长方体和正方体知识点汇总(1)

第 1 页 共 14 页 长方体和正方体 一、长方体和正方体的认识 【知识点1】 要素 立体图形 棱 面 顶点 数量 特征 数量 特征 数量 特征

长方体 12 互相平行的棱长度相等 6 相对的面完全相同 8 同一个顶点引出的三条棱分别叫做长、宽、高 特殊长方体 12 垂直于正方形面的棱长度相等 6 两个面是正方形，其余四个面是完全相同的长方形 8

正方体 12 所有的棱长度都相等 6 所有面都是正方形且完全相同 8 一个长方体至少可以有两个面是正方形，最多可以有6各面是正方形，但不会存在3个、4个、5个面是正方形！ 练习： （1）判断并改正： 1、长方体的六个面一定是长方形； ( ) 2、正方体的六个面面积一定相等； ( ) 3、一个长方体(非正方体) 最多有四个面面积相等； ( ) 4、相交于一个顶点的三条棱相等的长方体一定是正方体。 ( ) 7、长方体的三条棱分别叫做长、宽、高。 ( ) 8、有两个面是正方形的长方体一定是正方体。( ) 9、有三个面是正方形的长方体一定是正方体。（ ） 11、有两个相对的面是正方形的长方体，另外四个面的面积是相等的。（ ） 12、长方体和正方体最多可以看到3个面。（ ） 13、正方体不仅相对的面的面积相等，而且所有相邻的面的面积也都相等。（ ） 14、长方体（不包括正方体）除了相对的面相等，也可能有两个相邻的面相等。（ ） 15、一个长方体中最少有4条棱长度相等，最多有8条棱长度相等。（ ） （2）填空： 1、一个长方体最多有（ ）个面是正方形，最多有（ ）条棱长度相等。 2、一个长方体的底面是一个正方形，则它的4个侧面是（ ）形。 3、正方体不仅相对的面相等，而且所有相邻的面（ ），它的六个面都是相等的（ ）形。 4、把长方体放在桌面上，最多可以看到（ ）个面。最少可以看到（ ）个面。

【知识点2】 棱长和公式：长方体棱长和=（长+宽+高）×4 长+宽+高=棱长和÷4 正方体棱长和=棱长×12 棱长=棱长和÷12 棱长和的变形： 例如：有一个礼盒需要用彩带捆扎，捆扎效果如图，打结部分需要10厘米彩带，一共需要多长的彩带？ 分析：本题虽然并未直接提出求棱长和，但由于彩带的捆扎是和棱相互平行的， 因此，在解决问题时首先确定每部分彩带与那条棱平行，从而间接去求棱长和。 前和后面的彩带长度=高的长度；左和右面的彩带长度=高的长度；上和下面的彩带长度=长的长度。 需要彩带的长度=高×4+长×2+宽×2+打结部分长度20×4+30×2+10=150cm

30㎝ 20cm 20cm 第 2 页 共 14 页

练习： （1）有一个长方体的鱼缸，长50厘米，宽30厘米，高30厘米，需要在用铝合金包裹玻璃连接处，需要（ ）米的铝合金。 （2）把两个棱长 1厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和是（ ）厘米。 （3）一个长方体长 12厘米宽 8厘米高 7厘米，把它切成一个尽可能大的正方体，这个正方体的棱长是（ ）。 （4）一个长方体的礼盒如图，过节时需要在棱上装上成串的彩灯，每串彩灯长2m，一共需要多少串彩灯？

（5）一只鱼缸，棱长和为280cm，其中，底面周长为50cm，右面周长为40cm，前面周长为50cm，鱼缸的长、宽、高各是多少？

【知识点3】 确定长方体中每个面的形状以及长、宽、高分别是多少。 练习： （1）长方体展开后每个面都是什么形状？展开后哪俩个面是相对的面？面积相等吗？上下，左右、前后各个面的长和宽分别是原长方体的什么？ （2）一个长方体的长、宽、高分别是8、6、4米，它的前后的面的面积是（ ），左右的面的面积是（ ），上下的面的面积是（ ）。

【知识点4】 正方体的展开(不能出现田字格) 1）．“141型”，中间一行4个图：作侧面，上下两个 各作为上下底面，•共有6种基本图形。 2）．“231型”，中间3个作侧面，共3种基本图形。 3）．“222”型，两行只能有1个正方形相连。 4）“33”型，两行只能有1个正方形相连。 经过折叠可以组合成正方体: 经过折叠可以组合成长方体：

