全国卷数学高考模拟试题精编八

2020届全国高考模拟试卷八（Ⅲ卷）数学（文）试题解析版一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．1.已知集合{}30A x x =-<<，201x B x x ⎧-⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，则A B ＝（A）()1,0-（B）[)2,0-（C）()3,1--（D）(]3,1--答案：C 【解析】201x x -≥+ 2x ∴≥或1x <-∴A∩B =(-3,-1)故选C2.已知向量(2,3)AB = ,(1,-3)BC t = ,AB ∥AC,则t ＝（A）32（B）92（C）73（D）113答案：B【解析】由AB ∥AC 得，290t -=故92t =故选B3.设a ＝log 36，b ＝log 310，c ＝e -2，则（A）b ＞a ＞c （B）b ＞c ＞a（C）a ＞c ＞b（D）a ＞b ＞c 答案：A【解析】3log y x = 在定义域上单调递增∴1＜a ＜b 又∵c ＜1∴b ＞a ＞c故选A4.函数f (x )=x 3-x 2-4x 的一个零点所在的区间为（A）（1,2）（B）（0,1）（C）（-1,0）（D）（-2,-1）答案：D【解析】2()324f x x x '=--Q ∴f (x )在（-2,-1）上单调递减，在（-1,0）先增再减，在（0,2）单调递减又∵f (-2)=-4<0,f (-1)=2>0,f (0)=0∴f (x )函数在（-2,-1）存在零点，在（-1,0），（0,2）中不存在零点故选D5.2019年11月2日，某市开展了5种不同类型的“垃圾分类，大家给力”社会服务活动，其中有3种活动在上午开展，2种活动在下午开展.若小王参加了两种活动，则分别安排在上、下午的概率为（A）14（B）310（C）12（D）35答案：D【解析】由题意知：小王一共满足的情况为25=10C 种情况，分别在上下午的有6种情况，故概率为35故选D6.已知F 是双曲线C ：22143x y -=的左焦点，则以F 为圆心且与渐近线相切的圆的方程为（A）22(3x y +=（B）22(3x y +=（C）22(1)4x y -+=（D）22(1)4x y ++=答案：B【解析】因为焦点到渐近线的距离为bF为圆心且与渐近线相切的圆的方程为22(3x y +=故选B7.设11()412x f x =-+，x ∈R ,则（A）f(x)为偶函数且在（0，+∞）上单调递减（B）f(x)为偶函数且在（0，+∞）上单调递增（C）f(x)为奇函数且在（0，+∞）上单调递减（D）f(x)为奇函数且在（0，+∞）上单调递增答案：C【解析】∵41()241x x f x -=+（），4114()()241241x xx x f x f x -----===-++（）（），∴f(x )为奇函数又∵y=4x+1单调递增，∴f(x)在（0，+∞）上单调递减故选C8.设椭圆2222:1x y C a b+=，a ＞b ＞0，点A,B 为C 的左，右顶点，点P 为C 上一点，若∠APB ＝120°，则C的离心率的最小值为（C）23（D）12答案：A【解析】设椭圆的上顶点为M ,则∠AMP≥120°，故b a ≤，∴22222222213c a b b e a a a -===-≥，∴e ≥故选A9.过球的一条半径的中点，作与该半径所在直线成300的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（A）15256（B）45256（C）1564（D）4564答案：C【解析】设球的半径为r ,∵球心到平面的距离为球的半径的14r ，∴截面的半径为4r ，∴截面的面积为215π16r ∵球的表面积为24πr ∴所得截面的面积与球的表面积的比为1564故选C10.若函数f(x)=e x -ax 与x 轴相切，则实数a ＝（A）1-（B）0（C）1（D）e答案：D【解析】设切点为（x 0,0），则00()0()0f x f x '=⎧⎨=⎩，所以00000x x e a e ax ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，故x 0=1,a=e故选D11.设(0,)2απ∈，(0,2βπ∈，且1cos 21cos sin 2sin αβαβ-+=，则（A）2αβ-=π（B）22αβπ-=（C）2αβ+=π（D）22αβπ+=答案：C【解析】21cos22sin tan sin 22sin cos αααααα-==，22cos 1cos 12=sin 2sin cos tan 222ββββββ+=且(0,)2απ∈，(0,)2βπ∈，∴22βαπ+=故选C12.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将△AMP 的面积表示为x 的函数()f x ，则()y f x =在(0,)π上的图象大致为答案：A【解析】1sin (1cos )2y x x =-∵当y＝0时，sinx=0或cosx=1∴x=0或π，故不选D又因为221cos cos sin 2y x x x '=-+（），所以当x=2π时10y '=>故选A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分．13.设i 为虚数单位，则i 6＝答案：-1【解析】i 4=1,i 6=i 2=-114.函数2tan 2tan 3y x x =-+，,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的最小值为.答案：2【解析】令tan t x =则[3,3]t ∈-，y =t 2-2t +3,t 0=1,故当t =1时y min =215.在四边形ABCD 中,120ABC BCD ∠=∠= ,3333CD AB BC ===，则AD 的长度为.答案：6【解析】在△ABC 中，AB=BC,∠ABC=120°，故AC=3,∠ACB=30°所以∠ACD=90°在△ADC 中，AC=3,33CD =，故AD=616.在四面体ABCD 中，DA ⊥底面ABC ，侧面ABD ⊥侧面BCD ，2BD BC ==，三个侧面DAB 、DBC 、DCA 的面积的平方和为8，则ADB ∠=.A BCD答案：π4【解析】由DA ⊥底面ABC 知侧面DAB ⊥底面ABC ，结合侧面ABD ⊥侧面BCD 有BC ⊥平面DAB .故四面体三个侧面均为直角三角形.设ADB α∠=（02πα<<），则2cos AD α=，2sin AB α=，DC =，AC =.于是三个侧面的面积的平方和是22224cos (1sin )44sin cos 8αααα+++=，解得21cos 2α=，所以π4α=.三、解答题：17．(12分)设数列{}n a 的前n 项和为2n 1()2S n n =+*(N )n ∈．（1）求{}n a 通项公式；（2）设2n a n n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .17．答案：（1）a n =n ,(2)T n =(n -1)2n+1+2【解析】（1）∵2n 1()2S n n =+∴当n =1时，a 1=S 1=1··················································································2分当n ≥2时,a n =S n -S n -1＝n ··············································································4分综上a n =n ·································································································5分（2）由（1）知：a n =n ，故n 2n b n =⋅·····························································6分∴12n 12...1222...2nn T b b b n =+++=⋅+⋅++⋅∴23121222...2n n T n +=⋅+⋅++⋅····································································8分∴231111-212+22...2-2=2-2-2n n n n n T n n +++=⋅+++⋅⋅（）······································10分∴T n =(n -1)2n+1+2·······················································································12分18.第32届夏季奥林匹克运动会（英语：Games of the XXXII Olympiad ）又称2020年东京奥运会.2013年9月7日雅克·罗格宣布2020年奥运会的主办城市是东京,东京申办成功后，成为继巴黎（法国）、伦敦（英国）、洛杉矶（美国）和雅典（希腊）后的世界第5个至少两次举办夏季奥运会的城市，同时也是亚洲第一个。

2020高考数学（文科）全国一卷高考模拟试卷（8）一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）1．（3分）已知集合A ＝{x |x ＜6且x ∈N *}，则A 的非空真子集的个数为（ ） A ．30B ．31C ．62D ．632．（3分）若复数z 满足（1+i ）z ＝|√3−i |，则z ＝（ ） A ．√2iB ．−√2iC ．1﹣iD ．√2−√2i3．（3分）▱ABCO ，O 为原点，A （1，﹣2），C （2，3），则B 点坐标为（ ） A ．（3，1）B ．（﹣1，﹣5）C ．（1，5）D ．（﹣3，﹣1）4．（3分）从1，2，3，4，5这五个数中，随机抽取两个不同的数，则这两个数的积为奇数的概率是（ ） A ．310B ．15C ．320D ．1105．（3分）若sin(π3−α)=−13，则cos(π6+α)=（ ） A ．−2√29B ．−13C ．13D ．2√296．（3分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1的一条渐近线与直线3x ﹣y +5＝0垂直，则双曲线C的离心率等于（ ） A ．√2B ．√103C ．√10D ．2√27．（3分）已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 37﹣S 23＝a ，则S 60＝（ ） A ．4aB ．307a C ．5aD ．407a8．（3分）阅读下面的程序框图，如果输出的函数值f(x)∈[14，2]，那么输入的实数x 的取值范围是（ ）A ．[﹣1，2]B ．[﹣2，1]C ．（﹣∞，1]∪[2，+∞）D ．（﹣∞，1]∪（2，+∞）9．（3分）已知函数f （x ）＝sin （ωx +π6）（ω＞0）的图象在（0，π）上有且仅有两条对称轴，则ω的取值范围为（ ） A ．[1，32）B ．（43，32）C ．（43，73]D ．[1，73]10．（3分）已知函数f （x ）=1x −x ，若a ＝log 52，b ＝log 0.50.2，c ＝0.5﹣0.5，则（ ）A ．f （b ）＜f （a ）＜f （c ）B ．f （c ）＜f （b ）＜f （a ）C ．f （b ）＜f （c ）＜f （a ）D ．f （a ）＜f （b ）＜f （c ）11．（3分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，最长的棱的长度为（ ）A ．2√3B ．2√2C ．3D ．√612．（3分）已知函数f(x)={2x +1，x ≥2f(x +2)，x ＜2，则f （1）﹣f （2）＝（ ）A ．12B ．2C ．﹣2D ．3二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）13．（3分）已知函数f （x ）＝mlnx 图象与函数g （x ）＝2√x 图象在交点处切线方程相同，则m 的值为14．（3分）设变量x ，y 满足约束条件：{x +y ≥3x −y ≥−12x −y ≤3，则目标函数z ＝3x ﹣2y 的最小值为 ．15．（3分）已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左右焦点，点P 为C 上一点，O 为坐标原点，△POF 2为正三角形，则C 的离心率为 ． 16．（3分）数列{a n }满足：a 12+a 25+⋯+a n 3n−1=3−12n ，且a 1+a 2+…+a n ≤m （m ∈N *）恒成立，则m 的最小值为 ．三．解答题（共5小题）17．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c．已知2（sin A cos C+cos A sin C）＝sin A+sin C．（1）求证：a、b、c成等差数列；（2）若c＝7，C=2π3，求b和sin2B的值．18．在四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为8的正三角形，点O是线段BC的中点．（1）证明：BC⊥AD．（2）若∠AOD为锐角，且四面体ABCD的体积为32√3求侧面ACD的面积．19．西部某贫困村，在产业扶贫政策的大力支持下，在荒山上散养优质鸡，城里有7个饭店且每个饭店一年有300天需要这种鸡，A饭店每天需要的数量是14～18之间的一个随机数，去年A饭店这300天里每天需要这种鸡的数量x（单位：只）如表：x1415161718频数4560756060这300天内，假定这7个饭店的情况一样，只探讨A饭店当天的需求量即可．这300天内，鸡厂和这7个饭店联营，每天出栏鸡是定数7a（14≤a≤18），送到城里的这7个饭店，从饲养到送到饭店，每只鸡的成本是40元，饭店给鸡厂结算每只70元，如果7个饭店用不完，即当天每个饭店的需求量x＜a时，剩下的鸡只能以每只56﹣a元的价钱处理．（Ⅰ）若a＝15，求鸡厂当天在A饭店得到的利润y（单位：元）关于A饭店当天需求量x（单位：只，x∈N*）的函数解析式；（Ⅱ）若a＝16，求鸡厂当天在A饭店得到的利润（单位：元）的平均值；（Ⅲ）a＝17时，以表中记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求鸡厂当天在A饭店得到的利润大于479元的概率．20．如图，F是抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，过F的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，其中y1＞0，y1y2＝﹣4．过点A作y轴的垂线交抛物线的准线于点H，直线HF交抛物线于点P，Q．（1）求p的值；（2）求四边形APBQ的面积S的最小值．21．已知函数f（x）＝x sin x+cos x．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求函数g（x）＝f（x）−14x2零点的个数．四．解答题（共1小题）22．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ＝m，曲线C2的极坐标方程为ρ2=123+sin2θ．（1）求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的参数方程；（2）设曲线C1与曲线C2在第二象限的交点为A，曲线C1与x轴的交点为H，点M（1，0），求△AMH的周长l的最大值．五．解答题（共1小题）23．已知函数f（x）＝|2x+1|．（1）求不等式f（x）≤1的解集；（2）若∀x∈R，f（x2）≥a|x|恒成立，求实数a的最大值．2020高考数学（文科）全国一卷高考模拟试卷（8）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）1．（3分）已知集合A ＝{x |x ＜6且x ∈N *}，则A 的非空真子集的个数为（ ） A ．30B ．31C ．62D ．63【解答】解：∵集合A ＝{x |x ＜6且x ∈N *}＝{1，2，3，4，5}， 故A 的子集个数为25＝32，非空真子集个数为30． 故选：A ．2．（3分）若复数z 满足（1+i ）z ＝|√3−i |，则z ＝（ ） A ．√2iB ．−√2iC ．1﹣iD ．√2−√2i【解答】解：由（1+i ）z ＝|√3−i |＝2， 得z =21+i =2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i ， 故选：C ．3．（3分）▱ABCO ，O 为原点，A （1，﹣2），C （2，3），则B 点坐标为（ ） A ．（3，1）B ．（﹣1，﹣5）C ．（1，5）D ．（﹣3，﹣1）【解答】解：根据题意，▱ABCO 中，有OB →=OA →+OC →，又由A （1，﹣2），C （2，3），则OA →=（1，﹣2），OC →=（2，3）， 则OB →=OA →+OC →=(1，−2)+(2，3)=(3，1)，则B （3，1）； 故选：A ．4．（3分）从1，2，3，4，5这五个数中，随机抽取两个不同的数，则这两个数的积为奇数的概率是（ ） A ．310B ．15C ．320D ．110【解答】解：从1，2，3，4，5这五个数中，随机抽取两个不同的数，基本事件总数n =C 52=10，这两个数的积为奇数包含的基本事件个数m =C 32=3．∴这两个数的积为奇数的概率是p =m n =310． 故选：A ．5．（3分）若sin(π3−α)=−13，则cos(π6+α)=（ ） A ．−2√29B ．−13C ．13D ．2√29【解答】解：sin(π3−α)=−13，则cos(π6+α)=cos[π2−（π3−α）]=sin(π3−α)=−13，故选：B ．6．（3分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1的一条渐近线与直线3x ﹣y +5＝0垂直，则双曲线C的离心率等于（ ） A ．√2B ．√103C ．√10D ．2√2【解答】解：∵双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1的渐近线方程为y ＝±b ax ． 又直线3x ﹣y +5＝0可化为y ＝3x +5，可得斜率为3．∵双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1的一条渐近线与直线3x ﹣y +5＝0垂直，∴b a=13，c 2−a 2a 2=19∴双曲的离心率e =c a =√103． 故选：B ．7．（3分）已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 37﹣S 23＝a ，则S 60＝（ ） A ．4aB ．307a C ．5a D ．407a【解答】解：S 37−S 23=a 24+a 25+⋯+a 37=a 24+a 372⋅14=7(a 24+a 37)=a ， S 60=a 1+a 602⋅60=30(a 24+a 37)=307a ． 故选：B ．8．（3分）阅读下面的程序框图，如果输出的函数值f(x)∈[14，2]，那么输入的实数x 的取值范围是（ ）A ．[﹣1，2]B ．[﹣2，1]C ．（﹣∞，1]∪[2，+∞）D ．（﹣∞，1]∪（2，+∞）【解答】解：由题意函数f （x ）可看成是分段函数， f （x ）={2x ，x ∈[−2，2]2，x ∈(−∞，2)∪(2，+∞)，当输出的函数值f(x)∈[14，2]时， ①f （x ）＝2x ∈[14，2]，x ∈[﹣2，2]，即解14≤2x ≤2，解得﹣2≤x ≤1，即x ∈[﹣2，1]，②f （x ）＝2时，x ∈（﹣∞，2）∪（2，+∞）， 由①②两种情况都有可能，所以想的范围为①②并集， 即x ∈（﹣∞，1]∪（2，+∞）． 故选：D ．9．（3分）已知函数f （x ）＝sin （ωx +π6）（ω＞0）的图象在（0，π）上有且仅有两条对称轴，则ω的取值范围为（ ） A ．[1，32）B ．（43，32）C ．（43，73]D ．[1，73]【解答】解：令ωx +π6=π2，3π2，5π2，解得x =π3ω，x =4π3ω，x =7π3ω，分别为y ＝f （x ）的y 轴右侧由左往右最近的三条对称轴．要满足图象在（0，π）上有且仅有两条对称轴，只需{0＜π3ω＜π0＜4π3ω＜π7π3ω≥π，解得43＜ω≤73．故选：C ．10．（3分）已知函数f（x）=1x−x，若a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.5﹣0.5，则（）A．f（b）＜f（a）＜f（c）B．f（c）＜f（b）＜f（a）C．f（b）＜f（c）＜f（a）D．f（a）＜f（b）＜f（c）【解答】解：∵0＝log51＜log52＜log55＝1，log0.50.2＞log0.50．52=2，1＝0.50＜0.5﹣0.5＜0.5﹣1＝2，∴b＞c＞a＞0，且f（x）在（0，+∞）上单调递减，∴f（b）＜f（c）＜f（a）．故选：C．11．（3分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，最长的棱的长度为（）A．2√3B．2√2C．3D．√6【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为四面体ABCD，四面体所在正方体的棱长为2，则棱长分别为：AB＝CD=√5，AC=2√2，BC＝1，BD=√6，AD＝3．最长的棱的长度为3．故选：C．12．（3分）已知函数f(x)={2x +1，x ≥2f(x +2)，x ＜2，则f （1）﹣f （2）＝（ ）A ．12B ．2C ．﹣2D ．3【解答】解：∵函数f(x)={2x +1，x ≥2f(x +2)，x ＜2，∴f （1）＝f （3）＝2×3+1＝7， f （2）＝2×2+1＝5， ∴f （1）﹣f （2）＝7﹣5＝2． 故选：B ．二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）13．（3分）已知函数f （x ）＝mlnx 图象与函数g （x ）＝2√x 图象在交点处切线方程相同，则m 的值为 e【解答】解：设函数f （x ）和g （x ）的交点为（x 0，y 0），则 由f （x ）＝mlnx ，得f ′(x)=mx ，∴f （x ）在（x 0，y 0）处的切线方程的斜率k 1=mx 0，同理，函数g （x ）在（x 0，y 0）处的切线方程的斜率k 2=√x0x 0，∵f （x ）和g （x ）在交点处切线方程相同， ∴k 1＝k 2，即m x 0=√x 0x 0①，又y 0＝f （x 0）＝mlnx 0②，y 0=g(x 0)=2√x 0③， 由①②③解得，m ＝e ． 故答案为：e ．14．（3分）设变量x ，y 满足约束条件：{x +y ≥3x −y ≥−12x −y ≤3，则目标函数z ＝3x ﹣2y 的最小值为 ﹣1 ．【解答】解：画出不等式组{x +y ≥3x −y ≥−12x −y ≤3表示的平面区域，如图阴影所示；由图形知，当目标函数z ＝3x ﹣2y 过点A 时，z 取得最小值； 由{x +y =3x −y =−1，求得A （1，2）， 所以z 的最小值为z min ＝3×1﹣2×2＝﹣1． 故答案为：﹣1．15．（3分）已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左右焦点，点P 为C 上一点，O 为坐标原点，△POF 2为正三角形，则C 的离心率为 √3−1 ． 【解答】解：连接PF 1，由△POF 2为等边三角形可知在△F 1PF 2中， ∠F 1PF 2＝90°，|PF 2|＝c ，|PF 1|=√3c ，于是2a ＝|PF 1|+|PF 2|＝（√3+1）c ， 故曲线C 的离心率e =ca =√3−1． 