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第七节无穷小的比较,,,sin ,002都趋于时当x x x x →.)(都是无穷小.但速度各不相同1000010009900102.,.,.sin ,.====x x x x 则如果取.变化过程中的无穷小是在同一自变量的相同和定义βα,,lim .)的高阶无穷小是称αβαβ01=.)(αβo =记为)(快比αβ0→,,lim .)的低阶无穷小是称αβαβ∞=2)(慢比αβ0→,,lim .)是同阶无穷小与称αβαβ03≠=c .)(αβO =记为,,lim .)阶无穷小的是称k c αββ04≠=-56P.lim lim ,~,~αβαβββαα''=''则设定理.用等价无穷小来代换分子及分母中的因子可时即求无穷小之比的极限,αβlim .证ααβαββ⋅'⋅''⋅'⋅=lim αααβββ'⋅''⋅'=lim lim lim .lim αβ''=:我们可以证明,时当0→x ,~sin .)x x 1,~tan .)x x 2,~cos .)22113x x -,~arcsin .)x x 4.~arctan .)x x 5,,lim .)是等价无穷小与称αβαβ15=.~βα记为.,为重要等价无穷小在应用上最以上各种比较中xx x tan lim.)02→,~sin .)x x 1,~tan .)x x 2,~cos .)22113x x -,~arcsin .)x x 4.~arctan .)x x 5⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=→x x x x cos sin lim 10xx x x x cos lim sin lim 100→→⋅=,1=.~tan x x ⇒202113x x x cos lim ).-→2202122x x x sinlim →=220x x x x x ⋅⋅=→sin sin lim ,1=.~cos 2211x x -⇒,sin lim )..110=→x xx 证.~sin x x ⇒,~sin .)x x 1,~tan .)x x 2,~cos .)22113x x -,~arcsin .)x x 4.~arctan .)x x 5,arctan .).x =α设证5,tan x =α则αααtan lim arctan lim 00→→=x x x ,1=.~arcsin x x 类似地可证.)4.~arctan x x ⇒:请熟记时有当0→x x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~)ln(~x +1,~1-xe ,~)(x x αα11-+.~cos 2211x x -.~211x x -+特例31xxx x sin tan lim.-→例xx x x x cos )cos (sin lim31-=→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-212x x x x ~cos ,~sin xx x x x cos lim 3202⋅=→x x cos lim 210→=.21=xx x 21220cos )(arcsin lim.-→例⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-212x x x x ~cos ,~arcsin 22220)(limx x x →=.21=xx ee xx x sin lim.sin --→03例()x x eexx xx sin limsin sin --=-→1xx e exx x xx sin limlim sin sin --⋅=-→→10()0→-=x x y sin y e yy 110-⋅=→lim()yey~1-.1=:小结.,,,,等价无穷小阶无穷小同阶无穷小低阶无穷小高阶无穷小k :.基本概念1:.熟记2x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~时有当0→x )ln(~x +1,~1-xe .~cos 2211x x -,~)(x x αα11-+.~211x x -+特例.lim lim ,~,~.αβαβββαα''=''则设定理3分子及分母中的因子可限时求无穷小之乘除法的极,.用等价无穷小来代换)!(换加减号隔开的项不能代:.经验公式4,)(lim 00=→x f x x 设.)()(lim c x g x f x x =→0().)(lim )(cx g x x e x f =+→10则#().)(lim )()(lim )(x g x f x g x x x x ex f ⋅→→=+01。