下列三个图形中，能拼成正方体的是（ ） ① ② ③

【知识点5】 长方体或正方体的切割组合对棱长的影响

上下左后右

前

30m 6m 50m 第 3 页 共 14 页

（1）切割 将长方体横向切割成两个长方体后，棱长将比原来一个长方体时增加4条长和4条宽；（棱长增加的最长） 将长方体竖向切割成两个长方体后，棱长将比原来一个长方体时增加4条宽和4条高；（棱长增加的最短） 将正方体沿无论沿那个方向切割成两个长方体后，棱长将比原来增加4条棱。 (2) 组合 将两个完全相同的长方体沿上下面组合后，棱长比原来两个长方体时减少4条长和4条宽；（棱长减少的最多） 将两个完全相同的长方体沿前后面组合后，棱长比原来两个长方体时减少4条长和4条高； 将两个完全相同的长方体沿左右面组合后，棱长比原来两个长方体时减少4条宽和4条高；（棱长减少的最少） 将两个完全相同的正方体沿上下面组合后，棱长比原来两个正方体时减少8条棱； 一次类推将三个完全相同的正方体沿上下面组合后，棱长比原来三个正方体时减少16条棱，四个组合减少24条棱，五个组合减少32条……（公式：8×（N—1））

例如：将五个完全相同的正方体组合成一个长方体后，棱长和为140厘米，原来每个正方体的棱长和是多少？

分析：五个正方体棱长共有12×5=60条； 将五个完全相同正方体组合后棱长比原来减少32条，还剩60-32=28条； 即这28条棱的长度和即为新长方体的棱长和，所以正方体一条棱的长度为：140÷28=5cm； 所以一个正方体的棱长和为：5×12=60cm。

【知识点6】 小正方体拼大正方体的规律： 由于正方体，每条棱的长度相等，所以要用小的正方体拼出大的正方体每条棱上摆放的小正方的个数应该是相等的，因此要拼出最小的正方体至少需要2×2×2=23=8个（也就是说每条棱上放2个小正方体），接着再往大了拼正方体，就是每条棱上放3个小正方体即3×3×3=33=27个，依次类推接下来是4×4×4=43=64个；5×5×5=53=125个…… 从中我们可以发现要用小的正方体拼出大的正方体所需要的小正方体的个数应该是一个数的立方。这就要求我们能够熟记一些数的立方： 23=8 33=27 43=64 53=125 63=216 73=343 83=512 93=729 103=1000 小正方体拼大长方体的规律 规律同正方体，首先观察大长方体各棱长分别是小正方体棱长的几倍，如，长方体长是小正方体棱长的a倍，宽是小正方体棱长的b倍，高是小正方体棱长的c倍，则，大长方体就是由a×b×c个小正方体组成的。

练习： （1）用棱长为3厘米的小正方体拼棱长为9厘米的大正方体需要（ ）个小正方体。 A、8个 B、27个 C、26个 D、64个 （2）一个长方体的长宽高分别是18、12、9，如果用棱长为3的小正方拼一个这样的长方体，一共需要（ ）块这样的小正方体。 （3）一个长方体的盒子里面长5分米，宽4分米，深3分米，放棱长为5厘米的正方体小木块共可以放（ ）块。 第 4 页 共 14 页

二、长方体和正方体的表面积 【知识点1】 长方体表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2 =（a×b+a×c+b×c）×2 =（前面面积+上面面积+右面面积）×2 正方体表面积=棱长×棱长×6=a×a×6=6a2 =任意一个面的面积×6 前面面积=后面面积；左面面积=右面面积；上面面积=下面面积 两个棱长和相等的长方体或一个长方体和一个正方体，表面积不一定相等！ 表面积相等的两个长方体或一个长方体和一个正方体，棱长和也不一定相等！

练习： 1、一个长方体长6厘米，宽4厘米，高3厘米。这个长方体上下两个面的面积各是（ ）平方厘米，前后两个面的面积各是（ ）平方厘米，左右两个面的面积各是（ ）平方厘米，表面积是（ ）平方厘米。 2、判断： 长方体的表面积一定比正方体的表面积大。 ( ) 如果一个长方体能锯成四个完全一样的正方体，那么长方体前面的面积是底面积的4倍．（ ） 3、把一个棱长为6米的正方体分成两个大小、形状相同的长方体，每个长方体的表面积是（ ）㎡。 4、下面哪些问题跟长方体表面积有关。 （ ） A：在一个长方体木箱外面刷油漆，刷油漆的面积一共有多少平方分米？ B：做一个长方体的金鱼缸需要多少玻璃？ C： 求一个长方形足球场需多少平方米的草皮？ 5、一个长方体的长是5分米，宽和高都是4分米，在这个长方体中，长度为4分米的棱有（ ）条，面积是20平方分米的面有（ ）个。 6、一个长方体的金鱼缸，长是8分米，宽是5分米，高是6分米，不小心前面的玻璃被打坏了，修理时配上的玻璃的面积是（ ）。 7、一个长方体侧面积是360平方厘米，高是9厘米，长是宽的1.5倍，求它的表面积。

【知识点2】 长方体表面求法的变形： 在解决一些问题时，要充分考虑实际情况，想清楚要算几个面。在解答时，可以把这几个面的面积分别算出来，再相加，也可以先算出六个面的面积总和，再减去不需要的那个（些）面。 （1）具有六个面的长方体、正方体物品：油箱、罐头盒、纸箱、化妆品包装等； （2）具有五个面的长方体、正方体物品：抽屉、水池、鱼缸、火柴盒内盒、教室粉刷等； （3）具有四个面的长方体、正方体物品：烟囱、通风管、火柴盒外盒、产品贴标签等。