故答案为：√3−1．16．（3分）数列{a n }满足：a 12+a 25+⋯+a n 3n−1=3−12n ，且a 1+a 2+…+a n ≤m （m ∈N *）恒成立，则m 的最小值为 9 ． 【解答】解：由a 12+a 25+⋯+a n 3n−1=3−12n，得：a 12+a 25+⋯+a n−13n−4=3−12n−1．两式相减得：a n3n−1=12(n ≥2)，a 12=52⇒a 1=5．∴a n ={3n−12n ，n ≥2，5，n =1，故a 1+a 2+⋯+a n =5+522+823+⋯+3n−12n =4+221+522+3n−12n ． 令S =221+522+⋯+3n−42n−1+3n−12n ，则12S =22+52+⋯+3n−42+3n−12． 两式相减得：12S =1+3(122+⋯+12n)−3n−12n+1=52−3n+52n+1⇒S =5−3n+52n，故a 1+a 2+⋯+a n =4+S =9−3n+5n ＜9．而当n ＝5时，9−3×5+525＞8， 故m 的最小值为9． 故答案为：9． 三．解答题（共5小题）17．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．已知2（sin A cos C +cos A sin C ）＝sin A +sin C ．（1）求证：a 、b 、c 成等差数列；（2）若c ＝7，C =2π3，求b 和sin2B 的值．【解答】解：（1）因为2（sin A cos C +cos A sin C ）＝sin A +sin C ， 所以2sin （A +C ）＝sin A +sin C ， 由于在△ABC 中，A +C ＝π﹣B ， 所以sin （A +C ）＝sin B ， 所以2sin B ＝sin A +sin C ， 由正弦定理a sinA=b sinB=c sinC，得2b ＝a +c ．所以a ，b ，c 成等差数列． （2）在△ABC 中，c =7，C =2π3， 由余弦定理，得 72=a 2+b 2−2abcos 2π3， 即a 2+b 2+ab ＝49， 由（1）知a ＝2b ﹣7，所以（2b ﹣7）2+b 2+（2b ﹣7）b ＝49， 解得b ＝5，由正弦定理，得sinB =bsin 2π3c =5√314．在△ABC 中，因为于C =2π3， 所以B ∈(0，π2)，所以cosB =√1−sin 2B =1−(5√314)2=1114， 所以sin2B =2sinBcosB =55√398．18．在四面体ABCD 中，△ABC 与△DBC 都是边长为8的正三角形，点O 是线段BC 的中点．（1）证明：BC ⊥AD ．（2）若∠AOD 为锐角，且四面体ABCD 的体积为32√3求侧面ACD 的面积．【解答】解：（1）证明：∵△ABC 是正三角形，∴AO ⊥BC ． ∵△BCD 是正三角形，∴DO ⊥BC ，且AO ⊥DO ＝O ， ∴BC ⊥平面AOD ．又AD ⊂平面AOD ，∴BC ⊥AD（2）解：过点D 作DE ⊥AO ，垂足为E ． ∵BC ⊥平面ADO ，且BC ⊂平面ABC ， ∴平面ADO ⊥平面ABC ．又平面ADO ∩平面ABC ＝AO ，∴DE ⊥平面ABC ． ∵四面体ABCD 的体积为32√3，△ABC 的面积S =12×8×√82−42=16√3， ∴13×16√3×DE =32√3，∴DE ＝6．又DO =√32BD =4√3，∴OE =√OD 2−DE 2=2√3=AE ， ∴AD ＝DO ＝4√3，∴侧面ACD 的面积S △ACD =12×4√3×√64−12=4√39．19．西部某贫困村，在产业扶贫政策的大力支持下，在荒山上散养优质鸡，城里有7个饭店且每个饭店一年有300天需要这种鸡，A 饭店每天需要的数量是14～18之间的一个随机数，去年A 饭店这300天里每天需要这种鸡的数量x （单位：只）如表：x 14 15 16 17 18 频数4560756060这300天内，假定这7个饭店的情况一样，只探讨A 饭店当天的需求量即可．这300天内，鸡厂和这7个饭店联营，每天出栏鸡是定数7a （14≤a ≤18），送到城里的这7个饭店，从饲养到送到饭店，每只鸡的成本是40元，饭店给鸡厂结算每只70元，如果7个饭店用不完，即当天每个饭店的需求量x ＜a 时，剩下的鸡只能以每只56﹣a 元的价钱处理．（Ⅰ）若a ＝15，求鸡厂当天在A 饭店得到的利润y （单位：元）关于A 饭店当天需求量x （单位：只，x ∈N *）的函数解析式；（Ⅱ）若a ＝16，求鸡厂当天在A 饭店得到的利润（单位：元）的平均值；（Ⅲ）a ＝17时，以表中记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求鸡厂当天在A 饭店得到的利润大于479元的概率．【解答】解：（Ⅰ）当x ＜a 时，y ＝（70﹣40）x +（56﹣a ﹣40）（a ﹣x ）＝（14+a ）x +16a ﹣a 2，当x ≥a 时，y ＝30a ，∴y ={(14+a)x +16a −a 2，x ＜a 30a ，x ≥a (x ∈N ∗)，由a ＝15，得y ={29x +15，x ＜15450，x ≥15(x ∈N ∗)；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a ＝16，y ={30x ，x ＜16480，x ≥16（x ∈N *），300天中，有45天的利润是420元/天，有60天的利润是450元/天，有195天的利润是480元/天，∴鸡厂当天在A 饭店得到的利润（单位：元）的平均值为1300×(420×45+450×60+195×480)=465（元）．（Ⅲ）当a ＝17时，y ={31x −17，x ＜17510，x ≥17(x ∈N ∗)，当x ＝16时，鸡厂当天在A 饭店得到的利润y ＝479元， ∴鸡厂当天在A 饭店得到的利润大于479元的概率为60300+60300=25．20．如图，F 是抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点，过F 的直线交抛物线于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，其中y 1＞0，y 1y 2＝﹣4．过点A 作y 轴的垂线交抛物线的准线于点H ，直线HF 交抛物线于点P ，Q ． （1）求p 的值；（2）求四边形APBQ 的面积S 的最小值．【解答】解：（1）F （p2，0）是抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点，设直线AB 的方程为x ＝my +p 2，代入y 2＝2px ，可得y 2﹣2pmy ﹣p 2＝0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得y 1y 2＝﹣p 2＝﹣4，解得p ＝2； （2）点A （y 124，y 1），B （y 224，y 2），则H （﹣1，y 1），直线PQ 的方程为y =−y12（x ﹣1），代入y 2＝4x ，得y 12x 2﹣（2y 12+16）x +y 12＝0，设P （x 3，y 3），Q （x 4，y 4），则|PQ |＝x 3+x 4+2=4(y 12+4)y 12．设A ，B 到PQ 的距离分别为d 1，d 2，由PQ ：y 1x +2y ﹣y 1＝0，得d 1+d 2=|y 134+2y 1−y 1−(y 1y 224+2y 2−y 1)|√1=|y134+y 1−(−y 2+2y 2−y 1)|√1=|y134+2y 1−y 2|√1=|y 134+2y 1+4y 1|√1=1221√1，因此四边形APBQ 的面积S =12|PQ |（d 1+d 2）=√(4+y 12)52y 13，设函数f （x ）=(4+x 2)5x 6（x ＞0），则f ′（x ）=4(4+x 2)4(x 2−6)x 7，可得，当0＜x ＜√6时，f （x ）单调递减；当x ＞√6时，f （x ）单调递增， 从而当y 1=√6时，S 取得最小值12√√=25√159．21．已知函数f （x ）＝x sin x +cos x ．（Ⅰ）求曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程； （Ⅱ）求函数g （x ）＝f （x ）−14x 2零点的个数． 【解答】解：（Ⅰ）f '（x ）＝x cos x ，∴f '（0）＝0． 又f （0）＝1，∴曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程为y ＝1； （Ⅱ）∵g(x)=f(x)−14x 2为偶函数，g （0）＝1， ∴要求g （x ）在x ∈R 上零点个数，只需求g （x ）在x ∈（0，+∞）上零点个数即可．g ′(x)=xcosx −12x =x(cosx −12)，令g '（x ）＝0，得x =2kπ+π3，x =2kπ+5π3k ∈N ， ∴g （x ）在(0，π3)单调递增，在(π3，5π3)单调递减，在(5π3，7π3)单调递增， 在(2kπ+π3，2kπ+5π3)单调递减，在(2kπ−π3，2kπ+π3)单调递增k ∈N *， 列表得： x0 (0，π3) π3 (π3，5π3) 5π3(5π3，7π3) 7π3 (7π3，11π3) 11π3 …g '（x ） 0 + 0 ﹣ 0 + 0 ﹣ 0 … g （x ） 1↗极大值↘极小值↗极大值↘极小值…由上表可以看出g（x）在x=2kπ+π3（k∈N）处取得极大值，在x=2kπ+5π3（k∈N）处取得极小值，又g(π3)=√36π+12−π236＞0；g(5π3)=−5√36π+12−25π236＜0．当k∈N*且k≥1时，g(2kπ+π3)=(2kπ+π3)√32+12−14(2kπ+π3)2=−14(2kπ+π3−√3)2+54＜0，（或g(x)＜x+1−14x2，g(2kπ+π3)＜(2kπ+π3)+1−14(2kπ+π3)2＜0）．∴g（x）在x∈（0，+∞）上只有一个零点．故函数g(x)=f(x)−14x2(x∈R)零点的个数为2．四．解答题（共1小题）22．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ＝m，曲线C2的极坐标方程为ρ2=123+sin2θ．（1）求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的参数方程；（2）设曲线C1与曲线C2在第二象限的交点为A，曲线C1与x轴的交点为H，点M（1，0），求△AMH的周长l的最大值．【解答】解：（1）曲线C1的极坐标方程为ρcosθ＝m，转换为直角坐标方程为：x＝m．曲线C2的极坐标方程为ρ2=123+sin2θ．转换为直角坐标方程为3x2+4y2＝12，整理得x24+y23=1，转换为参数方程为{x=2cosθy=√3sinθ（θ为参数）．（2）曲线C1与曲线C2在第二象限的交点为A（2cosθ，√3sinθ），M（1，0），H（2cosθ，0）所以所以l△ABC＝|AM|+|MH|+|AH|=√3sinθ+1−2cosθ+√(2cosθ−1)2+(√3sinθ)2=√3sinθ+1−2cosθ+2−cosθ=2√3sin(θ−π3)+3，当sin(θ−π3)=1时，△AMH的周长l的最大值为2√3+3．五．解答题（共1小题）23．已知函数f（x）＝|2x+1|．（1）求不等式f（x）≤1的解集；（2）若∀x∈R，f（x2）≥a|x|恒成立，求实数a的最大值．【解答】解：（1）由f（x）≤1，得|2x+1|≤1，即﹣1≤2x+1≤1，解得﹣1≤x≤0，所以原不等式的解集为{x|﹣1≤x≤1}．（2）∀x∈R，f（x2）≥a|x|成立，即为∀x∈R，2x2+1≥a|x|恒成立，当x＝0时，a∈R，当x≠0时，a≤2x2+1|x|=2|x|+1|x|，因为2|x|+1|x|≥2√2（当且仅当|x|=√22时等号成立），所以a≤2√2．综上，a≤2√2．所以a的最大值为2√2．。

2020年普通高招全国统一考试原创模拟卷-数学8第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题(共12题，每题5分，共60分)1．已知集合A ={x |x 2-2x -3>0},集合B ={x |y =√x -1},则(∁R A )∪B =A.{x |x ≤-1}B.{x |x ≥3}C.{x |-1≤x ≤3}D.{x |x ≥-1}2．已知复数z =2+i 1+i,则|z |=A.√52B.√10C.√102D.√53．已知函数f (x )={1x(x <e),lnx(x ≥e),则f (f (1e))=A.1eB.eC.1D.-14．已知直线l 1:x +(2a -1)y +2a -3=0,l 2:ax +3y +a 2+4=0,则“a =32”是“l 1∥l 2”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5．“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一,他在《九章算术注》中提出割圆术,并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础.刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3 072边形,并由此而求得了圆周率为3.141 5和3.141 6这两个近似数值.这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确的数据,如果按π=3.142计算,那么当分割到圆内接正六边形时,如图所示,向圆内随机投掷一点,那么该点不落在正六边形内的概率为(√3≈1.732,精确到小数点后两位)A.0.16B.0.17C.0.18D.0.196．已知在三棱锥S -ABC 中,AB ⊥AC ,AB =AC =SA ,SA ⊥平面ABC ,D 为BC 的中点,则异面直线AB与SD 所成角的余弦值为A.√55B.√66C.√306D.2√557．已知x ,y 满足{x -y ≤0,2x +y ≥0,x +y -1≤0,则目标函数z =-2x +y 的取值范围为A.[15,4]B.[1,4]C.[√55,2]D.[-12,4]8．执行如图所示的程序框图,则输出的结果为A.-2B.2C.12D.-19．设函数f (x )=ln x +1-ax x,x ∈[a ,1a],若函数f (x )的极小值不大于a ,则实数a 的取值范围为A.[12,+∞)B.[12,1)C.(0,12]D.(-∞,12]10．已知经过坐标原点O 的直线与椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)相交于M ,N 两点(M 在第二象限),A ,F 分别是该椭圆的右顶点和右焦点,若直线MF 平分线段AN ,且|AF |=4,则该椭圆的方程为A.x 29+y 25=1B.x 236+y 24=1C.x 236+y 232=1 D.x 225+y 224=111．已知函数f (x )=a |x|(a >0,a ≠1)满足f (a )<1,设m =f (-a ),n =f (log a a 2),p =f (f (a )),那么m ,n ,p 的大小关系为A.n <p <mB.m <p <nC.p <m <nD.n <m <p12．已知△ABC 中,内角A ,B ,C 对应的边分别为a ,b ,c ,已知a 2+b 2=c 2+2ac cos C ,a cosC +3c cos A =0,则角A 为A.30°B.60°C.90°D.120°第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题(共4题，每题5分，共20分)13．已知AB =(1,2),AC=(2,3),向量m =(a ,2)与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 垂直,则向量m 的模为 . 14．已知函数f (x )=sin(ωx +φ)(ω>0)的图象关于直线x =π3对称,若函数f (x )的最小正周期为π2,且φ∈(0,π),则φ的值为 .15．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 .16．已知直线l :x +2y -5=0,定点A (1,2),动点P 到定点A 的距离与到直线l 的距离相等,双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一个焦点为F ,Q 是动点P 轨迹上一点,|FQ |的最小值恰为双曲线C 的虚半轴长,则双曲线C 的离心率为 .三、解答题(共7题，每题12分，共84分)17．已知数列{a n +1}的前n 项和S n 满足S n =2a n ,n ∈N *.(1)求证数列{a n +1}为等比数列,并求a n 关于n 的表达式;(2)若b n =log 2(a n +1),求数列{(a n +1)b n }的前n 项和T n .18．2018年世界女排锦标赛于9月29日至10月20日在日本举行,为了解同学们观看现场直播的情况,对高一、高二年级各10个班级的同学进行问卷调查,各班观看人数统计结果如茎叶图所示.(1)(i)根据图中的数据,估计哪个年级平均观看人数较多? (ii)计算高一年级观看人数的样本方差.(2)从高一年级观看人数不足20人的班级中随机抽取2个班,求这2个班分别是观看人数在10人以下与10人以上的概率.19．如图所示的几何体B -ACDE 中,△ABC 为等腰直角三角形,AB ⊥AC ,AB =AC =2,DC ⊥平面ABC ,DC =1,EA ⊥平面ABC ,EA =√2.(1)若在EB 上存在点F ,使得BE ⊥平面AFC ,试探究点F 的位置; (2)在(1)的条件下,求三棱锥F -BCD 的体积.20．已知定点N (6,8)与圆O :x 2+y 2=4,动点M 在圆O 上,MN 的中点为P .(1)若点P 的轨迹为圆C ,求圆C 的方程;(2)在(1)的条件下,线段OC 的垂直平分线上,是否存在点Q ,过点Q 分别作圆O 与圆C 的切线(切点分别为A ,B ),使得|QA |=|QB |,若存在,求出点Q 的坐标,若不存在,请说明理由.21．已知函数f (x )=e x -12ax 2+b (a >0),函数f (x )的图象在x =0处的切线方程为y =x +1.(1)当a =1时,求函数f (x )在[0,2]上的最小值与最大值; (2)若函数f (x )有两个零点,求a 的值.22．在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =2cosα,y =√3sinα(α为参数),以O 为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为2ρsin(π3-θ)=√3.(1)求曲线C 的普通方程、直线l 的直角坐标方程;(2)已知直线l 与曲线C 交于A ,B 两点,求△OAB 的面积. 23．已知函数f (x )=|2x -1|. (1)解不等式f (x )≤|x |+1;(2)若存在实数m ,使得f (x )-f (x2)<m 有解,求m 的取值范围.参考答案1.D【解析】本题考查集合的并、补运算,不等式的解法,考查考生的运算求解能力及对基础知识的掌握情况,考查的核心素养是数学运算.先解一元二次不等式求出集合A ,根据函数定义域的知识求出集合B ,然后通过集合的并、补运算求解.由x 2-2x -3>0得x <-1或x >3,从而∁R A ={x |-1≤x ≤3},由x -1≥0,得B ={x |x ≥1},从而(∁R A )∪B ={x |x ≥-1},故选D. 【备注】无 2.C【解析】本题考查复数的运算及复数模的概念,考查考生的运算求解能力,考查的核心素养是数学运算.可先通过复数运算求出复数z ,再求解|z |.z =2+i1+i=(2+i)(1-i)1-i 2=3-i 2,所以|z |=√102,故选C.【备注】无 3.C【解析】本题考查分段函数求值,考查考生的运算求解能力,考查的核心素养是数学运算. 由题意可知f (f (1e ))=f (e)=ln e=1,故选C.【备注】无 4.C【解析】本题主要考查充要关系的判断、两直线的位置关系等,考查的数学核心素养是数学运算、逻辑推理.先根据直线l 1∥l 2求出a 的值,再判断充要关系即可.若l 1∥l 2,则a (2a -1)=3,解得a =32或a =-1.又当a =-1时,直线l 1的方程为x -3y -5=0,直线l 2的方程为-x +3y +5=0,两直线重合,所以a =32,所以“a =32”是“l 1∥l 2”的充要条件.故选C. 【备注】【易错警示】 很多考生在根据l 1∥l 2求出a =32或a =-1后,直接得出结论,而忽略排除两直线重合的情况,从而错选A. 5.B【解析】本题以数学文化知识为依托,考查几何概型概率的计算,考查考生的运算求解能力. 试题以“割圆术”为背景设题,不仅考查数学核心素养中的数学建模、数学运算,同时弘扬了我国古代的数学成就和文化底蕴,引导考生了解数学文化,培养爱国情怀.分别计算圆的面积与圆内接正六边形的面积,利用对立事件概率和几何概型概率的计算公式求解,通过近似运算得出正确结果.设圆的半径为r ,则圆的面积为πr 2,正六边形的面积为6×12×r ×√32r =3√32r 2,因而所求概率为1-3√32r 2πr 2=1-3√32π≈0.17,故选B.【备注】无 6.B【解析】本题主要考查异面直线所成的角,考查空间想象能力与运算求解能力,考查的核心素养是直观想象、逻辑推理、数学运算.作平行线,利用定义确定异面直线所成的角,然后在直角三角形中求解.如图,取AC 的中点E ,连接DE ,SE ,则DE ∥AB ,∠SDE 或其补角为异面直线AB 与SD 所成的角.由SA ⊥平面ABC ,得SA ⊥AB ,SA ⊥AC ,又AB ⊥AC ,所以AB ⊥平面SAC ,易得DE ⊥S E.不妨设AB =AC =SA =2,则DE =1,SE =√,故SD =√SE 2+ED 2=√6.在Rt△SDE 中,cos∠SDE =DE SD=√6=√66,故选B. 【备注】无 7.D【解析】本题主要考查线性规划,考查数形结合思想.试题要求考生能够画出可行域对应的几何图形,引导考生注重培养直观想象等核心素养.由已知约束条件,作出可行域及直线y =2x ,通过平移直线y =2x ,求得目标函数的取值范围. 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,其中A (12,12),B (-1,2),作出直线y =2x ,平移该直线,当直线经过点A (12,12)时,目标函数取得最小值,z min =-2×12+12=-12,当直线经过点B (-1,2)时,目标函数取得最大值,z max =-2×(-1)+2=4,所以目标函数的取值范围是[-12,4],故选D.【备注】无 8.D【解析】本题主要考查循环结构的程序框图,考查考生分析问题、解决问题的能力,考查的核心素养是逻辑推理.执行程序框图,找到a 取值的周期,然后判断结束循环时a 的值,得到结果.执行程序框图,n =1,a =f (2)=1-12=12,n =2,a =f (12)=1-112=-1,n =3,a =f (-1)=1-1-1=2,n =4,a =f (2)=12,……易知a 的取值以3为周期,所以当n =8时,a =-1,当n =9时,退出循环.输出的a =-1,故选D. 【备注】无 9.B【解析】本题考查函数的极值、导数在解决函数问题中的应用,考查考生分析问题、解决问题的能力,考查的核心素养是数学运算、逻辑推理及数学抽象.先根据函数的定义域求出a 的一个范围,再根据函数的单调性求出函数的极小值,通过求解不等式得到结果.由题意得,1a>a >0,得0<a <1,1a>1.由f '(x )=1x−1x =0得x =1,当x ∈(a ,1)时,f '(x )<0,f (x )单调递减,当x ∈(1,1a)时,f '(x )>0,f (x )单调递增,因而f (x )的极小值为f (1)=1-a ,∴1-a ≤a ,∴a ≥12,又0<a <1,∴12≤a <1,故选B.