2019-2020年高考数学四海八荒易错集专题04函数的应用

专题04函数的性质年份题号考点考查内容2011课标理(文)3函数单调性与对称性判定简单函数的单调性与奇偶性2014卷1理3(文5)函数奇偶性与对称性函数奇偶性判定卷2理15函数性质的综合应用利用函数奇偶性、对称性解函数不等式卷2文15函数奇偶性与对称性利用函数奇偶性与对称性求值2015卷1理13函数奇偶性与对称性已知函数奇偶性求参数值卷2文12函数性质的综合应用利用函数奇偶性与单调性解函数不等式2016卷2理12函数性质的综合应用函数的对称性及函数的交点问题2017卷1理5函数性质的综合应用利用函数奇偶性与单调性解函数不等式卷2文14函数奇偶性与对称性利用函数奇偶性求值2018卷2理11(文12)函数性质的综合应用函数的奇偶性、对称性、周期性的综合应用2019卷2理14函数奇偶性与对称性函数的奇偶性卷2文6函数奇偶性与对称性函数的奇偶性及函数解析式卷3理11(文12)函数性质的综合应用函数的奇偶性与单调性应用2020卷2文10函数的性质函数的奇偶性与单调性考点13函数的单调性1．(2011新课标)下列函数中，既是偶函数又在+ （0，）单调递增的函数是()A ．3y xB ．1y x C ．21y x D ．2xy 【答案】B 【解析】3y x 为奇函数，21y x 在(0,) 上为减函数，2xy 在(0,) 上为减函数，故选B ．2．(2017北京)已知函数1()3()3x xf x ，则()f x A ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A 【解析】11()3((3())()33xx x x f x f x ，得()f x 为奇函数，()(33)3ln 33ln 30x x x x f x ，所以()f x 在R 上是增函数．选A ．3．(2015湖南)设函数()ln(1)ln(1)f x x x ，则()f x 是A ．奇函数，且在(0,1)上是增函数B ．奇函数，且在(0,1)上是减函数C ．偶函数，且在(0,1)上是增函数D ．偶函数，且在(0,1)上是减函数【答案】A 【解析】由题意可知，函数()f x 的定义域为(1,1) ，且12()lnln(1)11x f x x x，易知211y x在(0,1)上为增函数，故()f x 在(0,1)上为增函数，又()ln(1)ln(1)()f x x x f x ，故()f x 为奇函数．4．(2015北京)下列函数中，定义域是R 且为增函数的是A ．xy eB ．3y xC ．ln y xD ．y x【答案】B 【解析】四个函数的图象如下显然B 成立．5．(2013北京)下列函数中，既是偶函数又在区间(0,) 上单调递减的是A ．1y xB ．xy eC ．21y x D ．lg y x【答案】C 【解析】1y x是奇函数，xy e 是非奇非偶函数，而D 在(0,) 单调递增．选C ．6．(2013湖北)x 为实数，[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数()[]f x x x 在R 上为A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．周期函数【答案】D 【解析】由题意f (1．1)＝1．1－[1．1]＝0．1，f (－1．1)＝－1．－[－1．1]＝－1．1－(－2)＝0．9，故该函数不是奇函数，也不是偶函数，更不是增函数．又对任意整数a ，有f (a ＋x )＝a ＋x －[a ＋x ]＝x －[x ]＝f (x )，故f (x )在R 上为周期函数．故选D ．7．(2012天津)下列函数中，既是偶函数，又在区间(1，2)内是增函数的为A ．cos 2,y x x RB ．2log ||,0y x x R x 且C ．,2x xe e y x RD ．31y x 【答案】B 【解析】函数x y 2log 为偶函数，且当0 x 时，函数x x y 22log log 为增函数，所以在)2,1(上也为增函数，选B ．8．(2012陕西)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为A 1y x B 3y xC 1y xD ||y x x 【答案】D 【解析】A 是增函数，不是奇函数；B 和C 都不是定义域内的增函数，排除，只有D 正确，故选D ．9．(2019北京理13)设函数()exxf x e a (a 为常数)，若()f x 为奇函数，则a =______；若()f x 是R上的增函数，则a 的取值范围是________．【答案】0] （，【解析】①根据题意，函数e ex xf x a （），若f x （）为奇函数，则f x f x （）（），即=ee e e xx x x a a （），所以 +1e e 0x x a 对x R 恒成立．又e e 0x x ，所以10,1a a ．②函数e e x x f x a （），导数e e x x f x a （）．若 f x 是R 上的增函数，则f x 的导数e 0e x x f x a （）在R 上恒成立，即2e x a 恒成立，而2e >0x，所以a ≤0，即a 的取值范围为0] （，．10.(2018北京)能说明“若()(0)f x f 对任意的(0,2]x 都成立，则()f x 在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是__________．【答案】sin y x (不答案不唯一)【解析】这是一道开放性试题，答案不唯一，只要满足()(0)f x f 对任意的(0,2]x 都成立，且函数()f x 在[0,2]上不是增函数即可，如，()sin f x x ，答案不唯一．11．(2017山东)若函数e ()xf x (e=2．71828 ，是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质，下列函数中具有M 性质的是①()2xf x ②()3xf x ③3() f x x④2()2f x x 【答案】①④【解析】①()2()2xxxx ee f x e 在R 上单调递增，故()2x f x 具有 性质；②()3(3x x x x e e f x e 在R 上单调递减，故()3xf x 不具有 性质；③3()xxe f x e x ，令3()xg x e x ，则322()3(2)xxxg x e x e x x e x ，当2x 时， 0g x ，当2x 时， 0g x ，3()x x e f x e x 在 ,2 上单调递减，在 2, 上单调递增，故 3f x x 不具有 性质；④2()(2)xxe f x e x ，令22x g x e x ，则22()(2)2[(1)1]0xxxg x e x e x e x ，2()(2)x x e f x e x 在R 上单调递增，故2()2f x x 具有 性质．12．(2012安徽)若函数()|2|f x x a 的单调递增区间是),3[ ，则a =________．【答案】6 【解析】由22()22a x a x f x ax a x可知()f x 的单调递增区间为[,)2a ，故362aa．考点14函数的奇偶性1．(2020全国Ⅱ文10)设函数 331f x x x，则 f x ()A ．是奇函数，且在 0, 单调递增B ．是奇函数，且在 0, 单调递减C ．是偶函数，且在 0, 单调递增D ．是偶函数，且在 0, 单调递减【答案】A 【解析】∵函数 331f x x x定义域为 0x x ，其关于原点对称，而 f x f x ，∴函数 f x 为奇函数．又∵函数3y x 在()0,+¥上单调递增，在(),0-¥上单调递增，而331y x x在()0,+¥上单调递减，在(),0-¥上单调递减，∴函数 331f x x x在()0,+¥上单调递增，在(),0-¥上单调递增．故选A ．2．(2020山东8)若定义在R 上的奇函数()f x 在(,0) 单调递减，且(2)0f ，则满足(1)0xf x 的x 的取值范围是()A ． 1,13,B ．3,10,1 C ．1,01, D ．1,01,3 【答案】D【思路导引】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果．【解析】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0) 上单调递减，且(2)0f ，所以()f x 在(0,) 上也是单调递减，且(2)0f ，(0)0f ，所以当(,2)(0,2)x 时，()0f x ，当(2,0)(2,)x 时，()0f x ，所以由(10)xf x 可得：021012x x x或或001212x x x 或或0x 解得10x 或13x ，所以满足(10)xf x 的x 的取值范围是 1,01,3 ，故选D ．3．(2019全国Ⅱ理14)已知()f x 是奇函数，且当0x 时，()e ax f x ．若(ln 2)8f ，则a __________．【答案】3a 【解析】解析：ln 2(ln 2)e (ln 2)8a f f ，得28a ，3a ．4．(2019全国Ⅱ文6)设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x，则当x <0时，f (x )=A ．e1xB ．e1xC ．e1xD ．e1x【答案】D 【解析】设，则，所以f (-x )=e1x，因为设为奇函数，所以()e1xf x ，即()e1xf x ，故选D ．5．(2017新课标Ⅱ)已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x 时，32()2f x x x ，则(2)f =．【答案】12【解析】∵()f x 是奇函数，所以32(2)(2)[2(2)(2)]12f f ．6．(2015新课标Ⅰ)若函数()ln(f x x x 为偶函数，则a =【答案】1【解析】由题意()ln(()) f x x x f x x x ，所以x ，解得1a =．7．(2014新课标1)设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是A ．()f x ()g x 是偶函数B ．()f x |()g x |是奇函数C ．|()f x |()g x 是奇函数D ．|()f x ()g x |是奇函数【答案】B 【解析】()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，故()f x ()g x 为奇函数，()f x |()g x |为奇函数，|()f x |()g x 为偶函数，|()f x ()g x |为偶函数，故选B ．8．(2014新课标2)偶函数()f x 的图像关于直线2x 对称，(3)3f ，则(1)f =__．【答案】3【解析】∵函数()f x 的图像关于直线2x 对称，所以()(4)f x f x ，()(4)f x f x ，又()()f x f x ，所以()(4)f x f x ，则(1)(41)(3)3f f f ．9．(2015福建)下列函数为奇函数的是A ．y xB ．sin y xC ．cos y xD ．x xy e e【答案】D 【解析】∵函数y x 的定义域为[0,) ，不关于原点对称，所以函数y x 为非奇非偶函数，排除A ；因为|sin |y x 为偶函数，所以排除B ；因为cos y x 为偶函数，所以排除C ；因为()x x y f x e e ，()()()x x x x f x e e e e f x ，所以()x x y f x e e 为奇函数．10．(2015广东)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A ．21y xB ．1y x xC ．122xxyD ．xy x e【答案】D 【解析】选项A 、C 为偶函数，选项B 中的函数是奇函数；选项D 中的函数为非奇非偶函数．11．(2014山东)对于函数()f x ，若存在常数0a ，使得x 取定义域内的每一个值，都有()(2)f x f a x ，则称()f x 为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是A ．()f x xB ．2()f x xC ．()tan f x xD ．()cos(1)f x x 【答案】D 【解析】由()(2)f x f a x 可知，准偶函数的图象关于y 轴对称，排除A ，C ，而B 的对称轴为y 轴，所以不符合题意；故选D ．12．(2014湖南)已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()f x f x =321x x ，(1)(1)fg 则＝A ．－3B ．－1C ．1D ．3【答案】C 【解析】用x 换x ，得32()()()()1f x g x x x ，化简得32()()1f x g x x x ，令1x ，得(1)(1)1f g ，故选C ．