2018年南平市普通高中毕业班第一次综合质量检查试卷数学（理）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}{}03,21,x A x x B y y x A =<<==+∈，则A B ⋂=（ ） A ．()0,3 B ．()2,5 C ．()2,9 D ．()2,32.已知i 为虚数单位，若复数z 满足()341i z -=，则z =（ ） A ．225 B ．425 C ．25 D ．453.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若7S 为一个确定的常数，下列各式中也为确定常数的是（ ） A ．147a a a B ．147a a a ++ C ．18a a D ．18a a +4.已知点(),M x y 是圆22:20C x y x +-=的内部任意一点，则点M 满足y x ≥的概率是（ ） A ．14 B ．24π- C ．12π D ．24ππ- 5.已知12,F F 是双曲线()222210x y a a b-=>的左、右焦点，点P 在双曲线上，若1260F PF ∠=︒，则12F PF ∆的面积为（ ）A ．． C ． D ．6.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面枳，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为（ ）（参考数据：sin150.2588︒=，sin7.50.1305︒=)A ．12B ．24C ．48D ．967.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A ．362π+ B ．322π+．4π+ D ．342π+8.直线l 与抛物线24y x =相交与,A B 两点，若OA OB ⊥(O 是坐标原点），则AOB ∆面积的最小值为（ ）A ．32B ．24C ．16D ．8 9.若e 是自然对数的底数，则（ ）A ．1ln ln 22e ππ>>B ．1ln 2ln 2e ππ>>C ．ln 1ln 22e ππ>>D ．ln ln 212eππ>> 10.已知函数()()f x x R ∈满足()()4f x f x -=-，若函数21x y x+=与()y f x =图像的交点为()()()11221010,,,,,,x y x y x y ，则()101i i i x y =-=∑（ ）A ．10B ．20C ．10-D ．20-11.已知数列{}n b 满足121,4,b b ==2221sin cos 22n n n n b b ππ+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则该数列的前23 项的和为（ ）A ．4194B ．4195C ．2046D ．204712.已知,,,66t R ππαβ⎡⎤∈-∈⎢⎥⎣⎦，且5sin 30t αα+-=，5181sin303t ββ++=，则()ln 3cos 3αβ-+=⎡⎤⎣⎦（ ）A ．ln2B ．ln 3C ．5ln 2 D．ln 3⎛ ⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.()()521x a x +-的展开式中含2x 的系数为50，则a 的值为 ．14.已知1,2a b == ，向量()a b + 在向量()a b -上的投影为，则,a b = ．15.已知实数,x y 满足202501x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，求()2x y u xy +=的取值范围 ．16.在三棱锥P ABC -中，3AB BC AC ===,,2PAC PAB PA ∠=∠=,PA 与平面ABC 所成角，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在ABC ∆中,,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且,43B c π==.（1）若6b =，求sin C 及ABC S ∆；（2）若,D E 在线段BC上，且,BD DE EC AE ===，求AD 的长.18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11A ACC ⊥平面ABC ，,60AB BC ACB =∠=︒，E 为AC 的中点.（1）若11BC AC ⊥，求证：1AC ⊥平面1C EB ；: （2）若11A A AC AC ==，求二面角11A BC E --的余弦值. 19.有甲、乙两个桔柚（球形水果）种植基地，已知所有采摘的桔柚的直径都在[]59,101范围内（单位：毫米，以下同），按规定直径在[)71,89内为优质品，现从甲、乙两基地所采摘的桔柚中各随机抽取500个，测量这些桔柚的直径，所得数据整理如下：（1）根据以上统计数据完成下面22⨯列联表，并回答是否有95%以上的把握认为 “桔柚直径与所在基地有关”？（2）求优质品率较高的基地的500个桔柚直径的样本平均数x (同一组数据用该区间的中点值作代表)：（3）经计算，甲基地的500个桔柚直径的样本方差226.78s ≈，乙基地的500个桔柚直径的样本方差227.28s ≈，，并且可认为优质品率较高的基地采摘的桔柚直径X 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s .由优质品率较高的种植基地的抽样数据，估计该基地采摘的桔柚中，直径不低于86.78亳米的桔柚在总体中所占的比例. 附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.若()2,X N μσ ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=.()220.9544P X μσμσ-<<+=，()330.9974P X μσμσ-<<+=.20.