成都七中实验学校高2013级高二上期10学月考试题数 学 (理科)一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分，请将答案填涂在答题卷的指定位置)1、对右图描述错误的是(A) A B αβ∈∈，； (B) =l αβ；(C) AB A α=； (D) 直线AB 与l 相交． 2、已知m n ，是两条不同的直线，αβγ，，是三个不同的平面，下列四个命题中，正确的是(A) 若m α⊥，n α∥，则m n ⊥； (B) 若αβ⊥，m α⊥，则m β∥； (C) 若m α∥，n α∥，则//m n ； (D) 若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ．3、已知三个平面两两垂直，给出命题：① 它们的交线一定交于一点； ② 它们的交线一定两两垂直； ③ 其中任意两个平面的交线一定与第三个平面垂直；④ 它们将空间分成8部分； 其中正确的命题一共有(A) 1个； (B) 2个； (C) 3个； (D) 4个．4、对于任意的直线l 和平面α，在平面α内必有直线m ，使m 与l (A) 平行； (B) 相交； (C) 垂直； (D) 异面．5、不等式组⎪⎩⎪⎨⎧><-+>+- 004201234y y x y x 所表示平面区域的面积为(A) 6； (B) 8； (C) 10； (D) 20．6、已知空间向量()3a =2，-1， ，()2b =--1，4， ，()c λ=7，0，，若a b c ， ， 三个向量共面，则实数λ= (A) 8； (B) 10； (C) 11；(D) 12．7、如图，在长方体''''ABCD A B C D -中，'2AA AB ==，1AD=，点E F G 、、分别为棱''DD AB CC 、、的中点，则异面直线'A E 与FG 所成的角是 (A) 30°； (B) 45°； (C) 60°； (D) 90°．8、由两个简单几何体构成的组合几何体的三视图中， 正视图和俯视图如右图所示，其中正视图中等腰三角 形的高为3，俯视图中的三角形均为等腰直角三角形， 半圆直径为2，则该几何体的体积为 (A)12π+； (B) 1π+； (C)22π+； (D) 2π+．俯视图正视图D'C'B'A'G FE D CB A9、如图所示，在正方形纸片ABCD 中，AC 与BD 相交于点 O ，剪去AOB △，将剩余部分沿OC OD 、折叠，使OA OB 、 重合，则在以()A B C D O 、、、为顶点的四面体中，二面角O AD C --的余弦值为(A)(B)(C)(D)10、已知一动点P 在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的内部，且点P 到棱1AB AD AA 、、的距离的平方和为2，则动点P 的轨迹和正方体的侧面所围成的几何体的体积为 (A)6π； (B) 3π； (C) 43π； (D) 83π．二、填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将答案填写在答题卷的指定位置) 11、与同一平面所成角均为45°的两条直线的位置关系是 ．12、若实数y x 、满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤02y y x x y ，则目标函数y x z 3+=的最大值为 ．13、如右图所示，网格纸的小正方形的边长是1，在其上 用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一 条棱与底面所成角的正弦值为．14、在空间直角坐标系中，已知正四面体A BCD -的顶点()000A ， ， ，()0B 0，2， ，)10C， ，则顶点D 的坐标为．15、在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =， 给出下列结论： ① 直线1AC 与BD 互相垂直；② 二面角1A BD C --的余弦值为13-；③ 1AC 与平面1A BD 的交点是线段1A C 的一个三等分点；④ 1AC 与平面1A BD 的交点是1A BD △的外心； ⑤ 1AC 与平面1A BD ． 其中正确的结论有 (请写出所有正确结论的序号)． ODCB A D 1C 1B 1A 1D CB A三、解答题：(本大题共6小题，共75分．请在答题卷的指定位置作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)16、(12分) 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱11A B 的中点，作出过点A C E 、、的截面与正方体各侧面的交线，并求出正方体被该平面截得的较小部分的体积．17、(12分) 如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E F 、分别为棱11AD C D 、的中点， (I) 分别作出四边形1BED F 在平面1111ABCD ABB A BCC B 、、内的投影，并求出投影的面积；投影一的面积为 ；投影二的面积为 ； 投影三的面积为 ；(II) 直线BF 与1ED 相交吗？ 答案： ；求直线BE 与1D F 所成角的正弦值．1A F ED 1C 1B 1A 1DCBA D CBAA B B 1A 1B CC 1B 118、(12分) 已知不等式组330210270x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩表示的区域为D ，(I) 在坐标系中作出区域D (用阴影部分表示)；(II) 若在可行域D 内，使目标函数z kx y =-的取得最小值的最优解有无数个，求实数k 的取值范围．