13．(2014重庆)下列函数为偶函数的是A ．()1f x xB ．3()f x x x C ．()22xxf x D ．()22xxf x 【答案】D 【解析】函数()1f x x 和2()f x x x 既不是偶函数也不是奇函数，排除选项A 和选项B ；选项C 中()22xxf x ，则()22(22)()xx x x f x f x ，所以()f x =22x x 为奇函数，排除选项C ；选项D 中()22xxf x ，则()22()xx f x f x ，所以()22x x f x 为偶函数，选D ．14．(2013辽宁)已知函数2()193)1f x x x ，则1(lg 2)(lg )2f fA ．1B ．0C ．1D ．2【答案】D 【解析】11lg 2lglg(2)lg1022，22()()ln(193)1ln[19()3()]1f x f x x x x x3)3)2x x ln 33)2x x2ln (3)2xln122 ．15．(2013广东)定义域为R 的四个函数3y x ，2x y ，21y x ，2sin y x 中，奇函数的个数是A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C 【解析】是奇函数的为3y x 与2sin y x ，故选C ．16．(2013山东)已知函数 f x 为奇函数，且当0x 时， 21f x x x，则 1f =A ．－2B ．0C ．1D ．2【答案】A 【解析】 112f f ．17．(2013湖南)已知 f x 是奇函数， g x 是偶函数，且 112f g ，114f g ，则 1g 等于A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B 【解析】由已知两式相加得， 13g ．18．(2013重庆)已知函数3()sin 4(,)f x ax b x a b R ，2(lg(log 10))5f ，则(lg(lg 2))fA ．5B ．1C ．3D ．4【答案】C 【解析】因为21(lg(log 10))(lg())(lg(lg 2))5lg 2f f f ，又因为()()8f x f x ，所以(lg(lg 2))(lg(lg 2))5(lg(lg 2))8f f f ，所以(lg(lg 2))f 3，故选C ．19．(2011辽宁)若函数))(12()(a x x xx f为奇函数，则a =(A)21(B)32(C)43(D)1【答案】A 【解析】∵))(12()(a x x xx f为奇函数，∴(1)(1)0f f ，得12a ．20．(2011安徽)设)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0x ≤时，2()2f x x x ，则(1)f =A ．－3B ．－1C ．1D ．3【答案】A 【解析】因为)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0x时，2()2f x x x ，∴2(1)(1)2(1)(1)3f f ，选A ．21．(2014湖南)若ax e x f x1ln 3是偶函数，则 a ____________．【答案】32【解析】函数3()ln(1)xf x e ax 为偶函数，故()()f x f x ，即33ln(1)ln(1)xxeax e ax ，化简得32361ln 2ln x axx x e ax e e e ，即32361x ax x x e e e e，整理得32331(1)x ax x x e e e ，所以230ax x ，即32a ．考点15函数的周期性1．(2018全国卷Ⅱ)已知()f x 是定义域为(,) 的奇函数，满足(1)(1) f x f x ．若(1)2 f ，则(1)(2)(3)(50) …f f f f A ．50B ．0C ．2D ．50【答案】C 【解析】∵()f x 是定义域为(,) 的奇函数，()() f x f x ．且(0)0 f ．∵(1)(1) f x f x ，∴()(2) f x f x ，()(2) f x f x ，∴(2)() f x f x ，∴(4)(2)() f x f x f x ，∴()f x 是周期函数，且一个周期为4，∴(4)(0)0 f f ，(2)(11)(11)(0)0f f f f ，(3)(12)f f =(12)(1)2f f ，∴(1)(2)(3)(50)120(49)(50)(1)(2)2 f f f f f f f f ，故选C ．2．(2016山东)已知函数f (x )的定义域为R ．当x <0时，3()1f x x ；当11x 时，()()f x f x ；当12x 时，11()(22f x f x ，则f (6)=A ．−2B ．−1C ．0D ．2【答案】D 【解析】当11x时，()f x 为奇函数，且当12x时，(1)()f x f x ，所以(6)(511)(1)f f f ．而3(1)(1)[(1)1]2f f ，所以(6)2f ，故选D ．3．(2011陕西)设函数()()f x x R 满足()(),(2)(),f x f x f x f x ，则()y f x 的图像可能是【答案】B 【解】由()()f x f x 得()y f x 是偶函数，所以函数()y f x 的图象关于y 轴对称，可知B ，D 符合；由(2)()f x f x 得()y f x 是周期为2的周期函数，选项D 的图像的最小正周期是4，不符合，选项B 的图像的最小正周期是2，符合，故选B ．4．(2018江苏)函数()f x 满足(4)()()f x f x x R ，且在区间(2,2] 上，cos ,02,2()1||,20,2x x f x x x≤-≤则((15))f f 的值为．()f x 满足(4)()f x f x (x R )，所以函数()f x 的最小正周期是4．因为在区间(2,2] 上，cos ,02,2()1||,20,2x x f x x x ≤-≤，所以1((15))((1))()cos 242f f f f f ．5．(2016江苏)设 f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间 1,1 上， ,10,2,01,5x a x f x x x≤≤其中a R ，若59()(22f f ，则 5f a 的值是．【答案】25 【解析】由题意得511(()222f f a ，91211()(225210f f ，由59()()22f f 可得11210a ，则35a ，则 325311155f a f f a ．6．(2014四川)设()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，当[1,1)x 时，242,10,(),01,x x f x x x ，则3()2f．【答案】1【解析】2311()()4()21222f f ．7．(2012浙江)设函数()f x 是定义在R 上的周期为2的偶函数，当[0,1]x 时，()1f x x ，则3()2f =_______________．【答案】32【解析】331113((2)()()1222222f f f f ．考点16函数性质的综合应用1．(2019全国Ⅲ理11)设 f x 是定义域为R 的偶函数，且在0, 单调递减，则A ．f (log 314)＞f (322 )＞f (232 )B ．f (log 314)＞f (232 )＞f (322 )C ．f (322 )＞f (232)＞f (log 314)D ．f (232)＞f (322)＞f (log 314)【答案】C 【解析】 f x 是定义域为R 的偶函数，所以331(log (log 4)4f f ，因为33log 4log 31 ，2303202221，所以23323022log 4，又 f x 在(0,) 上单调递减，所以233231(2)(2)(log )4f f f．故选C ．2．(2014福建)已知函数 0,cos 0,12x x x x x f 则下列结论正确的是A ． x f 是偶函数B ． x f 是增函数C ． x f 是周期函数D ． x f 的值域为,1【答案】D 【解析】2()1,()1f f ，所以函数 x f 不是偶函数，排除A ；因为函数 x f 在(2,) 上单调递减，排除B ；函数 x f 在(0,) 上单调递增，所以函数()f x 不是周期函数，选D3．(2017新课标Ⅰ)函数()f x 在(,) 单调递减，且为奇函数．若(1)1f ，则满足1(2)1f x ≤≤的x 的取值范围是A ．B．C．D ．【答案】D 【解析】由函数()f x 为奇函数，得(1)(1)1f f ，不等式1(2)1f x ≤≤即为(1)(2)(1)f f x f ≤≤，又()f x 在(,) 单调递减，所以得121x ≥≥，即13x ≤≤，选D ．4．(2016全国II)已知函数 f x x R 满足 2f x f x ，若函数1x y x与 y f x 图像的交点为 11x y ，， 22x y ，，…， m m x y ，，则 1mi i i x yA ．0B ．mC ．2mD ．4m【答案】B 【解析】由 2f x f x 得()()2f x f x ，可知 f x 关于 01，对称，而111x y x x也关于 01，对称，∴对于每一组对称点0i i x x =2i i y y ，∴111022m m m i i i i i i i m x y x y m，故选B ．5(2915新课标2，文12)设函数21()ln(1||)1f x x x，则使得()(21)f x f x 成立的x 的取值范围是()A ．1,13B ． 1,1,3C ．11,33D ．11,,33【答案】A 【解析】由21()ln(1||)1f x x x 可知 f x 是偶函数，且在 0, 是增函数，所以 121212113f x f x f x f x x x x．故选A ．6．(2014卷2，理15)已知偶函数 f x 在 0, 单调递减， 20f ．若 10f x ，则x 的取值范围是__________．【答案】(-1，3)．【解析】∵()f x 是偶函数，∴(1)0(1)0(2)f x f x f ，又∵()f x 在[0,) 单调递减，∴12x ，解之：13x 7．(2017天津)已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x ．若2(log 5.1)a g ，0.8(2)b g ，(3)c g ，则a ，b ，c 的大小关系为A ．a b cB ．c b aC ．b a cD ．b c a【答案】C 【解析】由题意()g x 为偶函数，且在(0,) 上单调递增，所以22(log 5.1)(log 5.1)a g g ，又2222log 4log 5.1log 83 ，0.8122 ，所以0.822log 5.13 ，故b a c ，选C ．8．(2014辽宁)已知()f x 为偶函数，当0x 时，1cos ,[0,]2()121,(,)2x x f x x x ，则不等式1(1)2f x 的解集为A ．1247[,][,]4334 B ．3112[,][,]4343C ．1347[,][,]3434 D ．3113[,][,]4334 【答案】A 【解析】当102x ≤≤时，令1()cos 2f x x ≤，解得1132x ≤≤，当12x 时，令1()212f x x ≤，解得1324x ≤，故1334x ≤≤．∵()f x 为偶函数，∴1()2f x ≤的解集为3113[,][,]4334 ，故1(1)2f x 的解集为1247[,[,]43349．(2016天津)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(,0) 上单调递增．若实数a 满足1(2)(a f f ，则a 的取值范围是______．【答案】13(,22【解析】由 f x 是偶函数可知， 0 ，单调递增； 0 ，单调递减，又 12a f f ， f f，可得，12a 即112a 1322a ．10．(2017江苏)已知函数31()2x x f x x x e e，其中e 是自然数对数的底数，若2(1)(2)0f a f a ≤，则实数a 的取值范围是．【答案】1[1,2【解析】因为31()2e ()e x x f x x f x x ，所以函数()f x 是奇函数，因为22()32e e 320x x f 'x x x ，所以数()f x 在R 上单调递增，又21)02()(f f a a ，即2())2(1a a f f ，所以221a a ，即2120a a ，解得112a ，故实数a 的取值范围为1[1,2 ．。

