高考数学一轮复习第25讲平面向量的概念及运算精品学案

平面向量第一课时平面向量的概念【重要知识】知识点一：向量的概念既有大小又有方向的量叫向量。

注意数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.知识点二：向量的表示法①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；①用有向线段表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB；④向量AB的大小――长度称为向量的模，记作|AB|.知识点三：有向线段（1）有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.（2）向量与有向线段的区别：①向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；②有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.知识点四：两个特殊的向量（1）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的.注意0与0的含义与书写区别.（2）单位向量：长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小。

知识点五：平行向量、共线向量（1）定义：方向相同或相反的非零向量叫平行向量。

（2）规定：规定0与任一向量平行.（3）共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.说明：①综合(1)、(2)才是平行向量的完整定义;a b c平行，记作a∥b∥c②向量,,③平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；④共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.知识点六：相等向量（1） 定义长度相等且方向相同的向量叫相等向量.（2）向量a 与b 相等，记作a b =；（3）零向量与零向量相等；（4）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.【典型例题】1．下列命题正确的是 （ ）A ．向量AB 与BA 是两平行向量B ．若b a 、都是单位向量,则a b =C ．若AB =DC ,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同2．若b a 、都是单位向量，则||b a -的取值范围是 （） A ．（1，2） B ．（0，2）C ．［1，2］ D ．［0，2］3.在正六边形ABCDEF 中，O 为其中心，则2FA AB BO ED +++等于（ ）A ．FE B.AC C DC D FC 4. 如图，在△ABC 中，AB = a , BC = b ，AD 为边BC 的中线，G 为△ABC 的重心，求：向量AG ．5．已知△ABC 及一点O ，求证：O 为△ABC 的重心的充要条件是.O OC OB OA =++D A B C ab G·6.设平面内有四边形ABCD 和O 点，,,,OA a OB b OC c OD d ====，若a c b d +=+，则四边形ABCD 的形状为 。

平面向量的概念教案一、教学目标：1. 知识与技能：学生能够理解平面向量的概念，掌握平面向量的基本运算法则，并能够熟练进行向量的相加、相减、数量乘法等运算。

2. 过程与方法：通过例题演练，培养学生独立思考、分析问题、解决问题的能力；通过实际应用，加深学生对平面向量概念的理解和运用。

3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，形成积极的学习态度，提高解决实际问题的能力。

二、教学重点和难点：重点：平面向量的概念及基本运算法则。

难点：向量的数量乘法及在平面向量应用中的解决问题。

三、教学步骤：1. 导入新课：通过提问和引导学生联想等方式，引出向量的概念。

例如：什么是向量？向量有哪些性质？向量在生活中的应用等。

2. 确定学习目标：向学生解释接下来我们要学习平面向量，所以我们需要了解什么是平面向量及其基本性质，以及平面向量的加法、减法和数量乘法等基本运算，掌握这些内容。

3. 学习新知识：向学生详细讲解平面向量的定义、表示方法、平行向量、零向量、共线向量等基本概念和性质。

并讲解平面向量的基本运算法则，如向量的加法、减法、数量乘法等。

4. 练习与巩固：布置练习题，让学生积极参与，巩固学习内容。

5. 拓展应用：引导学生通过实际问题，运用平面向量的概念进行解决问题，提高学生的综合运用能力。

6. 总结归纳：通过本节课学习，对平面向量的概念和基本运算法则进行归纳总结，巩固所学知识。

四、教学手段：1. 教师讲解2. 学生讨论3. 课堂练习4. 实例演练五、教学资源：1. 教科书2. 多媒体课件3. 平面向量的实际应用例题材料六、教学反馈：1. 教师在学习过程中及时纠正学生的错误认识和解题方法。

2. 布置练习题，检验学生学习效果，及时发现学生的问题。

七、教学设计理念：通过让学生参与讨论和思考，培养其分析问题、解决问题的思维能力；通过实例演练，加深学生对平面向量概念的理解和运用；通过应用实际问题，引导学生运用所学知识解决实际问题的能力。