yx11O19、(12分) 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ，D 为棱1AA 的中点，1AB AC AD ===，(I) 求证：平面1DBC ⊥平面11BCC B ； (II) 若直线1A B 与11B C 所成角为75°， 求二面角1B AA C --的余弦值．C 1B 1A 1D CBA20、(13分) 在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，2AC BC BD AE ===，M 是AB 的中点， (I) 求证：CM EM ⊥； (II) 求CM 与平面CAE 所成角的大小；(III) 求平面ABC 与平面CDE 所成锐二面角的余弦值．ME D C B A21、(14分) 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -后，()300B ， ， ，()0D 0，4， ，()105A 0， ， ，()333E ， ， ，一质点从A 点出发，沿直线向E点运动，然后会依次被长方体1111ABCD A B C D -的各个面反弹(符合反射定律)， 反弹点依次记为E F G ⋅⋅⋅⋅⋅⋅、、、 ，(I) 求反弹点F 的坐标；(II) 求质点到达第三个反弹点G 时的运动距离；(III) 试判断直线AE 与直线FG 的位置关系并证明你的结论．D 1B。
成都七中实验学校高二（上）第二次月考文科数学试题第Ⅰ卷一、选择题：（本大共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置．）1.某大学中文系共有本科生5000人，其中一、二、三、四年级的学生比为5：4：3：1， 要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为260的样本，则应抽二年级的学生 A ．80人 B ． 60人 C ． 100人 D ． 20人2．已知一组数据为20、30、40、50、60、60、70，则这组数据的众数、中位数、平均数的大小关系为 A ． 中位数 >平均数 >众数 B ． 众数 >中位数 >平均数C ． 众数 >平均数 >中位数D ． 平均数 >众数 >中位数 3．若某几何体的三视图（单位：cm ） 如图所示，则此几何体的体积 A ．π B ．π2C ．π3D ．π44．若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列结论正确的是A ．//,,l n αβαβ⊂⊂⇒//l nB ．,l αβα⊥⊂⇒l β⊥C ．,l n m n ⊥⊥⇒//l mD ．,//l l αβ⊥⇒βα⊥5． 对任意的实数k ，直线y =kx +1与圆222x y +=的位置关系一定是A ．相离B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心6．已知圆22:(2)(1)3C x y -++=，从点(1,3)P --发出的光线，经x 轴反射后恰好经过圆心C ，则入射光线的斜率为A .43-B .23- C .43 D .23 7．已知三棱锥A PBC -中，PA ⊥面,ABC AB AC ⊥22BA CA PA ===,则三棱锥A PBC -底面PBC 上的高是A．6B．3C ．3D ．38．执行右面的程序框图,如果输入的t ∈[-1,3], 则输出的s 属于A ．[-3,4]B . [-5,2]C . [-4,3]D . [-2,5]9．已知点P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k >0)上一动点，PA ，PB 是圆C ：x2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 为切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为俯视图A ．4B ．3C ．2 D10．如图所示，在棱长为2的正四面体A BCD -中，E 是棱AD 的中点，若P 是棱AC 上一动点，则BP PE +的最小值为A ．3 BC．1D11．若直线b x y +=与曲线224690(3)x x y y y -+-+=≤有公共点,则b 的取值范围是A ．]221,1[+-B ．]221,221[+- C．[1- D ．]3,21[-12．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且EF = 12．则下列结论中正确的个数．．．．．为 ①AC ⊥BE ；②EF ∥平面ABCD ；③三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值； ④AEF ∆的面积与BEF ∆的面积相等， A ．4 B ．3 C ．2 D ．1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