2019-2020年高考数学四海八荒易错集专题01集合与常用逻辑用语理1.【xx 高考新课标1理数】设集合 ,,则 （ ） （A ） （B ） （C ） （D ） 【答案】D【解析】因为23{|430}={|13},={|},2A x x x x xB x x =+<<<>-所以33={|13}{|}={|3},22A B x x x x x x <<><<I I 故选D.2.【xx 高考新课标3理数】设集合{}{}|(2)(3)0,|0S x x x T x x =--≥=> ，则（ ） (A) [2，3] (B)（- ，2] [3,+） (C) [3,+ ） (D)（0，2] [3,+） 【答案】D【解析】由解得或，所以，所以{|023}S T x x x =<≤≥I 或，故选D ． 3.【xx 年高考四川理数】设集合，Z 为整数集，则中元素的个数是（ ） （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】C【解析】由题意，，故其中的元素个数为5，选C.4.【xx 高考山东理数】设集合2{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=-<R 则=（ ） （A ）（B ）（C ）（D ）【答案】C【解析】，，则，选C.5.【xx 高考新课标2理数】已知集合，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则（ ）（A ） （B ）（C ） （D ）【答案】C【解析】集合{|12,}{0,1}B x x x =-<<∈=Z ，而，所以，故选C. 6.【xx 年高考北京理数】已知集合，，则（ ） A.B. C. D. 【答案】C【解析】由，得，故选C.7.【xx 高考浙江理数】已知集合{}{}213,4,P x x Q x x =∈≤≤=∈≥R R 则（ ） A ．[2,3] B ．( -2,3 ] C ．[1,2) D ． 【答案】B【解析】根据补集的运算得．故选B ．8. 【xx 高考浙江理数】命题“，使得”的否定形式是（ ） A ．，使得 B ．，使得 C ．，使得 D ．，使得 【答案】D【解析】的否定是，的否定是，的否定是．故选D ．9.【xx 高考山东理数】已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】直线a 与直线b 相交,则一定相交,若相交,则a,b 可能相交，也可能平行,故选A.10.【xx 高考天津理数】设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n −1+a 2n <0”的（ ）（A ）充要条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】由题意得，22212(1)21210()0(1)0(,1)n n n n n a a a qq q q q ----+<⇔+<⇔+<⇔∈-∞-，故是必要不充分条件，故选C.易错起源1、集合的关系及运算 例1、(1)已知集合A ＝{x |x －1x ＋2<0}，B ＝{y |y ＝sin n π2，n ∈Z }，则A ∩B 等于( ) A ．{x |－1<x <1}B ．{－1,0,1}C ．{－1,0}D ．{0,1}(2)若X 是一个集合，τ是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：①X 属于τ，空集∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ.则称τ是集合X 上的一个拓扑．已知集合X ＝{a ，b ，c }，对于下面给出的四个集合τ：①τ＝{∅，{a }，{c }，{a ，b ，c }}； ②τ＝{∅，{b }，{c }，{b ，c }，{a ，b ，c }}； ③τ＝{∅，{a }，{a ，b }，{a ，c }}；④τ＝{∅，{a ，c }，{b ，c }，{c }，{a ，b ，c }}．其中是集合X 上的一个拓扑的集合τ的所有序号是__________． 答案 (1)C (2)②④【变式探究】(1)已知集合A ＝{y |y ＝sin x ，x ∈R }，集合B ＝{x |y ＝lg x }，则(∁R A )∩B 为( ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．[－1,1] C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)(2)设集合M ＝{x |m ≤x ≤m ＋34}，N ＝{x |n －13≤x ≤n }，且M ，N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集，如果把b－a 叫做集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是( )A.13 B.23 C.112D.512答案 (1)C (2)C解析 (1)因为A ＝{y |y ＝sin x ，x ∈R }＝[－1,1]，B ＝{x |y ＝lg x }＝(0，＋∞)．所以(∁R A )∩B ＝(1，＋∞)． 故答案为C.(2)由已知，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ＋34≤1，即0≤m ≤14，⎩⎪⎨⎪⎧n －13≥0，n ≤1，即13≤n ≤1，取m 的最小值0，n 的最大值1，可得M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1. 所以M ∩N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34∩⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，34. 此时集合M ∩N 的“长度”的最小值为34－23＝112.故选C. 【名师点睛】(1)关于集合的关系及运算问题，要先对集合进行化简，然后再借助Venn 图或数轴求解．(2)对集合的新定义问题，要紧扣新定义集合的性质探究集合中元素的特征，将问题转化为熟悉的知识进行求解，也可利用特殊值法进行验证． 【锦囊妙计，战胜自我】 1．集合的运算性质及重要结论 (1)A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ∪B ＝B ∪A . (2)A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ＝B ∩A . (3)A ∩(∁U A )＝∅，A ∪(∁U A )＝U . (4)A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B ＝A ⇔B ⊆A . 2．集合运算中的常用方法(1)若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解； (2)若已知的集合是点集，用数形结合法求解； (3)若已知的集合是抽象集合，用Venn 图求解． 易错起源2、四种命题与充要条件 例2 (1)下列命题：①已知m ，n 表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，并且m ⊥α，n ⊂β，则“α⊥β”是“m ∥n ”的必要不充分条件；②不存在x ∈(0,1)，使不等式log 2x <log 3x 成立；③“若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题为真命题．其中正确的命题序号是________．(2)已知ξ服从正态分布N (1，σ2)，a ∈R ，则“P (ξ>a )＝0.5”是“关于x 的二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋1x 23的展开式的常数项为3”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分又不必要条件 D ．充要条件 答案 (1)① (2)A【变式探究】(1)下列四个结论中正确的个数是( ) ①“x 2＋x －2>0”是“x >1”的充分不必要条件；②命题：“∀x ∈R，sin x ≤1”的否定是“∃x 0∈R，sin x 0>1”； ③“若x ＝π4，则tan x ＝1”的逆命题为真命题；④若f (x )是R 上的奇函数，则f (log 32)＋f (log 23)＝0. A ．1B ．2C ．3D ．4 (2)已知“x >k ”是“3x ＋1<1”的充分不必要条件，则k 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．(2，＋∞) D ．(－∞，－1]答案 (1)A (2)A解析 (1)对于①，x 2＋x －2>0⇔x >1或x <－2，故“x 2＋x －2>0”是“x >1”的必要不充分条件，所以①错误；对于③，“若x ＝π4，则tan x ＝1”的逆命题为“若tan x ＝1，则x ＝π4”，∵tan x ＝1推出的是x ＝π4＋k π，k ∈Z.所以③错误．对于④，log 32≠－log 23，所以④错误．②正确．故选A.(2)由3x ＋1<1，可得3x ＋1－1＝－x ＋2x ＋1<0， 所以x <－1或x >2，因为“x >k ”是“3x ＋1<1”的充分不必要条件，所以k ≥2. 【名师点睛】充分条件与必要条件的三种判定方法(1)定义法：正、反方向推理，若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件(或q 是p 的必要条件)；若p ⇒q ，且q ⇏p ，则p 是q 的充分不必要条件(或q 是p 的必要不充分条件)．(2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件(B 是A 的必要条件)；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题． 【锦囊妙计，战胜自我】1．四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假．2．若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；若p ⇔q ，则p ，q 互为充要条件． 易错起源3、逻辑联结词、量词例3、(1)已知命题p ：在△ABC 中，“C >B ”是“sin C >sin B ”的充分不必要条件；命题q ：“a >b ”是“ac 2>bc 2”的充分不必要条件，则下列选项中正确的是( ) A ．p 真q 假 B ．p 假q 真 C ．“p ∧q ”为假D ．“p ∧q ”为真(2)已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”．若命题“(綈p )∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤－2或a ＝1B ．a ≤－2或1≤a ≤2C ．a >1D ．－2≤a ≤1答案 (1)C (2)C解析 (1)△ABC 中，C >B ⇔c >b ⇔2R sin C >2R sin B (R 为△ABC 外接圆半径)，所以C >B ⇔sin C >sin B . 故“C >B ”是“sin C >sin B ”的充要条件，命题p 是假命题．若c ＝0，当a >b 时，则ac 2＝0＝bc 2，故a >b ⇏ac 2>bc 2，若ac 2>bc 2，则必有c ≠0，则c 2>0，则有a >b ，所以ac 2>bc 2⇒a >b ，故“a >b ”是“ac 2>bc 2”的必要不充分条件，故命题q 也是假命题，故选C.(2)命题p 为真时a ≤1；“∃x 0∈R，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”为真，即方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，故Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，解得a ≥1或a ≤－2.(綈p )∧q 为真命题，即(綈p )真且q 真，即a >1.【变式探究】(1)已知命题p ：∃x 0∈R ，使sin x 0＝52；命题q ：∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，x >sin x ，则下列判断正确的是( ) A ．p 为真 B ．綈q 为假 C ．p ∧q 为真D ．p ∨q 为假(2)若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，m ≤tan x ＋1”为真命题，则实数m 的最大值为________．答案 (1)B (2)0【名师点睛】(1)命题的否定和否命题是两个不同的概念：命题的否定只否定命题的结论，真假与原命题相对立； (2)判断命题的真假要先明确命题的构成．由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以考虑从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算． 