5.1平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb 3．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.1．作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点；2．在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个；3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系． 『试一试』1.(2013·苏锡常镇二调)如下图，在△OAC 中，B 为AC 的中点，若OC ＝x OA ＋y OB (x ，y ∈R )，则x －y ＝________.『解析』法一：(直接法)根据图形有⎩⎪⎨⎪⎧OC ＝OA ＋AC ， AC ＝2AB ，AB ＝OB －OA ，所以OC ＝OA ＋2(OB －OA )，所以OC ＝－OA ＋2OB ，而OC ＝x OA ＋y OB ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝2，故x －y ＝－3.法二：(间接法)由B 为AC 的中点得OC ＋OA ＝2OB ， 所以OC ＝－OA ＋2OB ，而OC ＝x OA ＋y OB ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，故x －y ＝－3.『答案』－32．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB －CB ＋CD |＝________. 『解析』|AB －CB ＋CD |＝|AB ＋BC ＋CD |＝|AD |＝2. 『答案』21．向量的中线公式若P 为线段AB 的中点，O 为平面内一点，则OP ＝12(OA ＋OB )．2．三点共线等价关系A ，P ，B 三点共线⇔AP ＝λAB (λ≠0)⇔ OP ＝(1－t )·OA ＋t OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，t ∈R )⇔ OP ＝x OA ＋y OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)． 『练一练』1．D 是△ABC 的边AB 上的中点，若CD ＝x BA ＋y BC ，则x ＋y ＝________.『解析』∵CD ＝BD －BC ＝12BA －BC ，则x ＝12，y ＝－1∴x ＋y ＝－12.『答案』－122．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________.『解析』由题意知a ＋λb ＝k 『－(b －3a )』，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－k ，1＝3k ，解得⎩⎨⎧k ＝13，λ＝－13.『答案』－13考点一向量的有关概念1.给出下列命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ＝CD 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ； ⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中正确命题的序号是________．『解析』①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同． ②正确．∵AB ＝DC ，∴|AB |＝|DC |且AB ∥DC ，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形； 反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB ∥DC 且|AB |＝|DC |，因此，AB ＝DC . ③正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同， 又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .④不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件． ⑤不正确．考虑b ＝0这种特殊情况． 综上所述，正确命题的序号是②③. 『答案』②③.2．设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是________．『解析』向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3. 『答案』3『备课札记』 『类题通法』平面向量中常用的几个结论(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时不要把它与函数图像的平移混为一谈．(3)a |a |是与a 同向的单位向量，－a|a |是与a 反向的单位向量． 考点二向量的线性运算『典例』 (2013·江苏高考)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE ＝λ1AB ＋λ2AC (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．『解析』 由题意DE ＝DB ＋BE ＝12AB ＋23BC ＝12AB ＋23(BA ＋AC )＝－16AB ＋23AC ，所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.『答案』 12『备课札记』若条件变为：若AD ＝2DB ，CD ＝13CA ＋λCB ，则λ＝________.『解析』∵CD ＝CA ＋AD ，CD ＝CB ＋BD ，∴2CD ＝CA ＋CB ＋AD ＋BD .又∵AD ＝2BD ，∴2CD ＝CA ＋CB ＋13AB ＝CA ＋CB ＋13(CB －CA )＝23CA ＋43CB .∴CD ＝13CA ＋23CB ，即λ＝23.『答案』23『类题通法』在向量线性运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解． 『针对训练』若A ，B ，C ，D 是平面内任意四点，给出下列式子： ①AB ＋CD ＝BC ＋DA ；②AC ＋BD ＝BC ＋AD ； ③AC －BD ＝DC ＋AB .其中正确的有________个．『解析』①式的等价式是AB －BC ＝DA －CD ，左边＝AB ＋CB ，右边＝DA ＋DC ，不一定相等；②式的等价式是AC －BC ＝AD －BD ，AC ＋CB ＝AD ＋DB ＝AB 成立；③式的等价式是AC －DC ＝AB ＋BD ，AD ＝AD 成立． 『答案』2考点三共线向量定理的应用『典例』 设两个非零向量a 与b 不共线， (1)若AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )， 求证：A ，B ，D 三点共线．(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．『解』 (1)证明：∵AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )， ∴BD ＝BC ＋CD ＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB . ∴AB ，BD 共线，又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b .∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是不共线的两个非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0.∴k ＝±1.『备课札记』『类题通法』1．共线向量定理及其应用(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值．(2)若a ，b 不共线，则λa ＋μb ＝0的充要条件是λ＝μ＝0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛．2．证明三点共线的方法若AB ＝λAC ，则A 、B 、C 三点共线． 『针对训练』已知a ，b 不共线，OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，OD ＝d ，OE ＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c,2b ＝d ，e ＝t (a ＋b )，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值，若不存在，请说明理由．解：由题设知，CD ＝d －c ＝2b －3a ，CE ＝e －c ＝(t －3)a ＋t b ，C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE ＝k CD ，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ， 整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b .因为a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，解之得t ＝65.故存在实数t ＝65使C ，D ，E 三点在一条直线上．『课堂练通考点』1．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量． ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小． ③λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零．④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中错误的命题的有________个．『解析』①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误，当a ＝0时，不论λ为何值，λa ＝0.④错误，当λ＝μ＝0时，λa ＝μb ＝0，此时，a 与b 可以是任意向量． 『答案』32.如下图，已知AB ＝a ，AC ＝b ，BD ＝3DC ，用a ，b 表示AD ，则AD ＝________.『解析』∵CB ＝AB －AC ＝a －b ，又BD ＝3DC ，∴CD ＝14CB ＝14(a －b )，∴AD ＝AC ＋CD ＝b ＋14(a －b )＝14a ＋34b .『答案』14a ＋34b3．(2013·苏锡常镇二调)已知点P 在△ABC 所在的平面内，若2PA ＋3PB ＋4PC ＝3AB ，则△P AB 与△PBC 的面积的比值为________．『解析』因为2PA ＋3PB ＋4PC ＝3AB ，所以2PA ＋3PB ＋4PC ＝3PB －3PA ， 即5PA ＋4PC ＝0，所以△P AB 与△PBC 的面积的比为P A ∶PC ＝4∶5. 『答案』454.(2014·“江南十校”联考)如下图，在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于D ，若AB ＝4，且AD ＝14AC ＋λAB (λ∈R )，则AD 的长为________．『解析』因为B ，D ，C 三点共线，所以有14＋λ＝1，解得λ＝34，如下图，过点D 分别作AC ，AB 的平行线交AB ，AC 于点M ，N ，则AN ＝14AC ，AM ＝34AB ，经计算得AN ＝AM ＝3，AD ＝3 3.『答案』335．在▱ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，AN ＝3NC ，M 为BC 的中点，则MN ＝________(用a ，b 表示)．『解析』由AN ＝3NC 得4AN ＝3AC ＝3(a ＋b )，AM ＝a ＋12b ，所以MN ＝34(a ＋b )－⎝⎛⎭⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b . 『答案』－14a ＋14b6．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC2＝16，|AB＋AC|＝|AB－AC|，则|AM|＝________.『解析』由|AB＋AC|＝|AB－AC|可知，AB⊥AC，则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，因此，|AM|＝12|BC|＝2.『答案』2。