已知过点()2,1P 的椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>.（1）求椭圆方程；（2）不过坐标原点O 的直线l 与椭圆E 交于,A B 两点(异于点P ，线段AB 的中点为D ,直线OD 的斜率为1.记直线,PA PB 的斜率分别为12,k k .问12k k 是否为定值?若为定值，请求出定值.若不为定值，请说明理由.21.已知定义在区间[)0,+∞上的函数()()()1ln 1,01xf x tx t x-=++>+. （1）求函数的单调区间； （2）若不等式()20f x e-≥恒成立，求t 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆1C 的参数方程为22cos 42sin x y αα=-+⎧⎨=+⎩（α为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线2C 的极坐标方程为()34R πθρ=∈. （1）求圆1C 的极坐标方程和直线2C 的直角坐标方程； （2）设1C |与2C 的交点为,P Q ，求1C PQ ∆的面积. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()131f x x x =++-. （1）求不等式()4f x <的解集；（2）若()23f x m ≥+对任意实数x 恒成立，求实数m 的取值范围.2018年南平市普通高中毕业班第一次综合质量检查试卷理科数学参考答案及评分标准说明：1、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.2、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3、只给整数分数. 选择题和填空题不给中间分.一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分． （1）D （2）C （3）B （4）D （5）C （6）B （7）D （8）C （9）A （10）D （11）A （12）A二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分． （13）1- （14）︒120 （15）]316,4[ （16）π12 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）解：（Ⅰ）∵3π=B ，4=c ，6=b ， 在△ABC 中，由正弦定理CcB b sin sin =， ………………（1分） 得336234sin sin =⨯==bBc C ， ………………（2分） 又c b >，所以C B >，则C 为锐角，所以36cos =C ，………………（3分）则C B C B C B A sin cos cos sin )sin(sin +=+=632333213623+=⨯+⨯=， ………………（5分） 所以3226632312sin 21+=+⨯==A bc S ABC △………………（6分） （Ⅱ）设x BD =，则x AE x BE 32,2==，又3π=B ，4=c ， 在△ABE 中，由余弦定理得3πcos 2424161222x x x ⨯⨯-+=，……………（8分）即x x 81682-=，解得1=x （取正），………………（9分） 则2=BE ，432==AB AE ，,所以2π=∠AEB ，………………（11分） 在直角△ADE 中，1322=+=DE AE AD ．………………（12分）（18）（Ⅰ）证明：因为BA=BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC ，又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，平面A 1ACC 1 平面ABC=AC ，⊂BE 平面ABC ， 所以BE ⊥平面A 1ACC 1，………………2分又A 1C ⊂平面A 1ACC 1，所以BE ⊥A 1C ，又BC 1⊥A 1C ，BE BC 1=B ， 所以A 1C ⊥平面C 1EB ………………4分（Ⅱ）连接A1E ，因为A 1A =A 1C ，又E 为AC 的中点， 所以A 1E ⊥AC,又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，平面A 1ACC 1 平面ABC=AC ，A 1E ⊂平面A 1ACC 1， 所以A 1E ⊥平面ABC ，…………6分 以E 点为原点，分别以射线EB ，EC ，EA 1为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，设2===AC BC AB ，则211==C A A A ，所以)3,0,0(1A ，)0,0,3(B ,)3,0,3(1-=A ，)0,2,0(11=C A …………7分 设平面A 1BC 1的一个法向量),,(1111z y x n =⎩⎨⎧=⋅=⋅0011111C A n B A n 得 ⎩⎨⎧==-02033111y z x ，取11=z 得)1,0,1(1=n ，…………9分 设平面C 1EB 的一个法向量为),,(2222z y x n =,⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0122EC n EB n 得 ⎩⎨⎧==+03032222x z y ，取22=z 得)2,3,0(2-=n ， (11)分714722,cos 21=⨯<n n n n ， 故所求的二面角A 1—BC 1—E 的余弦值为714…………12分（19）解：（Ⅰ）由以上统计数据填写22⨯列联表如下：……………（2分）841.3848.5171100019081050050080390110420100022>≈=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=）（K ，所以,有95%的把握认为：“两个基地采摘的水果直径有差异”．