【锦囊妙计，战胜自我】1．命题p ∨q ，只要p ，q 有一真，即为真；命题p ∧q ，只有p ，q 均为真，才为真；綈p 和p 为真假对立的命题．2．命题p ∨q 的否定是(綈p )∧(綈q )；命题p ∧q 的否定是(綈p )∨(綈q )．3．“∀x ∈M ，p (x )”的否定为“∃x 0∈M ，綈p (x 0)”；“∃x 0∈M ，p (x 0)”的否定为“∀x ∈M ，綈p (x )”．1．已知集合A ＝{x |x ＋1>0}，B ＝{－2，－1,0,1}，则(∁R A )∩B 等于( )A ．{－2，－1}B ．{－2}C ．{－1,0,1}D ．{0,1}答案 A解析 A ＝{x |x >－1}，所以∁R A ＝{x |x ≤－1}， 所以有(∁R A )∩B ＝{－2，－1}，故选A.2．已知集合M ＝{x |log 2x <3}，N ＝{x |x ＝2n ＋1，n ∈N }，则M ∩N 等于( ) A ．(0,8) B ．{3,5,7} C ．{0,1,3,5,7} D ．{1,3,5,7}答案 D解析 由M 中不等式变形得：log 2x <3＝log 28， 即0<x <8，∴M ＝{x |0<x <8}， ∵N ＝{x |x ＝2n ＋1，n ∈N }， ∴M ∩N ＝{1,3,5,7}，故选D.3．已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{5,6,7}，C ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x ＋y ∈B }，则C 中所含元素的个数为( )A ．5B ．6C ．12D ．13 答案 D4．已知集合M ＝{x |y ＝lg 1－x x}，N ＝{y |y ＝x 2＋2x ＋3}，则(∁R M )∩N 等于( )A ．{x |0<x <1}B ．{x |x >1}C ．{x |x ≥2}D ．{x |1<x <2}答案 C解析 由1－x x>0得0<x <1，故M ＝{x |0<x <1}，∁R M ＝{x |x ≤0或x ≥1}，y ＝(x ＋1)2＋2≥2， 故N ＝{y |y ≥2}，则(∁R M )∩N ＝{x |x ≥2}．5．设命题甲：ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ；命题乙：0<a <1，则命题甲是命题乙成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既非充分又非必要条件 答案 C解析 由命题甲ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ，可知a ＝0时，原式＝1>0恒成立， 当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝2a2－4a <0，解得0<a <1，所以0≤a <1，所以由甲不能推出乙，而由乙可推出甲，因此命题甲是命题乙成立的必要不充分条件，故选C. 6．设命题p ：函数y ＝sin2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是( )A ．p 为真B ．綈q 为假C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真答案 C解析 p 是假命题，q 是假命题，因此只有C 正确． 7．已知命题p ：2xx －1<1，命题q ：(x ＋a )(x －3)>0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )A ．(－3，－1]B ．[－3，－1]C ．(－∞，－1]D ．(－∞，－3] 答案 C 解析 由p ：2x x －1<1，得x ＋1x －1<0，－1<x <1，而p 是q 的充分不必要条件，即p ⇒q ，q ⇏p ，所以－a ≥1，a ≤－1.故选C.8．①命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”； ②“x ＝1”是“x 2－4x ＋3＝0”的充要条件； ③若p ∧q 为假命题，则p 、q 均为假命题；④对于命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0. 上面四个命题中正确的是( ) A ．①②B ．②③C．①④D．③④答案 C9．下列说法中，不正确的是( )A．已知a，b，m∈R，命题“若am2<bm2，则a<b”为真命题B．命题“∃x0∈R，x20＋x0－2>0”的否定是：“∀x∈R，x2＋x－2≤0”C．命题“p或q”为真命题，则命题p和命题q均为真命题D．“x>3”是“x>2”的充分不必要条件答案 C解析A正确，因为此时m2>0；B正确，特称命题的否定就是全称命题；C不正确，因为命题“p或q”为真命题，那么p，q有一个真，p或q就是真命题；D项，小集合是大集合的充分不必要条件．故选C.10．已知p：∃x0∈R，mx20＋2≤0，q：∀x∈R，x2－2mx＋1>0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是( )A．[1，＋∞) B．(－∞，－1]C．(－∞，－2] D．[－1,1]答案 A解析∵p∨q为假命题，∴p和q都是假命题．由p：∃x0∈R，mx20＋2≤0为假命题，得綈p：∀x∈R，mx2＋2>0为真命题，∴m≥0.①由q：∀x∈R，x2－2mx＋1>0为假命题，得綈q：∃x0∈R，x20－2mx0＋1≤0为真命题，∴Δ＝(－2m)2－4≥0⇒m2≥1⇒m≤－1或m≥1.②由①和②得m≥1.故选A.11．下列选项错误的是( )A．命题“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”的逆否命题是“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”B．“x>2”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件C ．若“命题p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≠0”，则“綈p ：∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1＝0”D ．若“p ∨q ”为真命题，则p ，q 均为真命题答案 D解析 对于若“p ∨q ”为真命题，则p 、q 中至少有一个为真命题，∴D 选项错误．故选D.12．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |ax －5x 2－a <0，若3∈M,5∉M ，则实数a 的取值范围是____________． 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，53∪(9,25] 解析 ∵集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |ax －5x 2－a <0， 得(ax －5)(x 2－a )<0，当a ＝0时，显然不成立，当a >0时，原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5a ()x －a (x ＋a )<0， 若a <5a ，只需满足⎩⎪⎨⎪⎧ a <3<5a ，a ≥1，解得1≤a <53； 若a >5a ，只需满足⎩⎪⎨⎪⎧ 5a <3<a ，a ≤5，解得9<a ≤25，当a <0时，不符合条件， 综上，答案为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，53∪(9,25]． 13．已知集合M 为点集，记性质P 为“对∀(x ，y )∈M ，k ∈(0,1)，均有(kx ，ky )∈M ”．给出下列集合：①{(x ，y )|x 2≥y }，②{(x ，y )|2x 2＋y 2<1}，③{(x ，y )|x 2＋y 2＋x ＋2y ＝0}，④{(x ，y )|x 3＋y 3－x 2y ＝0}，其中具有性质P 的点集序号是________．答案 ②④解析 对于①：取k ＝12，点(1,1)∈{(x ，y )|x 2≥y }，但(12，12)∉{(x ，y )|x 2≥y }，故①是不具有性质P 的点集．对于②：∀(x ，y )∈{(x ，y )|2x 2＋y 2<1}，则点(x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1内部，所以对0<k <1，点(kx ，ky )也在椭圆2x 2＋y 2＝1的内部，即(kx ，ky )∈{(x ，y )|2x 2＋y 2<1}，故②是具有性质P 的点集．对于③：(x ＋12)2＋(y ＋1)2＝54，点(12，－12)在此圆上，但点(14，－14)不在此圆上，故③是不具有性质P 的点集．对于④：∀(x ，y )∈{(x ，y )|x 3＋y 3－x 2y ＝0}，对于k ∈(0,1)，因为(kx )3＋(ky )3－(kx )2·(ky )＝0⇒x 3＋y 3－x 2y ＝0，所以(kx ，ky )∈{(x ，y )|x 3＋y 3－x 2y ＝0}， 故④是具有性质P 的点集．综上，具有性质P 的点集是②④.。

1 2020年高考专题讲解——专题4.函数 一、函数之单调性与奇偶性 （一）知识点总结： 考法1.单调性： 1.函数单调性的判断 （1）单调性的四则运算 （2）复合函数的单调性 首先确定函数f[g(x)]的定义域，分解成简单函数，f(x)与g(x)； 根据所求单调性的单调区间以及外层函数f(x)的单调性，确定需求的是内层函数g(x)的増区间还是减区间，将问题转化成求简单函数g(x)的单调区间，继续求解.方法口诀为“同増异减”. 特别注意，求出g(x)的单调区间后，一定与复合函数的定义域取交集. （3）图像法：根据常见的函数的图象走势判断函数的单调性. （4）导数法：导数法是高考中比较常用的用于求解函数单调性的方法，具体操作步骤会在后续讲中体现. （5）定义法. 2.利用单调性解不等式 若f(x)在某区间上是增函数,则f(x1)< f(x2) x1< x2. 在解决与抽象函数有关的不等式的问题时,可利用上式脱去f，化为一般的不等式求解，但要保证 x1与x2都在同一个单调区间内. 3. 单调性的应用 单调性的应用主要有以下几个方面 (1) 由单调性求参数的值或者范围. (2) 由单调性比较函数值的大小. (3) 由单调性解函数不等式. (4) 由单调性求函数的最值. 考法2.奇偶性 1.函数奇偶性的判断 ⑴定义判断 ①判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称； ②判断f(-x)与f(x)相等还是相反. ⑵运算性质 在奇函数、偶函数的公共定义域上： 奇函数奇函数=奇函数，偶函数偶函数=偶函数, 奇函数×奇函数=偶函数，偶函数×偶函数=偶函数. 奇函数×偶函数=奇函数，|奇函数|=偶函数. 2.函数奇偶性的应用 ⑴求函数值 利用奇函数的定义式f(-x)=- f(x)或偶函数的定义式f(-x)=f(x)建立f(-x)与f(x)的关系，将所求的f(t)转化为可求值的f(- t)上,达到求值的目的. (2)求参数值 在定义域关于0对称的前提下，根据奇函数、偶函数的定义式列式求参数值，或者运用特殊值f(1)、，f(-1)、f(0)等求参数. ⑶解不等式 结合函数的单调性和奇偶性，把函数不等式中的自变量转化到同一个单调区间上，根据单调性脱去f解不等式. （二）例题讲解：

