基于 CMM 的平面度误差评定与数据处理

作者简介：刘合凡，1983 年生，男，湖北黄石人，硕士，主要从事计算机测控领域及核测 量技术方面的研究。
c=
(∑ xy∑ x − ∑ x∑ y2 )∑ xz + (∑ xy∑ x − ∑ y∑ x2 )∑ yz + (∑ x2 ∑ y2 − (∑ xy)2 )∑ z | A|
每一点的偏差为： f 偏差＝Z ij * − Z ij 其中 Z ij 和 Z ij 由式（1-10）和式（1-11）确定。 于是，平面度误差为： f 平面度误差＝ max(f 偏差 )－ min(f 偏差 )
Abstract
On the base of study the measurement of flatness error and related papers of three-coordinate measuring machine（CMM）at home and abroad，this paper used the CMM to measure the flatness error and to do the data processing． It also evaluated the flatness error with the Least Square Method， and used the programming soft wares such as EXCEL， LABVIEW， MATLAB and Visual C++ 6.0 to do the data processing. It proved that the processed result by CMM is consistent with the results by other programming soft wares． Keywords： CMM，Flatness，Error Evaluation，Least Square Method

基于 CMM 的平面度误差评定与数据处理
刘合凡，曾兵，葛良全
成都理工大学核技术与自动化工程学院，四川成都（610059）
E-mail：liuhefan@
摘 要:本文在分析国内外平面度误差测量以及三坐标测量机（CMM）有关文献的基础上， 利用三坐标测量机进行了平面度误差的测量和数据处理， 同时采用最小二乘法对平面度误差 进行了评定分析，并运用 Excel、Lab VIEW、MATLAB 和 Visual C++ 6.0 软件编程进行了数 据处理，实验表明三坐标测量机的数据处理结果与各种编程软件的处理结果基本一致。 关键词:CMM，平面度，误差，最小二乘法 中图分类号：TH029
2．CMM 测量原理
根据被测物体上各测点的空间坐标值， 经计算可以求出被测物体的几何尺寸、 形状和位 置参数。CMM 测量是将被测零件放入它容许的测量空间，精密地测出被测零件在 X、Y、Z 三个坐标位置的数值，根据这些点的数值经过计算机数据处理，拟合形成测量元素，如圆、 球、圆柱、圆锥、曲面等，经过数学计算得出形状、位置公差及其他几何量数据。
(a)公差标注 S----实际被测平面
(b)公差带 Z----公差带
图 1 平面度误差的测量 Fig1 The measurement of flatness error -1-