【备注】【易错警示】本题容易忽视函数的定义域x ∈[a ,1a ],而错选A.10.C【解析】本题考查椭圆的方程与几何性质,考查三角形的相似及其应用,考查逻辑推理能力和运算求解能力.试题的命制立足于基础知识,考生可以根据几何直观与椭圆的几何性质解题,突出对数学运算、直观想象、数学抽象等核心素养的考查.取AN 的中点P ,连接MA ,OP ,可证△OFP ∽△AFM ,从而可求得c 的值,进而求得a ,b 2的值,得到椭圆的方程.解法一 由|AF |=4得a -c =4,设线段AN 的中点为P ,M (m ,n ),则N (-m ,-n ),又A (a ,0),所以P (a -m 2,-n 2),F (a -4,0).因为点M ,F ,P 在一条直线上,所以k MF =k FP ,即n -0m -(a -4)=-n 2-0a -m2-(a -4),化简得a =6,所以c =2,b 2=62-22=32,故该椭圆的方程为x 236+y 232=1.解法二 如图,取AN 的中点P ,连接MA ,OP ,因为O 是MN 的中点,P 是AN 的中点,所以OP ∥MA ,且|OP |=12|MA |,因此△OFP ∽△AFM ,所以|OF||AF|=|OP||AM|=12,即c 4=12,因此c =2,从而a =c +|AF |=2+4=6,故b 2=62-22=32,故该椭圆的方程为x 236+y 232=1.【备注】无 11.A【解析】本题考查函数的奇偶性、单调性等,考查简单的指数、对数运算,考查比较大小的方法,考查数形结合思想.通过对已知条件的分析,得出a 的取值范围,利用数形结合思想得出m ,n ,p 的大小.由已知f (a )<1,a >0,得a a <1,因而0<a <1.当x >0时,f (x )=a x ,f (x )单调递减,当x <0时,f (x )=a -x ,f (x )单调递增,且f (-x )=f (x ),作出函数f (x )=a |x|的图象如图所示,∴m =f (-a )=f (a )=a a >a ,由于log a a2=1-log a 2>1,∴n =f (log a a2)<f (1)=a ,由于f (a )<1,∴p =f (f (a ))>f (1)=a >n ,又p =f (f (a ))<f (a )=m , ∴n <p <m ,故选A. 【备注】无 12.D【解析】本题考查正弦定理、余弦定理的应用,三角恒等变换及诱导公式等,考查考生的运算求解能力.通过余弦定理得到b =c 或cos C =0,舍去cos C =0,再由正弦定理进行边角互化,通过两角和与差的三角函数公式及诱导公式求解.由余弦定理c 2=a 2+b 2-2ab cos C ,可得a 2+b 2=a 2+b 2-2ab cos C +2ac cos C ,可得b =c 或cos C =0.易知cos C ≠0,从而B =C.由正弦定理得,sin A cos C +3sin C cos A =0,则sin(A +C )+2sinC cos A =0,从而sin(π-B )+2sin B cos A =0,所以cos A =-12,所以在△ABC 中,A =120°,故选D.【备注】【归纳总结】 解三角形离不开正弦定理、余弦定理的应用,同时,三角形中通过A +B +C =π进行角的转化,特别当已知某个角的三角函数值时,注意三角形中角的值的可能情况,否则容易出现丢根的情况.13.2√2【解析】本题考查向量的运算及向量的模,考查的核心素养是数学运算.利用向量的减法运算求出BC⃗⃗⃗⃗⃗ ,通过垂直求出a ,然后求向量的模. 由已知得,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1),因为m =(a ,2)与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 垂直,所以m ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ,2)·(1,1)=a +2=0,解得a =-2,则m =(-2,2),|m |=2√2. 【备注】无 14.π6【解析】本题主要考查三角函数的最小正周期、三角函数图象的对称性等,考查考生对基础知识的掌握情况.由三角函数的最小正周期确定ω的值,再由图象的对称性求出φ的值. 由函数f (x )的最小正周期为π2,得ω=2ππ2=4,由函数f (x )的图象关于直线x =π3对称,得4π3+φ=π2+k π,k ∈Z ,即φ=-5π6+k π,k ∈Z .又φ∈(0,π),所以φ=π6.【备注】无15.32+4√3+4√7【解析】本题考查几何体的三视图及表面积的求解,考查考生对基础知识的掌握情况,考查数形结合思想,考查考生的运算求解能力以及空间想象能力,考查的核心素养是数学运算与直观想象.由几何体的三视图还原直观图,并根据三视图中提供的数据计算表面积,注意不要漏掉某个面的面积.由三视图还原几何体的直观图,如图,其中AE =AB =BD =DE =BC =CD =4,AC =CE =4√2,BC ⊥AB ,CD ⊥DE ,则S 四边形ABDE=16,S △BCD =4√3,S △ABC =S △EDC =8,S △ACE =4√7,所以该几何体的表面积为32+4√3+4√7.【备注】【易错警示】 因对几何体的结构特征认识不准,混淆几何体侧面的边长与三视图中有关数据的关系而导致解题错误.一定要熟记三视图中的数据反应的是空间几何体的长、宽、高,而不一定是空间几何体的棱长.16.√【解析】本题考查直线的方程、双曲线的几何性质,考查数形结合能力及化归与转化思想. 试题将双曲线、直线方程等知识有机结合起来,引导考生抓住解析几何问题的本质,在剖析问题本质的基础上,建立“数与形”的联系,体现了直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养.首先得到点P 的轨迹方程,然后分析|FQ |最小时的几何意义,最后通过c 2=b 2+a 2及e =ca即可求解.由已知得点A 在直线l 上,因而动点P 的轨迹为过点A 且与直线l 垂直的直线, 则由点斜式,得点P 的轨迹方程为y -2=2(x -1),即y =2x .|FQ |的最小值即点F 到直线y =2x 的距离,由已知得为b ,则y =2x 为双曲线C 的一条渐近线,从而ba=2,则双曲线C 的离心率e =√1+(ba)2=√5.【备注】【易错警示】本题已知中“动点P 到定点A 的距离与到直线l 的距离相等”,容易误解成抛物线的定义,从而按抛物线的定义求解.17.解:(1)由题可知S n =(a 1+1)+(a 2+1)+(a 3+1)+…+(a n +1)=2a n , 即a 1+a 2+a 3+…+a n +n =2a n . ① 当n =1时,a 1+1=2a 1,得a 1=1,当n ≥2时,a 1+a 2+a 3+…+a n -1+n -1=2a n -1, ② ①-②,得a n +1=2a n -2a n -1,即a n =2a n -1+1,所以a n +1=2(a n -1+1),所以数列{a n +1}是首项为2,公比为2的等比数列, 所以a n +1=2×2n -1=2n ,故a n =2n -1.(2)由(1)知b n =log 2(a n +1)=log 22n =n ,则(a n +1)b n =n ×2n ,T n =1×21+2×22+3×23+…+(n -1)×2n -1+n ×2n ,2T n =1×22+2×23+3×24+…+(n -1)×2n +n ×2n +1. 两式相减得-T n =21+22+23+ (2)-n ×2n +1=2×(2n -1)2-1-n ×2n +1=2n +1-2-n ×2n +1=(1-n )×2n +1-2,所以T n =2+(n -1)×2n +1.【解析】本题考查等比数列的判断以及错位相减法求和,考查考生的运算求解能力及对基本概念的掌握情况.(1)利用定义证明数列{a n +1}为等比数列,并求出a n 的表达式;(2)利用错位相减法求和. 【备注】无18.解:(1)(i)设高一年级、高二年级观看人数的平均数分别为x ¯,y ¯, 那么x ¯=8+6+12+14+16+23+25+33+33+3210=20.2,y ¯=9+11+15+14+16+22+26+28+33+3510=20.9,所以高二年级平均观看人数较多.(ii)由(i)知x ¯=20.2,则高一年级观看人数的样本方差s 2=110×[(20.2-8)2+(20.2-6)2+(20.2-12)2+(20.2-14)2+(20.2-16)2+(20.2-23)2+(20.2-25)2+(20.2-33)2+(20.2-33)2+(20.2-32)2]=97.16.(2)由茎叶图可知,高一年级观看人数不足20人的班级有5个,其中观看人数在10人以下的班级有2个,分别记为a ,b ,观看人数在10人以上且不足20人的班级有3个,分别记为C ,D ,E.从高一年级观看人数不足20人的班级中抽取2个班,抽取的结果有(a ,b ),(a ,C ),(a ,D ),(a ,E ),(b ,C ),(b ,D ),(b ,E ),(C ,D ),(C ,E ),(D ,E ),共10种, 设所求事件为事件A ,则事件A 包含(a ,C ),(a ,D ),(a ,E ),(b ,C ),(b ,D ),(b ,E ),共6种不同的结果, 由古典概型概率计算公式得,P (A )=610=35. 【解析】本题通过茎叶图考查平均数、方差以及古典概型,考查考生运用所学知识解决实际问题的能力,考查的核心素养是数据分析、数学运算.(1)(i)分别求出样本的平均数,进行对比,得出结果,(ii)利用方差的计算公式求解;(2)列出总的基本事件,分析所求事件包含的基本事件个数,然后利用古典概型的概率计算公式求解.【备注】【名师语要】 分析近几年高考题的特点,概率与统计往往在一个题目中进行考查,有一定的综合性,古典概型仍是文科考查的重点,因而命题方向不会有太大变化,但是在解题中需要注意:①认真审题,理清已知条件中的信息;②分清所求概率类型,是古典概型或其他类型;③将随机事件的基本事件列全,找准所求事件包含的基本事件个数,避免由于思维不严密造成不必要的失分;④注意统计中的茎叶图、条形图、散点图、频率分布直方图,同时注意将频率分布表、样本数据等转化为解题必备的数学信息.19.解:(1)由AB ⊥AC ,EA ⊥平面ABC ,得AC ⊥平面EAB ,所以AC ⊥BE , 若BE ⊥平面AFC ,只需BE ⊥AF , 在直角△ABE 中,EB =√AB 2+AE 2=√6,由射影定理AB 2=BF ·BE ,可知BF =√6=2√63=23BE ,所以点F 在BE 上靠近E 的三等分点处. (2)由题可知S 四边形AEDC =12×(1+√2)×2=1+√2, 则V B -AEDC =13×S 四边形AEDC ×AB =2+2√23, 由(1)知,F 在BE 上靠近E 的三等分点处, 因而V F -AEDC =13V B -AEDC =2+2√29,又S △ABC =12×2×2=2,所以V F -ABC =13×S △ABC ×23EA =13×2×2√23=4√29,所以V F -BCD =V B -AEDC -V F -AEDC -V F -ABC =49.【解析】本题主要考查线面垂直及三棱锥体积的求解,考查考生的空间想象能力和运算求解能力.试题的载体为考生熟知的四棱锥,给不同基础的考生提供了想象的空间和多角度的思维平台,将对直观想象、数学运算等核心素养的考查融入到线面位置关系的证明中,具有较好的区分度和选拔功能.(1)根据线面垂直得出BF ,BE 的长度,进而确定点F 的位置;(2)将求三棱锥F -BCD 的体积转化为四棱锥B -ACDE 的体积减去两个棱锥的体积. 【备注】无20.解:(1)由已知,设P (x ,y ),则M (2x -6,2y -8),因为点M 在圆O :x 2+y 2=4上, 所以(2x -6)2+(2y -8)2=4,从而可得圆C 的方程为(x -3)2+(y -4)2=1. (2)假设存在,设Q (x ,y ),若|QA |=|QB |,则QC 2-1=QO 2-4,即QO 2-QC 2=3, 从而x 2+y 2-(x -3)2-(y -4)2=3,整理得,3x +4y -14=0,故点Q 在直线3x +4y -14=0上,而OC 的中点坐标为(32,2),k OC =43,因而OC 的垂直平分线的方程为y -2=-34(x -32),整理得,6x +8y -25=0,易知直线3x +4y -14=0与直线6x +8y -25=0平行, 因此不存在满足题意的点Q .【解析】本题考查轨迹方程的求解、圆与圆的位置关系、圆的切线问题,考查考生的化归与转化能力及逻辑推理能力,考查的核心素养是直观想象、数学运算及逻辑推理.(1)利用相关点法求点P 的轨迹方程;(2)设点Q 的坐标,利用两切线段长度相等求出点Q 所在直线的方程,然后写出OC 的垂直平分线的直线方程,发现两直线平行,由此判定点Q 不存在.【备注】【拓展迁移】 分析近几年高考题,众多与圆、椭圆、抛物线有关的结论备受青睐,比如在切线问题上,常常涉及结论:圆x 2+y 2=R 2上点P (x 0,y 0)处的切线方程为x 0x +y 0y =R 2,若点P (x 0,y 0)在圆外,则其几何含义是过点P (x 0,y 0)所作的圆的两条切线,切点连线的方程.21.解:(1)由题可知f (0)=1+b ,f'(x )=e x -ax ,f'(0)=1,则函数f (x )的图象在x =0处的切线方程为y -1-b =x ,即y =x +1+b ,由已知条件可得b =0,当a =1时,在[0,2]上,f'(x )=e x -x >0,函数f (x )在[0,2]上单调递增, 从而函数f (x )在[0,2]上的最小值为f (0)=1,最大值为f (2)=e 2-2. (2)解法一 由(1)知f (x )=e x -12ax 2,设g (x )=f'(x )=e x-ax ,则g'(x )=e x -a ,令g'(x )=0,可得x =ln a ,当x ∈(-∞,ln a )时,g'(x )<0,g (x )单调递减;当x ∈(ln a ,+∞)时,g'(x )>0,g (x )单调递增. 因而g (x )的最小值为g (ln a )=a -a ln a ,若a -a ln a ≥0,则f'(x )≥0,f (x )单调递增,f (x )不会有两个零点,不合题意,因而a -a ln a <0,即a >e.因为g (0)=1>0,g (1)=e-a <0,所以f'(x )=0在(0,1)内有解,即存在x 1∈(0,1)使f'(x 1)=0,同时存在x 2∈(1,+∞),使得f'(x 2)=0, 即0<x 1<1<x 2,e x 1=ax 1,e x 2=ax 2,当x ∈(-∞,x 1)时f (x )单调递增,当x ∈(x 1,x 2)时f (x )单调递减,当x ∈(x 2,+∞)时f (x )单调递增,f (x )的大致图象如图所示.由于f (x 1)=e x 1−12a x 12=ax 1-12a x 12=12ax 1(2-x 1)>0,所以,若函数f (x )有两个零点,则函数f (x )的极小值f (x 2)=0, f (x 2)=e x 2−12a x 22=ax 2-12a x 22=12ax 2(2-x 2)=0,得x 2=2.由ex 2−12a x 22=0,即e 2-12a ×22=0,得a =e 22.解法二 由(1)知,b =0,则函数f (x )=e x -12ax 2,显然x =0不是零点, 令f (x )=0,分离参数,则a =2e x x ,设h (x )=2e x x 2(x ≠0),则h'(x )=2e x (x -2)x 3,令h'(x )=0,则x =2.易知当x ∈(0,2)时h (x )单调递减,当x ∈(-∞,0)及x ∈(2,+∞)时h (x )单调递增, 则h (x )的极小值为h (2)=e 22, 而当x ∈(-∞,0)时,h (x )=2e x x 2>0,数形结合可知,当a =e 22时函数f (x )有两个零点.【解析】本题主要考查导数的几何意义,函数的最值及函数的零点问题,考查考生利用导数知识解决函数综合问题的能力.试题围绕函数与导数的关系,将零点问题转化为函数的最值问题处理,加深考生对动态事物的本质的理解,提高思维层次,考查了逻辑推理、数学运算等核心素养.(1)利用导数的几何意义即可求解;(2)含参数函数的零点问题,可利用分离参数法,求出具体函数的单调性,进而确定零点个数. 【备注】无22.(1)消去参数α,得曲线C 的普通方程为x 24+y 23=1.2ρsin(π3-θ)=√3可化为√3cos θ-ρsin θ=√3, 将{x =ρcosθ,y =ρsinθ代入得直线l 的直角坐标方程为√3x -y -√3=0.(2)易知原点O 到直线l 的距离d =√32.由{√3x -y -√3=0,x 24+y 23=1消去y ,得5x 2-8x =0,解得x 1=0,x 2=85.不妨记A (0,-√3),B (85,3√35), 由两点间的距离公式得|AB |=165,所以S △OAB =12×|AB |×d =12×165×√32=4√35. 【解析】本题考查参数方程与普通方程的互化,极坐标方程与直角坐标方程的互化,直线与椭圆的位置关系,考查考生的运算求解能力.(1)消去参数,将曲线C 的参数方程化为普通方程,利用{x =ρcosθ,y =ρsinθ将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)联立直线与椭圆的方程求得|AB |,利用点到直线的距离公式及三角形的面积公式即可求解. 【备注】无23.解:(1)由已知得,f (x )≤|x |+1,即|2x -1|≤|x |+1, 所以当x <0时,1-2x ≤-x +1,得x ≥0,此时无解; 当0≤x <12时,1-2x ≤x +1,得x ≥0,此时0≤x <12; 当x ≥12时,2x -1≤x +1,得x ≤2,此时12≤x ≤2.从而不等式的解集为{x |0≤x ≤2}.(2)设g (x )=f (x )-f (x2),则g (x )=|2x -1|-|x -1|={-x,x ≤12,3x-2,12<x <1,x,x ≥1,作出函数g (x )的大致图像(图略),数形结合可知,g (x )的最小值为-12,从而m >-12.所以m 的取值范围是(-12,+∞).【解析】本题考查绝对值不等式的求解问题,不等式有解问题,考查考生的运算求解能力.(1)利用零点分段法求解不等式;(2)将含绝对值的函数通过分类讨论转化为分段函数,利用数形结合思想求函数的最小值,即可求解. 【备注】无。

2022年全国一卷文科高考数学模拟试卷（八）文科数学·全解全析1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ADDCBDABDCBB1．A 【解析】{}{}2|4-043|1Q x R x x x x =∈-<=-<<{}123P Q ∴⋂=，， 2．D 【解析】(1,2)BC AC AB =-=--．与他有倍数关系的向量为(1，-2)故选:D3．D 【解析】()()21(1)21112i i ii i i ++===-+-i ，∴a +bi ＝﹣i ，∴a ＝0，b ＝﹣1，∴a-b ＝1，故选：D ． 4．C 【解析】由图可知设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于领先地位，而后期是信息服务商处于领先地位，故C 项表达错误．5．B 【解析】依题意()f x 是奇函数.而3sin y x x =+为奇函数，x x y e e -=+为偶函数，所以()()()1g x x m x =+-为偶函数，故()()0g x g x --=，也即()()()()110x m x x m x +---+=，化简得()220m x -=，所以1m =.故选：B6．D 【解析】设等比数列的公比为q ，由题意，得2344a a =+，即244q q =+，解得2q ，则55512213112S -==-=-；故选D. 7.A 【解析】画出约束条件所表示的可行域，如图（阴影部分）所示. 目标函数2z y x =-可化为直线122z y x =+，结合图象可得当直线122zy x =+过点A 时，此时在y 轴上的截距最小，此时目标函数取得最小值，又由10210x y x y -+=⎧⎨++=⎩，解得(1,0)A -，所以目标函数的最小值为min 20(1)1z =⨯--=，故选A .8．B 【解析】因为()sin()f x x π=-223，又553()2sin(2)2sin 2121236f ππππ=⨯-==，所以①正确.()2sin(2)2sin()0333f ππππ--=⨯-=-=，所以②正确.将2sin 2y x =的图象向右平移3π个单位长度，得22sin[2()]2sin(2)33y x x ππ=-=-，所以③错误.所以①②正确，③错误.故选:B 9．D 【解析】在直角三角形AFB 中，AO ⊥BF ，由射影定理可得OA 2＝OF ⋅OB ，即b 2＝ac ，所以 a 2﹣c 2＝ac ，整理可得e 2+e ﹣1＝0，解得e ＝152-±，因为e ∈（0，1），所以e ＝152-+，故选：D ． 10．C 【解析】选项A 、B 中易证得平面EFG 与AB 所在平面平行，由面面平行可知，直线AB 与平面EFG 平行，选项A 、B 正确；选项C 中，直线AB 与平面EFG 相交；选项D 中，//AB FG AB ⊄,平面EFG ，FG ⊂平面EFG ，所以直线AB 与平面EFG 平行.故选：C.11．B 【解析】双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a =±，由对称性，不妨取b y x a=，即0bx ay -=．圆22(2)2x y +-=的圆心坐标为(0,2)，半径为2，则圆心到渐近线的距离22(2)11d =-=，∴22|2|1a b a -=+，解得2ce a==．故选：B ． 12．B 【解析】由()0f x a -=，得()f x a =，1x y xe =+ 0x ≤ ()1xy x e '=+，当1x =-时，0y '=，当(),1x ∈-∞-时，0y '<，函数单调递减，当()1,0x ∈-时，0y '> ，函数单调递增，所以0x ≤时，函数的最小值()111f e-=-，且()01f = ，ln 2y x x =-- ，0x >，11y x '=-，当1x =时，0y '=，当()0,1x ∈时，0y '<，函数单调递减，当()1,x ∈+∞时，0y '>，函数单调递增，所以0x >时，函数的最小值()11f =-，作出函数()y f x =与y a =的图象，观察他们的交点情况，可知，11a e<-或1a >时，至多有两个交点满足题意，故选B.13．1【解析】2510m n ==，可得1lg 2m =，1lg5n =，11lg2lg51m n+=+=，故答案为：1． 14．1011【解析】因为2*12()222n n a a a n n N ++⋅⋅⋅+=∈①，当1n =时，112a =， 当2n ≥时，211212221n n a a a n --++⋅⋅⋅+=-②，①减②得：21nn a =，即12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当1n =时显然满足，故12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()*n N ∈；()()122122*********n nn n log a log a n n n n log log -+-+∴===-⋅++⋅ 10111111101122310111111S ∴=-+-++-=-=，故答案为：101115．41416π【解析】外接圆直径为长宽高分别为1,2,6的长方体的体对角线，即412R =. 16．.233【解析】数列{}n a 满足，()*1132+n n n n a a a a n N ++=∈）（且11a =， 令1n =，得：22321a a =+（），解得22a =.令2n =，得：33622a a =+（），解得31a =. 令3n =，得：44321a a =+（），解得42a =.……，可得2n n a a +=，11a =，22a =。