2020届高考数学压轴必刷题专题04三角函数与解三角形(文理合卷)1．【2019年天津理科07】已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）是奇函数，将y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g（x）．若g（x）的最小正周期为2π，且g（），则f（）＝（）A．﹣2 B．C．D．2【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴φ＝0，则f（x）＝A sin（ωx）将y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g（x）．即g（x）＝A sin（ωx）∵g（x）的最小正周期为2π，∴2π，得ω＝2，则g（x）＝A sin x，f（x）＝A sin2x，若g（），则g（）＝A sin A，即A＝2，则f（x）＝2sin2x，则f（）＝2sin（22sin2，故选：C．2．【2019年新课标3理科12】设函数f（x）＝sin（ωx）（ω＞0），已知f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点．下述四个结论：①f（x）在（0，2π）有且仅有3个极大值点②f（x）在（0，2π）有且仅有2个极小值点③f（x）在（0，）单调递增④ω的取值范围是[，）其中所有正确结论的编号是（）A．①④B．②③C．①②③D．①③④【解答】解：当x∈[0，2π]时，∈[，]，∵f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点，∴，∴，故④正确，因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，下面判断③是否正确，当x∈（0，）时，∈[，]，若f（x）在（0，）单调递增，则，即ω＜3，∵，故③正确．故选：D．3．【2019年新课标1理科11】关于函数f（x）＝sin|x|+|sin x|有下述四个结论：①f（x）是偶函数②f（x）在区间（，π）单调递增③f（x）在[﹣π，π]有4个零点④f（x）的最大值为2其中所有正确结论的编号是（）A．①②④B．②④C．①④D．①③【解答】解：f（﹣x）＝sin|﹣x|+|sin（﹣x）|＝sin|x|+|sin x|＝f（x）则函数f（x）是偶函数，故①正确，当x∈（，π）时，sin|x|＝sin x，|sin x|＝sin x，则f（x）＝sin x+sin x＝2sin x为减函数，故②错误，当0≤x≤π时，f（x）＝sin|x|+|sin x|＝sin x+sin x＝2sin x，由f（x）＝0得2sin x＝0得x＝0或x＝π，由f（x）是偶函数，得在[﹣π，）上还有一个零点x＝﹣π，即函数f（x）在[﹣π，π]有3个零点，故③错误，当sin|x|＝1，|sin x|＝1时，f（x）取得最大值2，故④正确，故正确是①④，故选：C．4．【2018年北京理科07】在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线x﹣my﹣2＝0的距离．当θ、m变化时，d的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由题意d，tanα，∴当sin（θ+α）＝﹣1时，d max＝13．∴d的最大值为3．故选：C．5．【2017年天津理科07】设函数f（x）＝2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f（）＝2，f（）＝0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A．ω，φB．ω，φC．ω，φD．ω，φ【解答】解：由f（x）的最小正周期大于2π，得，又f（）＝2，f（）＝0，得，∴T＝3π，则，即．∴f（x）＝2sin（ωx+φ）＝2sin（x+φ），由f（），得sin（φ）＝1．∴φ，k∈Z．取k＝0，得φπ．∴，φ．故选：A．6．【2016年新课标1理科12】已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|），x为f（x）的零点，x 为y＝f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5【解答】解：∵x为f（x）的零点，x为y＝f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω＝2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则，即T，解得：ω≤12，当ω＝11时，φ＝kπ，k∈Z，∵|φ|，∴φ，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω＝9时，φ＝kπ，k∈Z，∵|φ|，∴φ，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B．7．【2013年新课标2理科12】已知点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直线y＝ax+b（a＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（）A．（0，1）B．C．D．【解答】解：解法一：由题意可得，三角形ABC的面积为1，由于直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（，0），由直线y＝ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，可得b＞0，故0，故点M在射线OA上．设直线y＝ax+b和BC的交点为N，则由可得点N的坐标为（，）．①若点M和点A重合，则点N为线段BC的中点，故N（，），把A、N两点的坐标代入直线y＝ax+b，求得a＝b．②若点M在点O和点A之间，此时b，点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于，即，即，可得a0，求得b，故有b．③若点M在点A的左侧，则b，由点M的横坐标1，求得b＞a．设直线y＝ax+b和AC的交点为P，则由求得点P的坐标为（，），此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即•（1﹣b）•|x N﹣x P|，即（1﹣b）•||，化简可得2（1﹣b）2＝|a2﹣1|．由于此时b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2＝|a2﹣1|＝1﹣a2 ．两边开方可得（1﹣b）1，∴1﹣b，化简可得b＞1，故有1b．再把以上得到的三个b的范围取并集，可得b的取值范围应是，故选：B．解法二：当a＝0时，直线y＝ax+b（a＞0）平行于AB边，由题意根据三角形相似且面积比等于相似比的平方可得，b＝1，趋于最小．由于a＞0，∴b＞1．当a逐渐变大时，b也逐渐变大，当b时，直线经过点（0，），再根据直线平分△ABC的面积，故a不存在，故b．综上可得，1b，故选：B．8．【2011年新课标1理科11】设函数f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）的最小正周期为π，且f（﹣x）＝f（x），则（）A．f（x）在单调递减B．f（x）在（，）单调递减C．f（x）在（0，）单调递增D．f（x）在（，）单调递增【解答】解：由于f（x）＝sin（ωx+ϕ）+cos（ωx+ϕ），由于该函数的最小正周期为T，得出ω＝2，又根据f（﹣x）＝f（x），得φkπ（k∈Z），以及|φ|，得出φ．因此，f（x）cos2x，若x∈，则2x∈（0，π），从而f（x）在单调递减，若x∈（，），则2x∈（，），该区间不为余弦函数的单调区间，故B，C，D都错，A正确．故选：A．9．【2010年浙江理科09】设函数f（x）＝4sin（2x+1）﹣x，则在下列区间中函数f（x）不存在零点的是（）A．[﹣4，﹣2] B．[﹣2，0] C．[0，2] D．[2，4]【解答】解：在同一坐标系中画出g（x）＝4sin（2x+1）与h（x）＝x的图象如下图示：由图可知g（x）＝4sin（2x+1）与h（x）＝x的图象在区间[﹣4，﹣2]上无交点，由图可知函数f（x）＝4sin（2x+1）﹣x在区间[﹣4，﹣2]上没有零点故选：A．10．【2010年上海理科18】某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，则此人将（）A．不能作出这样的三角形B．作出一个锐角三角形C．作出一个直角三角形D．作出一个钝角三角形【解答】解：设三边分别为a，b，c，利用面积相等可知a b c，∴a：b：c＝13：11：5令a＝13，b＝11，c＝5由余弦定理得cos A0，所以角A为钝角，故选：D．11．【2019年江苏13】已知，则sin（2α）的值是．【解答】解：由，得，∴，解得tanα＝2或tan．当tanα＝2时，sin2α，cos2α，∴sin（2α）；当tanα时，sin2α，cos2α，∴sin（2α）．综上，sin（2α）的值是．故答案为：．12．【2018年新课标1理科16】已知函数f（x）＝2sin x+sin2x，则f（x）的最小值是．【解答】解：由题意可得T＝2π是f（x）＝2sin x+sin2x的一个周期，故只需考虑f（x）＝2sin x+sin2x在[0，2π）上的值域，先来求该函数在[0，2π）上的极值点，求导数可得f′（x）＝2cos x+2cos2x＝2cos x+2（2cos2x﹣1）＝2（2cos x﹣1）（cos x+1），令f′（x）＝0可解得cos x或cos x＝﹣1，可得此时x，π或；∴y＝2sin x+sin2x的最小值只能在点x，π或和边界点x＝0中取到，计算可得f（），f（π）＝0，f（），f（0）＝0，∴函数的最小值为，故答案为：．13．【2017年浙江14】已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2，点D为AB延长线上一点，BD＝2，连结CD，则△BDC的面积是，cos∠BDC＝．【解答】解：如图，取BC得中点E，∵AB＝AC＝4，BC＝2，∴BE BC＝1，AE⊥BC，∴AE，∴S△ABC BC•AE2，∵BD＝2，∴S△BDC S△ABC，∵BC＝BD＝2，∴∠BDC＝∠BCD，∴∠ABE＝2∠BDC在Rt△ABE中，∵cos∠ABE，∴cos∠ABE＝2cos2∠BDC﹣1，∴cos∠BDC，故答案为：，14．【2016年江苏14】在锐角三角形ABC中，若sin A＝2sin B sin C，则tan A tan B tan C的最小值是．【解答】解：由sin A＝sin（π﹣A）＝sin（B+C）＝sin B cos C+cos B sin C，sin A＝2sin B sin C，可得sin B cos C+cos B sin C＝2sin B sin C，①由三角形ABC为锐角三角形，则cos B＞0，cos C＞0，在①式两侧同时除以cos B cos C可得tan B+tan C＝2tan B tan C，又tan A＝﹣tan（π﹣A）＝﹣tan（B+C）②，则tan A tan B tan C•tan B tan C，由tan B+tan C＝2tan B tan C可得tan A tan B tan C，令tan B tan C＝t，由A，B，C为锐角可得tan A＞0，tan B＞0，tan C＞0，由②式得1﹣tan B tan C＜0，解得t＞1，tan A tan B tan C，（）2，由t＞1得，0，因此tan A tan B tan C的最小值为8，另解：由已知条件sin A＝2sin B sin c，sin（B十C）＝2sin B sin C，sin B cos C十cos B sin C＝2sin B cos C，两边同除以cos B cos C，tan B十tan C＝2tan B tan C，∵﹣tan A＝tan（B十C），∴tan A tan B tan C＝tan A十tan B十tan C，∴tan A tan B tan C＝tan A十2tan B tan C≥2，令tan A tan B tan C＝x＞0，即x≥2，即x≥8，或x≤0（舍去），所以x的最小值为8．当且仅当t＝2时取到等号，此时tan B+tan C＝4，tan B tan C＝2，解得tan B＝2，tan C＝2，tan A＝4，（或tan B，tan C互换），此时A，B，C均为锐角．15．【2016年上海理科13】设a，b∈R，c∈[0，2π），若对于任意实数x都有2sin（3x）＝a sin（bx+c），则满足条件的有序实数组（a，b，c）的组数为．【解答】解：∵对于任意实数x都有2sin（3x）＝a sin（bx+c），∴必有|a|＝2，若a＝2，则方程等价为sin（3x）＝sin（bx+c），则函数的周期相同，若b＝3，此时C，若b＝﹣3，则C，若a＝﹣2，则方程等价为sin（3x）＝﹣sin（bx+c）＝sin（﹣bx﹣c），若b＝﹣3，则C，若b＝3，则C，综上满足条件的有序实数组（a，b，c）为（2，3，），（2，﹣3，），（﹣2，﹣3，），（﹣2，3，），共有4组，故答案为：4．16．【2015年新课标1理科16】在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°．BC＝2，则AB的取值范围是．【解答】解：方法一：如图所示，延长BA，CD交于点E，则在△ADE中，∠DAE＝105°，∠ADE＝45°，∠E＝30°，∴设AD x，AE x，DE x，CD＝m，∵BC＝2，∴（x+m）sin15°＝1，∴x+m，∴0＜x＜4，而AB x+m x x，∴AB的取值范围是（，）．故答案为：（，）．方法二：如下图，作出底边BC＝2的等腰三角形EBC，B＝C＝75°，倾斜角为150°的直线在平面内移动，分别交EB、EC于A、D，则四边形ABCD即为满足题意的四边形；当直线移动时，运用极限思想，①直线接近点C时，AB趋近最小，为；②直线接近点E时，AB趋近最大值，为；故答案为：（，）．