高中数学复习教案平面向量的基本概念回顾高中数学复习教案：平面向量的基本概念回顾一、引言在高中数学学习中，平面向量是一个重要且基础的概念。

本教案将回顾平面向量的基本概念，包括向量的定义、表示方法以及向量的运算规则。

通过复习这些基本知识，学生们将能够更好地理解和应用向量相关的数学问题。

二、向量的定义向量可以看作是有大小和方向的量，通常用一个有方向的箭头来表示。

在二维平面中，一个向量由两个坐标表示，分别表示向量在横轴和纵轴上的分量。

假设有向量`AB`，则可以表示为`(x,y)`。

三、向量的表示方法1. 坐标表示法：向量`AB`可以用坐标`A(x1,y1)`和`B(x2,y2)`来表示，即`AB=(x2-x1, y2-y1)`。

2. 分量表示法：向量`AB`可以用其横轴分量`a`和纵轴分量`b`来表示，即`AB=(a,b)`。

3. 简化表示法：向量`AB`可以用一个小写字母加上一个向右箭头的符号来表示，即`→v`。

四、向量的运算规则1. 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律。

即对于向量`→v`、`→u`和`→w`，有`→v+→u=→u+→v`和`→v+(→u+→w)=(→v+→u)+→w`。

2. 向量的数量乘法：向量与一个实数相乘，其结果是一个方向相同（或相反）且长度是原向量长度的绝对值倍数的向量。

即对于实数`k`和向量`→v`，有`k→v=(kx, ky)`。

3. 向量的减法：向量的减法可以看作是加上一个相反向量。

即对于向量`→v`和`→u`，`→v-→u=→v+(-→u)`。

五、向量的基本性质1. 零向量：零向量是一个特殊的向量，表示大小和方向都为零。

记作`→0`。

2. 负向量：对于向量`→v`，其负向量是方向相反、长度相同的向量，记作`-→v`。

3. 向量的模：向量的模表示向量的长度，记作`|→v|`。

在二维平面中，向量`→v=(x,y)`的模为`|→v|=√(x^2+y^2)`。

4. 单位向量：单位向量是长度为1的向量。

高三数学一轮复习精品教案――平面向量一、本章知识结构：二、重点知识回顾1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母a 、b等表示；③平面向量的坐标表示：分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底。

任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得axi yj =+ ，),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作(,)a x y =，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标， 特别地，i (1,0)=，j (0,1)=，0(0,0)= 。

a =；若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=，A B =3.零向量、单位向量：①长度为0的向量叫零向量，记为0； ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.就是单位向量）4.平行向量：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.向量a 、b 、c 平行，记作a ∥b ∥c.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.5.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.6.向量的加法、减法：①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。

向量加法的三角形法则和平行四边形法则。

②向量的减法向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差。

即：a -b = a+ (-b )；差向量的意义： OA = a, OB =b, 则BA =a- b③平面向量的坐标运算：若11(,)a x y = ，22(,)b x y = ，则a b +),(2121y y x x ++=，a b -),(2121y y x x --=，(,)a x y λλλ= 。

④向量加法的交换律：a +b =b +a ；向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c )7．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa（1）|λa|=|λ||a|；（2）λ>0时λa与a方向相同；λ<0时λa与a方向相反；λ=0时λa =0；（3）运算定律 λ(μa )=(λμ)a ，(λ+μ)a =λa +μa ，λ(a +b )=λa +λb8． 向量共线定理 向量b 与非零向量a共线（也是平行）的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa。

