研究生课程《随机过程》考试试题
考试科目及代码 随机过程 学号 学 院
适用专业 姓名
本试卷共 5 页，满分 100 分；考试时间120 分钟。
一、简答题(三小题，共20分)
1、简述随机过程的定义与分类。(6分)
2、简述随机平稳过程的判定条件。(6分)
3、简述指数分布的无记忆性与马尔科夫链的无后效性的关系。(8分)
二、证明题(两小题，共20分)
1、设A,B,C为三个随机事件，证明条件概率的乘法公式：P(BC A)=P(B A)P(C AB)。(8分)
2、设{X(t),t≥0}是独立增量过程, 且X(0)=0, 证明{X(t),t≥0}是一个马尔科夫
过程。(12分)
三、计算题 (5小题，共60分 )
1、设随机过程
,),}t ω-∞<<+∞只有两条样本函数
1(,)2cos X t t ω=，,2cos )ω,(2t t X -=t -∞<<+∞
且1()0.8P ω=，2()0.2P ω=，分别求：
（1）一维分布函数);0(x F 和);4
π
(x F ；
（2）二维分布函数(0,
;,)4
F x y π
。 (10分)
2、设齐次马氏链的一步转移概率矩阵为⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=3/23/103/203/103/23/1P ，求其平稳分布。
(8分)
3、设R t t X ∈),(为复平稳过程，其谱密度为)(w S X ，又R t t w t X t y ∈Θ+=),cos()()(0，
其中]2,0[~πU Θ。试问：)(t Y 是否为平稳过程？若为平稳过程，求)(t Y 的谱密度。(12分)
4、设在[0, t )时段内乘客到达某售票处的数目为一强度是5.2=λ（人/分）的泊松过程，试求： （1）在5分钟内有10位乘客到达售票处的概率；
（2）第10位乘客在5分钟内到达售票处的概率；
（3）相邻两乘客到达售票处的平均时间间隔。 (15分)
5、已知齐次马氏链{(),0,1,2,}X n n =的状态空间为{1,2,3}E =，状态转移矩阵为
⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=41430414121313131P （1）画出概率转移图；
（2）求二步转移矩阵及转移概率)
4(13p ；
（3）此链是否为遍历的，试求其平稳分布。(15分)