成都七中高2015届“高考热身考试”数学理科试题第Ⅰ卷(非选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合,则 =N C M R ( ) [)),0(.2,1.)4,0(.)2,0(.+∞D C B A答案：C2．已知复数z 满足i i z -=+1)1(3,则复数z 对应的点在（ ）上.A 直线x y 21-= 直线x y 21= 直线21-=x 直线21-=y答案：C3．已知命题，使25sin =x ；命题R x q ∈∀:，都有012>++x x .给出下列结论： ① 题是真命题 ②命题是假命题 ③命题是真命题 ④命题是假命题 其中正确的是（ ）②④②③③④①②③答案：B4．已知实数[]10,1∈x 执行如图所示的流程图，则输出的x 不小于63的概率为( )103.52.94.31.D C B A 答案：A5．函数)62sin(π-=x y 的图像与函数)3cos(π-=x y 的图像（ ）有相同的对称轴但无相同的对称中心 有相同的对称中心但无相同的对称轴 既有相同的对称轴但也有相同的对称中心 既无相同的对称中心也无相同的对称轴答案：A{}2lg,1x M x y N x x x -⎧⎫===<⎨⎬⎩⎭.B .C .D R x p ∈∃:""q p ∧""q p ⌝∧""q p ∧⌝""q p ⌝∨⌝.A .B .C .D .A .B .C .D6． 已知函数)(x f 的图像如图所示，则)(x f 的解析式可能是（ ）3121)(.x x x f A --=3121)(.x x x f B +-=3121)(.x x x f C -+=3121)(.x x x f D ---=答案：A7.已知点()0,2A ，抛物线C:2(0)y ax a =>（0a >）的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，若则a 的值等于（ ）答案：D解析：5:1:),0,4(=∴=MN KM MKMF a F ，则42421:2:=∴=∴=a a KM KN8.已知M 是ABC ∆内一点，且AB AC ⋅= ，30BAC ∠=，若MBC ∆、MAB ∆、MAC ∆的面积分别为12、x 、y ，则14x y+的最小值是（ ）答案：C9.⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,27.2,25.27,25.25,0.D C B A 答案：D4.1.21.41.D C B A 20.81.16.9.D C BA10. 已知实数d c b a ,,,满足1112=--=-d cb e a a 其中e 是自然对数的底数 , 则22)()(d bc a -+-的最小值为（ ）答案：A解析：∵实数满足，c d e a b a -=-=∴2,2，∴点),(b a 在曲线xe x y 2-=上，点),(d c 在曲线x y -=2上，22)()(d b c a -+-的几何意义就是曲线到曲线上点的距离最小值的平方．考查曲线上和直线平行的切线，xe y 21-=' ，求出上和直线平行的切线方程，，解得∴=,0x 切点为)2,0(-该切点到直线的距离2211220=+--=d 就是所要求的两曲线间的最小距离，故22)()(d b c a -+-的最小值为82=d ．故选A ．第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为 答案：π29解析：由三视图知，三棱锥有相交于一点的三条棱互相垂直，将此三棱锥补成长方体，它们有共同的外接球，ππ29422923322222==∴=++=R S R12.在52⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的二项展开式中，2x 的系数为____________.答案：4013.某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜为使一年的种植总利润（总利润＝总销售收入－总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为________． 答案：20,3018.12.10.8.D C B A d c b a ,,,1112=--=-d cb e a a xe x y 2-=x y -=2xe x y 2-=x y -=2x e x y 2-=x y -=2121-=-='x e y x y -=2解析：设黄瓜和韭菜的种植面积分别为y x ,亩，总利润z 万元，则目标函数y x y y x x z 9.0)9.063.0()2.1455.0(+=-⨯+-⨯=线性约束条件为⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0,0549.02.150y x y x y x即⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0,01803450y x y x y x ，做出可行域，求得)45,0(),20,30(),50,0(C B A 平移直线,9.0y x z +=可知直线,9.0y x z +=经过点),20,30(B 即20,30==y x 时，z 取得最大值.14.将9~1这9个数平均分成3组，则每组的3个数都成等差数列的分组方法的种数是 答案：解析：设3组中每组正中间的数分别c b a ,,且c b a <<，则15,45333=++=++c b a c b a ， 而42≤≤a ，故),,(c b a 所有可能取的值为)6,5,4(),7,5,3(),8,4,3(),7,6,2(),8,5,2(此时相对应的分组情况是());8,7,6(),9,5,1(),4,3,2();9,8,7(),6,4,2(),5,3,1();9,7,5(),8,6,4(,3,2,1);9,8,7(),6,5,4(),3,2,1()9,6,3(),8,5,2(),7,4,1(故分组方法有5种.15.如果)(x f 的定义域为R ，对于定义域内的任意x ，存在实数a 使得)()(x f a x f -=+成立，则称此函数具有“)(a P 性质”. 