2020届全国高考模拟试卷八（Ⅲ卷）数学（文）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．1.已知集合{}30A x x =-<<，201x B x x ⎧-⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，则A B I ＝ （A ）()1,0- （B ）[)2,0- （C ）()3,1-- （D ）(]3,1--2. 已知向量(2,3)AB =u u u r ,(1,-3)BC t =u u u r ,AB u u u r ∥AC u u u r,则t ＝（A ）32 （B ）92 （C ）73 （D ）1133.设a ＝log 36，b ＝log 310，c ＝e -2，则（A ）b ＞a ＞c （B ）b ＞c ＞a （C ）a ＞c ＞b （D ）a ＞b ＞c4.函数f (x )=x 3-x 2-4x 的一个零点所在的区间为（A ）（1,2） （B ）（0,1） （C ）（-1,0） （D ）（-2,-1）5.2019年11月2日，某市开展了5种不同类型的 “垃圾分类，大家给力”社会服务活动，其中有3种活动在上午开展，2种活动在下午开展 .若小王参加了两种活动，则分别安排在上、下午的概率为 （A ）14 （B ）310 （C ）12 （D ）356.已知F 是双曲线C ：22143x y -=的左焦点，则以F 为圆心且与渐近线相切的圆的方程为（A ）22(3x y += （B ）22(3x y +=（C ）22(1)4x y -+= （D ）22(1)4x y ++=7.设11()412x f x =-+，x ∈R ,则（A ）f(x)为偶函数且在（0，+∞）上单调递减 （B ）f(x)为偶函数且在（0，+∞）上单调递增 （C ）f(x)为奇函数且在（0，+∞）上单调递减 （D ）f(x)为奇函数且在（0，+∞）上单调递增答案：C8.设椭圆2222:1x y C a b+=，a ＞b ＞0，点A,B 为C 的左，右顶点，点P 为C 上一点，若∠APB ＝120°，则C的离心率的最小值为（A （B （C ）23 （D ）129.过球的一条半径的中点，作与该半径所在直线成300的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为 （A ）15256 （B ）45256 （C ）1564 （D ）456410.若函数f(x)=e x -ax 与x 轴相切，则实数a ＝（A ）1- （B ） 0 （C ） 1 （D ） e11.设(0,)2απ∈，(0,)2βπ∈，且1cos21cos sin 2sin αβαβ-+=，则 （A ）2αβ-=π （B ）22αβπ-= （C ）2αβ+=π （D ）22αβπ+=12. 如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将△AMP 的面积表示为x 的函数()f x ，则()y f x =在(0,)π上的图象大致为二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分．13. 设i 为虚数单位，则i 6＝14.函数2tan 2tan 3y x x =-+，,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的最小值为 .15.在四边形ABCD 中,120ABC BCD ∠=∠=o ,3333CD AB BC ===，则AD 的长度为 .16.在四面体ABCD 中，DA ⊥底面ABC ，侧面ABD ⊥侧面BCD ，2BD BC ==，三个侧面DAB 、DBC 、DCA 的面积的平方和为8，则ADB ∠= .三、解答题：17．(12分)设数列{}n a 的前n 项和为2n 1()2S n n =+*(N )n ∈．（1）求{}n a 通项公式；（2）设2n a n n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .18. 第32届夏季奥林匹克运动会（英语：Games of the XXXII Olympiad ）又称2020年东京奥运会.2013年9月7日雅克·罗格宣布2020年奥运会的主办城市是东京,东京申办成功后，成为继巴黎（法国）、伦敦（英MAO P πO yxA πO yxB πO y xCπO y xD国）、洛杉矶（美国）和雅典（希腊）后的世界第5个至少两次举办夏季奥运会的城市，同时也是亚洲第一个。

2019届河南省高考模拟试题精编(八)理科数学(考试用时：120分钟试卷满分：150分)注意事项：1．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

2．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．若集合M＝{x|log2x＜1}，集合N＝{x|x2－1≤0}，则M∩N＝()A．{x|1≤x＜2}B．{x|－1≤x＜2}C．{x|－1＜x≤1} D．{x|0＜x≤1}2．在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是()A．众数B．平均数C．中位数D．标准差3．已知实数a，b满足(a＋i)(1－i)＝3＋b i(i为虚数单位)，记z＝a＋b i，z的虚部为Im(z)，z是z的共轭复数，则zIm(z)＝()A．－2－i B．－1＋2iC ．2＋iD ．－1－2i4．已知[x ]表示不超过x 的最大整数，比如：[0.4]＝0，[－0.6]＝－1.执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为2.4，则输出z 的值为()A ．1.2B ．0.6C ．0.4D ．－0.45．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的最小值为－2，最小正周期为π，f (0)＝1，则f (x )在区间[0，π]上的单调递减区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，23π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23π，π D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6和⎣⎢⎡⎦⎥⎤23π，π 6．已知P (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1、F 2分别是双曲线C的左、右焦点．若PF 1→·PF 2→≥0，则x 0的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－263，263 B.⎝⎛⎭⎪⎫－263，263 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－263∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫263，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－263∪⎝ ⎛⎭⎪⎫263，＋∞ 7．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ≤4，y ≥0的解集为D ，有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D,2y ≤x 的概率为12；p 2：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y 的最大值为12；p 3：∃(x 0，y 0)∈D,2x 0－y 0≤0；p 4：∀(x ，y )∈D ，x 2＋y 2＋2x ＋4y ＋5的最大值为64.其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．48．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，g (x )＝2f (x )＋f ′(x )，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上任取一个实数x ，则g (x )的值不小于6的概率为( )A.16B.38C.14D.189．如图是正方体或四面体，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是()10．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，a b ＝cos Acos B ，A＝π6，BC 边上的中线长为4，则△ABC 的面积S 为( ) A.837B.1637C.487D.24711．已知符号函数sgn(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，那么y ＝sgn(x 3－3x 2＋x ＋1)的大致图象是( )12．设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点，P 为椭圆C 上位于第一象限内的一点，∠PF 1F 2的平分线与∠PF 2F 1的平分线相交于点I ，直线PI 与x 轴相交于点Q ，则|PQ ||PI |＋|F 1Q ||F 1P |的值为( ) A. 2B ．2C.32D.52第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知OA →＝(－1，3)，|OB →|＝3，∠AOB ＝π3，OC →＝13OA →＋19OB →，则OB →·OC →＝________.14．已知sin 2α－2＝2cos 2α，则sin 2α＋sin 2α＝________.15．从一架钢琴挑出的10个音键中，分别选择3个，4个，5个，…，10个健同时按下，可发出和声，若有一个音键不同，则发出不同的和声，则这样的不同的和声数为________(用数字作答)．16．过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1棱DD 1的中点与直线B 1D 所成角为60°，且与平面ACC 1A 1所成角为50°的直线条数为________．三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．)(一)必考题：共60分．17．(本小题满分12分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＋a 7＝－9，S9＝－99 2.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝12S n，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＞－34.18．(本小题满分12分)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖规则如下：1．抽奖方案有以下两种：方案a，从装有2个红球、3个白球(仅颜色不同)的甲袋中随机摸出2个球，若都是红球，则获得奖金30元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中；方案b，从装有3个红球、2个白球(仅颜色不同)的乙袋中随机摸出2个球，若都是红球，则获得奖金15元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中．2．抽奖条件是，顾客购买商品的金额满100元，可根据方案a抽奖一次；满150元，可根据方案b抽奖一次(例如某顾客购买商品的金额为260元，则该顾客可以根据方案a抽奖两次或方案b抽奖一次或方案a，b各抽奖一次)．已知顾客A在该商场购买商品的金额为350元．(1)若顾客A只选择根据方案a进行抽奖，求其所获奖金的期望值；(2)要使所获奖金的期望值最大，顾客A应如何抽奖？19．(本小题满分12分)如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，BE⊥平面ABCD，DF∥BE，且DF＝2BE＝2，EF＝3.(1)证明：平面ACF⊥平面BEFD；(2)若二面角A-EF-C是直二面角，求直线AE与平面ABCD所成角的正切值．20．(本小题满分12分)已知抛物线C1：y2＝4x和C2：x2＝2py(p＞0)的焦点分别为F1，F2，C1，C2交于O，A两点(O为坐标原点)，且F1F2⊥OA.(1)求抛物线C2的方程；(2)过点O的直线交C1的下半部分于点M，交C2的左半部分于点N，点P的坐标为(－1，－1)，求△PMN 的面积的最小值．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝1x ＋(1－a )ln x ＋ax ，g (x )＝1x －(a ＋1)ln x ＋x 2＋ax －t (a ∈R ，t ∈R)．(1)讨论f (x )的单调性；(2)记h (x )＝f (x )－g (x )，若函数h (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个零点，求实数t 的取值范围．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22t y ＝22t ＋42(t 是参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4. (1)判断直线l 与曲线C 的位置关系；(2)设M (x ，y )为曲线C 上任意一点，求x ＋y 的取值范围． 23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|2x ＋a |＋2a ，a ∈R.(1)若对任意的x ∈R ，f (x )都满足f (x )＝f (3－x )，求f (x )＋4＜0的解集； (2)若存在x ∈R ，使得f (x )≤|2x ＋1|＋a 成立，求实数a 的取值范围．高考理科数学模拟试题精编(八)班级：_________姓名：______得分：________________题号123456789101112答案请在答题区域内答题二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13._________14.__________15.__________16.________三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)17.(本小题满分12分)18.(本小题满分12分)19.(本小题满分12分)20.(本小题满分12分)21.(本小题满分12分)请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．高考理科数学模拟试题精编(八)1-5DDADB 6-10CCCDB 11-12DB13．答案：2 14．答案：1或8515．答案：96816. 答案：217．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，则由已知条件可得：⎩⎨⎧2a 1＋6d ＝－99a 1＋36d ＝－992，解得⎩⎨⎧a 1＝－32，d ＝－1.(4分)于是可求得a n ＝－2n ＋12.(6分)(2)证明：由(1)知，S n ＝－n (n ＋2)2，故b n ＝－1n (n ＋2)＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，(8分)故T n ＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1n －⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋14＋15＋…＋1n ＋2＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2，(10分)又因为32－1n ＋1－1n ＋2＜32，所以T n ＞－34.(12分)18．解：(1)解法一：由题意知顾客A 只选择根据方案a 进行抽奖，此时可抽奖3次，且选择方案a 抽奖1次，获得奖金30元的概率为C 22C 25＝0.1.(1分)设顾客A所获奖金为随机变量X，则X的所有可能取值为0,30,60,90，则P(X＝0)＝0.93＝0.729，P(X＝30)＝C13×0.1×0.92＝0.243，P(X＝60)＝C23×0.12×0.9＝0.027，P(X＝90)＝0.13＝0.001，∴E(X)＝0×0.729＋30×0.243＋60×0.027＋90×0.001＝9.(4分)解法二：由题意知顾客A只选择根据方案a进行抽奖，此时可抽奖3次，且选择方案a抽奖1次，获得奖金30元的概率为C22C25＝0.1.(1分)设只选择根据方案a抽奖中奖的次数为随机变量ζ，则ζ～B(3,0.1)，E(ζ)＝3×0.1＝0.3，设此时顾客A所获奖金为随机变量X，则X＝30ζ，∴E(X)＝30E(ζ)＝30×0.3＝9.(4分)(2)由题意得选择根据方案b抽奖1次，获得奖金15元的概率为C23C25＝0.3.(5分)设顾客A只选择根据方案b抽奖，此时可抽奖2次，所获奖金为随机变量Y，则Y的所有可能取值为0,15,30，则P(Y＝0)＝0.72＝0.49，P(Y＝15)＝C12×0.3×0.7＝0.42，P(Y＝30)＝0.32＝0.09，∴E(Y)＝0×0.49＋15×0.42＋30×0.09＝9.(7分)设顾客A选择根据方案a抽奖2次、方案b抽奖1次时所获奖金为随机变量Z，则Z的所有可能取值为0,15,30,45,60,75，(8分)则P(Z＝0)＝0.92×0.7＝0.567，P(Z＝15)＝0.92×0.3＝0.243，P(Z＝30)＝C12×0.1×0.9×0.7＝0.126，P(Z＝45)＝C12×0.1×0.9×0.3＝0.054，P(Z＝60)＝0.12×0.7＝0.007，P(Z＝75)＝0.12×0.3＝0.003，∴E(Z)＝0×0.567＋15×0.243＋30×0.126＋45×0.054＋60×0.007＋75×0.003＝10.5.(11分)∴E(Z)＞E(X)＝E(Y)，顾客A应选择根据方案a抽奖2次、方案b抽奖1次，可使所获奖金的期望值最大．(12分)19．解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.∵BE⊥平面ABCD，∴BE⊥AC，∵BD∩BE＝B，(2分)∴AC ⊥平面BEFD ，AC ⊂平面ACF ，∴平面ACF⊥平面BEFD .(4分)(2)设AC 与BD 的交点为O ，由(1)得AC ⊥BD ，分别以OA ，OB 为x 轴和y 轴，过点O 作垂直于平面ABCD 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz ，(5分)∵BE ⊥平面ABCD ，∴BE ⊥BD ，∵DF ∥BE ，∴DF ⊥BD ， ∴BD 2＝EF 2－(DF －BE )2＝8，∴BD ＝2 2.设OA ＝a (a ＞0)，则A (a,0,0)，C (－a,0,0)，E (0，2，1)，F (0，－2，2)，∴EF→＝(0，－22，1)，AE →＝(－a ，2，1)，CE →＝(a ，2，1)．(7分) 设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面AEF的法向量，则⎩⎨⎧ m ·EF→＝0m ·AE→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－22y 1＋z 1＝0－ax 1＋2y 1＋z 1＝0，令z 1＝22， ∴m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，1，22，是平面AEF 的一个法向量，(8分) 设n ＝(x 2，y 2，z 2)，是平面CEF的法向量，则⎩⎨⎧n ·EF→＝0n ·CE→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－22y 2＋z 2＝0ax 2＋2y 2＋z 2＝0，令z 2＝22，∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，1，22是平面CEF 的一个法向量，∵二面角A -EF -C 是直二面角，∴m·n ＝－18a 2＋9＝0，∴a ＝ 2.(10分) ∵BE ⊥平面ABCD ，∴∠BAE 是直线AE 与平面ABCD 所成的角，∵AB ＝OA 2＋OB 2＝2，∴tan ∠BAE ＝BE AB ＝12.故直线AE 与平面ABCD 所成角的正切值为12.(12分)20．解：(1)解法一：由已知得F 1(1,0)，F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，∴F 1F 2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，p 2. 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝4x x 2＝2py ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝316p 2y ＝332p，即O (0,0)，A (316p 2，332p )，∴OA →＝(316p 2，332p )．(3分)∵F 1F 2⊥OA ，∴F 1F 2→·OA →＝0，即－316p 2＋p 2332p ＝0，解得p ＝2，∴抛物线C 2的方程为x 2＝4y .(5分)解法二：设A (x 1，y 1)(x 1＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1x 21＝2py 1①，由题意知F 1(1,0)，F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，∴F 1F 2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，p 2.(1分)∵F 1F 2⊥OA ，∴F 1F 2→·OA →＝0，即－x 1＋p 2y 1＝0，解得py 1＝2x 1，(3分)将其代入①式，解得x 1＝4，y 1＝4，从而p ＝2， ∴抛物线C 2的方程为x 2＝4y .(5分) (2)设过点O 的直线的方程为y ＝kx (k ＜0)，解法一：联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx y 2＝4x ，解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2，4k ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx x 2＝4y，解得N (4k,4k 2)，(7分)点P (－1，－1)在直线y ＝x 上，设点M 到直线y ＝x 的距离为d 1，点N 到直线y ＝x 的距离为d 2，则S △PMN ＝12·|OP |·(d 1＋d 2)＝12×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k 2－4k 2＋|4k －4k 2|2 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1k －1k 2＋|k －k 2|＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k －k ＋1k 2＋k 2≥2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ·(－k )＋21k 2·k 2＝8， 当且仅当k ＝－1，即过原点的直线为y ＝－x 时， △PMN 的面积取得最小值8.