第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第一节平面向量的概念及其线性运算知识点一向量的有关概念1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．2．零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．3．单位向量：长度等于1个单位的向量．4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量．规定：0与任一向量共线．5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．1．(必修4P78A组第6题)有关向量概念，下列命题中正确的是(D) A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B．模相等的两个平行向量是相等向量C．若a和b都是单位向量，则a＝bD．两个相等向量的模相等解析：A.若两个向量相等，则它们的起点和终点不一定重合；B.模相等的两个平行向量是相等向量是错误的，可以是方向相反的向量；C.若a和b 都是单位向量，则模是相等的，但是两个向量不一定相等；D.两个相等向量的模相等是正确的．知识点二向量的线性运算2．D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →等于( A ) A ．－BC →＋12BA →B ．－BC →－12BA →C .BC →－12BA →D .BC →＋12BA →解析：如图．3．(必修4P92习题2.2B 组第5题改编)在平行四边形ABCD 中，若|AB→＋AD →|＝|AB →－AD →|，则四边形ABCD 的形状为矩形．解析：如图，因为AB →＋AD →＝AC →，AB →－AD →＝DB →，所以|AC →|＝|DB →|.由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD 是矩形． 知识点三 共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa.4．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，所以a ∥b .若a ∥b ，则a ＋b ＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．5．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝12. 解析：∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12.1．两个要点理解向量相关概念时，抓住两个要点：大小、方向． 2．两特殊向量(1)零向量的方向可任意． (2)任意方向上都有单位向量．3．运算法则两非零向量不共线求和时，两个法则都适用；共线时，只适用三角形法则．4．两个结论(1)若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP →＝12(OA →＋OB →)． (2)OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若点A ，B ，C 共线，则λ＋μ＝1.考向一 平面向量的概念【例1】 (1)下列说法正确的是( )A ．长度相等的向量叫做相等向量B ．共线向量是在同一条直线上的向量C ．零向量的长度等于0D ．AB →∥CD →就是AB →所在的直线平行于CD →所在的直线 (2)下列命题正确的是( ) A ．若|a |＝|b |，则a ＝b B ．若|a |>|b |，则a >b C ．若a ＝b ，则a ∥bD ．若|a |＝0，则a ＝0【解析】 (1)长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故A 不正确；方向相同或相反的非零向量叫做共线向量，但共线向量不一定在同一条直线上，故B 不正确；显然C 正确；当AB →∥CD →时，AB →所在的直线与CD →所在的直线可能重合，故D 不正确．(2)对于A ，当|a |＝|b |，即向量a ，b 的模相等时，方向不一定相同，故a ＝b 不一定成立；对于B ，向量的模可以比较大小，但向量不可以比较大小，故B 不正确；C 显然正确；对于D ，若|a |＝0，则a ＝0，故D 不正确，故选C.【答案】 (1)C (2)C(1)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小；(2)大小与方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征； (3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上.(1)给出下列命题：①若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ； 其中正确命题的序号是①②.(2)若a ，b 都为非零向量，则使a |a |＋b|b |＝0成立的条件是a 与b 反向共线．解析：(1)①正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同， 又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c . ②正确．∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →， 又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形； 反之，若四边形ABCD 为平行四边形， 则AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|，因此，AB →＝DC →.③不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是①②. 考向二 平面向量的线性运算【例2】 (1)如图所示，在△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD ＝2DB ，点E 在AD 上，且AD ＝3AE ，则CE →＝( )A.29AB →＋89AC →B.29AB →－89AC →C.29AB →＋79AC →D.29AB →－79AC →(2)在△ABC 中，D 为△ABC 所在平面内一点，且AD →＝13AB →＋12AC →，则S △BCDS △ABD＝( )A.16B.13C.12D.23【解析】 (1)由平面向量的三角形法则及向量共线的性质可得AE →＝13AD →，AD →＝AB →＋BD →，BD →＝13BC →，BC →＝BA →＋AC →，则BD →＝13(BA →＋AC →)，所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BA →＋13AC →，所以AE →＝13AB →＋13BA →＋13AC →，所以CE →＝CA →＋AE →＝CA →＋13AB →＋19BA →＋19AC →＝29AB →＋89CA →＝29AB →－89AC →，故选B.(2)由AD →＝13AB →＋12AC →得点D 在平行于AB 的中位线上，从而有S △ABD ＝12S △ABC ，又S △ACD ＝13S △ABC ，所以S △BCD ＝1－12－13S △ABC ＝16S △ABC ，所以S △BCD S △ABD ＝13.故选B.【答案】 (1)B (2)B向量线性运算的解题策略(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则．(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．(1)(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( A )A.34AB →－14AC →B.14AB →－34AC →C.34AB →＋14AC →D.14AB →＋34AC →(2)如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，且DE →＝xAB →＋yAD →，则( D )A ．x ＝－1，y ＝－12 B ．x ＝1，y ＝12 C ．x ＝－1，y ＝12D ．x ＝1，y ＝－12(3)已知O 为△ABC 内一点，满足4AO →＝AB →＋2AC →，则△AOB 与△AOC 的面积之比为( D )A ．