给出下列命题： ①函数x ysin =具有“)(a P 性质”；②若奇函数)(x f y =具有“)2(P 性质”，且1)1(=f ，则(2015)1f =；③若函数)(x f y =具有“(4)P 性质”， 图象关于点(10)，成中心对称，且在(1,0)-上单调递减，则)(x f y =在(2,1)--上单调递减,在(1,2)上单调递增；④若不恒为零的函数)(x f y =同时具有“)0(P 性质”和 “(3)P 性质”，且函数)(x g y =对R x x ∈∀21,，都有1212|()()||()()|f x f x g x g x -≥-成立，则函数)(x g y =是周期函数. 其中正确的是(写出所有正确命题的编号)．答案：①③④三、解答题，本大题共6小题，共75分. 16.（本小题满分12分）设函数R x x x x f ∈++=,cos 2)322cos()(2π. （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期和单调减区间；（Ⅱ）将函数的图象向右平移3π个单位长度后得到函数)(x g 的图象，求函数)(x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π 5)(x f上的最小值． 解析：（Ⅰ）x x x x x x f 2cos 12sin 232cos 21cos 2322cos )(2++--=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=π所以函数)(x f 的最小正周期为π.由πππ)12(322+≤+≤k x k ,可解得36ππππ+≤≤-k x k所以单调减区间是Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,3,6ππππ （Ⅱ）由（Ⅰ）得1)32cos(1)3)3(2cos()(+-=++-=πππx x x g 因为20π≤≤x ,所以32323πππ≤-≤-x 所以1)32cos(21≤-≤-πx ,因此，即)(x f 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21. 17.（本小题满分12分）甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为21,32,43，乙队每人答对的概率都是32．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分． （Ⅰ）求随机变量的分布列及其数学期望;（Ⅱ）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率． （1）的可能取值为3,2,1,041213141213241213143)1(;241213141)0(=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯===⨯⨯==ξξP P的分布列为1223413241124112410)(=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE （2）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A ,“甲队比乙队得分高”为事件B 则31313241313224113241)(213223333=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=C C C A P132cos 12sin 232cos 21+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-=πx x x 21)32cos(21≤+-≤πx ξ)(ξE ξ41213243)3(;2411213143213241213243)2(=⨯⨯===⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==ξξP P ξ1 23 P 241412411 41ξ181313241)(213=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=C AB P 613181)()()|(===∴A P AB P A B P 18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中， 四边形ABCD 是直角梯形，ABCD PC CD AB AD AB 底面⊥⊥,//,,E a PC CD AD AB ,2,422====是PB 的中点.（Ⅰ）求证：平面EAC ⊥平面PBC ； （Ⅱ）若二面角E AC P --的余弦值为36，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值． 解析：（Ⅰ）PC AC ABCD AC ABCD PC ⊥∴⊂⊥,,平面平面.2,2,4==∴===BC AC CD AD ABBC AC AB BC AC ⊥∴=+∴,222,又PBC AC C PC BC 平面⊥∴=,PBC EAC EAC AC 平面平面平面⊥∴⊂ .（Ⅱ）如图，以点C 为原点，,,分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，则)0,2,2(),0,2,2(),0,0,0(-B A C 。