17．【2015年上海理科13】已知函数f（x）＝sin x．若存在x1，x2，…，x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|＝12（m≥2，m∈N*），则m的最小值为．【解答】解：∵y＝sin x对任意x i，x j（i，j＝1，2，3，…，m），都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min＝2，要使m取得最小值，尽可能多让x i（i＝1，2，3，…，m）取得最高点，考虑0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π，|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|＝12，按下图取值即可满足条件，∴m的最小值为8．故答案为：8．18．【2014年江苏14】若△ABC的内角满足sin A sin B＝2sin C，则cos C的最小值是．【解答】解：由正弦定理得a b＝2c，得c（a b），由余弦定理得cos C，当且仅当时，取等号，故cos C＜1，故cos C的最小值是．故答案为：．19．【2014年新课标1理科16】已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a＝2且（2+b）（sin A﹣sin B）＝（c﹣b）sin C，则△ABC面积的最大值为．【解答】解：因为：（2+b）（sin A﹣sin B）＝（c﹣b）sin C⇒（2+b）（a﹣b）＝（c﹣b）c⇒2a﹣2b+ab﹣b2＝c2﹣bc，又因为：a＝2，所以：，△ABC面积，而b2+c2﹣a2＝bc⇒b2+c2﹣bc＝a2⇒b2+c2﹣bc＝4⇒bc≤4所以：，即△ABC面积的最大值为．故答案为：．20．【2014年上海理科12】设常数a使方程sin x cos x＝a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3＝．【解答】解：sin x cos x＝2（sin x cos x）＝2sin（x）＝a，如图方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在[0，2π]上，当a时，直线与三角函数图象恰有三个交点，令sin（x），x2kπ，即x＝2kπ，或x2kπ，即x＝2kπ，∴此时x1＝0，x2，x3＝2π，∴x1+x2+x3＝02π．故答案为：21．【2014年北京理科14】设函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）若f（x）在区间[，]上具有单调性，且f（）＝f（）＝﹣f（），则f（x）的最小正周期为．【解答】解：由f（）＝f（），可知函数f（x）的一条对称轴为x，则x离最近对称轴距离为．又f（）＝﹣f（），则f（x）有对称中心（，0），由于f（x）在区间[，]上具有单调性，则T⇒T，从而⇒T＝π．故答案为：π．22．【2013年浙江理科16】△ABC中，∠C＝90°，M是BC的中点，若，则sin∠BAC＝．【解答】解：如图设AC＝b，AB＝c，CM＝MB，∠MAC＝β，在△ABM中，由正弦定理可得，代入数据可得，解得sin∠AMB，故cosβ＝cos（∠AMC）＝sin∠AMC＝sin（π﹣∠AMB）＝sin∠AMB，而在RT△ACM中，cosβ，故可得，化简可得a4﹣4a2b2+4b4＝（a2﹣2b2）2＝0，解之可得a b，再由勾股定理可得a2+b2＝c2，联立可得c，故在RT△ABC中，sin∠BAC，另解：设∠BAM为α，∠MAC为β，正弦定理得BM：sinα＝AM：sin∠BBM：sinβ＝AM又有sinβ＝cos∠AMC＝cos（α+∠B），联立消去BM，AM得sin∠B cos（α+∠B）＝sinα，拆开，将1化成sin2∠B+cos2∠B，构造二次齐次式，同除cos2∠B，可得tanα，若，则cos∠BAM，tan∠BAM，解得tan∠B，cos B易得sin∠BAC．另解：作MD⊥AB交于D，设MD＝1，AM＝3，AD＝2，DB＝x，BM＝CM，用△DMB和△CAB相似解得x，则cos B，易得sin∠BAC．故答案为：23．【2013年上海理科11】若cos x cos y+sin x sin y，sin2x+sin2y，则sin（x+y）＝．【解答】解：∵cos x cos y+sin x sin y，∴cos（x﹣y）．∵sin2x+sin2y，∴sin[（x+y）+（x﹣y）]+sin[（x+y）﹣（x﹣y）]，∴2sin（x+y）cos（x﹣y），∴，∴sin（x+y）．故答案为．24．【2011年新课标1理科16】在△ABC中，B＝60°，AC，则AB+2BC的最大值为．【解答】解：设AB＝cAC＝bBC＝a由余弦定理cos B所以a2+c2﹣ac＝b2＝3设c+2a＝m代入上式得7a2﹣5am+m2﹣3＝0△＝84﹣3m2≥0 故m≤2当m＝2时，此时a，c符合题意因此最大值为2另解：因为B＝60°，A+B+C＝180°，所以A+C＝120°，由正弦定理，有2，所以AB＝2sin C，BC＝2sin A．所以AB+2BC＝2sin C+4sin A＝2sin（120°﹣A）+4sin A＝2（sin120°cos A﹣cos120°sin A）+4sin Acos A+5sin A＝2sin（A+φ），（其中sinφ，cosφ）所以AB+2BC的最大值为2．故答案为：225．【2010年江苏13】在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若6cos C，则的值是．【解答】解：∵6cos C，由余弦定理可得，∴则故答案为：426．【2010年新课标1理科16】在△ABC中，D为边BC上一点，BD DC，∠ADB＝120°，AD＝2，若△ADC的面积为，则∠BAC＝．【解答】解：由△ADC的面积为可得解得，则．AB2＝AD2+BD2﹣2AD•BD•cos120°，，则．故∠BAC＝60°．1．【2019年天津文科07】已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）是奇函数，且f（x）的最小正周期为π，将y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g（x）．若g（），则f（）＝（）A．﹣2 B．C．D．2【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴φ＝0，∵f（x）的最小正周期为π，∴π，得ω＝2，则f（x）＝A sin2x，将y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g（x）．则g（x）＝A sin x，若g（），则g（）＝A sin A，即A＝2，则f（x）＝A sin2x，则f（）＝2sin（22sin2，故选：C．2．【2019年新课标2文科11】已知α∈（0，），2sin2α＝cos2α+1，则sinα＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵2sin2α＝cos2α+1，∴可得：4sinαcosα＝2cos2α，∵α∈（0，），sinα＞0，cosα＞0，∴cosα＝2sinα，∵sin2α+cos2α＝sin2α+（2sinα）2＝5sin2α＝1，∴解得：sinα．故选：B．3．【2019年新课标1文科11】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a sin A﹣b sin B＝4c sin C，cos A，则（）A．6 B．5 C．4 D．3【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a sin A﹣b sin B＝4c sin C，cos A，∴，解得3c2，∴6．故选：A．4．【2019年北京文科08】如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，大小为β，图中阴影区域的面积的最大值为（）A．4β+4cosβB．4β+4sinβC．2β+2cosβD．2β+2sinβ【解答】解：由题意可得∠AOB＝2∠APB＝2β，要求阴影区域的面积的最大值，即为直线QO⊥AB，即有QO＝2，Q到线段AB的距离为2+2cosβ，AB＝2•2sinβ＝4sinβ，扇形AOB的面积为•2β•4＝4β，△ABQ的面积为（2+2cosβ）•4sinβ＝4sinβ+4sinβcosβ＝4sinβ+2sin2β，S△AOQ+S△BOQ＝4sinβ+2sin2β•2•2sin2β＝4sinβ，即有阴影区域的面积的最大值为4β+4sinβ．故选：B．5．【2018年新课标2文科10】若f（x）＝cos x﹣sin x在[0，a]是减函数，则a的最大值是（）A．B．C．D．π【解答】解：f（x）＝cos x﹣sin x＝﹣（sin x﹣cos x）sin（x），由2kπ≤x2kπ，k∈Z，得2kπ≤x2kπ，k∈Z，取k＝0，得f（x）的一个减区间为[，]，由f（x）在[0，a]是减函数，得a．则a的最大值是．故选：C．6．【2018年新课标1文科11】已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A （1，a），B（2，b），且cos2α，则|a﹣b|＝（）A．B．C．D．1【解答】解：∵角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α，∴cos2α＝2cos2α﹣1，解得cos2α，∴|cosα|，∴|sinα|，|tanα|＝||＝|a﹣b|．故选：B．7．【2018年新课标3文科11】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．△ABC的面积为，∴S△ABC，∴sin C cos C，∵0＜C＜π，∴C．故选：C．8．【2018年北京文科07】在平面直角坐标系中，，，，是圆x2+y2＝1上的四段弧（如图），点P其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边．若tanα＜cosα＜sinα，则P所在的圆弧是（）A．B．C．D．【解答】解：A．在AB段，正弦线小于余弦线，即cosα＜sinα不成立，故A不满足条件．B．在CD段正切线最大，则cosα＜sinα＜tanα，故B不满足条件．C．在EF段，正切线，余弦线为负值，正弦线为正，满足tanα＜cosα＜sinα，D．在GH段，正切线为正值，正弦线和余弦线为负值，满足cosα＜sinα＜tanα不满足tanα＜cosα＜sinα．故选：C．9．【2017年新课标1文科11】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin B+sin A（sin C﹣cos C）＝0，a＝2，c，则C＝（）A．B．C．D．【解答】解：sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C，∵sin B+sin A（sin C﹣cos C）＝0，∴sin A cos C+cos A sin C+sin A sin C﹣sin A cos C＝0，∴cos A sin C+sin A sin C＝0，∵sin C≠0，∴cos A＝﹣sin A，∴tan A＝﹣1，∵A＜π，∴A，由正弦定理可得，∴sin C，∵a＝2，c，∴sin C，∵a＞c，∴C，故选：B．10．【2017年天津文科07】设函数f（x）＝2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f（）＝2，f（）＝0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A．ω，φB．ω，φC．ω，φD．ω，φ【解答】解：由f（x）的最小正周期大于2π，得，又f（）＝2，f（）＝0，得，∴T＝3π，则，即．∴f（x）＝2sin（ωx+φ）＝2sin（x+φ），由f（），得sin（φ）＝1．∴φ，k∈Z．取k＝0，得φπ．∴，φ．故选：A．11．【2016年新课标2文科11】函数f（x）＝cos2x+6cos（x）的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：函数f（x）＝cos2x+6cos（x）＝1﹣2sin2x+6sin x，令t＝sin x（﹣1≤t≤1），可得函数y＝﹣2t2+6t+1＝﹣2（t）2，由∉[﹣1，1]，可得函数在[﹣1，1]递增，即有t＝1即x＝2kπ，k∈Z时，函数取得最大值5．故选：B．12．【2016年天津文科08】已知函数f（x）＝sin2sinωx（ω＞0），x∈R，若f（x）在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是（）A．