(12分)解法二：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx y 2＝4x ，解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2，4k ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kxx 2＝4y ，解得N (4k,4k 2)，(7分)从而|MN |＝1＋k 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k 2－4k ＝1＋k 2⎝⎛⎭⎪⎫4k 2－4k ，点P (－1，－1)到直线MN 的距离d ＝|k －1|1＋k 2，进而S △PMN ＝12·|k －1|1＋k 2·1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－4k＝2(1－k )(1－k 3)k 2＝2(1－k )2(1＋k ＋k 2)k 2＝2⎝⎛⎭⎪⎫k ＋1k －2⎝⎛⎭⎪⎫k ＋1k ＋1.令t ＝k ＋1k (t ≤－2)，则S △PMN ＝2(t －2)(t ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－92，(10分)当t ＝－2，即k ＝－1，即过原点的直线为y ＝－x 时，△PMN 的面积取得最小值8.(12分)21．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－1x 2＋1－ax ＋a ＝ax 2＋(1－a )x －1x 2＝(x －1)(ax ＋1)x 2.(1分)当a ＝0时，f ′(x )＝x －1x 2，令f ′(x )＞0，则x ＞1，令f ′(x )＜0，则0＜x＜1，所以函数f (x )在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增．当a ≠0时，f ′(x )＝a (x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1a x 2，(2分)①当a ＞0时，x ＋1a ＞0，令f ′(x )＞0，则x ＞1，令f ′(x )＜0，则0＜x ＜1，所以函数f (x )在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增；(3分)②当a ＝－1时，1＝－1a ，f ′(x )＝－(x －1)2x 2≤0，所以函数f (x )在定义域(0，＋∞)上单调递减；(4分)③当－1＜a ＜0时，1＜－1a ，令f ′(x )＞0，则1＜x ＜－1a ，令f ′(x )＜0，则0＜x ＜1或x ＞－1a ，所以函数f (x )在区间(0,1)和⎝⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞上单调递减，在区间⎝⎛⎭⎪⎫1，－1a 上单调递增；(5分)④当a ＜－1时，1＞－1a ，令f ′(x )＞0，则－1a ＜x ＜1，令f ′(x )＜0，则0＜x ＜－1a 或x ＞1，所以函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，－1a 和(1，＋∞)上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，1上单调递增．(6分) 综上，当a ≥0时，函数f (x )在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增；当a ＝－1时，函数f (x )在定义域(0，＋∞)上单调递减；当－1＜a ＜0时，函数f (x )在区间(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞上单调递减，在区间⎝⎛⎭⎪⎫1，－1a 上单调递增；当a ＜－1时，函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a ，(1，＋∞)上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，1上单调递增．(7分)(2)h (x )＝f (x )－g (x )＝2ln x －x 2＋t ，定义域为(0，＋∞)，则h ′(x )＝2x －2x ＝－2(x ＋1)(x －1)x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 时，令h ′(x )＝0，得x ＝1，(8分) 当1e ＜x ＜1时，h ′(x )＞0；当1＜x ＜e 时，h ′(x )＜0，故h (x )在x ＝1处取得极大值h (1)＝t －1.(9分)又h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝t －2－1e 2，h (e)＝t ＋2－e 2，所以h (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个零点的条件是 ⎩⎪⎨⎪⎧h (1)＝t －1＞0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝t －2－1e 2≤0，h (e )＝t ＋2－e 2≤0，(11分)解得1＜t ≤2＋1e 2，故实数t 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤1，2＋1e 2.(12分)22．解：(1)直线l 的普通方程为x －y ＋42＝0.曲线C 的直角坐标方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋222＝1.(2分)圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22到直线x －y ＋42＝0的距离d ＝|52|2＝5＞1，∴直线l 与曲线C 的位置关系是相离．(4分)(2)设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋cos θ，－22＋sin θ，(θ为MC 与x 轴正半轴所成的角)(6分)则x ＋y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4.∵0≤θ＜2π，∴x ＋y ∈[－2，2]．(10分)23．解：(1)因为f (x )＝f (3－x )，x ∈R ，所以f (x )的图象关于直线x ＝32对称，又f (x )＝2|x ＋a 2|＋2a 的图象关于直线x ＝－a 2对称，所以－a 2＝32，得a ＝－3，(2分)所以f (x )＋4＜0，即|2x －3|＜2，所以－2＜2x －3＜2，12＜x ＜52，故f (x )＋4＜0的解集为{x |12＜x ＜52}．(5分)(2)由题意知f (x )≤|2x ＋1|＋a 等价于|2x ＋a |－|2x ＋1|＋a ≤0，记g (x )＝|2x ＋a |－|2x ＋1|＋a ，当a ＜1时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤－12，－4x －1，－12＜x ＜－a 2，2a －1，x ≥－12a ，因为存在x ∈R ，使得f (x )≤|2x ＋1|＋a 成立，等价于g (x )min ＝2a －1≤0，所以a ≤12；(7分)当a ＝1时，得1≤0，不成立；(8分)当a ＞1时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤－a2，4x ＋2a ＋1，－a2＜x ＜－12，2a －1，x ≥－12，因为存在x ∈R ，使得f (x )≤|2x ＋1|＋a 成立，等价于g (x )min ＝1≤0，矛盾．(9分)综上，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12.(10分)。

2020年普通高招全国统一考试原创模拟卷-理数8第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题(共10题，每题5分，共50分)1．已知集合A ={x |√x -1<2,x ∈N },B ={y |y =x 2-2x ,x ∈R },则A ∩B =A.[1,+∞)B.{-1,1,2,3}C.{1,2,3,4}D.(1,+∞) 2．已知复数z 满足z (1+i)=3+4i,则复数z 的虚部为A.-i2B.i2C.-12D.123．若双曲线x 2a2-y 2=1(a >0)的实轴长为4,则该双曲线的渐近线方程为A.y =±14xB.y =±12xC.y =±2xD.y =±4x4．如图,圆柱的底面半径为1,平面ABCD 为圆柱的轴截面,从A 点开始,沿着圆柱的侧面拉一条绳子到C 点,若绳子的最短长度为3π,则该圆柱的侧面积为A.4√2π2B.2√2π2C.5√2π2D.4π25．已知函数f (x )={2x +2-x -1,x ≥1,f(x +1),x <1,则f (x )的最小值是A.12 B.1C.32 D.26．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3,S 9,S 6成等差数列,且a 2=10,则S 9的值为A.28B.36C.42D.467．已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π),它的部分图象如图所示,若将函数f (x )的图象向右平移m (m >0)个单位长度后,所得的函数图象关于y 轴对称,则m 的最小值为A.12B.14C.13D.168．某工厂生产甲、乙两种电子产品均需要A ,B 两种电子元件,现A 有120个,B 有54个,生产一件甲产品需要6个A 元件,3个B 元件,生产一件乙产品需要5个A 元件,2个B 元件.已知销售一件甲产品可获利5元,销售一件乙产品可获利4元,则以现有库存生产甲、乙两种产品,该工厂获得的最大收益为A.96元B.98元C.100元D.102元9．已知函数f (x )=12ln x ,g (x )=x +1,直线y =t (t ∈R )与函数f (x ),g (x )的图象分别交于点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),若对任意t ∈R ,不等式|x 2-x 1|≥2a +1成立,则实数a 的取值范围为A.(-∞,ln2+14]B.(-∞,ln2+34) C.(-∞,ln24] D.(-∞,ln 2-1]10．已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的半焦距为c ,F 1,F 2分别为椭圆的左、右焦点,P 为C 上一动点,过F 2作∠F 1PF 2的外角平分线l 的垂线,与l 交于点Q ,若|OQ |=1(O 为坐标原点),则b 2+c 2-6b -8c 的取值范围为A.[-9,11]B.[-9,2]C.[4,2√5)D.[-9,-5)第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题(共4题，每题5分，共20分)11．已知向量a =(λ,2),2a +b =(2,0),c =(1,λ),若c ∥b ,则λ= .12．如图,将∠A 为60°角的Rt△ABC 绕点A 逆时针旋转60°,得到Rt△ADE ,若在Rt△ABC扫过的区域中随机取一点,则此点取自阴影部分的概率为 .13．某人将编号分别为1,2,3,4,5的5个小球随机放入编号分别为1,2,3,4,5的5个盒子中,每个盒子中放一个小球.若球的编号与盒子的编号相同,则视为放对,否则视为放错,则全部放错的情况有 种.14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =2a n -1.若集合M ={n |n (n +1)≥λa n ,n ∈N *}中有3个元素,则λ的取值范围是 .三、解答题(共6题，每题12分，共72分)15．在锐角△ABC 中,sin A +cos(B +C )=1+sinB+C 2.(1)求sin A 的值;(2)若AB =4,△ABC 的面积为3√7,求BC 边上的高.16．已知抛物线C 1:y 2=2px (p >0)的焦点为F ,圆C 2:x 2+y 2=3p 2,C 1与C 2的交点为A ,B ,且FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FB⃗⃗⃗⃗⃗ =-74. (1)求C 1,C 2的方程;(2)过焦点F 作倾斜角为锐角的直线,分别交C 1于M ,N 两点,交C 2于P ,Q 两点,求|PQ||MN|的取值范围.17．某批产品在出厂前每件产品都需要进行质量检验,检验方案是:第一次检验,每件产品的合格率为35,如果合格,则可出厂,如果不合格,则进行技术处理,处理后再进行第二次检验,每件产品的合格率为4,如果合格,则可出厂,不合格则当废品回收.现各种费用如表所示:(1)求某件产品能出厂的概率;(2)假如每件产品是否合格相互独立,记ξ为任意两件产品所获得的利润之和,求随机变量ξ的分布列与数学期望.18．已知函数f (x )={1-a2x 2+ax -lnx,x >0,axe x,x ≤0.(1)当a =1时,求函数f (x )的极值;(2)若∀a ∈(2,3)及∀x 1,x 2∈[1,2],恒有ma +ln 2>|f (x 1)-f (x 2)|,求m 的取值范围.19．[选修4-4:坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中,已知曲线C 的参数方程为{x =√32+cosφ,y =12+sinφ(φ为参数),以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为2ρsin(θ-π6)=√3.(1)写出曲线C 的普通方程与直线l 的直角坐标方程;(2)若直线l 与曲线C 交于M ,N 两点,P 为曲线C 上的动点,求△PMN 面积的最大值. 20．[选修4-5:不等式选讲] 已知f (x )=|x -2a |+a .(1)若不等式f (x )≤1的解集为A ,且A ⊆{x |-1≤x ≤2},求实数a 的取值范围; (2)若a <0,求关于a 的函数f (-1a )+f (a )的最小值.参考答案1.C【解析】本题考查不等式的求解、函数的值域以及集合的交运算,考查运算求解能力. 首先将A ,B 两个集合进行化简,然后利用集合交集的定义,借助数轴即可解得.由√x -1<2,得0≤x -1<4,∴1≤x <5.∵x ∈N ,∴A ={1,2,3,4}.∵y =x 2-2x =(x -1)2-1≥-1,∴B ={y |y ≥-1},∴A ∩B ={1,2,3,4},故选C. 【备注】无 2.D【解析】本题主要考查复数的四则运算及复数虚部的概念,考查运算求解能力.先利用复数的四则运算求出复数z ,再由复数虚部的概念求解. 解法一 由z (1+i)=3+4i 可得,z =3+4i 1+i=(3+4i)·(1-i)(1+i)·(1-i)=7+i 2=72+i 2,所以复数z 的虚部为12.故选D.解法二 设z =a +b i(a ,b ∈R ),由z (1+i)=3+4i,得(a +b i)·(1+i)=3+4i,即(a -b )+(a +b )i=3+4i,由复数相等可知{a -b =3,a +b =4,解得{a =72,b =12.所以复数z 的虚部为12.故选D. 【备注】无3.B【解析】本题主要考查双曲线的几何性质,体现了数学运算核心素养.根据双曲线的实轴长为4求得a 的值,即可求双曲线的渐近线方程.因为该双曲线的实轴长为4,所以2a =4,a =2.易知该双曲线的虚半轴长b =1,所以该双曲线的渐近线方程为y =±12x .故选B.【备注】无 4.A【解析】本题考查圆柱的侧面展开图,考查考生的空间想象能力及运算求解能力.试题以圆柱的侧面展开图为依托,设置最短路径问题,不仅体现了注重考查基础知识的理念,还体现了直观想象、数学运算等核心素养.沿AD 将圆柱的侧面展开,绳子的最短长度即侧面展开图中A ,C 两点间的距离,连接AC ,所以AC =3π,展开后AB 的长度为π.设圆柱的高为h ,则AC 2=AB 2+h 2,即9π2=π2+h 2,得h =2√2π,所以圆柱的侧面积为2×π×1×2√2π=4√2π2. 【备注】无 5.C【解析】本题主要考查分段函数以及分段函数的局部的周期性,考查数形结合思想,运算求解能力.试题通过对函数的设计,使考生将函数性质、函数图象这些知识迁移到创设的问题情境中,体现了直观想象核心素养.易知当x ≥1时,f (x )单调递增,所以当x ≥1时,f (x )≥32.当x <1时,f (x )是以1为周期的函数,作出f (x )的大致图象,如图,所以f (x )≥32,f (x )的最小值是32.【备注】无 6.B【解析】本题主要考查等差数列的性质、前n 项和公式,考查考生的化归与转化能力、运算求解能力.先根据等差数列的性质和前n 项和公式求出首项和公差的关系,再根据a 2=10求出首项和公差,最后利用等差数列的前n 项和公式求出结果.解法一 因为S 3,S 9,S 6成等差数列,所以2S 9=S 3+S 6,所以(S 9-S 3)+(S 9-S 6)=0,所以(a 4+a 5+…+a 9)+(a 7+a 8+a 9)=0,所以9a 7=0,所以a 7=0.设{a n }的公差为d ,因为a 2=10,所以d =a 7-a 27-2=0-105=-2,所以S 9=9a 1+9×82d =9(a 2-d )+9×82d =36.解法二 因为S 3,S 9,S 6成等差数列,所以2S 9=S 3+S 6,设{a n }的公差为d ,则2×(9a 1+9×82d )=3a 1+3×22d +6a 1+6×52d ,得a 1=-6d .又a 2=10,所以a 1=12,d =-2,所以S 9=9a 1+9×82d =36.【备注】无 7.D【解析】本题考查正弦型函数的图象与性质、正弦型函数图象的平移变换,考查数形结合思想、逻辑思维能力、运算求解能力.根据图象求出A ,ω和φ,即可求出函数f (x )的解析式,再根据平移后所得函数图象关于y 轴对称求m 的最小值. 通解 由题图知A =2,函数f (x )的最小正周期T =4×(13−112)=1,由T =2πω,得ω=2π,故f (x )=2sin(2πx +φ).将(13,2)代入函数f (x )的解析式,得sin(φ+2π3)=1,则φ=2k π-π6(k ∈Z ),因为|φ|<π,所以φ=-π6,所以f (x )=2sin(2πx -π6).将函数f (x )的图象向右平移m (m >0)个单位长度后,所得图象对应的解析式为g (x )=f (x -m )=2sin[2π(x -m )-π6]=2sin[2πx -(2πm +π6)].因为函数g (x )的图象关于y 轴对称,所以2πm +π6=k 1π+π2(k 1∈Z ),解得m =k 12+16(k 1∈Z ),故m 的最小值为16.优解 由题图知函数f (x )的最小正周期T =4×(13−112)=1,由图分析可知,y 轴左侧离y 轴最近的对称轴为直线x =112−T4=-16,所以m 的最小值为16. 【备注】无 8.B【解析】本题考查线性规划的实际应用问题,考查考生通过试题情境建立关系式,抽象出数学模型并进行求解的能力.设分别生产甲、乙产品x 件、y 件,利用已知条件,写出x ,y 满足的约束条件以及目标函数,然后画出可行域,数形结合即可求出最大收益.设分别生产甲、乙产品x 件、y 件,z 为利润,则{6x +5y ≤120,3x +2y ≤54,x,y∈N,z =5x +4y .由z =5x +4y ,得y =-54x +z4,要使z 最大,只需z4最大,易知直线y =-54x +z4的纵截距取得最大值时,z 最大.由{6x +5y =120,3x +2y =54解得{x =10,y =12,故D (10,12).作出可行域,为图中阴影部分的整数点,数形结合可知,当直线y =-54x +z 4过D 点时,纵截距最大,所以z max =5×10+4×12=98,故最大收益为98元.【备注】【解后反思】求解线性规划应用题应注意两点:(1)画可行域时,要注意边界线的虚实;(2)注意结合实际问题的实际意义,判断所设未知数x ,y 的取值范围,特别注意分析x ,y 是否是整数. 9.A【解析】本题考查函数与不等式的综合问题,考查学生分析、解决问题的能力.由题意可知f (x 1)=g (x 2)=t ,将x 1,x 2用t 表示,然后将|x 2-x 1|转化为关于t 的代数式,设h (t )=e 2t -t +1,利用导数求h (t )的最小值,即可求得a 的范围.由题意可知f (x 1)=g (x 2)=t ,由12ln x 1=t ,得x 1=e 2t ,由x 2+1=t ,得x 2=t -1,易知x 1>x 2,所以|x 2-x 1|=x 1-x 2=e 2t-t +1.令h (t )=e 2t-t +1,由h'(t )=2e 2t -1=0,得t =-ln22.当t <-ln22时,h'(t )<0,当t >-ln22时,h'(t )>0,所以当t =-ln22时,h (t )取得最小值,为12+ln22+1=ln2+32,所以要使对任意t ∈R ,|x 2-x 1|≥2a +1成立,只需ln2+32≥2a +1,解得a ≤ln2+14.故选A.【备注】无 10.D【解析】本题主要考查椭圆的定义、标准方程以及圆的有关知识,考查化归与转化思想及数形结合思想.设直线F 2Q 与线段F 1P 的延长线交于点R ,由题意推出Q 为线段F 2R 的中点,再由椭圆的定义及三角形中位线定理求得a =1,从而得到b 2+c 2=1(b >0,c >0),最后利用数形结合思想及b 2+c 2-6b -8c 的几何意义即可求范围.设直线F 2Q 与线段F 1P 的延长线交于点R ,易得|F 2Q |=|QR |,|PR |=|F 2P |,所以Q 为线段F 2R 的中点,所以在△F 1RF 2中,|OQ |=|F 1R|2=|F 1P|+|PR|2=|F 1P|+|PF 2|2.因为P 为椭圆上的点,所以|F 1P |+|PF 2|=2a ,则|OQ |=|F 1P|+|PF 2|2=2a 2=a =1,所以b 2+c 2=1(b >0,c >0),表示以原点为圆心、1为半径的四分之一圆弧(不包含端点).b 2+c 2-6b -8c =(b -3)2+(c -4)2-25,表示动点M (b ,c )到点N (3,4)距离的平方再减去25,连接ON ,则|ON |=5,连接MN ,易知|MN |min =4.又N (3,4)到点(1,0)的距离d 1=2√5,到点(0,1)的距离d 2=3√2,所以b 2+c 2-6b -8c 的取值范围为[-9,-5),故选D.【备注】【素养落地】试题把外角平分线和椭圆的有关知识有机结合,构建数形结合的情境,增强考生运用几何直观思考问题的意识,突出了直观想象、数学运算等核心素养. 【解后反思】本题求解的关键是利用a 的值得到点(b ,c )的轨迹,分析出代数式b 2+c 2-6b -8c 的几何意义;易错之处是求得b 2+c 2=1后,忽略b >0,c >0,而错选A.11.2或-1【解析】本题考查向量的坐标运算、向量平行的充要条件,考查考生对基础知识的掌握情况.计算出b 的坐标,由向量平行列方程,求解即可.由已知条件得b =(2-2λ,-4),因为c ∥b ,所以-4=λ(2-2λ),解得λ=2或λ=-1. 【备注】【易错警示】向量平行和垂直的充要条件容易混淆,对于a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),若a ∥b ,则x 1y 2=x 2y 1;若a ⊥b ,则x 1x 2+y 1y 2=0.12.4π+33【解析】本题考查平面几何图形的旋转问题及几何概型概率的求解,考查直观想象及数学运算等核心素养.先求阴影部分的面积,再利用几何概型的概率计算公式求解即可. 