2015-2016学年四川省成都七中高二（下）入学数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.1．（5分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β2．（5分）若直线l1：ax+2y+a+3＝0与l2：：x+（a+1）y+4＝0平行，则实数a的值为（）A．1B．﹣2C．1或﹣2D．﹣1或23．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1中点，则下列结论中不正确的是（）A．BD⊥A1C1B．AC1∥平面BDEC．平面BDE∥平面AB1D1D．平面A1BD⊥平面BDE4．（5分）如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF（该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）若过点A（4，0）的直线l与曲线（x﹣2）2+y2＝1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为（）A．B．C．D．6．（5分）如果执行如图的框图，输入N＝5，则输出的数等于（）A．B．C．D．7．（5分）已知圆C1：（x+1）2+（y﹣1）2＝1，圆C2与圆C1关于直线x﹣y﹣1＝0对称，则圆C2的方程为（）A．（x+2）2+（y﹣2）2＝1B．（x﹣2）2+（y+2）2＝1C．（x+2）2+（y+2）2＝1D．（x﹣2）2+（y﹣2）2＝18．（5分）袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于（）A．B．C．D．9．（5分）如图，矩形ABCD中AB＝2，BC＝，M，N分别为AB，CD中点，BD与MN交于O，现将矩形沿MN折起，使得二面角A﹣MN﹣B的大小为，则折起后cos ∠DOB为（）A．B．C．D．10．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D 为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．11．（5分）不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有（）A．3个B．4个C．6个D．7个12．（5分）若a≥0，b≥0，且当时，恒有ax+by≤1，则以a，b为坐标的点P（a，b）所形成的平面区域的面积是（）A．B．1C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）某地区有小学150所，中学75所，大学25所．先采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取所学校，中学中抽取所学校．14．（5分）若x，y满足约束条件则z＝3x﹣y的最小值为．15．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2；则此棱锥的体积为．16．（5分）已知点A、B、C在单位圆x2+y2＝1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（2，0），则的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分，要求过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．（1）证明BC1∥平面A1CD（2）设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2，求三菱锥C﹣A1DE的体积．18．（12分）已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5＝0．求：（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程．19．（12分）学校从参加高二年级期末考试的学生中抽出一些学生，并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为100分），所得数据整理后，列出了如下频率分布表．（Ⅰ）在给出的样本频率分布表中，求A，B，C的值；（Ⅱ）补全频率分布直方图，并利用它估计全体高二年级学生期末数学成绩的众数、中位数；（Ⅲ）现从分数在[80，90），[90，100]的9名同学中随机抽取两名同学，求被抽取的两名学生分数均不低于90分的概率．20．（12分）已知直线l：3x+4y﹣12＝0与x轴、y轴分别相交于A、B．（1）求过点P（1，2）且在x轴、y轴上截距均相等的直线的方程；（2）求与直线l、x轴、y轴都相切的圆的方程．21．（12分）如图，AB是圆的直径，P A垂直圆所在的平面，C是圆上异于A、B的点．P A＝AB，∠BAC＝60°，点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC．（1）求证：BC⊥平面P AC；（2）当D为PB的中点时，求AD与平面PBC所成的角的正弦值；（3）是否存在点E使得二面角A﹣DE﹣P为直二面角？并说明理由．22．（12分）长为2线段EF的两上端点E、F分别在坐标轴x轴、y轴上滑动，设线段中点为M，线段EF在滑动过程中，点M形成轨迹为C．（1）求C的方程；（2）过点P（0，1）直线l与轨迹C交于A、B两点．①写出的取值范围，可简要说明理由；②坐标平面内是否存在异于点P的定点Q，当l转动时，总有恒成立？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．