（0，] B．（0，]∪[，1）C．（0，] D．（0，]∪[，]【解答】解：函数f（x）sinωx sinωx，由f（x）＝0，可得0，解得x∉（π，2π），∴ω∉∪∪∪∪，∵f（x）在区间（π，2π）内没有零点，∴ω∈∪．故选：D．13．【2014年天津文科08】已知函数f（x）sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，在曲线y＝f（x）与直线y＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f（x）的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π【解答】解：∵已知函数f（x）sinωx+cosωx＝2sin（ωx）（ω＞0），x∈R，在曲线y＝f（x）与直线y＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，正好等于f（x）的周期的倍，设函数f（x）的最小正周期为T，则，∴T＝π，故选：C．14．【2012年天津文科07】将函数y＝sinωx（其中ω＞0）的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则ω的最小值是（）A．B．1 C．D．2【解答】解：将函数y＝sinωx（其中ω＞0）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为y＝sinω（x）．再由所得图象经过点可得sinω（）＝sin（ω）＝0，∴ω•kπ，k∈z．故ω的最小值是2，故选：D．15．【2010年北京文科07】某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（）A．2sinα﹣2cosα+2 B．sinαcosα+3C．3sinαcosα+1 D．2sinα﹣cosα+1【解答】解：由正弦定理可得4个等腰三角形的面积和为：41×1×sinα＝2sinα由余弦定理可得正方形边长为：故正方形面积为：2﹣2cosα所以所求八边形的面积为：2sinα﹣2cosα+2故选：A．16．【2018年新课标1文科16】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b sin C+c sin B＝4a sin B sin C，b2+c2﹣a2＝8，则△ABC的面积为．【解答】解：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．b sin C+c sin B＝4a sin B sin C，利用正弦定理可得sin B sin C+sin C sin B＝4sin A sin B sin C，由于0＜B＜π，0＜C＜π，所以sin B sin C≠0，所以sin A，则A由于b2+c2﹣a2＝8，则：，①当A时，，解得bc，所以．②当A时，，解得bc（不合题意），舍去．故：．故答案为：．17．【2018年北京文科14】若△ABC的面积为（a2+c2﹣b2），且∠C为钝角，则∠B＝；的取值范围是．【解答】解：△ABC的面积为（a2+c2﹣b2），可得：（a2+c2﹣b2）ac sin B，，可得：tan B，所以B，∠C为钝角，A∈（0，），tan A，∈（，+∞）．cos B sin B∈（2，+∞）．故答案为：；（2，+∞）．18．【2017年新课标2文科16】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2b cos B＝a cos C+c cos A，则B＝．【解答】解：∵2b cos B＝a cos C+c cos A，由正弦定理可得，2cos B sin B＝sin A cos C+sin C cos A＝sin（A+C）＝sin B，∵sin B≠0，∴cos B，∵0＜B＜π，∴B，故答案为：19．【2015年天津文科14】已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，若函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数y＝f（x）的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为．【解答】解：∵f（x）＝sinωx+cosωx sin（ωx），∵函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，ω＞0∴2kπωx2kπ，k∈Z可解得函数f（x）的单调递增区间为：[，]，k∈Z，∴可得：﹣ω①，ω②，k∈Z，∴解得：0＜ω2且0＜ω2≤2k，k∈Z，解得：，k∈Z，∴可解得：k＝0，又∵由ωx kπ，可解得函数f（x）的对称轴为：x，k∈Z，∴由函数y＝f（x）的图象关于直线x＝ω对称，可得：ω2，可解得：ω．故答案为：．20．【2014年新课标1文科16】如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100m，则山高MN＝m．【解答】解：△ABC中，∵∠BAC＝45°，∠ABC＝90°，BC＝100，∴AC100．△AMC中，∵∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，∴∠AMC＝45°，由正弦定理可得，解得AM＝100．Rt△AMN中，MN＝AM•sin∠MAN＝100sin60°＝150（m），故答案为：150．21．【2013年新课标1文科16】设当x＝θ时，函数f（x）＝sin x﹣2cos x取得最大值，则cosθ＝．【解答】解：f（x）＝sin x﹣2cos x（sin x cos x）sin（x﹣α）（其中cosα，sinα），∵x＝θ时，函数f（x）取得最大值，∴sin（θ﹣α）＝1，即sinθ﹣2cosθ，又sin2θ+cos2θ＝1，联立得（2cosθ）2+cos2θ＝1，解得cosθ．故答案为：22．【2013年新课标2文科16】函数y＝cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移个单位后，与函数y ＝sin（2x）的图象重合，则φ＝．【解答】解：函数y＝cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移个单位后，得平移后的图象的函数解析式为y＝cos[2（x）+φ]＝cos（2x+φ﹣π），而函数y＝sin（2x），由函数y＝cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移个单位后，与函数y＝sin（2x）的图象重合，得2x+φ﹣π，解得：φ．符合﹣π≤φ＜π．故答案为．23．【2010年新课标1文科16】在△ABC中，D为BC边上一点，BC＝3BD，AD，∠ADB＝135°．若AC AB，则BD ＝．【解答】用余弦定理求得AB2＝BD2+AD2﹣2AD•BD cos135°AC2＝CD2+AD2﹣2AD•CD cos45°即AB2＝BD 2+2+2BD①AC2＝CD2+2﹣2CD②又BC＝3BD所以CD＝2BD所以由（2）得AC2＝4BD2+2﹣4BD（3）因为AC AB所以由（3）得2AB2＝4BD2+2﹣4BD（4）（4）﹣2（1）BD2﹣4BD﹣1＝0求得BD＝2故答案为：2。

专题04 函数图像【母题来源一】【2020年高考浙江卷】函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，+π]的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【母题来源二】【2019年高考浙江卷】在同一直角坐标系中，函数1x y a =，1(2log )ay x =+(0a >，且1a ≠)的图象可能是【母题来源三】【2018年高考浙江卷】函数||2sin 2x y x =的图象可能是A ．B ．C．D．【命题意图】（1）考查函数图象的辨识与变换；（2）考查函数图象的应用问题，运用函数图象理解和研究函数的性质；（3）考查运用数形结合思想分析与解决问题的能力．【命题规律】高考对函数图象的考查形式多样，命题角度主要有：（1）函数图象的变换；（2）函数图象的识别，即由函数的性质及解析式选择图象；（3）函数图象的应用，即由函数的图象来研究函数的性质、图象的变换、利用数形结合解决问题等，其重点是基本初等函数的图象以及函数的性质在图象上的直观体现．【答题模板】解答此类题目，一般考虑如下四步：第一步：确定图象的范围．即根据解析式，确定函数的定义域、值域，以确定图象的大体位置；第二步：研究图象的对称性．根据函数的奇偶性，确定图象的对称性；第三步：研究图象的变化趋势．根据函数单调性定义或导数，研究函数的单调性，明确图象的变化趋势．第四步：研究图象上的特殊点．根据函数解析式，计算函数值，函数的特征点，排除不合要求的图象．【方法总结】1．函数奇偶性的定义及图象特点奇偶性定义图象特点f x的定义域内任意一个x，都有图象关于y轴对称偶函数如果对于函数()判断()f x -与()f x 的关系时，也可以使用如下结论：如果()0()f x f x --=或()1(()0)()f x f x f x -=≠，则函数()f x 为偶函数；如果()0()f x f x -+=或()1(()0)()f x f x f x -=-≠，则函数()f x 为奇函数． 注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x ，x -也在定义域内（即定义域关于原点对称）． 2．判断函数奇偶性的常用方法及思路 （1）定义法（2）图象法（3）性质法利用奇函数和偶函数的和、差、积、商的奇偶性和复合函数的奇偶性来判断．注意：①分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x 取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x 的范围相应地化简解析式，判断()f x 与()f x -的关系，得出结论，也可以利用图象作判断． ②性质法中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．③性质法在选择题和填空题中可直接运用，但在解答题中应给出性质推导的过程． 3．函数单调性的定义设12,[,]x x a b ∈，12x x ≠．若有()()1212()0[]x x f x f x ->-或1212()()0f x f x x x ->-，则()f x 在闭区间[],a b 上是增函数； 若有()()1212()0[]x x f x f x --<或1212()()0f x f x x x -<-，则()f x 在闭区间[],a b 上是减函数． 4．判断函数单调性的方法（1）定义法，步骤为：取值，作差，变形，定号，判断．利用此方法证明抽象函数的单调性时，应根据所给抽象关系式的特点，对1x 或2x 进行适当变形，进而比较出1()f x 与2()f x 的大小．（2）利用复合函数关系，若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”．（3）图象法：从左往右看，图象逐渐上升，则单调递增；图象逐渐下降，则单调递减． （4）导数法：利用导函数的正负判断函数的单调性．（5）利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，判断函数的单调性．5．周期函数对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有()()f x T f x +=，那么就称函数()y f x =为周期函数，称T 为这个函数的周期． 6．最小正周期如果在周期函数()f x 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做()f x 的最小正周期（若不特别说明，T 一般都是指最小正周期）． 注意：并不是所有周期函数都有最小正周期． 7．对称性的三个常用结论：（1）若函数()y f x a =+是偶函数，即()()f a x f a x =-+，则()y f x =的图象关于直线x a =对称； （2）若对于R 上的任意x 都有()(2)x f a x f =-或(()2)f x f a x =+-，则()y f x =的图象关于直线x a =对称；（3）若函数()y f x b =+是奇函数，即((0))f x b f x b +++-=，则()y f x =关于点(,0)b 中心对称． 8．有关图象辨识问题的常见类型及解题思路：（1）由实际情景探究函数图象．关键是将生活问题转化为我们熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．