设AC =x ,则AB =2x ,BC =√3x .S 阴影=S 扇形ABD +S △ADE -S △ABC -S 扇形ACE =S 扇形ABD -S 扇形ACE =60π×(2x)2360−60π×x 2360=π2x 2,故所求概率P =S 阴影S 扇形ABD +S △ADE =π2x 260π×(2x)2360+√32x =4π+3√3. 【备注】无13.44【解析】本题主要考查排列组合的有关知识,体现了逻辑推理核心素养.可以利用两个计数原理从正面求解,如解法一,也可先算出所有的放法的种数,然后分别计算有1,2,3,4,5个小球放对的情况,最后相减即可得到结果.解法一 第一步,若1号盒子放错,则1号盒子有C 41=4种不同的放法;第二步,考虑与1号盒子中所放小球编号相同的盒子的放法,若该盒子中的小球编号恰好为1,则5个小球全部放错的放法有C 21=2(种),若该盒子中的小球编号不是1,则5个小球全部放错的放法有C 31(1+C 21)=9(种).由计数原理可知,5个小球全部放错的放法有4×(2+9)=44(种).解法二 将5个小球放入5个盒子中,且每个盒子中放一个小球,共有A 55=120种不同的放法,其中恰有1个小球放对的情况有C 51C 31(1+C 21)=45(种),恰有2个小球放对的情况有C 52C 21=20(种),恰有3个小球放对的情况有C 53=10(种),恰有4个小球放对的情况有0种,恰有5个小球放对的情况有1种,故全部放错的情况有120-45-20-10-1=44(种). 【备注】无 14.(2,52]【解析】本题主要考查a n 与S n 之间的关系、等比数列的通项公式等,考查运算求解能力、逻辑思维能力,考查的核心素养是数学运算、逻辑推理.利用a n 与S n 之间的关系确定数列{a n }的通项公式,构造f (n )=n(n+1)2n -1n ∈N *,分别写出n =1,2,3,4,5时的函数值,并判断出n ≥3时,f (n +1)<f (n ),从而求得λ的取值范围.当n =1时,S 1=2a 1-1,得a 1=1.当n ≥2时,由S n =2a n -1 ①,得S n -1=2a n -1-1 ②,①-②,得a n =2a n -1(n ≥2),则a na n -1=2(n ≥2),因此{a n }是等比数列,且公比是2,所以a n =2n -1.由n (n +1)≥λa n 可得λ≤n(n+1)2n -1.令f (n )=n(n+1)2n -1,n ∈N *,则f (1)=2,f (2)=3,f (3)=3,f (4)=52,f (5)=158. 因为f (n +1)-f (n )=(n+1)(n+2)2−n(n+1)2=(n+1)(2-n)2n,所以当n ≥3时,f (n +1)-f (n )<0,f (n +1)<f (n ).因为集合M 中有3个元素,所以关于n 的不等式λ≤n(n+1)2n -1的解的个数为3,所以2<λ≤52.【名师点睛】求数列中最大或最小项的方法:可以借助数列的增减性来研究数列的最值问题,数列的增减性有时可以利用作差或作商比较法来探究. 【备注】无15.解:(1) 由题意得,sin A +cos(π-A )=1+sin π-A 2,即sin A -cos A =1+cos A 2,所以2sin A2cos A2-2cos 2A2+1=1+cos A 2.因为在锐角△ABC 中,cos A 2≠0,所以2sin A 2-2cos A2=1,等式两边同时平方,得4-4sin A =1,解得sin A =34.(2)由S △ABC =12×AB ×AC ×sin A =12×4×AC ×34=3√7,得AC =2√7.由(1)知,cos A =√74,由余弦定理,得BC 2=AB 2+AC 2-2×AB ×AC ×cos A =16+28-2×4×2√7×√74=16,得BC =4.设BC 边上的高为h ,则12×BC ×h =3√7,即12×4×h =3√7,解得h =3√72,即BC 边上的高为3√72. 【解析】本题考查余弦定理的应用、诱导公式、三角形面积公式等,考查考生的逻辑推理能力和运算求解能力.(1)利用三角形内角和定理、二倍角公式、同角三角函数的基本关系等化简已知等式,即可得sin A 的值;(2)先利用三角形面积公式求得AC 的长,再利用余弦定理求得BC 的长,最后利用三角形面积公式求出BC 边上的高. 【备注】无16.解:(1)由{x 2+y 2=3p 2,y 2=2px,得x 2+2px -3p 2=0,解得x =p 或x =-3p (舍去), 所以y =±√2p ,不妨设A (p ,√2p ),B (p ,-√2p ).又F (p2,0),所以FA⃗⃗⃗⃗⃗ ·FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(p 2,√2p )·(p 2,-√2p )=-74,解得p 2=1,所以p =1. 故抛物线C 1的方程为y 2=2x ,圆C 2的方程为x 2+y 2=3. (2)由(1)知,抛物线C 1的焦点F (12,0),设直线方程为x =my +12,即x -my -12=0,则圆C 2的圆心到直线的距离d =122,所以|PQ |=2√3-141+m 2.将x =my +12代入y 2=2x 得y 2-2my -1=0,Δ=4m 2+4>0. 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),所以{y 1+y 2=2m,y 1y 2=-1,所以|MN |=2|y 1-y 2|=2(1+m 2).|PQ||MN|=12(1+m 2)·2√3-141+m 2=12(1+m 2)·√12-11+m 2,令t =11+m ,0<t <1,则|PQ||MN|=t2·√12-t =12√12t 2-t 3,令f (t )=12t 2-t 3,0<t <1,则f '(t )=3t (8-t )>0,所以函数f (t )在(0,1)上单调递增,所以0<f (t )<11, 所以|PQ||MN|的取值范围是(0,√112). 【解析】本题主要考查抛物线的标准方程与几何性质,直线方程,直线与抛物线的位置关系,直线与圆的位置关系,考查考生的逻辑推理能力、运算求解能力.(1)联立圆的方程与抛物线的方程,得一元二次方程,求根,借助FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FB⃗⃗⃗⃗⃗ =-74,求出p 的值,即可得C 1,C 2的方程;(2)设出直线方程,利用点到直线的距离公式和勾股定理表示出|PQ |,将直线方程代入抛物线方程,利用根与系数的关系和弦长公式表示出|MN |,进而表示出|PQ||MN|,换元,构造函数,利用函数的单调性即可求出|PQ||MN|的取值范围.【备注】【素养落地】试题以抛物线、圆为依托,考查考生对解析几何知识的理解和掌握,通过对直线与抛物线的位置关系、直线与圆的位置关系的探求,体现了直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养.17.解:(1)设事件A 为“某件产品第一次检验合格”,事件B 为“某件产品第二次检验合格”,则P (A )=35,P (B )=25×45=825, 所以某件产品能够出厂的概率P =35+825=2325. (2)由已知,若两件产品均不合格,则ξ=-(1 000+100×2+200)×2+100×2=-2 600,若一件不合格,另一件是经过第二次检验才合格,则ξ=-(1 000+100×2+200)+[3 000-(1 000+100×2+200)]+100=300,若一件不合格,另一件第一次检验合格,则ξ=-(1 000+100×2+200)+[3 000-(1 000+100)]+100=600,若两件都是经过第二次检验才合格,则ξ=2×[3 000-(1 000+100×2+200)]=3 200, 若两件都合格,其中一件第一次检验合格,另一件是经过第二次检验才合格,则ξ=[3 000-(1 000+100)]+[3 000-(1 000+100×2+200)]=3 500, 若两件都是第一次检验合格,则ξ=2×[3 000-(1 000+100)]=3 800, 所以ξ的所有可能取值为-2 600,300,600,3 200,3 500,3 800.因为每件产品第一次检验合格的概率为35,第一次检验不合格、第二次检验合格的概率为825, 两次检验均不合格的概率为(1-35)×(1-45)=225,所以P (ξ=-2 600)=(225)2=4625,P (ξ=300)=C 21×825×225=32625,P (ξ=600)=C 21×35×225=12125,P (ξ=3 200)=(825)2=64625,P (ξ=3 500)=C 21×35×825=48125,P (ξ=3 800)=(35)2=925.ξ的分布列为数学期望E (ξ)=-2 600×4625+300×32625+600×12125+3 200×64625+3 500×48125+3 800×925=3096.【解析】本题主要考查相互独立事件的概率,离散型随机变量的分布列与数学期望,考查考生分析问题、解决问题的能力.(1)分别求出某件产品第一次检验合格和第二次检验合格的概率,利用相互独立事件的概率加法公式计算即可;(2)先分析ξ的所有可能取值,再计算每个取值对应的概率,最后求出数学期望. 【备注】无18.解:(1)当a =1时,f (x )={x -lnx,x >0,xe x ,x ≤0,则f'(x )={1-1x ,x >0,e x (1+x),x ≤0.由f'(x )=0,得x =1或x =-1.x ,f'(x ),f (x )的变化情况如下:由表可知,函数f (x )的极小值为f (-1)=-e,f (1)=1,无极大值. (2)因为 x 1,x 2∈[1,2],所以只需考虑f (x )=1-a 2x 2+ax -ln x .f'(x )=(1-a )x +a -1x=(1-a)(x -1a -1)(x -1)x,又a ∈(2,3),所以1a -1∈(12,1),1-a <0,所以在[1,2]上,f'(x )≤0,f (x )单调递减, 所以在[1,2]上,f (x )的最大值为f (1)=1+a 2,f (x )的最小值为f (2)=2-ln 2,所以|f (x 1)-f (x 2)|≤|1+a 2-2+ln 2|=a 2−32+ln 2.若ma +ln 2>|f (x 1)-f (x 2)|恒成立,则ma +ln 2>a 2−32+ln 2对a ∈(2,3)恒成立, 所以(1-2m )a <3,即1-2m <3a . 因为3a∈(1,32),所以1-2m ≤1,解得m ≥0, 故m 的取值范围是[0,+∞).【解析】本题主要考查利用导数研究函数的极值、不等式恒成立问题,考查化归与转化思想. (1)对函数求导,利用导函数的正负判断函数的单调性,进而得到极值;(2)利用导数判断函数的单调性及最值,将ma +ln 2>|f (x 1)-f (x 2)|恒成立转化为ma +ln 2>a2−32+ln 2恒成立,再利用分离参数法,结合a 的取值范围即可求解.【备注】【解后反思】求解与恒成立有关的问题的关键是转化、对题意的理解以及对隐含条件的挖掘,如本题中,利用函数的单调性,将ma +ln 2>|f (x 1)-f (x 2)|恒成立,转化为ma +ln 2>a2−32+ln 2恒成立,利用分离参数法即可得结果.19.解:(1)将 {x =√32+cosφ,y =12+sinφ消去参数φ,得曲线C 的普通方程为(x -√32)2+(y -12)2=1. 2ρsin(θ-π6)=√3,即√3ρsin θ-ρcos θ=√3, 将{x =ρcosθ,y =ρsinθ代入上式,得直线l 的直角坐标方程为x -√3+√3=0.(2)由(1)知曲线C的圆心坐标为(√32,12),圆心到直线x -√3y +√3=0的距离d =|√32-√3×12+√3|2=√32, 则|MN |=2√1-34=1,易知点P 到直线x -√3y +√3=0距离的最大值为1+√32, 所以△PMN 面积的最大值为12+√34. 【解析】本题主要考查参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化、点到直线的距离公式、三角形的面积公式等知识,考查化归与转化能力、运算求解能力. (1)消去参数,即可得曲线C 的普通方程,利用{x =ρcosθ,y =ρsinθ得到直线l 的直角坐标方程;(2)先利用点到直线的距离公式和勾股定理得到弦长,再利用数形结合思想得到点P 到直线x -√3y +√3=0距离的最大值,最后利用三角形的面积公式进行求解.【备注】无20.解:(1) f (x )≤1可化为|x -2a |≤1-a .当1-a <0,即a >1时,不等式的解集为空集,符合题意.当1-a ≥0,即a ≤1时,a -1≤x -2a ≤1-a ,因而3a -1≤x ≤a +1, 那么,由已知可得{3a -1≥-1,a +1≤2,解得0≤a ≤1.综上,实数a 的取值范围为[0,+∞).(2)因为a <0,所以f (-1a)+f (a )=|-1a-2a |+a +|a -2a |+a =-1a+(-a )≥2, 当且仅当-a =-1a ,即a =-1时取等号,故当a <0时,关于a 的函数f (-1a)+f (a )的最小值为2.【解析】本题主要考查绝对值不等式的求解,基本不等式的应用,考查分类讨论思想和运算求解能力.(1)分类讨论,利用集合间的关系进行求解;(2)去绝对值符号,利用基本不等式求解. 【备注】无。

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试本试卷共23题，共150分，考试时间120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱.不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{0,1,2,3,4,5}A =，集合{|2}B x x =>，则A B ⋂=（ ） A ．{0,1,2}B ．{2,3,4,5}C ．{0,1}D ．{3,4,5}2.设复数z 满足2z ii z -=-，则复数z 的虚部为（ ） A ．12 B ．12i -C ．12-D ．1-3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若153a a +=，2165a a +=，则11S =（ ） A ．48B ．22C ．12D ．364.已知不等式22240x mx m -+->成立的必要不充分条件是1x …或2x …，则实数m 的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45.设,x y 满足约束条件1010210x y x y x y -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪++≥⎩，则2z y x =-的最小值为（ ）A ．1В.2C ．3D ．46.函数ln ||()x f x x x=+的图象大致为（ ） A ．B ．C ．D ．7.7113x x x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中2x 的系数为（ ）A ．35B ．28C ．21-D ．428.执行如图所示的程序框图，若输出n 的值为2047，则输入正整数N 的值为（ ）A ．1011.12C ．9D ．119.据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、侯、公，共五级，若给获得巨大贡献的7人进行封爵，要求每个等级至少有一人，至多有两人，则伯爵恰有两人的概率为（ ） A ．310B ．25C ．825D ．3510.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．48+B ．40+C ．48+D ．44+11.已知直线2y kx k =-与抛物线24y x =相交于,P Q 两点，点(2,2)A --，若直线,AP AQ 的斜率分别为12,k k ，则12k k +等于（ ）A ．5B ．3C ．1D ．712.某软件研发公司对某软件进行升级，主要是软件程序中的某序列{}123,,,A a a a =L 重新编辑，编辑新序列为*234123,,,a a a A a a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭L ，它的第n 项为1n n a a +，若序列()**A 的所有项都是2，且51a =，632a =，则1a 等于（ ） A ．1256B ．1512C ．11024D ．12048二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上13.已知向量12,e e r r 满足11e =r ，22e =r ，若（()()121228e e e e -⋅+=-r r r r ，则向量1e r 与2e r 的夹角为____.14.若存在唯一的实数0,2t π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得曲线cos (0)3y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭关于点(,0)t 对称，则ω的取值范围是_____.15.已知双曲线12,C C 的焦点分别在,x y 轴上，离心率分别为12,e e ，且渐近线相同，则12e e ⋅的最小值为____. 16.如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，2AD =，11AA =，过1BD 的截面的面积为S ，则S 的最小值为______.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，AD 为角A 的角平分线，交BC 于D，()(sin sin )()sin b a B A c C -⋅+=.（1）求B ；（2）若AD =，2BD =，求b.18.如图，几何体是由半个小圆柱及14个大圆柱拼接而成，其中,G H 分别为»CD 与»AB 的中点，四边形ABCD 为正方形.（1）证明：DFB ⊥平面GCBH .（2）求平面DFB 与平面ABG 所成二面角的正弦值.19.某生鲜超市每天从蔬菜生产基地购进某种蔬菜，每天的进货量相同，进价6元/千克，售价9元/千克，当天未售出的蔬菜被生产基地以2元/千克的价格回收处理.该超市发现这种蔬菜每天都有剩余，为此整理了过往30天这种蔬菜的日需求量X （单位：千克），得到如下统计数据：以这30天记录的各日需求量的频率作为各日需求量的概率，假设各日需求量相互独立. （1）求在未来的3天中，至多有1天的日需求量不超过190千克的概率；（2）超市为了减少浪费，提升利润，决定调整每天的进货量n （单位：千克），以销售这种蔬菜的日利润的期望值为决策依据，在180n =与200n =之中选其一，应选用哪个？20.设圆224600x y x +--=的圆心为2F ，直线l 过点1(2,0)F -且与x 轴不重合，交圆2F 于,C D 两点，过点1F 作2CF 的平行线交2DF ，于点E . （1）求12||EF FF +的值；（2）设点E 的轨迹为曲线1E ，直线l 与曲线1E ，相交于,A B 两点，与直线8x =-相交于M 点，试问在椭圆1E ，上是否存在一定点N ，使得132,,k k k 成等差数列（其中123,,k k k 分别指直线,,AN BN MN 的斜率）.若存在，求出N 点的坐标；若不存在，请说明理由. 21.已知函数1()ln ()f x x a x a x=-+∈R .（1）讨论函数()y f x =的单调性；（2）若01b <<，1()()sin g x f x b x x=+-，且存在不相等的实数12,x x ，使得()()12g x g x =，求证0a <且2211a x x b ⎛⎫> ⎪-⎝⎭. （二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为10sin ρθ=，直线l 的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）求曲线C 与直线/的直角坐标方程.（2）直线l 与x 轴的交点为P ，与曲线C 的交点为,A B ，求||||PA PB ⋅的值. 23.[选修4—5：不等式选讲]已知函数()2|2|3|3|()f x x x a a =++--∈R（1）关于x 的不等式()0f x <的解集为{|24}x x -<<，求a 的值； （2）若函数()f x 的图象与x 轴围成图形的面积不小于50，求a 的取值范围.2020年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试参考答案1.D 本题考查集合的运算，因为{0,1,2,3,4,5}A =，{|2}B x x =>，所以{3,4,5}A B ⋂=.2.C 本题考查复数的运算，因为2z i i z -=-，所以112i i z i --==-，故复数z 的虚部为12-. 3.B 本题考查等差数列的性质.因为153a a +=，2165a a +=，所以323a =，925a =，故()()111391*********a a a a S ++===.4.C 本题考查充分必要条件.由不等式22240x mx m -+->，得2x m >+或2x m <-，因为不等式22240x mx m -+->成立的必要不充分条件是1x …或2x …，所以2122m m -≤⎧⎨+⎩…，得03m 剟，经检验，等号可以取得，所以实数m 的最大值为3.5.A 本题考查线性规划.由不等式组画出可行域，如图（阴影部分）所示.目标函数2z y x =-取得最小值⇔直线122zy x =+（z 看作常数）的截距最小，由图可得，直线2z y x =-过点A 时z 取得最小值，由10210x y x y -+=⎧⎨++=⎩，得点(1,0)A -，所以min 20(1)1z =⨯--=.6.A 本题考查函数的图象，由题知，函数()y f x =为奇函数，所以B 选项错误； 又因为(1)10f =>，所以C 选项错误；又因为ln 2(2)202f =+>，所以D 选项错误. 7.B 本题考查展开式，由题知，71x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为7772171rr r r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令721r -=，得3r =，3735C =，再令723r -=，得2r =，2721C =，故7113x x x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中2x 的系数为13521283⎛⎫+⨯-= ⎪⎝⎭.8.D 本题考查程序框图，由题知，当2n =时，2log 3S =，当3n =时，2log 4S =，当4n =时，2log 5S =，由此可知，终止循环时，2log (1)S n =+，又因为输出n 的值为2047，所以2log (20471)11S =+=，故输入整数N 的值为11.9.B 本题考查数学史及古典概型，由题知，7人进行封爵，要求每个等级至少有一人，至多有两人的方法种数共有22575522C C A A .伯爵恰有两人的方法种数为224754C C A ，故所求事件的概率为2247542257552225C C A C C A A =. 10.C 本题考查三视图.由三视图知，该几何体的直观图为如右图所示的EFGD CBA -，四边形ABCD 是边长为4的正方形，所以16ABCD S =，四边EBAF 和GDAF 为全等的直角梯形.所以244122EBAF S +=⨯=，4BCE DCG S S ==△△.