2015-2016学年四川省成都七中高二（下）入学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.1．【解答】解：A、m∥α，n∥α，则m∥n，m与n可能相交也可能异面，所以A不正确；B、m∥α，m∥β，则α∥β，还有α与β可能相交，所以B不正确；C、m∥n，m⊥α，则n⊥α，满足直线与平面垂直的性质定理，故C正确．D、m∥α，α⊥β，则m⊥β，也可能m∥β，也可能m∩β＝A，所以D不正确；故选：C．2．【解答】解：∵直线l1：ax+2y+a+3＝0，l2：x+（a+1）y+4＝0，l1∥l2，∴＝≠，解得a＝1或a＝﹣2．∵当a＝1时，两直线重合，∴a≠1．∴a＝﹣2．故选：B．3．【解答】解：由正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1中点，知：在A中：∵BD⊥AC，AC∥A1C1，∴BD⊥A1C1，故A正确；在B中：连结AC、BD，交于点O，连结OE，∵ABCD是正方形，∴O是AC中点，∵E为CC1中点，∴OE∥AC1，∵AC1⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，∴AC1∥平面BDE，故B正确；在C中：∵AB1∥BC1，BC1∩BE＝B，AD1∥DC1，DC1∩DE＝D，AB1、AD1⊂平面AB1D1，BC1、DC1⊂平面BDE，∴平面BDE与平面AB1D1相交，故C错误；在D中：设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，连结A 1D、A1B、A1O、A1E，则，OA1＝＝，＝，OE＝＝，A1E＝＝3，∴∠A1OE是二面角A1﹣BD﹣E的平面角，∵＝6+3＝9＝，∴∠A1OE＝90°，∴平面A1BD⊥平面BDE，故D正确．故选：C．4．【解答】解：∵扇形ADE的半径为1，圆心角等于90°∴扇形ADE的面积为S1＝×π×12＝同理可得，扇形CBF的在，面积S2＝又∵长方形ABCD的面积S＝2×1＝2∴在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是P＝＝＝1﹣故选：A．5．【解答】解：设直线方程为y＝k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k＝0，直线l与曲线（x﹣2）2+y2＝1有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径，得4k2≤k2+1，k2≤，故选：C．6．【解答】解：经过第一次循环得到S＝，满足进入循环的条件，k＝2，经过第二次循环得到S＝+＝，满足进入循环的条件，k＝3，经过第三次循环得到S＝+＝，满足进入循环的条件，k＝4，经过第四次循环得到S＝+＝，满足进入循环的条件，k＝5，经过第五次循环得到S＝+＝，不满足进入循环的条件，执行输出，故输出结果为：，故选：D．7．【解答】解：圆C1：（x+1）2+（y﹣1）2＝1的圆心坐标（﹣1，1），关于直线x﹣y﹣1＝0对称的圆心坐标为（2，﹣2）所求的圆C2的方程为：（x﹣2）2+（y+2）2＝1故选：B．8．【解答】解：根据题意，袋中共有6个球，从中任取2个，有C62＝15种不同的取法，6个球中，有2个白球和3个黑球，则取出的两球为一白一黑的情况有2×3＝6种；则两球颜色为一白一黑的概率P＝＝；故选：B．9．【解答】解∵矩形ABCD中AB＝2，BC＝，M，N分别为AB，CD中点，BD与MN 交于O，现将矩形沿MN折起，使得二面角A﹣MN﹣B的大小为，∴BO＝DO＝＝，如图，以N为原点，NM为x轴，NC为y轴，过N垂直于平面NMBC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则B（，1，0），D（0，），|BD|＝＝，∴cos∠DOB＝＝＝，∴折起后cos∠DOB＝．故选：C．10．【解答】解：设BC的中点为D，连接A1D、AD、A1B，易知θ＝∠A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角；并设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，则|AD|＝，|A1D|＝，|A1B|＝，由余弦定理，得cosθ＝＝．故选：D．11．【解答】解：空间中不共面的四个定点构成三棱锥，如图：三棱锥D﹣ABC，①当平面一侧有一点，另一侧有三点时，即对此三棱锥进行换底，则三棱锥有四种表示形式，此时满足条件的平面个数是四个，②当平面一侧有两点，另一侧有两点时，即构成的直线是三棱锥的相对棱，因三棱锥的相对棱有三对，则此时满足条件的平面个数是三个，所以满足条件的平面共有7个，故选：D．12．【解答】解：∵a≥0，b≥0t＝ax+by最大值在区域的右上取得，即一定在点（0，1）或（1，0）取得，故有by≤1恒成立或ax≤1恒成立，∴0≤b≤1或0≤a≤1，∴以a，b为坐标点P（a，b）所形成的平面区域是一个正方形，所以面积为1．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．【解答】解：某城地区有学校150+75+25＝250所，现在采用分层抽样方法从所有学校中抽取30所，每个个体被抽到的概率是＝，∵某地区有小学150所，中学75所，大学25所．∴用分层抽样进行抽样，应该选取小学×150＝18所，选取中学×75＝9所．故答案为：18，9．14．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示由z＝3x﹣y可得y＝3x﹣z，则﹣z表示直线3x﹣y﹣z＝0在y轴上的截距，截距越大z越小结合图形可知，当直线z＝3x﹣y过点C时z最小由可得C（0，1），此时z＝﹣1故答案为：﹣115．