B ．C ．D ．解析：(1)解法1：如图所示，EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →)＝34AB →－14AC →，故选A.解法2：EB →＝AB →－AE →＝AB →－12AD →＝AB →－12×12(AB →＋AC →)＝34AB →－14AC →，故选A.(2)因为DE →＝DC →＋CE →＝AB →－12AD →，所以x ＝1，y ＝－12，所以选D.(3)如图所示，延长AC 到点F ，使AC ＝CF ，以AB ，AF 为邻边作平行四边形ABEF ，对角线AE 交BC 于点D ，故4AO →＝AB →＋2AC →＝AE →，即点O 在AE 上，则△AOB 与△AOC 的高分别为B ，C 到AE 的距离．由平行四边形的性质得△ADC ∽△EDB ，且相似比为，即CD BD ＝，又因为△AOB ，△AOC 的底边均为AO ，高的比等于BD DC ＝，所以△AOB与△AOC 的面积之比为考向三 共线定理及应用 方向1 判断向量共线【例3】 (1)已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 共线反向，则实数λ的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12(2)已知平面内一点P 及△ABC ，若P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则点P 与△ABC 的位置关系是( )A ．点P 在线段AB 上 B ．点P 在线段BC 上 C ．点P 在线段AC 上D ．点P 在△ABC 外部【解析】 (1)由于c 与d 共线反向，则存在实数k 使c ＝k d (k <0)，于是λa ＋b ＝k [a ＋(2λ－1)b ]．整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .由于a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12.又因为k <0，所以λ<0，故λ＝－12.(2)由P A →＋PB →＋PC →＝AB →知：P A →＋PB →＋PC →＝PB →－P A →，即：PC →＝－2P A →，故点P 在线段AC 上．【答案】 (1)B (2)C 方向2 三点共线问题【例4】 (1)已知数列{a n }为等差数列，且满足OA →＝a 1OB →＋a 2 017OC →，若AB →＝λAC →(λ∈R )，点O 为直线BC 外一点，则a 1 009＝( )A ．3B ．2C ．1D.12(2)如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋29AC →，则实数m 的值为( )A ．13B ．19C ．1D ．3【解析】 (1)∵数列{a n }为等差数列，满足OA →＝a 1OB →＋a 2 017OC →，其中A ，B ，C 在一条直线上，O 为直线AB 外一点，∴a 1＋a 2 017＝1，∵数列{a n }是等差数列，∴{a n }的2a 1 009＝a 1＋a 2 017＝1，a 1 009＝12. (2)∵AN →＝13NC →，∴AN →＝14AC →， 又AP →＝mAB →＋29AC →＝mAB →＋89AN →， 所以m ＋89＝1，m ＝19，故选B. 【答案】 (1)D (2)B1.准确理解共线向量定理a ∥b 等价于存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立． 2．共线向量定理是解决三点共线问题的有利工具解题过程中常用到结论：“P ，A ，B 三点共线”等价于“对直线AB 外任意一点O ，总存在非零实数λ，使OP →＝λOA →＋(1－λ)OB →成立”．1．(方向1)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋4b 与a －2b 共线，则m 的值为( D )A.12 B ．2C ．－12D ．－2解析：由题意可知m a ＋4b ＝m (2,3)＋4(－1,2)＝(2m －4,3m ＋8)，a －2b ＝(2,3)－2(－1,2)＝(4，－1)．∵m a ＋4b 与a －2b 共线，∴(2m －4)·(－1)＝(3m ＋8)·4.∴m ＝－2，故选D.2．(方向2)在△ABC 中，点H 是边BC 上异于端点B ，C 的一点，M 是AH 的中点，AM →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝12.解析：∵点H 是边BC 上异于端点B ，C 的一点，∴存在实数t 使得BH →＝tBC →(0<t <1)，∴AH →＝AB →＋BH →＝AB →＋tBC →＝AB →＋t (AC →－AB →)＝(1－t )AB →＋tAC →.∵M 为AH 中点，∴AM →＝12AH →＝1－t 2AB →＋t 2AC →，∴⎩⎨⎧λ＝1－t 2，μ＝t 2，∴λ＋μ＝1－t 2＋t 2＝12.共线定理的一个有效推广——等和线定理根据平面向量基本定理，如果P A →，PB →为同一平面内两个不共线的向量，那么这个平面内的任意向量PC →都可以由P A →，PB →唯一线性表示：PC →＝xP A →＋yPB →.特殊地，如果点C 正好在直线AB 上，那么x ＋y ＝1，反之如果x ＋y ＝1，那么点C 一定在直线AB 上．于是有三点共线结论：已知P A →，PB →为平面内两个不共线的向量，设PC →＝xP A →＋yPB →，则A ，B ，C 三点共线的充要条件为x ＋y ＝1.共线定理的推广——等和线以上讨论了点C 在直线AB 上的特殊情况，得到了平面向量中的三点共线结论．下面讨论点C 不在直线AB 上的情况．如图所示，直线DE ∥AB ，C 为直线DE 上任一点，设PC →＝xP A →＋yPB →(x ，y ∈R )．1．等和线定义在向量起点相同的前提下，所有以与两向量终点所在的直线平行的直线上的点为终点的向量，其基底的系数和为定值，这样的线，我们称之为“等和线”．2．相关(1)当直线DE 经过点P 时，容易得到x ＋y ＝0.(2)当直线DE 不过点P 时，直线PC 与直线AB 的交点记为F ，因为点F 在直线AB 上，所以由三点共线结论可知，若PF →＝λP A →＋μPB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ＝1.由△P AB 与△PED 相似，知必存在一个常数m ∈R ，使得PC →＝mPF →，则PC →＝mPF →＝mλP A →＋mμPB →.又PC →＝xP A →＋yPB →(x ，y ∈R )， 所以x ＋y ＝mλ＋mμ＝m . 以上过程可逆．典例1 如图，在正六边形ABCDEF 中，P 是△CDE 内(包括边界)的动点，设AP →＝αAB →＋βAF →(α，β∈R )，则α＋β的取值范围是________．【解析】 直线BF 为m ＝1的等和线，当P 在△CDE 内时，直线EC 是最近的等和线，过D 点的等和线是最远的，所以α＋β∈[AN AM ，ADAM ]＝[3,4]．【答案】 [3,4]典例2 给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3，如图所示，点C 在以O 为圆心的弧AB 上变动，若OC →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则x ＋y 的最大值是________．【解析】 所有与直线AB 平行的直线中，切线离圆心最远，即此时m 取得最大值，结合角度，不难得到m max ＝2.【答案】 21．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2∈R )，则λ1＋λ2的值为12.解析：如图，过点A 作AF →＝DE →，设AF 与BC 的延长线交于点H ，易知AF ＝FH ，∴DF ＝12BH ，因此λ1＋λ2＝12.2．如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝π3，C 为弧AB 上的动点，若OC →＝xOA →＋yOB →，则x ＋3y 的取值范围是[1,3]．解析：OC →＝xOA →＋3y (OB →3)，如图，作OB ′→＝OB →3，则考虑以向量OA →，OB ′→为基底．显然，当C 在A 点时，经过m ＝1的等和线，当C 在B 点时，经过m ＝3的等和线，这两条线分别是最近与最远的等和线，所以x ＋3y 的取值范围是[1,3]．。