……………（4分） （Ⅱ）甲基地水果的优质品率为%84500420=，甲基地水果的优质品率为%78500390=， 所以，甲基地水果的优质品率较高，……………（5分） 甲基地的500个桔柚直)598359212586175801207430681062(5001⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x （6分）8098.044.65.210.2876.1708.424.1=++++++= ……………（8分）（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，甲基地的桔柚直径)78.6,80(~2N X …………（9分）6826.0)78.8622.73()78.68078.680(=<<=+<<-X P X P ，……（10分）1587.026826.012)78.8622.73(1)78.86(=-=<<-=≥∴X P X P ……（11分）所以，估计甲基地采摘的桔柚中，直径不低于86.78毫米的桔柚在总体中所占的比例大约为%87.15.…………（12分）（20）解: （Ⅰ）由题意得⎪⎩⎪⎨⎧==+22222114b a ba ,解得3,622==b a ,则椭圆E 的方程为.13622=+y x ……3分 (Ⅱ)由题意可设直线AB 方程为)0(≠+=m m ty x ,令),,(),,(2211y x B y x A 则)2,2(2121y y x x D ++. 直线OD 的斜率为1,m y y t x x y y 2)(212121++=+=+∴,即02))(1(21=++-m y y t (1) ………………5分⎩⎨⎧+==-+mty x y x 06222⇒062)2(222=-+++m tmy y t )0(>∆ 则22,262212221+-=++-=t tmy y t m y y 代入(1)式得2,0,0222)1(2-=∴≠=++-t m m t tmt , 因此, .32,16121221m y y m y y =+-=………………8分则21k k )]2(2)[2(2[)1)(1(212121212211-+--+---=--⋅--=m y m y y y x y x y 221212121)2())(2(241)(-++--++-=m y y m y y y y y y 21)4(31)4(6122=--=m m m m ,即21k k 为定值.21………………12分（21）解：（Ⅰ）)1()1(21)1(2)(222++-+=+++-='tx x t tx tx t x x f ……………… 2分 ①当2≥t 时,0)(≥'x f .即)(x f 是),0[+∞上的增函数. ……………… 3 分②当20<<t 时, )1()1()2)(2()(2++-+--='tx x t tx t t x t x f ,令0)(>'x f 得ttx ->2, 则)(x f 的增区间为),,2(+∞-t t 减区间为)2,0[tt-……………… 5分 （Ⅱ）由不等式02)(≥-x f e ,),0[+∞∈x 恒成立,得不等式2ln )(≥x f ,),0[+∞∈x 恒成立. …………………… 6分①当2≥t 时,由（Ⅰ）知)(x f 是),0[+∞上的增函数,2ln 1)0()]([min >==∴f x f ,即当2≥t 时, 不等式2ln )(≥x f ,),0[+∞∈x 恒成立. ……………… 8分②当20<<t 时,∈x )2,0[t t -,;0)(<'x f ∈x ),,2(+∞-tt0)(>'x f . 令u t t =-2,则12,02+=>u t u . )1ln()1ln(211)()]([2min u u uuu f x f +-+++-==∴ 要使不等式2ln )(≥x f ,),0[+∞∈x 恒成立,只要2ln )1ln()1ln(2112≥+-+++-u u uu.………………10分 令).,0(,2ln )1ln()1ln(211)(2+∞∈-+-+++-=u u u uuu g012)1(21212)1(2)(2222<+-+=+-+++-='uuu u u u u u u g . )(u g ∴是),0(+∞上的减函数,又0)1(=g ,)1(0)(g u g =≥∴,则10≤<u ,即12≤-tt,解得1≥t ,故.21<≤t 综合①, ②得1≥t ,即t的取值范围是).,1[+∞ ……………12分（22）解:（Ⅰ）直线2C 的直角坐标方程为0=+y x ……………………………2分 圆1C 的普通方程为,4)4()2(22=-++y x 因为cos ,sin x y ρθρθ==,所以1C 的极坐标方程为016sin 8cos 42=+-+θρθρρ……………………………5分（Ⅱ）将43πθ=代入016sin 8cos 42=+-+θρθρρ,得016262=+-ρρ, 解得241=ρ,222=ρ故2221=-ρρ,即22||=PQ .………………8分 由于圆1C 的半径为2,所以PQ C 1∆的面积为2…………………10分（23）解：（Ⅰ）3=m…………………………1分 ① 得 ，不合题意，舍去…………………2分② 得 ，10≤<∴x ……………3分③ 得 ，231<<∴x ……………4分综上不等式的解集为)230(，…………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知⎪⎩⎪⎨⎧>-<≤-+--<+-=1,2411,421,24)(x x x x x x x f ，则2)]([min =x f …………………7分则2|32|≤+m ，解得2125-≤≤-m …………………9分即实数m 的取值范围是].21,25[--…………………10分⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-+--<+-=∴1241142124)(x x x x x x x f ，，，⎩⎨⎧<+--<4241x x ⎪⎩⎪⎨⎧->-<211x x ⎩⎨⎧<+-≤≤-44211x x ⎩⎨⎧>≤≤-011x x ⎪⎩⎪⎨⎧<>231x x。