（2）借助动点探究函数图象．解决此类问题可以根据已知条件求出函数解析式后再判断函数的图象；也可采用“以静观动”，即将动点处于某些特殊的位置处考察图象的变化特征，从而作出选择． （3）由解析式确定函数图象．此类问题往往从以下几方面判断：①从函数的定义域，判断图象左右的位置，从函数的值域，判断图象的上下位置； ②从函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③从函数的奇偶性，判断图象的对称性； ④从函数的周期性，判断图象的循环往复． 利用上述方法，排除、筛选错误或正确的选项．（4）同一坐标系下辨析不同函数图象．解决此类问题时，常先假定其中一个函数的图象是正确的，然后再验证另一个函数图象是否符合要求，逐项作出验证排查．（5）利用函数性质探究函数图象，往往结合偶函数图象关于y 轴对称，奇函数图象关于原点对称这一结论进行判断．9．函数图象应用的常见题型及求解策略（1）利用函数图象确定函数解析式，要注意综合应用奇偶性、单调性等相关性质，同时结合自变量与函数值的对应关系．（2）利用函数图象研究两函数图象交点的个数时，常将两函数图象在同一坐标系内作出，利用数形结合求解参数的取值范围．（3）利用函数的图象研究不等式当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．（4）利用函数的图象研究方程根的个数当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f (x )＝0的根就是函数f (x )的图象与x 轴交点的横坐标，方程f (x )＝g (x )的根就是函数f (x )与g (x )图象交点的横坐标．1．【浙江省临海市、乐清市、新昌县2020届高三下学期选考模拟考试数学试题】已知函数()()20xax bx c f x a e++=≠的部分图象如图所示，则（ ）A ．0a <B ．0a c ->C ．0b c -<D ．320a b c -+<2．【浙江省宁波市鄞州中学2020届高三下学期高考冲刺考试数学试题】函数1()()ln f x x x x=+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．3．【浙江省名校新高考研究联盟(Z 20联盟)2020届高三下学期第三次联考数学试题】函数()sin()cos()4411()()22x x f x ππ++=-的图像可能是（ ） A ． B ．C ．D ．4．【浙江省杭州市两校2020届高三下学期第二次联考数学试题】函数()()()21sin 2,f x x x xππ=+-的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．5．【浙江省温州市2020届高三下学期6月高考适应性测试数学试题】定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()0x f x x f '+=，则()f x 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．【2020年浙江省名校高考仿真训练卷（一）】函数21()cos 2f x x x =+的大致图象是（ ）. A ． B ．C ．D ．7．【浙江省稽阳联谊学校2020届高三下学期5月联考数学试题】已知函数f （x ）=ax +b 的图象如图所示，则函数h (x )=log a (﹣x +b ) 的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．8．【2020届浙江省杭州市上学期高三年级期末教学质量检测（一模)数学试题】下列不可能．．．是函数()()()22a x x x a Z f x -=+∈的图象的是( )A ．B ．C ．D ．9．【广西贵港市2020届高三毕业班第四次高考模拟理科数学试题】如图，点P 在以2AB =为直径的半圆弧上，点P 沿着BA 运动，记BAP x ∠=．将点P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．10．【贵州省普通高等学校招生2019-2020学年高三适应性测试理科数学试题】函数()()22sin cos x x f x x x -=-的部分图象大致是（ ）A ．B ．C．D．。

专题四函数部分一、近几年江苏高考1、（1）(2019江苏卷)函数276y x x=+-的定义域是_____.【答案】[1,7]-.【解析】由题意得到关于x的不等式，解不等式可得函数的定义域.【详解】由已知得2760x x+-≥,即2670x x--≤解得17x-≤≤，故函数的定义域为[1,7]-.（2）(2019江苏卷)设(),()f xg x是定义在R上的两个周期函数，()f x的周期为4，()g x的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x∈时，2()1(1)f x x=--，(2),01()1,122k x xg xx+<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中0k>.若在区间(0]9，上，关于x的方程()()f xg x=有8个不同的实数根，则k的取值范围是_____.【答案】12,3⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭.【解析】【分析】分别考查函数()f x和函数()g x图像的性质，考查临界条件确定k的取值范围即可.【详解】当(]0,2x∈时，()2()11,f x x=--即()2211,0.x y y-+=≥又()f x为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为4，如图，函数()f x与()g x的图象，要使()()f xg x=在(]0,9上有8个实根，只需二者图象有8个交点即可.当1g()2x=-时，函数()f x与()g x的图象有2个交点；当g()(2)x k x =+时，()g x 的图象为恒过点()2,0-的直线，只需函数()f x 与()g x 的图象有6个交点.当()f x 与()g x 图象相切时，圆心()1,0到直线20kx y k -+=的距离为1，即2211k k k +=+，得2k =，函数()f x 与()g x 的图象有3个交点；当g()(2)x k x =+过点1,1（）时，函数()f x 与()g x 的图象有6个交点，此时13k =，得13k =.综上可知，满足()()f x g x =在(]0,9上有8个实根的k 的取值范围为123⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭，. 2、（1）（2018年江苏卷）. 函数满足，且在区间上， 则的值为________． 【答案】【解析】分析：先根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解析式求结果.(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围. 解析：由得函数的周期为4，所以因此（2）、（2018年江苏卷） 函数的定义域为________．【答案】[2，+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域. 详解：要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为.3、（1）（2017年江苏卷） 设f (x )是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，()2,,x x D f x x x D ⎧∈=⎨∉⎩其中集合D ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x ＝n －1n ，n ∈N *，则方程f (x )－lg x ＝0的解的个数是________．【答案】8解析：首先f (x )∈[0,1)，所以方程f (x )＝lg x 的解x 0∈[1,10)．由图像可知，在[9,10)上方程无解，方程在[1,9)上的整数解只有x ＝1.再按x －k ∈D 和x －k ∉D 两种情况，讨论f (x )＝lg x 在(k ，k ＋1)上的解，其中k ＝1,2， (8)① 若x －k ∈D ，且x ∈(k ，k ＋1)，其中k ＝1,2,3，…，8，设x －k ＝n －1n ，n ∈N *且n ≥2.则方程为()221n n -＝lg ⎝⎛⎭⎫k ＋1－1n ，即10(n －1)2＝⎝⎛⎭⎫k ＋1－1n n 2，这样的n 不存在． ②若x －k ∉D ，且x ∈(k ，k ＋1)，其中k ＝1,2，…，8，则方程为x －k ＝lg x . 记g (x )＝x －lg x －k ，则g ′(x )＝1－1x ln10＞1－1ln10＞0，所以g (x )在(k ，k ＋1)上递增． 因为g (k )＝－lg k ，g (k ＋1)＝1－lg(k ＋1)＞0，所以在(1,2)内无解，当k ＝2,3，…，8时，在x ∈(k ，k ＋1)内各恰有一解，共有7解． 与①类似，可证这些解都是无理数，从而满足x －k ∉D . 综上所述，方程共有8解．解后反思 对于解答题，尽量不用“由图像可知”，可把“思路分析”中的内容并入①②，并稍作改动，例如在①中允许n ＝1，则k ＝1，得x ＝1.试试写一下．另外，若把题中的D 改为区间[0,1)中的所有有理数组成的集合，再试做一下．（2）、（2017年江苏卷） 已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数，若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．【答案】⎣⎡⎦⎤－1，12 【解析】思路分析 先容易判断f (x )是奇函数，再确定f (x )的单调性．因为f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1e x ≥3x 2－2＋2≥0恒成立，所以f (x )在(－∞，＋∞)上递增．又因为f (x )是奇函数，所以f (a －1)＋f (2a 2)≤0⇔f (2a 2)≤f (1－a )⇔2a 2≤1－a .即2a 2＋a －1≤0，解得－1≤a ≤12.解后反思 这类题的解题思路是：先确定所给“特定函数”的奇偶性和单调性，再用“一般函数”的性质解“抽象的不等式”，而不是去解一个“具体的不等式”．4、（1）（2016年江苏卷） 函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________． 【答案】[－3,1]【解析】由3－2x －x 2≥0得－3≤x ≤1，所以函数y ＝3－2x －x 2的定义域为[－3,1]．(2)、（2016年江苏卷） 设f(x)是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝()()(),102,015x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩，其中a ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫92，则f (5a )的值是________． 【答案】－25【解析】因为f (x )的周期为2，所以f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝a －12，f ⎝⎛⎭⎫92＝f ⎝⎛⎭⎫12＝110，从而得a －12＝110，解得a ＝35，所以f (5a )＝f (3)＝f (－1)＝－1＋35＝－25.（3）（2016江苏卷）已知函数f (x )＝a x ＋b x (a >0，b >0，a ≠1，b ≠1)． (1) 设a ＝2，b ＝12.①求方程f (x )＝2的根；②若对于任意x ∈R ，不等式f (2x )≥mf (x )－6恒成立，求实数m 的最大值；【解析】思路分析 第1问的第2小题，通过将变量m 分离出来，将问题转化为求分离出的函数的最小值则可．第2问，注意到g (0)＝0，从而得0是函数g (x )的一个零点，为此，只需说明函数g (0)为函数g (x )的最大值或者最小值，进而说明它的某个极值点与0相等，由此来求出ab 的值． 规范解答 (1) 因为a ＝2，b ＝12，所以f (x )＝2x ＋2－x .①方程f (x )＝2，即2x ＋2－x ＝2，亦即(2x )2－2×2x ＋1＝0，所以(2x －1)2＝0，于是2x ＝1，解得x ＝0. ②由条件知f (2x )＝22x ＋2－2x ＝(2x ＋2－x )2－2＝(f (x ))2－2.因为f (2x )≥mf (x )－6对于x ∈R 恒成立，且f (x )>0，所以,)(4)(2x f x m f+≤对于一切实数R 恒成立。