在评定平面度误差时， 寻找符合最小条件的理想平面是解决问题的关键。 平面度误差评 定方法复杂， 难以用传统仪器直接测量。 而 CMM 有点位， 自定中心和扫描等多种探测模式， 但无论使用何种探测模式，都是为了把被测元素表面形状的信息数值化，即“ 采样”。因此， CMM 通过测量程序测到的只是一系列离散测量点的空间坐标值，而不是需要的尺寸、位置 和形位误差的结果。 必须经过依据一定数学模型对这些离散坐标点集进行数据处理， 提取出 代表该要素的几何特征量，才能得到所需的测量结果。 由解析几何知道，三点可以定一个平面。从理论上讲，只要测量不在一条直线上的三个 点就可以确定一个平面。 但在任何时候任何地方都不可能存在绝对的平面实体， 因此采样的 点，并不一定能真正代表该平面。再者，即使选取的三点是非常出色的代表，也会由于在测 量中受到来自各个方面误差因素的干扰，使测点数据中包含这样或者那样的误差。因此，为 了减少误差的影响，通常应多测一些点，有时甚至多达数百个点。当实际测点数 N 超过确
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不妨令
∑ X i2 A = ∑ X iYi ∑ X i
∑XY ∑X ∑Y ∑Y N ∑Y
i i 2 j i j j
2ห้องสมุดไป่ตู้
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则：
| A |= N ∑ x 2 ∑ y 2 + 2∑ x ∑ y ∑ xy − (∑ x) 2 ∑ y 2 − (∑ y) 2 ∑ x 2 − N (∑ xy ) 2
可以看出,CMM 的数据处理结果与各种编程软件的处理结果基本一致。 参考文献
[1] [2] [3] [4] [5] [6] 刘巽尔．形状和位置公差——原理与应用［M］.北京：机械工业出版社，1996 程飞月．几种评定平面度误差的计算方法［J］ ．试验技术与试验机,2006，06:59 张国雄．三坐标测量机［M］.天津：天津大学出版社，1997 费业泰．误差理论与数据处理［M］.北京：机械工业出版社，2004 杨碧仪．由虚拟仪器 LabVIEW 实现最小区域法评定平面度误差［J］ ．现代制造工程，2004，12：76 李书平．基于 Excel 的平面度误差最小二乘法评定［J］ ．广西工学院学报自然科学版，2006，06：2
（1-5）
为最小。 利用数学分析中求极值的方法,即求出 ϕ(a,b,c)后,对 a、b、c 求偏微商,再使偏微商等于 零,得到 a、b、c。 即满足如下方程：
∂ϕ ∂a = −2∑ ( Z ij − aX i − bY − c j ) X i = 0 ∂ϕ = −2∑ ( Z ij − aX i − bY − c j )Y j = 0 ∂b ∂ϕ ∂c = −2∑ ( Z ij − aX i − bY − c j ) = 0
1．引 言
在实际的平面度测量当中，数据一般只有 Z 坐标值。这一测量方法要求工件的安装或 者测量工具符合一定角度如保持水平或者竖直。 而绝对的水平或者竖直是很难做到的， 势必 带来一定的误差。基于 CMM 的平面度测量的数据记录方式同时涵盖了 X、Y、Z 三个维度 的测量值， 可以从误差来源上消除由于工件安装或者测量工具带来的误差， 从而提高了检测 精度。 形位公差对零件的使用功能有很大的影响， 为了保证零件的互换性和工作精度等要求， 不仅要控制尺寸误差和表面粗糙度， 还必须控制零件的形位误差。 而对于形位公差带则必须 包含实际被测要素， 而且， 除非另有要求， 实际被测要素在形位公差带内可以具有任何形状。 形位公差带体现了对被测要素的设计要求，也是加工与检验的依据[1]。
2 2
(1-9) (1-10) (1-11) (1-12) (1-13) (1-14)
| A| 2 (∑ x ∑ y − N ∑ xy )∑ xz + ( N ∑ x − (∑ x) 2 )∑ yz + ( ∑ xy ∑ x − ∑ y ∑ x 2 )∑ z b= | A|
a=
( N ∑ y − (∑ y) )∑ xz + (∑ x∑ y − N ∑ xy)∑ yz + (∑ xy∑ y − ∑ x∑ y )∑ z
*
5．实验与结论
几何零件依据其作用的不同而形状各异，有的十分平整、规则，用一般的测量工具均可 以方便测量。 但有的零件或形状过于复杂或必须用专用仪器才能测量， 因而需要具体问题具 体分析。实验使用 Brown & Sharpe 公司的 GLOBAL IMAGE 71107 型 CMM(精度为 1um)对 一矩形多孔工件进行了测量。 为了便于实验结果的对比分析， 编程时数据处理的结果精确到 了 0.1um 。CMM 及各种软件处理方法对测量数据的处理结果如表 1 所示。
N 定被测要素所要求的最少点数 M 时，可能形成 CM 个不同的要素。以平面为例，确定一个
3 ＝120。 因此， 平面的最少点数 M 为 3， 当测量平面的点数 N 为 10 时， 可能形成的平面数 C10
必须依据一定的法则来确定唯一的被测要素。 根据精度要求和该元素在机器中的作用， 可以 确定和选用不同的评定基准， 如目前国家标准和国际标准中推荐的最小区域法， 最小二乘法 等。但目前理论上谈得最多的是最小区域法，但实际中采用最多的是最小二乘法[3]。
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基准数学模型为：
Zij * = aX i + bY j + c
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根据最小二乘法的原理： 必须使被测表面上全部观测值与评定基准的回归值偏差的平方 和达到最小，即：
* 2 ϕ(a,b,c)= ∑ ( Z ij − Z ij ) = ∑ ( Z ij − aX i − bY j − c )2
3．平面度误差测量与评定
平面度误差是指被测表面对理想平面的变动量，是用以控制被测实际平面的形状误差。 理想平面的方位应符合最小条件， 其方位应使被测表面对理想平面的最大变动量最小， 如图 1 所示。通过对工件的合理分析，在满足三角形准则或交叉准则的条件下[2]选择适当的布点 形式如对矩形平面可采取网格布点或对角线布点，在 CMM 空间里对工件进行测量。
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简化上述方程得：
2 ∑ X i Z ij ∑ X i ∑ Yi Z ij = ∑ X iYi X ∑ Z ij ∑ i
∑XY ∑X a b Y Y ∑ ∑ c N ∑Y
i i 2 j i j j
4．数据处理
本文采用最小二乘法确定被测要素，其基本原理[4]是：假定有一理想要素使得被测要素 的各点到该理想要素的距离的平方和最小， 那么该理想要素的特征参数即为所要求的被测要 素的参数。用最小二乘法确定的被测要素具有“ 唯一性”，且一般都能以数学表达式描述，适 于计算机求解。