(北师大版)高三理科第一轮复习学案： 第4章 第1节 平面向量的概念及线性运算学案

第一节 平面向量的概念及线性运算
[考纲传真] (教师用书独具)1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示.2.掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义.3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.4.了解向量线性运算的性质及其几何意义．
(对应学生用书第69页)
[基础知识填充]
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫作向量，向量的大小叫作向量的长度(或模)． (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
a 是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得
b ＝λa ，则向量b 与a 共线． [知识拓展]
1．若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP →＝12
(OA →＋OB →
)．
2.OA →＝λOB →＋μOC →
(λ，μ为实数)，若点A ，B ，C 共线，则λ＋μ＝1.
[基本能力自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．( ) (2)BA →＝OA →－OB →
.( )
(3)向量AB →与向量CD →
是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( )
(4)已知a ，b 是两个非零向量，当a ，b 共线时，一定有b ＝λa(λ为常数)，反之也成立．( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√
2．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且|AB →|＝|BC →
|，那么四边形ABCD 为( )
A ．平行四边形
B ．菱形
C ．长方形
D ．正方形
B [AB →＝D
C →，则四边形ABC
D 为平行四边形．又|AB →|＝|BC →
|，则四边形ABCD 为菱形，故选B ．] 3．D 是△ABC 的边AB 的中点，则向量CD →
等于( )
A ．－BC →＋12BA →
B ．－B
C →－12BA →
C ．BC →－12BA →
D ．BC →＋12
BA →
A [如图，
CD →＝CB →＋BD →＝CB →＋12BA →
＝－BC →＋12
BA →.]
4．(教材改编)已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →
＝________(用a ，b
表示)．
b －a －a －b [如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →
＝b －a ，
BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →
＝－a －b.]
5．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a)共线，则λ＝________.
－1
3
[由已知得a ＋λb ＝－k(b －3a)， 所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
λ＝－k ，3k ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧
λ＝－1
3，k ＝1
3.
]
(对应学生用书第70页)
给出下列四个命题：
【导学号：79140145】
①若|a|＝|b|，则a ＝b ；
②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →
是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；
④a＝b 的充要条件是|a|＝|b|且a∥b. 其中正确命题的序号是( )
A ．②③
B ．①②
C ．③④
D ．②④ A [①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同． ②正确．∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →
， 又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形； 反之，若四边形ABCD 为平行四边形， 则AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|，∴AB →＝DC →. ③正确．
∵a＝b ，∴a，b 的长度相等且方向相同， 又b ＝c ，∴b，c 的长度相等且方向相同， ∴a，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c.
④不正确．当a∥b 且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a ＝b ，故|a|＝|b|且a∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．
综上所述，正确命题的序号是②③.故选A ．]
0①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a|a 0； ②若a 与a 0平行，则a ＝|a|a 0； ③若a 与a 0平行且|a|＝1，则a ＝a 0. 假命题的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
D [向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a|a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.]
(1)(2015·全国卷Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →
，则( ) A ．AD →
＝－13AB →＋43AC →
B ．AD →＝13AB →－43A
C →
C ．A
D →＝43AB →＋13
AC →
D ．AD →＝43AB →－13
AC →
(2)已知D 为三角形ABC 的边BC 的中点，点P 满足PA →＋BP →＋CP →＝0，AP →＝λPD →
，则实数λ的值为________． (1)A (2)－2 [(1)AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →－AB →
)＝43AC →－13AB →＝－13AB →＋43
AC →.故选A ．
(2)因为D 为边BC 的中点，所以PB →＋PC →＝2PD →
，
又PA →＋BP →＋CP →
＝0， 所以PA →＝PB →＋PC →＝2PD →， 所以AP →＝－2PD →，
与AP →＝λPD →
比较，得λ＝－2.]
[跟踪训练] (1)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内的任意一点，则OA ＋OB ＋OC ＋OD →
等于( ) A ．OM →
B ．2OM →
C ．3OM →
D ．4OM →
(2)(2017·河南三市联考)在锐角△ABC 中，CM →＝3MB →，AM →＝xAB →＋yAC →
，则x y
＝________.
【导学号：79140146】
(1)D (2)3 [因为M 是平行四边形ABCD 对角线AC ，BD 的交点，所以OA →＋OC →＝2OM →，OB →＋OD →＝2OM →，所以OA →＋OB →
＋OC →＋OD →＝4OM →.
(2)由题设可得CA →＋AM →＝3(AB →－AM →
)， 即4AM →＝3AB →＋AC →，亦即AM →＝34AB →＋14AC →，
则x ＝34，y ＝14.故x
y ＝3.]
设两个非零向量a 与b 不共线，
(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →
＝3(a －b)，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使ka ＋b 和a ＋kb 共线．
[解] (1)证明：∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →
＝3(a －b)， ∴BD →＝BC →＋CD →
＝2a ＋8b ＋3(a －b) ＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b)＝5AB →
. ∴AB →，BD →
共线，又∵它们有公共点B ， ∴A，B ，D 三点共线． (2)∵ka＋b 和a ＋kb 共线， ∴存在实数λ，使ka ＋b ＝λ(a ＋kb)， 即ka ＋b ＝λa ＋λkb ，∴(k－λ)a ＝(λk －1)b. ∵a，b 是两个不共线的非零向量，
∴k－λ＝λk －1＝0，∴k 2
－1＝0，∴k＝±1.
[跟踪训练] (1)已知向量AB ＝a ＋3b ，BC ＝5a ＋3b ，CD ＝－3a ＋3b ，则( )
A ．A ，
B ，
C 三点共线 B ．A ，B ，
D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线
D ．B ，C ，D 三点共线
(2)(2017·广东七校联考)已知向量i ，j 不共线，且AB →＝i ＋mj ，AD →
＝ni ＋j ，m≠1，若A ，B ，D 三点共线，则实数m ，n 应满足的条件是( ) A ．m ＋n ＝1 B ．m ＋n ＝－1 C ．mn ＝1
D ．mn ＝－1
(1)B (2)C [(1)∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ＝2(a ＋3b)＝2AB →
， ∴BD →，AB →
共线，又有公共点B ， ∴A，B ，D 三点共线．故选B ．
(2)因为A ，B ，D 三点共线，所以AB →∥AD →，存在非零实数λ，使得AB →＝λAD →
，即i ＋mj ＝λ(ni ＋j)，所以(1
－λn)i ＋(m －λ)j ＝0，又因为i 与j 不共线，所以⎩⎪⎨
⎪⎧
1－λn ＝0，
m －λ＝0，
则mn ＝1，故选C ．]。