百度告诉我文件有雷同无法上传给我的雷同资料边都沾不到没有办法只有加点其他东西在里面，看能不能通过战友们自己删除一下多余资料就可以了！！！付出老师的爱挖掘学生的美——论情感教育在班集体建设中的作用一、彼此交流中学生是渴望理解与交流的。

对于一个班主任来说，他可以借助于师生之间的交流来传递老师的爱与关心。

但要注意的是，交流应该建立在理解的基础之上。

在实际的教育工作中，我进行了初步尝试，效果颇佳。

举两个例子来说：事例一俞同学父母离异，性格自负并且逆反心理很强，但是成绩很差，经常犯错误。

一次，物理老师让他放学后留下来补课，他却因为肚子饿先去吃饭了，饭后他去找物理老师，物理老师已经走了。

第二天，物理老师找他进行教育批评，他却不服气，与物理老师发生了争执。

了解情况后，我并没有立即将他叫到办公室训斥一番，而是等到放学后，我等在他回宿舍必须经过的那条路上。

看到他，我走过去，就好像是偶然遇到一样。

我和他边走边聊，从目前的世界杯赛事到家常到学习情况。

可能还是因为昨天的事，他一开始并不怎么说话。

渐渐地发现我并没有恶意，话终于多了起来。

我见时机成熟了，便切入正题，问他昨天究竟是怎么一回事。

他一五一十将情况告诉了我。

还特别强调他是去过物理老师办公室的，但只是完了一点。

我告诉他我相信他是去的，而且表示理解。

因为肚子饿了谁也做不了事情。

接着我又问他当时是几点钟，他有点迷惑，不解的说六点左右，我告诉他物理老师的家离学校有半个多小时的路程，就算帮他补习半个小时的课，那么物理老师也得七点钟才能到家吃上晚饭。