四边形ECGF 是菱形，其对角线长分别为和，所以12ECGF S =⨯=421621248⨯++⨯+=+.11.C 本题考查抛物线的性质，设()11,P x y ，()22,Q x y ，所以11122y k x +=+，22222y k x +=+所以()()()121212121212121212228222224y x x y y y x x y y k k x x x x x x +++++++++=+=+++++，又因为112y kx k =-，222y kx k =-，所以()()1212121232228824kx x x x k k k x x x x ++-++=+++，联立方程224y kx ky x=-⎧⎨=⎩，得()22244k x k x -+240k +=，所以124x x =，故()()12121282881424k x x k k k x x ++-++==+++.12.C 本题考查数列的综合应用，由题知，序列()**A的所有项都是2，设21a q a=，所以{}*2,2,2,A q q q =L ，即112n n na q a -+=，又因为121121n n n n n a a a a a a a a ---=⋅⋅⋯⋅⋅，所以(2)(1)231211222n n n n n n a q q q a q a -----=⋅⋅⋯⋅⋅=⋅⋅，又因为51a =，632a =，所以645121a q a =⋅⋅=，10561232a q a =⋅⋅=，解得1110242a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩.13.3π本题考查平面向量.因为()()121228e e e e -⋅+=-r r r r ，所以22112228e e e e -⋅-=-r r r r ，又因为11e =r ，22e =r ，所以212112cos ,228e e -⨯-⨯=-r r ，解得121cos ,2e e =r r ，所以向量1e r 与2e r 的夹角为3π.14.511,33⎛⎤ ⎥⎝⎦ 本题考查三角函数的性质.因为0,2t π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以,3323t ππωππω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，所以32232πωπππ<-…，解得51133ω<…. 15.2 本题考查双曲线的性质.不妨设双曲线1C 的方程为22221x y a b -=，则22212a b e a +=，因为曲线12,C C 的渐近线相同，则双曲线2C 的方程为2222(0)y x m m b a -=>，则22222222mb ma b a e mb b ++==，所以2222222212111a b e e a b a b +=+=++，2212121112e e e e ∴+…，122e e ∴…，当且仅当12e e ==“=”，故12e e ⋅的最小值为2.本题考查立体几何的综合应用，由题知，截面可能是矩形，可能是平行四边形. （1）当截面为矩形时，即截面为11ABC D ，11A BCD ，11BB D D ，11D ABC S =11BCD A S =11BB D D S =，此时矩形11BB D D 的面积最小；（2）当截面为平行四边形时，有三种位置：1BED F ，1BPD Q ，1BRD S ，如下图所示，对于截面1BFD F ，过点E 作1EM BD ⊥于M ，如图（a ）所示，由对称性可知11BED F S BD EM =⋅，因为1BD =所以1BED F S EM =M 作1MN D D P 交BD 于N .连接AN ，当AN BD ⊥时，AN 最小，此时EM 的值最小.EM ==故四边形1BED F 的面积的最小值11313BED F S ==.同理可得四边形1BPD Q 的面积的最小值为11010BPD Q S ==，同理可得四边形1BRD S 的面积的最小值为155BRD S s ==，又因为369413105>>.>，所以过1BD 的截面面积S .17.解：本题考在解三角形.（1）由正弦定理知()()()b a b a c c -+=-，所以222222cos b a c a c ac B =+=+-，得cos B =，又因为(0,)B π∈，所以4B π=.（2）因为AD =，2BD =，sin sin AD BD B BAD =∠，所以1sin 2BAD ∠=，6BAD π∠=，所以3BAC π∠=，53412C ππππ=--=，又因为512ADC B BAD π∠=∠+∠=，所以ADC △为等腰三角形，所以b AD ==.18，解：本题考查面面垂直及二面角. （1）由题知4ABF π∠=，又因为H 为»AB的中点， 所以4ABH π∠=，故2HBF π∠=，BF BH ⊥，又因为BC ⊥平面ABH ，BF ⊂平面ABH ，所以BC BF ⊥，又因为BC BH B ⋂=，所以BF ⊥平面GCBH ，因为BF ⊂平面DFB ，所以平面DFB ⊥平面GCBH .（2）由题可得，直线,,AB AF AD 两两垂直，故以,,AF AB AD 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，不妨设2AB =，所以(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(2,0,0)F ，(0,0,2)D ，(1,1,2)G -，设平面DFB 的法向量为()111,,m x y z =u r ，又因为(2,2,0)FB =-u u u r ，(2,0,2)FD =-u u u r ，所以00m FB m FD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u ru u u r， 即1111220220x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，令11x =，求得11y =，11z =，即平面DFB 的一个法向量为(1,1,1).设平面ABG 的法向量为()222,,n x y z =r ，又因为(1,1,2)AG =-u u u r ，(0,2,0)AB =u u u r，所以00n AG n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r ，即22222020x y z y -++=⎧⎨=⎩，令22x =，得21z =-，所以平面ABH 的一个法向量为(2,0,1)，cos ,||||m n m n m n ⋅〈〉===u r ru r r u r r DFB 与平面ABG 所成二而角的正.19.解：本题考查离散型随机变量分布列及其应用. （1）依题意，日需求量不超过190的概率244(190)305P X ==…， 记“未来的3天中，至多有1天的日需求量不超过190”为事件A ，则321314113()555125P A C ⎛⎫⎛⎫=+⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）设日利润为Y 元.①当180n =时，若160X =，则1603204400Y =⨯-⨯=，若170X =，则1703104470Y =⨯-⨯=，若180X …，则1803540Y =⨯=， 所以Y 的分布列为117()40047054051210510E Y ∴=⨯+⨯+⨯=. ②当200n =时，若160X =，则1603404320Y =⨯-⨯=，若170X =，则1703304390Y =⨯-⨯=，若180X =，则1803204460Y =⨯-⨯=， 若190X =，则1903104530Y =⨯-⨯=，若200X …，则2003600Y =⨯=， 所以Y 的分布列为11131()3203904605306004811055105E Y ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 所以当180n =时，日利润的期望值大于当200n =时日利润的期望值，故应选180n =. 20.解：本题考查直线与椭圆的综合应用. （1）因为22F D F C =，12F E CF P ，所以221F DC F CD EF D ∠=∠=∠，所以1||EF ED =，所以1222||EF EF ED EF DF +=+=，又因为圆2F 的半径为8，即28DF =，所以128EF EF +=.（2）由（1）知，曲线1E ，是以12,F F 为焦点的椭圆，且长轴长为8，所以曲线1E 的方程为221(0)1612x y y +=≠，设直线l 的方程为(2)y k x =+，代入椭圆化简得()2222431616480k x k x k +++-=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,N x y ，21221643k x x k +=-+，2122164843k x x k -=+， 所以()()()()000012120102122010*******2422x y k k kx y x x kx x y y y y k k x x x x x x x x x x -+--++--+=+=---++ ()()()2000002220082128642348y k x k x x y kx x +-++=++-，因为132,,k k k 成等差数列，所以3122k k k =+，因为03068y k k x +=+，所以00628y kx +⨯+()()()2000002220082128642348y k x k x x y kx x +-++=++-，化简得()()()()22320000002422422422420kx k y x k x y x +-+++-+=，对任意的k 该等式恒成立，所以02x =-，所以存在点(2,3)N -±，使得132,,k k k 成等差数列. 21.解：本题考查函数与导数的综合应用.（1）22211()1(0)a x ax f x x x x x++'=++=>，当0a …时，因为0x >，所以210x ax ++>，所以广()0f x '>，故函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，当20a -<…时，240a ∆=-…，210x ax ++…，所以()0f x '>，故函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，当2a <-时，()0f x '>，解得0x <<或x >，()0f x '<，解得x <<，所以函数()f x 在区间22a a ⎛---+ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间0,2a ⎛-- ⎪⎝⎭和区间2a ⎛⎫-++∞⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，综上所述，当2a -…时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，当2a <-时，函数()f x在区间22a a ⎛--+ ⎪⎝⎭单调递减，在区间0,2a ⎛-- ⎪⎝⎭和区间2a ⎛⎫-++∞⎪ ⎪⎝⎭上单调递增. （2）由题知()ln sin g x x a x b x =+-，()1cos ag x b x x'=+-， 当0a …时，()1cos 10a a ag x b x b x x x'=+--+>厖，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增，与存在不相等的实数12,x x ，使得()()12g x g x =矛盾，所以0a <.由()()12g x g x =，得111222ln sin ln sin x a x b x x a x b x +-=+-， 所以()()212121ln ln sin sin a x x x x b x x --=---，不妨设120x x <<， 令()sin (0)x x x x ϕ=->，()1cos 0x x ϕ'=-…，所以函数()x ϕ在(0,)+∞上单调递增，所以2211sin sin x x x x ->-，即2121sin sin x x x x ->-，所以()()()21212121ln ln sin sin (1)a x x x x b x x b x x --=--->--，因为01b <<， 所以212101ln ln a x x b x x ->>--， 欲证2121a x x b ⎛⎫< ⎪-⎝⎭，只需证2211221ln ln x x x x x x ⎛⎫-> ⎪-⎝⎭，只需证2121ln ln x x x x ->- 令21x t x =，1t >，等价于证明1ln t t ->ln 0t -<，令()ln 1)h t t t =>，2()0h t '=<，所以()h t 在区间(1,)+∞上单调递碱，所以()(1)0h t h <=，从而ln 0t -<得证，于是2211a x x b ⎛⎫> ⎪-⎝⎭.22.解：本题考查坐标方程的互化与弦长.（1）曲线C 的极坐标方程为10sin ρθ=，所以210sin ρρθ=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，得曲线C 的直角坐标方程为22100x y y +-=，又因为直线l的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即sin cos 3ρθρθ-=，所以直线l 的直角坐标方程为3y x =+.（2）由（1）知，点P 的坐标为(3,0)-，不妨设直线l的参数方程为3,22x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的直角坐标方程为22100x y y +-=，把直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程并化简得290t -+=，设方程的两根分别为12,t t ，所以12|||||9PA PB t t ⋅==.23.解：本题考查绝对值不等式.（1）55,2()13,2355,3x a x f x x a x x a x -+-<-⎧⎪=-+--<≤⎨⎪-->⎩，所以函数()f x 在区间(,3)-∞上单调递减，在区间(3,)+∞上单调递增，因为关于x 的不等式()0f x <的解集为{}|24x x -<<，所以(2)0(4)0f f -=⎧⎨=⎩，即5(2)505150a a -⨯-+-=⎧⎨⨯--=⎩，解得15a =. （2）设函数()f x 的图象与x 轴围成图形面积为S ，当0a …时，()0f x >，不合题意；当0a >时，55,2()13,2355,3x a x f x x a x x a x -+--⎧⎪=-+--<⎨⎪-->⎩……，当15a =时，1[4(2)]515502S =⨯--⨯=<，当15a >时，所以函数()f x 的图象与x 轴的交点为1,05a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和1,05a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，此时函数()f x 的图象与x 轴围成图形面积为611(15)5515502a a a S ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++--⨯- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=+…，化简得2400a ≥，解得20a …或20a ≤-（舍去），所以实数a 的取值范围是[20,)+∞.。

全国统一考试标准模拟信息卷数学理科（八）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数12i 34i++（其中i 为虚数单位）的共轭复数在复平面上对应的点位于 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．已知实数a ＞1，集合A ＝{x ∈R |x 2-(1+a )x +a ≤0}，213|;22B y y x x x A ⎧⎫=∈=−+∈⎨⎬⎩⎭R ，当A ＝B 时，a 等于 （ ）A ．2B ．3C ．4D ．53．已知直线y ＝kx +m 与圆x 2+y 2＝4相交于A ，B 两点，且|AB |＝2，O 为坐标原点，则OA OB ⋅等于 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，当20202019220202019S S =+时，则a 2020-a 2019等于 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．函数2()1f x x =−+x ＝1处的切线与双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的一条渐近线垂直，则此双曲线的离心率为 （ ）ABC ．2D ．36．要得到函数()cos 22f x x x =的图像，只需将函数()sin 22g x x x =+的图像 （ ）A ．向左平移π2个单位长度 B ．向左平移π4个单位长度 C ．向右平移π2个单位长度 D ．向右平移π4个单位长度 7．设正数x ，y ，z 满足x +2y +z ＝1，则1x y x y y z++++的最小值为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．已知函数132(0)()log (0)x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则函数y ＝f [f (x )]-1的零点个数为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．如果某射手每次射击击中目标的概率为0.8，每次射击的结果互相独立，那么他在10次射击中，最有可能击中目标的次数是 （ ）A ．6B ．7C ．8D ．910．一个样本容量为10的样本数据的平均数为13，虽然它们各不相同，但从小到大排列能组成等差数列{a n }，且a 1，a 3，a 7成等比数列，则此样本的中位数是 （ ）A ．11B ．12C ．13D ．1411．已知底面是边长为2的正方形的四棱锥的俯视图如图所示，在该四棱锥中：①至少有两组侧面互相垂直；②侧面中可能存在三个直角三角形；③不可能存在四组互相垂直的侧面；④四个侧面可能都是等腰三角形．其中正确的命题个数为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．412．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，且a 、b 、c 成等差数列，16CA AB ⋅=−，sin B ＝cos A sin C ，当点P 在线段AB 上运动，且满足||||CA CB CP x y CA CB =⋅+⋅，则xy 的最大值等于 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题 13．已知211n x ⎛⎫− ⎪⎝⎭的展开式中x -4的系数为a n ，则23420201111a a a a +++…+等于________． 14．设点A 、B 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上关于中心O 的对称点，点P 是椭圆上不与点A 、B 重合的任意点，则直线PA 与直线PB 的斜率之积为________．15．已知定义在R 上的函数f (x )满足：∀x ∈R ，f (x +2)＝f (x -2)恒成立，且g (x )＝f (x +4)为奇函数．则：f (2019)+f (2020)+f (2021)+f (2022)＝________．1615 m 的圆型铁板的圆心O 和正△ABC 的中心重合，D 、E 、F 为圆O 上的点，且△DBC 、△ECA 、△FAB 分别是以BC 、CA 、AB 为底边的等腰三角形．现通过精密切割与剪拼，以△ABC 为底面，以△DBC 、△ECA 、△FAB 为侧面，使得D 、E 、F 三点重合记为点V ，构成三棱锥V -ABC ．当△ABC 的边长变化时，所得的三棱锥V -ABC 的体积的最大值为________．（单位：m 3）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题17．AB 为半圆O 的直径，且AB ＝2．点C 是圆弧上不与点A 、B 重合的动点，以AC 为一边在△ABC 外作正△ACD ，设∠ABC ＝θ，四边形ABCD 的面积为S ．求S ＝f (θ)的最大值，以及取最大值时的2θ的正切值．18．某职业技能证书合格考试指定三门课程，有两种考试方案：方案一：参加所有三门课程的考试，至少有两门课程考试及格为职业技能证书合格考试通过． 方案二：在这三门课程的考试中，随机选取两门考试，这两门考试都及格为职业技能证书合格考试通过．假设某考生对这三门课程考试及格的概率分别为a 、b 、c 且a ，b ，c ∈(0，1)，且这三门课程的考试是否合格相互之间没有影响．（1）分别求此考生用方案一和方案二时考试通过的概率；（2）试比较此考生在上述两种方案下考试通过的概率的大小，并给出证明．19．在底面是菱形的四棱锥P -ABCD 中，∠BAD ＝120°，PA ＝AC ＝a ，2PB PD a ==，点E 在PD 上，且PE ＝2ED ．（1）在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平面ACE ，并证明你的结论；（2）求二面角E -AC -D 的大小．20．（1）过抛物线x 2＝4y 的焦点F ，且斜率为34的直线交此抛物线于A 、B 两点，点A 在第一象限内．已知圆C 关于y 轴对称，且圆C 与抛物线在A 处有相同的切线，求圆C 的标准方程；（2）过抛物线x 2＝4y 的对称轴上一点P (0，m )（其中m ＞0）作直线与此抛物线交于M 、N 两点，O 为抛物线的顶点，若2QP OP =，MP PN λ=，求证：对于∀m ＞0，()PQ QM QN λ⊥−恒成立．21．已知函数f (x )＝(x -1)2·e ax ，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数．（1）讨论函数f (x )的单调性和极值；（2）求函数f (x )在区间[0，1]上的最大值．（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．【4—4：坐标系和参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为：2sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（φ为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A 、B 为曲线C 上的两点，且OA ⊥OB ，设射线OA ：θ＝α，其中π02α<<． （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）求|OA |·|OB |的最小值．23．【4—5：不等式选讲】已知函数f(x)＝a-(|x+1|+|x-1|)，(x∈R)．（1）当a＝2时，求f(x)≥0的解集；（2）若函数g(x)＝x2-2x-a+1与y＝f(x)的图像恒有公共点，求a的取值范围．。