【解答】解：根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵，∴＝，∴高SD＝2OO1＝，∵△ABC是边长为1的正三角形，∴，∴V三棱锥S﹣ABC＝＝．故答案为．16．【解答】解：由题意，AC为直径，所＝|2|．当P，B，O共线时，其中B为（﹣1，0）时，|2|≤7．当B（1，0）时，＝|2|≥5．所以|的取值范围为[5，7]三、解答题：本大题共6小题，共70分，要求过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．【解答】（1）证明：连结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点又D是AB中点，连结DF，则BC1∥DF．因为DF⊂平面A1CD，BC1不包含于平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD．（2）解：因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD．由已知AC＝CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB．又AA1∩AB＝A，于是CD⊥平面ABB1A1．由AA1＝AC＝CB＝2，得∠ACB＝90°，，，，A 1E＝3，故A1D2+DE2＝A1E2，即DE⊥A1D．所以三菱锥C﹣A1DE的体积为：＝＝1．18．【解答】解：（1）设C（m，n），∵AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x ﹣2y﹣5＝0．∴，解得．∴C（4，3）．（2）设B（a，b），则，解得．∴B（﹣1，﹣3）．∴k BC＝＝∴直线BC的方程为y﹣3＝（x﹣4），化为6x﹣5y﹣9＝0．19．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）（Ⅱ）众数为最高的小矩形区间中点65，中位数为；（Ⅲ）设Ω＝{从分数在[80，100]的10名同学中随机抽取两名同学}，．A＝{两名学生分数均不低于9（0分）}，n（A）＝1，根据古典概型计算公式，．20．【解答】解：（1）设直线在x轴为a，y轴截距为b．①当a＝b＝0时，直线过点（1，2）和（0，0），其方程为＝2，即3x﹣2y＝0．②当a＝b≠0时，直线方程为+＝1，把点（1，2）代入，得+＝1，解得a＝3，则该直线方程为x+y＝3．（2）解：由题意A（4，0），B（0，3），设圆的半径为r，则由等面积可得×（3+4+5）r＝×3×4，∴r＝1，∴圆的方程（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1．21．【解答】证明：（1）∵P A⊥底面ABC，∴P A⊥BC，又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC，又P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC．解：（2）过A作AH⊥PC于H，∵BC⊥平面P AC，BC⊂面PBC，∴面PBC⊥面P AC，∴AH⊥平面PBC，∴∠ADH为AD与面PBC所成角，依题意，设P A＝AB＝2，则AD＝PB＝，AC＝1，在Rt△P AC中，P A＝2，AC＝1，则AH＝＝，在Rt△AHD中，AD＝，AH＝，∴sin＝，∴AD与平面PBC所成的角的正弦值为．（3）∵DE∥BC，又由（1）知BC⊥平面P AC，∴DE⊥平面P AC，又∵AE⊂平面P AC，PE⊂平面P AC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，∴∠AEP为二面角A﹣DE﹣P的平面角，∵P A⊥底面ABC，∴P A⊥AC，∴∩P AC＝90°，∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，此时∠AEP＝90°，∴存在点E使得二面角A﹣DE﹣P为直二面角．22．【解答】解：（1）长为2线段EF的两上端点E、F分别在坐标轴x轴、y轴上滑动，设线段中点为M（x，y），可得|OM|＝．线段EF在滑动过程中，点M形成轨迹为C：x2+y2＝2；（2）①设直线l与轨迹C交于A、B两点，当直线的斜率不存在时，|AP|的最小值为：1，最大值为：，|PB|的最小值为：1，最大值为：，可知∈[，]，即：∈[3﹣2，3+2]．②当直线的斜率存在时设为k，过点P（0，1）直线l：y＝kx+1，A、B的坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），由消去y并整理得：（1+k2）x2+2kx﹣1＝0，∵△＝（4k）2+4（1+2k2）＞0，∴x1+x2＝，x1x2＝，由|QA|•|PB|＝|QB|•|P A|可得，知QP为∠AQP的角平分线，由对称性易知，点Q必在y轴上，设Q（0，m），于是有K QA+K QB＝0，∴+＝0，即（y1﹣m）x2+（y2﹣m）x1＝0，且y1＝kx1+1，y2＝kx2+1，∴（kx1+1﹣m）x2+（kx2+1﹣m）x1＝0，∴2kx1x2+（1﹣m）（x1+x2）＝0，∴2k•+（1﹣m）＝0，∴[﹣1﹣（1﹣m）]＝0，对任意k∈R恒成立，则﹣1﹣（1﹣m）＝0，解得m＝2，特别的，当直线l的斜率不存在时，此时A（0，），B（0，﹣），Q（0.2），P（0，1）＝＝，＝，综上，平面上存在定点Q（0，2）时，当l转动时，总有恒成立。