我又问他，物理老师为什么这么做呢他沉默了，但我看得出来这小子已经有点想法了。

败兵不可穷追，我告诉他我并不要这个问题的答案，心里明白就行。

然后拍拍他的肩膀让他去吃饭。

第二天，物理老师对我说他收到了一张条，上面是这样写的：对不起，老师。

这件事情过后，俞同学各方面的表现确实比先前有了较大的进步。

其实，处于青春期的学生逆反心理较强，尤其是男同学。

第一节平面向量的概念及其线性运算向量的线性运算及几何意义(1)理解平面向量的有关概念及向量的表示方法．(2)掌握向量加法、减法、数乘的运算及其几何意义．(3)理解两个向量共线的含义．(4)了解向量线性运算的性质及其几何意义．知识点一向量的有关概念易误提醒1．对于平行向量易忽视两点：(1)零向量与任一向量平行．(2)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件．2．单位向量的定义中只规定了长度没有方向限制．[自测练习]1．若向量a与b不相等，则a与b一定()A．有不相等的模B．不共线C．不可能都是零向量D．不可能都是单位向量解析：若a与b都是零向量，则a＝b，故选项C正确．答案：C2．若m∥n，n∥k，则向量m与向量k()A．共线B．不共线C．共线且同向D．不一定共线解析：可举特例，当n＝0时，满足m∥n，n∥k，故A，B，C选项都不正确，故D正确．答案：D知识点二向量的线性运算平行四边形法则易误提醒1．作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点．2．数乘向量仍为向量只是模与方向发生变化，易认为数乘向量为实数．[自测练习]3．(2016·通州模拟)已知在△ABC 中，D 是BC 的中点，那么下列各式中正确的是( )A.AB→＋AC →＝BC → B.AB →＝12BC →＋DA → C.AD→－DC →＝AC → D ．2CD→＋BA →＝CA → 解析：本题考查向量的线性运算．A 错，应为AB→＋AC →＝2AD →；B 错，应为12BC →＋DA →＝BD →＋DA →＝BA →；C 错，应为AC →＝AD →＋DC →；D 正确，2CD→＋BA →＝CB →＋BA →＝CA →，故选D. 答案：D知识点三 共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa .易误提醒1．在向量共线的重要条件中易忽视“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．2．要注意向量共线与三点共线的区别与联系． 必记结论 三点共线等价关系：A ，P ，B 三点共线⇔AP →＝λAB →(λ≠0)⇔OP →＝(1－t )·OA→＋tOB →(O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，t ∈R )⇔OP →＝xOA →＋yOB →(O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)．[自测练习]4．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________.解析：由题意知a ＋λb ＝k [－(b －3a )]，所以⎩⎨⎧λ＝－k ，1＝3k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝13，λ＝－13.答案：－13考点一 向量的基本概念|1．(2015·郑州二模)已知a ，b ，c 是任意向量，给出下列命题： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ∥b ，则a ，b 方向相同或相反； ③若a ＝－b ，则|a |＝|b |；④若a ，b 不共线，则a ，b 中至少有一个为零向量，其中正确命题的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：按照平面向量的概念逐一判断．若b ＝0，则①②都错误；若a ＝－b ，则|a |＝|b |，③正确；若a ，b 不共线，则a ，b 中一定没有零向量，④错误，所以正确命题只有1个．答案：D2．设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使a |a |＋b|b |＝0成立的是( )A ．a ＝2bB ．a ∥bC ．a ＝－13bD ．a ⊥b解析：由a |a |＋b |b |＝0得a |a |＝－b |b |≠0，即a ＝－b|b |·|a |≠0，则a ，b共线且方向相反，因此当向量a ，b 共线且方向相反时，能使a |a |＋b|b |＝0成立．对照各个选项可知，选项A 中向量a ，b 的方向相同，选项B 中向量a ，b 共线，方向相同或相反，选项C 中向量a ，b 的方向相反，选项D 中向量a ，b 互相垂直，故选C.答案：C解决向量的概念问题应关注五点(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键． (2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (3)共线向量即平行向量，它们均与起点无关．(4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈．(5)非零向量a 与a |a |的关系：a|a |是a 方向上的单位向量．考点二 平面向量的线性运算|(1)(2015·高考课标卷Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC→＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC → B.AD →＝13AB →－43AC → C.AD →＝43AB →＋13AC → D.AD →＝43AB →－13AC → [解析] 由题意得AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13AC →－13AB →＝－13AB →＋43AC →，故选A.[答案] A(2)(2015·东北三校联考(二))已知在△ABC 中，D 是AB 边上的一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________. [解析] 因为AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，所以CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，所以λ＝23. [答案] 23平面向量线性运算问题的两种类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合平行四边形法则．(2)求已知向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．1．设O 为△ABC 内部的一点，且OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△AOC 的面积与△BOC 的面积之比为( )A.32 B.53 C ．2D ．1解析：取AB 的中点E ，连接OE ，则有OA→＋OB →＋2OC →＝2(OE →＋OC→)＝0，OE →＋OC →＝0，所以E ，O ，C 三点共线，所以有△AEO 与△BEO 面积相等，因此△AOC 的面积与△BOC 的面积之比为1，故选D.答案：D考点三 共线向量定理的应用|(2015·高考全国卷Ⅱ)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a＋2b 平行，则实数λ＝________.[解析] 由于λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以存在μ∈R ，使得λa ＋b ＝μ(a ＋2b )，即(λ－μ)a ＋(1－2μ)b ＝0，因为向量a ，b 不平行，所以λ－μ＝0,1－2μ＝0，解得λ＝μ＝12.[答案] 121．共线向量定理的应用(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值．(2)若a ，b 不共线，则λa ＋μb ＝0的充要条件是λ＝μ＝0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛．2．证明三点共线的方法若AB →＝λAC →，则A 、B 、C 三点共线．2．设两个非零向量e 1和e 2不共线．(1)如果AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2，求证：A ，C ，D 三点共线；(2)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，AF →＝3e 1－k e 2，且A ，C ，F 三点共线，求k 的值．解：(1)证明：AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，∴AC →＝AB →＋BC →＝4e 1＋e 2， 又CD →＝－8e 1－2e 2， ∴CD→＝－2AC →，∴AC →与CD →共线． 又∵AC→与CD →有公共点C ，∴A ，C ，D 三点共线． (2)∵AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2， ∴AC →＝AB →＋BC →＝3e 1－2e 2. ∵A ，C ，F 三点共线．∴AC→∥AF →，从而存在实数λ，使得AC →＝λAF →. ∴3e 1－2e 2＝3λe 1－λk e 2， 又e 1，e 2是不共线的非零向量，∴⎩⎨⎧3＝3λ，－2＝－λk ，因此k ＝2.∴实数k 的值为2.13.方程思想在平面向量呈线性运算中的应用【典例】 如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，设OA→＝a ，OB →＝b .试用a 和b 表示向量OM→. [思路点拨] (1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去．(2)既然OM→能用a ，b 表示，那我们不妨设出OM →＝m a ＋n b . (3)利用向量共线建立方程，用方程的思想求解． [解] 设OM→＝m a ＋n b ， 则AM→＝OM →－OA →＝m a ＋m b －a ＝(m －1)a ＋n b . AD →＝OD →－OA →＝12OB →－OA →＝－a ＋12b . 又∵A ，M ，D 三点共线，∴AM →与AD →共线． ∴存在实数t ，使得AM →＝tAD →， 即(m －1)a ＋n b ＝t ⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋12b .∴(m －1)a ＋n b ＝－t a ＋12t b .∴⎩⎨⎧m －1＝－t ，n ＝t 2，消去t 得，m －1＝－2n ，即m ＋2n ＝1.①又∵CM →＝OM →－OC →＝m a ＋n b －14a ＝⎝⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ，CB →＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b . 