2020届全国高考仿真模拟考试（八）理科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．[2019·甘肃兰州诊断]已知集合A ＝{x ∈N |－1<x <4}，B ⊆A ，则集合B 中的元素个数至多是( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案：B解析：因为A ＝{x ∈N |－1<x <4}＝{0，1，2，3}，且B ⊆A ，所以集合B 中的元素个数至多是4，故选B.2．[2019·重庆九校联考]若复数z ＝a ＋3i 1－2i(a ∈R ，i 是虚数单位)是纯虚数，则复数z 的虚部为( )A ．3B ．3iC ．－3D ．－3i答案：C解析：由题意可得z ＝a ＋3i 1－2i ＝(a ＋3i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝a －65＋3＋2a 5i ，则⎩⎨⎧ a －65＝0，3＋2a 5≠0，解得a＝6，则z ＝3i ，由共轭复数的定义可得z ＝－3i ，故复数z 的虚部为－3，故选C.3．[2019·福建福州模拟]设集合A ＝{x |－2<－a <x <a ，a >0}，命题p ：1∈A ，命题q ：2∈A .若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，1)∪(2，＋∞)B ．(0，1)∪[2，＋∞)C ．(0，1)D ．(1，2)答案：D解析：由于p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则p 与q 中有且只有一个真命题．因为－2<－a ，则a <2，所以命题q ：2∈A 为假命题，所以命题p 为真，可得a >1，所以1<a <2，故选D.4．[2019·山东省实验中学模拟]若函数f (x )的定义域为[1，8]，则函数f (2x )x －3的定义域为( )A ．(0，3)B ．[1，3)∪(3，8]C ．[1，3)D ．[0，3)答案：D解析：因为f (x )的定义域为[1，8]，所以若函数f (2x )x －3有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1≤2x ≤8，x －3≠0，得0≤x <3，故选D.5．[2019·上海一模]已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，则下列向量是单位向量的是( )A ．a ＋bB ．a ＋12b C ．a －b D ．a －12b 答案：C解析：通解 ∵a ，b 均是单位向量且夹角为60°，∴a ·b ＝12， ∴|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－2×12＋1＝1，即|a －b |＝1，∴a －b 是单位向量．故选C.优解 如图，令OA →＝a ，OB →＝b ，∵a ，b 均是单位向量且夹角为60°，∴△OAB 为等边三角形，∴|BA →|＝|a －b |＝|a |＝|b |＝1，∴a －b 是单位向量．故选C.6．[2019·云南昆明摸底调研，逻辑推理]设l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且l ⊂α，m ⊂β.下列结论正确的是( )A ．若α⊥β，则l ⊥βB ．若l ⊥m ，则α⊥βC ．若α∥β，则l ∥βD ．若l ∥m ，则α∥β答案：C解析：α⊥β，l ⊂α，加上l 垂直于α与β的交线，才有l ⊥β，所以A 项错误；若l ⊥m ，l ⊂α，m ⊂β，则α与β平行或相交，所以B 项错误；若α∥β，l ⊂α，则l ∥β，所以C 项正确；若l ∥m ，l ⊂α，m ⊂β，则α与β平行或相交，所以D 项错误．故选C.7．[2019·浙江杭州期中]函数y ＝(3x 2＋2x )e x 的图象大致是( )答案：A 解析：令y ＝(3x 2＋2x )e x ＝0，得x ＝－23或x ＝0，所以函数有－23和0两个零点，据此可排除B ，D.又由y ′＝(3x 2＋8x ＋2)e x 分析知函数有2个极值点，排除C.选A.8．[2019·安徽六校教育研究会联考]如图，第1个图形由正三角形扩展而成，共12个顶点，第2个图形由正方形扩展而来，共20个顶点，…，第n 个图形由正(n ＋2)边形扩展而来，n ∈N *，则第n 个图形的顶点个数是( )A ．(2n ＋1)(2n ＋2)B ．3(2n ＋2)C ．2n (5n ＋1)D ．(n ＋2)(n ＋3)答案：D解析：方法一 由题中所给图形我们可以得到：当n ＝1时，第1个图形的顶点个数12＝3×4；当n ＝2时，第2个图形的顶点个数20＝4×5；当n ＝3时，第3个图形的顶点个数30＝5×6；当n ＝4时，第4个图形的顶点个数42＝6×7；…；以此类推，可得第n 个图形的顶点个数是(n ＋2)(n ＋3)．故选D.方法二 (排除法)由题知，当n ＝1时，第1个图形的顶点个数是12；当n ＝2时，第2个图形的顶点个数是20，选项A ，B ，C 都不满足题意，均可排除，选D.9．[2019·陕西彬州第一次质监，数据分析]如图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为A 1，A 2，…，A 14.如图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个程序框图，执行程序框图，输出的结果是( )A ．7B ．8C ．9D ．10答案：B解析：该程序框图的作用是求14次考试成绩大于等于90分的次数．根据茎叶图可得超过90分的次数为8，故选B.10．[2019·山西大同期中]中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗．苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应分别偿还a 升，b 升，c 升，1斗为10升，则下列判断正确的是( )A ．a ，b ，c 依次成公比为2的等比数列，且a ＝507B ．a ，b ，c 依次成公比为2的等比数列，且c ＝507C ．a ，b ，c 依次成公比为12的等比数列，且a ＝507D ．a ，b ，c 依次成公比为12的等比数列，且c ＝507 答案：D 解析：由题意得a ，b ，c 依次成公比为12的等比数列，且c ＋2c ＋4c ＝50，即c ＝507，故选D.11．[2019·河南洛阳尖子生联考，数学运算]已知双曲线x 2t －y 23＝1(t >0)的一个焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点重合，则该双曲线的离心率为( )A. 2 B ．2C ．4 D.10答案：B解析：由题意，知双曲线的右焦点(c ，0)与抛物线的焦点(2，0)重合，所以c ＝2，所以该双曲线的离心率为e ＝2，故选B.12．[2019·陕西西安远东一中检测]已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin A ＋2sin B ＝2sin C ，b ＝3，当内角C 最大时，△ABC 的面积等于( )A.9＋334B.6＋324C.326－24D.36－324答案：A解析：∵sin A ＋2sin B ＝2sin C ，∴a ＋2b ＝2c ，∵b ＝3，∴c ＝a ＋322，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2－()a ＋3224＋96a ＝3a 2－62a ＋1824a ＝a 8＋34a －24≥2a 8×34a －24＝6－24，当且仅当a 8＝34a ，即a ＝6时取等号，∴内角C 最大时，a ＝6，sin C ＝2＋64，∴△ABC 的面积为12ab sin C ＝9＋334，故选A. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上．)13．[2019·安徽宿州一诊](x －2y ＋y 2)6的展开式中x 2y 5的系数为________．答案：－480解析：(x －2y ＋y 2)6＝[x ＋(y 2－2y )]6的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6x6－r (y 2－2y )r ，令6－r ＝2，解得r ＝4，所以T 5＝C 46x 2(y 2－2y )4.又(y 2－2y )4＝(y 2)4－C 14(y 2)3·2y ＋C 24(y 2)2·(2y )2－C 34y 2·(2y )3＋C 44(2y )4，所以(x －2y ＋y 2)6的展开式中x 2y 5的系数为C 46×(－C 34×23)＝－480.14．[2019·江苏常州期中]在平面直角坐标系中，劣弧»AB ，»CD ，»EF ，¼GH 是圆x 2＋y 2＝1上的四段弧(如图)，点P 在其中一段弧上，角α以Ox 为始边，OP 为终边．若tan α<cos α<sin α，则P 所在的圆弧是________．答案：EF 解析：∵tan α<cos α，∴P 所在的圆弧不是¼GH ，∵tan α<sin α，∴P 所在的圆弧不是»CD，又cos α<sin α，∴P 所在的圆弧不是»AB ，∴P 所在的圆弧是EF . 15．[2019·辽宁沈阳二中调研]已知直线y ＝x ＋1与椭圆mx 2＋ny 2＝1(m >n >0)相交于A ，B 两点，若弦AB 中点的横坐标为－13，则双曲线x 2m 2－y 2n2＝1的两条渐近线夹角的正切值是________．答案：43解析：把直线方程与椭圆方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，mx 2＋ny 2＝1，消去y 得(m ＋n )x 2＋2nx ＋n －1＝0，∴x A ＋x B ＝－2n m ＋n＝－23，∴n m ＝12，∴双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1的两条渐近线夹角的正切值为2·n m 1－n 2m2＝43. 16．[2019·安徽合肥二检]已知半径为4的球面上有两点A ，B ，AB ＝42，球心为O ，若球面上的动点C 满足二面角C －AB －O 的大小为60°，则四面体OABC 的外接球的半径为________．答案：463 解析：如图所示，设△ABC 的外接圆的圆心为O 1，取AB 的中点D ，连接OD ，O 1D ，O 1O ，则OD ⊥AB ，O 1D ⊥AB ，所以∠ODO 1为二面角C －AB －O 的平面角，所以∠ODO 1＝60°.由题意，知OA ＝OB ＝4，AB ＝42，满足OA 2＋OB 2＝AB 2，所以∠AOB 为直角，所以OD ＝2 2.四面体OABC 外接球的球心在过△ABC 的外心O 1且与平面ABC 垂直的直线OO 1上，同时在过Rt △OAB 的外心D 且与平面OAB 垂直的直线上，如图中的点E 就是四面体OABC 外接球的球心，EO 为四面体OABC 外接球的半径．在Rt △ODE 中，∠DOE ＝90°－∠ODO 1＝30°，则EO ＝OD cos 30°＝2232＝463. 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(12分)[2019·郑州高三质检]已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋2cos 2x －2.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值，最小值．解析：(1)f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 故f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z . (2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4，∴3π4≤2x ＋π4≤7π4， ∴－1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤22，∴－2≤f (x )≤1，∴当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－ 2.18．(12分)[2019·湖南湘东六校联考]如图，ABEDFC 为多面体，平面ABED 与平面ACFD垂直，点O 在线段AD 上，OA ＝1，OD ＝2，△OAB ，△OAC ，△ODE ，△ODF 都是正三角形．(1)证明：直线BC ∥平面OEF ；(2)在线段DF 上是否存在一点M ，使得二面角M －OE －D 的余弦值是31313？若不存在，请说明理由；若存在，请求出M 点所在的位置．解析：(1)证明：依题意知，在平面ADFC 中，∠CAO ＝∠FOD ＝60°，∴AC ∥OF ， 又AC ⊄平面OEF ，OF ⊂平面OEF ，∴AC ∥平面OEF .在平面ABED 中，∠BAO ＝∠EOD ＝60°，∴AB ∥OE ，又AB ⊄平面OEF ，OE ⊂平面OEF ，∴AB ∥平面OEF .∵AB ∩AC ＝A ，AB ⊄平面OEF ，AC ⊄平面OEF ，AB ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴平面ABC ∥平面OEF .又BC ⊂平面ABC ，∴直线BC ∥平面OEF .(2)设OD 的中点为G ，如图，连接GE ，GF ，由题意可得GE ，GD ，GF 两两垂直，以G 为坐标原点，GE ，GD ，GF 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系G -xyz .易知，O (0，－1，0)，E (3，0，0)，F (0，0，3)，D (0，1，0)．假设在线段DF 上存在一点M ，使得二面角M －OE －D 的余弦值是31313.设DM →＝λDF →，λ∈[0，1]，则M (0，1－λ，3λ)，OM →＝(0，2－λ，3λ)．设n ＝(x ，y ，z )为平面MOE 的法向量，由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·OM →＝0，n ·OE →＝0，得⎩⎨⎧(2－λ)·y ＋3λ·z ＝0，3x ＋y ＝0， 可取x ＝－λ，则y ＝3λ，z ＝λ－2，n ＝(－λ，3λ，λ－2)．又平面 OED 的一个法向量m ＝(0，0，1)，∴31313＝|cos 〈m ，n 〉|＝|λ－2|4λ2＋(λ－2)2， ∴(2λ－1)(λ＋1)＝0，又λ∈[0，1]，∴λ＝12. ∴存在满足条件的点M ，M 为DF 的中点．19．(12分)[2019·湖南高三毕业班开学调研卷]某商场进行有奖促销活动，顾客购物每满500元，可选择返回50元现金或参加一次抽奖，抽奖规则如下：从1个装有6个白球、4个红球的箱子中任摸一球，摸到红球就可获得100元现金奖励，假设顾客抽奖的结果相互独立．(1)若顾客选择参加一次抽奖，求他获得100元现金奖励的概率；(2)某顾客已购物1 500元，作为商场经理，是希望顾客直接选择返回150元现金，还是选择参加3次抽奖？说明理由；(3)若顾客参加10次抽奖，则最有可能获得多少现金奖励？解析：(1)因为从装有10个球的箱子中任摸一球的结果共有C 110种，摸到红球的结果共有C 14种，所以顾客参加一次抽奖获得100元现金奖励的概率是C 14C 110＝410＝25. (2)设X 表示顾客在三次抽奖中中奖的次数，由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，则X ～B (3，0.4)，所以E (X )＝3×0.4＝1.2.由于顾客每中奖一次可获得100元现金奖励，因此该顾客在三次抽奖中可获得的奖励金额的均值为1.2×100＝120元．因为顾客参加三次抽奖获得的现金奖励的均值120元小于直接返现的150元，所以商场经理希望顾客参加抽奖．(3)设顾客参加10次抽奖摸中红球的次数为Y .由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，则Y ～B (10，0.4)，于是恰好k 次中奖的概率P (Y ＝k )＝C k 10×0.4k ×0.610－k ，k ＝0，1，…，10. 从而P (Y ＝k )P (Y ＝k －1)＝2×(11－k )3k ，k ＝1，2，…，10， 当k <4.4时，P (Y ＝k －1)<P (Y ＝k )；当k >4.4时，P (Y ＝k －1)>P (Y ＝k )，则P (Y ＝4)最大，所以最有可能获得的现金奖励为4×100＝400元．综上，顾客参加10次抽奖，最有可能获得400元的现金奖励．20．(12分)[2019·广东百校联考]已知F 为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，点P (2，3)在C 上，且PF ⊥x 轴．(1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 交C 于A ，B 两点，交直线x ＝8于点M .直线P A ，PM ，PB 的斜率是否依次构成等差数列？请说明理由．解析：(1)因为点P (2，3)在C 上，且PF ⊥x 轴，所以c ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 2＋9b 2＝1，a 2－b 2＝4得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝16，b 2＝12. 故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1. (2)由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)，令x ＝8，得M 的坐标为(8，6k )．由⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 212＝1，y ＝k (x －2)，得(4k 2＋3)x 2－16k 2x ＋16(k 2－3)＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝16k 24k 2＋3，x 1x 2＝16(k 2－3)4k 2＋3.① 设直线P A ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，从而k 1＝y 1－3x 1－2，k 2＝y 2－3x 2－2，k 3＝6k －38－2＝k －12. 因为直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，所以y 1＝k (x 1－2)，y 2＝k (x 2－2)，所以k 1＋k 2＝y 1－3x 1－2＋y 2－3x 2－2＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2－3⎝⎛⎭⎫1x 1－2＋1x 2－2 ＝2k －3×x 1＋x 2－4x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4.② 把①代入②，得k 1＋k 2＝2k －3×16k 24k 2＋3－416(k 2－3)4k 2＋3－32k 24k 2＋3＋4＝2k －1. 又k 3＝k －12，所以k 1＋k 2＝2k 3. 故直线P A ，PM ，PB 的斜率依次构成等差数列．21．(12分)[2019·安徽淮北一中期中]已知函数f (x )＝e x ＋x 2－x ，g (x )＝x 2＋ax ＋b ，a ，b ∈R .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)若f (x )≥g (x )恒成立，求a ＋b 的最大值．解析：(1)因为f ′(x )＝e x ＋2x －1，所以f ′(0)＝0.又f (0)＝1，所以该切线方程为y ＝1.(2)设h (x )＝f (x )－g (x )＝e x －(a ＋1)x －b ，则h (x )≥0恒成立．易得h ′(x )＝e x －(a ＋1)．(ⅰ)当a ＋1≤0时，h ′(x )>0，此时h (x )在R 上单调递增．①若a ＋1＝0，则当b ≤0时满足h (x )≥0恒成立，此时a ＋b ≤－1；②若a ＋1<0，取x 0<0且x 0<1－b a ＋1， 此时h (x 0)＝e x 0－(a ＋1)x 0－b <1－(a ＋1)1－b a ＋1－b ＝0，所以h (x )≥0不恒成立，不满足条件．(ⅱ)当a ＋1>0时，令h ′(x )＝0，得x ＝ln(a ＋1)．由h ′(x )>0，得x >ln(a ＋1)；由h ′(x )<0，得x <ln(a ＋1)．所以h (x )在(－∞，ln(a ＋1))上单调递减，在 (ln(a ＋1)，＋∞)上单调递增． 要使h (x )＝e x －(a ＋1)x －b ≥0恒成立，必须有当x ＝ln(a ＋1)时，h (ln(a ＋1))＝(a ＋1)－(a ＋1)ln(a ＋1)－b ≥0恒成立．所以b ≤(a ＋1)－(a ＋1)ln(a ＋1)．故a ＋b ≤2(a ＋1)－(a ＋1)ln(a ＋1)－1.令G (x )＝2x －x ln x －1，x >0，则G ′(x )＝1－ln x .令G ′(x )＝0，得x ＝e.由G ′(x )>0，得0<x <e ；由G ′(x )<0，得x >e.所以G (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减， 所以当x ＝e 时，G (x )的值最大，G (x )max ＝e －1.从而，当a ＝e －1，b ＝0时，a ＋b 的值最大，为e －1.综上，a ＋b 的最大值为e －1. 选考题(请考生在第22、23题中任选一题作答，多答、不答按本选考题的首题进行评分．)22．(10分)[2019·安徽六校教育研究会第二次联考][选修4－4：坐标系与参数方程]已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3＋2cos α，y ＝1－2sin α(α为参数)，以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)若直线l 的极坐标方程为sin θ－2cos θ＝1ρ，求曲线C 上的点到直线l 的最大距离． 解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2cos α，y ＝1－2sin α，消去α得(x －3)2＋(y －1)2＝4，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入得(ρcos θ－3)2＋(ρsin θ－1)2＝4， 化简得ρ2－6ρcos θ－2ρsin θ＋6＝0.故曲线C 的极坐标方程为ρ2－6ρcos θ－2ρsin θ＋6＝0.(2)由sin θ－2cos θ＝1ρ，得ρsin θ－2ρcos θ＝1，即2x －y ＋1＝0. 由 (1)知曲线C 的圆心为C (3，1)，半径r ＝2，点C (3，1)到直线2x －y ＋1＝0的距离d ＝|2×3－1＋1|5＝655， 所以曲线C 上的点到直线l 的最大距离为d ＋r ＝655＋2. 23．(10分)[2019·山西太原五中测评][选修4－5：不等式选讲]已知f (x )＝|2x －3|＋ax －6(a ∈R )．(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集；(2)如果函数y ＝f (x )恰有两个不同的零点，求a 的取值范围．解析：(1)当a ＝1时，f (x )＝|2x －3|＋x －6＝⎩⎨⎧3x －9，x ≥32，－x －3，x <32， 则原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥32，3x －9≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x <32，－x －3≥0，解得x ≥3或x ≤－3， 则原不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥3}．(2)由f (x )＝0，得|2x －3|＝－ax ＋6，令y ＝|2x －3|，y ＝－ax ＋6，作出它们的图象，如图所示，可以知道，当－2<a <2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，所以函数y ＝f (x )恰有两个不同的零点时，a 的取值范围是(－2，2)．。