∴EH ∥FG且EH =FG
B
∴EFGH是一个平行四边形
H
D G
F
C
立体问题平面化是解立体几何时最主要、最常用的
一种方法。 变式：如果再加上条件AC=BD，那么四边形EFGH 是什么图形？
定理：空间中如果两个角的两边分别平 行，那么这两个角相等或互补.
2.1.2空间中直线与直线 之间的位置关系
线段A1B所在直线与线CC段1所在 直线的位置关系如何？
D1
A1
C1 B1
D A
C B
1.异面直线的定义:
不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。
D1 A1
C1 B1
D A
C B
两直线异面的判别一 : 两条直线 既不相交、又不平行. 两直线异面的判别二 : 两条直线不同在任何一个平面内.
3、已知正方体的棱长为a , M为AB的中 点,N 为 BB1的中点，求 A1M 与 C1 N 所成
角的余弦值.
解：如图，取AB的中点E, 连BE, 有BE∥ A1M
取CC1的中点G，连BG. 有BG∥ C1N D1
则∠EBG即为所求角. 在△EBG 中
BG=BE= 5 a,， EG = 6 a
2
空间中直线与直线之间的位置关系
空间两条直线的位置关系有且只有三种：
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 共面直线
平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。
2.异面直线的画法
说明: 画异面直线时 , 为了体现 它们不共面的特点。常借 助一个或两个平面来衬托.

A
E
H
D
B
G
F
C
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➢复习引 ➢新课讲
➢例题入选 ➢课堂解练 ➢课堂小
讲
习
结
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复习与准备：平面内两条直线的位置关系
a
o
b
相交直线 平行直线
a b
相交直线 （有一个公共点）
平行直线
（无公共点）
D
A
B
两路相交
C
立交桥
立交桥中, 两条路线AB, CD 既不平行，又不相交
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已知:如图所示, a ,A ,B ,B a.
求证 : 直线AB与a是异面直线.
证明:(反证法)
假设直线AB与a是共面,即有平面使得AB ,a .
•A
于是A ,B .
a •B
又Q a , B ,B a. 过a和B有且只有一个平面,
即平面,于是平面与是同一个平面,即 =.
b
a
c
1
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b
a
c
2
b
c
a
3
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异面直线的判定定理： 过平外一点与平面内一点的直线,和平面内不 经过该点的直线是异面直线。
分析：
证明两条直线异面，如果从定义出发直接证明，即 需要抓住“不同在任何一个平面内”中的“任何”， 若一个平面一个平面地寻找是不可能实现的。因此， 必须找到一个间接法来证明，反证法是一种比较有 效的好方法。
A .这与已知A 相矛盾.
直线AB与a是异面直线.
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异面直线的判定方法：
定义法：此时需借助反证法，假设两条直线不 异面，根据空间两条直线的位置关系，这两条 直线一定共面，即这两条直线可能相交，也可 能平行，然后推出 矛盾即可。

新疆 王新敞
奎屯
例题示范
例3、如图，已知正方体ABCD－A'B'C'D' 中。
（1）哪些棱所在直线与直线BA'是异面直线？ （2）直线BA' 和CC' 的夹角是多少？ （3）哪些棱所在的直线与直线AA' 垂直？
解：（1）由异面直线的判 定方法可知，与直线 BA
成异面直线， 的有直线
BC, AD,CC, DD, DC, DC
平面有关知识（复习 ）
判断下列命题对错： 1、如果一条直线上有一个点在一个平面上，则这条直线上
的所有点都在这个平面内。（ ）
2、将书的一角接触课桌面，这时书所在平面和课桌所在平
面只有一个公共点。
（ ）
3、四个点中如果有三一个平面内。
（ ）
4、一条直线和一个点可以确定一个平面。（ ）
5、如果一条直线和另两条直线都相交，那么这三条直线可
以确定一个平面。
（）
平面的基本性质
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线在此平面内.
公理2：过不在一条直线上的三点， 有且只有一个平面.
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，
那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
文字语言 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，
例题示范
例1： 在空间四边形ABCD中，E，F，G，H
分别是AB，BC，CD，DA的中点。
求证：四边形EFGH是平行四边形。
分析： 欲证EFGH是一个平行四边形
A
只需证EH∥FG且EH＝FG
连结BD,只需证： 1
EH ∥BD且EH ＝ BD
2
FG ∥BD且FG ＝1 BD 2

如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a'∥a，b'∥b，我
们把a'与b'所成的锐角（或直角）叫做异面直线a，b所成的角（或夹角）. b b b O O a α a' a . α a
为了简便，点O通常取在两条异面直线中的一条上，例如，取在直线b上， 然后经过点O作直线a'∥a，a' 和b所成的锐角（或直角）就是异面直线a与b
异面
课堂探究
探究点2 空间中直线的平行关系 思考：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那 么这两条直线互相平行.在空间中，是否有类似的规律？
D'
C'
A' D A
B' C
B
课堂探究
探究点2 空间中直线的平行关系
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 公理4实质上是说空间中平行直线具有传递性，
课堂探究
探究点1 空间中两条直线的位置关系
异面直线的定义: 我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.
异面直线的画法: 想一想:怎样通过图形来表示异面直线?
为了表示异面直线m，l
不共面的特点，作图时，
通常用一个或两个平面
m

m
l
l
衬托.如右图:
知识识记
练习1 异面直线的定义的理解
1.已知M、N分别是长方体的棱C1D1与CC1上不与线段的端点重合的点，那
例1的变式
A
E D
分析：需要证明四边形ABCD有
H G C
B
F
一组对边平行，但不相等.
课堂探究
探究点3 等角定理
提出问题:在平面上,我们容易证明“如果一个角 的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两 个角相等或互补”.在空间中,结论是否仍然成立 呢? 观察思考：如图,∠ADC与∠A'D'C'、∠ADC 与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角 的大小关系如何？