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上海市高二下学期期中数学卷
一. 填空题
1. 在正方体1111ABCD A BC D -中，异面直线1A B 与
AD 所成的角大小为 2. 已知向量2(3,2,3)a x =+，(4,2,)b x x =-，若a b ⊥，则实数x 的值是
3. 球的表面积为216cm π，则球的体积为 3cm
4. 一条直线a 上的3个点A 、B 、C 到平面M 的距离都为1，这条直线和平面的关系是
5. 正四面体侧面与底面所成二面角的余值
6. 圆柱的轴截面是正方形，且面积为4，则圆柱的侧面积为
7. 如图是三角形ABC 的直观图，ABC ∆平面图形是
（填正三角形、锐角三角形、钝角三角形、直角三角形或者等腰三角形）
8. 把地球看作是半径为R 的球，A 点位于北纬30°，东经20°，B 点位于北纬30°，东经80°，求A 、B 两点间的球面距离 （结果用反三角表示）
9. 下列命题（1）n 条斜线段长相等，则它们在平面内的射影长也相等；（2）直线a 、b 不在平面α内，它们在平面α内的射影是两条平行直线，则a ∥b ；（3）与同一平面所成的角相等的两条直线平行；（4）一条直线与一个平面所成的角是θ，那么它与平面内任何其它直线所成的角都不小于θ；其中正确的命题题号是
10. 由曲线22x y =、22x y =-、2x =、2x =-围成的图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为1V ，满足224x y +≤、22(1)1x y +-≥、22
(1)1x y ++≥的点组成的图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为2V ，试写出1V 与2V 的一个关系式
11. 如图，空间四边形OABC 中，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，分MN 所成的定比为2，OG xOA yOB zOC =++，则x 、y 、z 的值分别为
12. 如图，1111ABCD A BC D -是棱长为1的正方体，
任作平面α与对角线1AC 垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，这样得到的截面多边形的面积为S ，周长为l 的范围分别是 、 （用集合表示）
二. 选择题
13. 已知m 、n 为异面直线，m ⊂平面α，n ⊂平面β，l αβ=，则l （ ）
A. 与m 、n 都相交
B. 与m 、n 至少一条相交
C. 与m 、n 都不相交
D. 至多与m 、n 中的一条相交
14. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A. 83π B. 3π C. 103
π D. 6π 15. 连结球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于
M 、N 分别为AB 、CD 的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列
四个命题：① 弦AB 、CD 可能相交于点M ；② 弦AB 、CD 可能相交于点N ；③MN
的最大值为5；④MN 的最小值为1；其中真命题的个数为（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
16. 四棱锥P ABCD -底面为正方形，侧面PAD 为等边三角形，且侧面PAD ⊥底面ABCD ，点M 在底面正方形ABCD 内运动，且满足MP MC =，则点M 在正方形ABCD 内的轨迹一定是（ ）
A B C D
三. 简答题
17. 直三棱柱111ABC A B C -的底面为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，
1AA =E 、F 分别是BC 、1AA 的中点，求：
（1）EF 与底面所成角的大小；
（2）异面直线EF 和1A B 所成角的大小；
18. 图1是某储蓄罐的平面展开图，其中90GCD EDC F ∠=∠=∠=︒，且AD CD DE CG ===，FG FE =，若将五边形CDEFG 看成底面，AD 为高，则该储蓄罐是一个直五棱柱；
（1）图2为面ABCD 的直观图，请以此为底面将该储蓄罐的直观图画完整；
（2）已知该储蓄罐的容积为31250V cm =，求制作该储蓄罐所需材料的总面积S （精确到整数位，材料厚度，接缝及投币口的面积忽略不计）
19. 如图，在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，
4AB =，18AA =； （1）求异面直线1B C 与11AC 所成角的大小；
（用反三角函数形式表示） （2）若E 是线段1DD 上（不包含线段的两端点）的一个动点，请提出一个与三棱锥体积有关的数学问题（注：三棱锥需以点E 和已知正四棱柱八个顶点中的三个为顶点构成），并解答所提出的问题；
20. 如图，在底面是菱形的四棱锥P ABCD -中，60ABC ∠=︒，PA AC a ==，
PB PD ==，点E 在PD 上，且:2:1PE ED =；
（1）证明：PA ⊥平面ABCD ；
（2）在棱PB 上是否存在一点F ，使三棱锥F ABC -是正三棱锥？证明你的结论；
（3）求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角θ的大小；
21. 已知圆锥的侧面展开图是一个半圆；
（1）求圆锥的母线与底面所成的角；
（2）过底面中心1O 且平行于母线AB 的截平面，若截面与圆锥侧面的交线是焦参数（焦点 到准线的距离）为p 的抛物线，求圆锥的全面积；
（3）过底面点C 作垂直且于母线AB 的截面，若截面与圆锥侧面的交线是长轴为2a 的椭 圆，求椭圆的面积（椭圆22
221x y a b
+=的面积S ab π=）；
参考答案
一. 填空题 1. 2π 2. 2或3- 3. 323π 4. 平行 5. 13
6. 4π
7. 直角三角形
8. 5
arccos 8R 9.（4） 10. 12V V =
11. 16x =，13y z == 12. ，
二. 选择题
13. B 14. B 15. C 16. B
三. 解答题
17.（1）4π；（2）6
π. 18.（1）略；（2）691.
19.（1）（2）略. 20.（1）略；（2）6
π.
21.（1）3π；（2）212p π；（3