又∵C ，M ，B 三点共线，∴CM→与CB →共线． ∴存在实数t 1，使得CM →＝t 1CB →， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ＝t 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a ＋b ， ∴⎩⎨⎧m －14＝－14t 1，n ＝t 1.消去t 1得，4m ＋n ＝1.②由①②得m ＝17，n ＝37，∴OM →＝17a ＋37b .[方法点评] (1)本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度．(2)易错点是，找不到问题的切入口，想不到利用待定系数法求解．(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．如本题易忽视A ，M ，D 三点共线和B ，M ，C 三点共线这个几何特征．(4)方程思想是解决本题的关键，要注意体会．[跟踪练习] 如图，△ABC 中，GA→＋GB →＋GC →＝0，CA →＝a ，CB →＝b .若CP →＝m a ，CQ →＝n b ，CG ∩PQ ＝H ，CG →＝2CH →，则1m ＋1n ＝________.解析：由GA→＋GB →＋GC →＝0，知G 为△ABC 的重心，取AB 的中点D (图略)，则CH →＝12CG →＝13CD →＝16(CA →＋CB →)＝16m CP →＋16n CQ →，由P ，H ，Q 三点共线，得16m ＋16n ＝1，则1m ＋1n ＝6.答案：6A 组 考点能力演练1．关于平面向量，下列说法正确的是( ) A ．零向量是唯一没有方向的向量 B ．平面内的单位向量是唯一的C ．方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量D ．共线向量就是相等向量解析：对于A ，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A 不正确；对于B ，单位向量的模为1，其方向可以是任意方向，故B 不正确；对于C ，方向相反的向量一定是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量，故C 正确；对于D ，由共线向量和相等向量的定义可知D 不正确，故选C.答案：C2．已知O ，A ，B ，C 为同一平面内的四个点，若2AC →＋CB →＝0，则向量OC→等于( ) A.23OA →－13OB →B ．－13OA →＋23OB →C ．2OA→－OB → D ．－OA→＋2OB →解析：因为AC →＝OC →－OA →，CB →＝OB →－OC →，所以2AC →＋CB →＝2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝OC →－2OA →＋OB →＝0，所以OC →＝2OA →－OB →，故选C.答案：C3．(2015·嘉兴一模)已知在△ABC 中，M 是BC 的中点，设CB →＝a ，CA→＝b ，则AM →＝( ) A.12a －b B.12a ＋b C ．a －12bD ．a ＋12b解析：AM →＝AC →＋CM →＝－CA →＋12CB →＝－b ＋12a . 答案：A4.(2015·海淀期中)如图所示，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，且BD ＝2DC ，若AC →＝mAB →＋nAD →(m ，n ∈R )，则m －n ＝( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1解析：AC →＝AB →＋BC →＝AB →＋32BD →＝AB →＋32(AD →－AB →)＝－12AB →＋32AD →，则m ＝－12，n ＝32，所以m －n ＝－2.答案：B5．若a ，b 是两个不共线的非零向量，a 与b 的起点相同，已知a ，tb ，13(a ＋b )三个向量的终点在同一条直线上，则t ＝( )A.12 B ．－12 C ．2 D ．－2解析：设OA →＝a ，OB →＝t b ，OC →＝13(a ＋b )，则AC →＝OC →－OA →＝－23a ＋13b ，AB →＝OB →－OA →＝t a －a .要使A ，B ，C 三点共线，只需AC →＝λAB →，即－23a ＋13b ＝λt b －λa 即可，又a ，b 是两个不共线的非零向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧－23＝－λ，13＝λt ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，t ＝12，∴当三个向量的终点在同一条直线上时，t ＝12.答案：A6．(2016·长沙一模)在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC →＝5e 1，DC →＝3e 2，则OC →＝________.(用e 1，e 2表示) 解析：在矩形ABCD 中，因为O 是对角线的交点，所以OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)＝12(DC →＋BC →)＝12(5e 1＋3e 2)．答案：12(5e 1＋3e 2)7．已知向量e 1，e 2是两个不共线的向量，若a ＝2e 1－e 2与b ＝e 1＋λe 2共线，则λ＝________.解析：因为a 与b 共线，所以a ＝x b ，⎩⎨⎧x ＝2，λx ＝－1，故λ＝－12.答案：－128.(2016·青岛一模)已知点G 是△ABC 的外心，GA →，GB →，GC →是三个单位向量，且2GA →＋AB →＋AC →＝0，如图所示，△ABC 的顶点B ，C 分别在x 轴的非负半轴和y 轴的非负半轴上移动，O 是坐标原点，则|OA →|的最大值为________．解析：因为点G 是△ABC 的外心，且2GA→＋AB →＋AC →＝0，所以点G 是BC 的中点，△ABC 是直角三角形，且∠BAC 是直角．又GA →，GB →，GC→是三个单位向量，所以BC ＝2，又△ABC 的顶点B ，C 分别在x 轴的非负半轴和y 轴的非负半轴上移动，所以点G 的轨迹是以原点为圆心、1为半径的圆弧．又|GA →|＝1，所以当OA 经过BC 的中点G 时，|OA→|取得最大值，且最大值为2|GA →|＝2. 答案：29．已知a ，b 不共线，OA→＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OE →＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c,2b ＝d ，e ＝t (a ＋b )，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值，若不存在，请说明理由．解：由题设知，CD→＝d －c ＝2b －3a ，CE →＝e －c ＝(t －3)a ＋t b ，C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE →＝kCD →，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ，整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b .因为a ，b 不共线，所以有⎩⎨⎧t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，解之得t ＝65.故存在实数t ＝65使C ，D ，E 三点在一条直线上．10．设O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)．求点P 的轨迹，并判断点P 的轨迹通过下述哪一个定点：①△ABC 的外心；②△ABC 的内心；③△ABC 的重心；④△ABC 的垂心．解：如图，记AM →＝AB →|AB →|，AN →＝AC →|AC→|，则AM→，AN →都是单位向量，∴|AM →|＝|AN →|，AQ →＝AM →＋AN →，则四边形AMQN 是菱形，∴AQ 平分∠BAC .∵OP→＝OA →＋AP →，由条件知OP →＝OA →＋λAQ →， ∴AP→＝λAQ →(λ∈[0，＋∞))，∴点P 的轨迹是射线AQ ，且AQ 通过△ABC 的内心．B 组 高考题型专练1．(2014·高考新课标全国卷Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB→＋FC →＝( ) A.BC → B.12AD → C.AD→ D.12BC →解析：设AB →＝a ，AC →＝b ，则EB →＝－12b ＋a ，FC →＝－12a ＋b ，从而EB →＋FC →＝⎝⎛⎭⎪⎫－12b ＋a ＋⎝⎛⎭⎪⎫－12a ＋b ＝12(a ＋b )＝AD →，故选C. 答案：C2．(2015·高考陕西卷)对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是( )A ．|a·b |≤|a ||b |B ．|a －b |≤||a |－|b ||C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2解析：对于A 选项，设向量a ，b 的夹角为θ，∵|a·b |＝|a ||b ||cos θ|≤|a ||b |，∴A 选项正确；对于B 选项，∵当向量a ，b 反向时，|a －b |≥||a |－|b ||，∴B 选项错误；对于C 选项，由向量的平方等于向量模的平方可知，C 选项正确；对于D 选项，根据向量的运算法则，可推导出(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2，故D 选项正确，综上选B.答案：B3．(2013·高考江苏卷)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析：DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(BA →＋AC →)＝－16AB →＋23AC →，所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.答案：124．(2015·高考安徽卷)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论中正确的是________．(写出所有正确结论的编号)①a 为单位向量；②b 为单位向量；③a ⊥b ；④b ∥BC →；⑤(4a ＋b )⊥BC→. 解析：∵AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，∴a ＝12AB →，b ＝BC→，又△ABC 是边长为2的等边三角形，∴|a |＝1，|b |＝2，故①正确，②错误，③错误；由b ＝BC→，知b ∥BC →，故④正确；∵4a ＋b ＝2AB →＋BC →＝AB →＋AC →，∴(4a ＋b )·BC →＝(AB →＋AC →)·BC →＝－2＋2＝0，∴(4a ＋b )⊥BC →，故⑤正确．答案为①④⑤.答案：①④⑤。