排列组合中的基本解题方法之错位重排法

国家公务员：排列组合之错位排序排列组合的数量题目当中，有一些技巧我们常常会用到，今天我们就一起来看一下排列组合问题中常用的方法——错位排序。

我们来讨论一个问题：这是一个很经典的数学问题：有一个人写了n封信件，对应n个信封，然而粗心的秘书却把所有信件都装错了信封，那么一共有多少种装错的装法？这个问题可抽象为以下一个数学问题：已知一个长度为n的有序序列｛a1,a2,a3,…,an｝，打乱其顺序，使得每一个元素都不在原位置上，则一共可以产生多少种新的排列？首先考虑几种简单的情况：原序列长度为1序列中只有一个元素，位置也只有一个，这个元素不可能放在别的位置上，因此原序列长度为1时该为题的解是0。

原序列长度为2设原序列为{a,b}，则全错位排列只需将两个元素对调位置{b,a}，同时也只有这一种可能，因此原序列长度为2时该问题的解是1。

原序列长度为3设原序列为{a,b,c}，则其全错位排列有：{b,c,a},{c,a,b}，解是2。

原序列长度为4设原序列为{a,b,c,d}，则其全错位排列有：{d,c,a,b},{b,d,a,c},{b,c,d,a},{d,a,b,c},{c,d,b,a},{c,a,d,b},{d,c,b,a},{c,d,a,b},{b,a,d,c}，解是9。

在往下数，次数会更多，那我们就可以用不完全归纳得出规律：f(n)=(n-1)f(n-2)+(n-1)*f(n-1)=(n-1)[f(n-2)+f(n-1)] 。

很明显，规律不太好记。

但是我们不用记，因为在公务员考试当中，题目一般情况下比较简单，我们只需要记住D1=0；D2=1；D3=2；D4=9；D5=44。

即可下面我们一起来看一道例题：【例】（2015-山东-59）某单位从下属的5个科室各抽调了一名工作人员，交流到其他科室，如每个科室只能接收一个人的话，有多少种不同的人员安排方式？（）A.120种B.78种C.44种D.24种【解析】分析题干可知，本题考查5人的错位排序，根据错位排列个数关系D5=44。

2017国考行测数量关系备考重点：错位重排模型在国考行测中常考的排列组合模型有两个，分别是错位重排模型和隔板模型，两个模型都有其代表性，在本文中，中公教育专家重点讲述一下错位重排模型。

一、模型特征
要想理解错位重排，我们先来看一下简单的一个例子：三位食堂师傅各做了一道菜，大家来相互品尝，要求不能品尝自己做的那道菜，请问，这样的品尝方法一共有几种?
为了便于理解题目，我们用具体的字母来代替，假设三位师傅分别为A、B、C，他们所做的菜分别为a、b、c，题目的要求其实就是相互连线，但是A-a，B-b，C-c不能连接，这样的模型就叫做错位重排模型。

二、公式推导
为了导出错位重排的基本公式，我们可以尝试依次增加人数来寻找种类的变化规律，我们用表示对应n个人的错位重排数目，那么就可以很容易得出以下几个结论：
中公教育专家发现，如果考生们在不了解错位重排的时候会感觉有难度，不知道怎么入手，上述方法为考生指明了解答方向，在备考中多加练习，一定能够得心应手。

搞定排列组合的六种方法公务员考试行测中的排列组合题我们在高中时候就学过，但具体面对这类题目时依然存在很大的疑惑，感觉无从下手，或者有时候做出来了错误率也极高。

那么究竟该如何复习排列组合这类考题呢?在此传授给大家六个“高招”，让你看到此题不再愁。

一、何为排列组合在传授“招数”之前，先回顾一下排列与组合的基本概念以及在具体题目中如何快速识别。

比如，4 个人中挑选 2 个人相互握手，先选甲、再选乙或者先选乙、再选甲;这两种不同的选择顺序，最终都是甲乙2 人互相握手，所以，顺序对结果不造成影响，则叫组合，记为C42 ;反之，若4 个人中挑选2 个人，一个当班长，一个当学委，那么先选甲、再选乙或者先选乙、再选甲;这两种不同的选择顺序会带来两种不同的结果：甲当班长、乙当学委或者乙当班长、甲当学委。

所以，顺序对结果造成影响，则叫排列，记为A42。

二、解答排列组合六招数招数一：优先法优先法，即对有特殊要求的元素优先进行考虑。

例题1：a、b、c、d、e、f 6 个人排队，问a、b 既不在排头也不在排尾的方式有几种?解析：a、b 是具有特殊要求的元素，优先进行考虑，一头一尾不能选，只有中间4 个位置，于是有A42 。

剩下的c、d、e、f 4 个人，4 个位置全排列， A44 。

所以，总的排列方式是A42·A44 。

招数二：捆绑法捆绑法，即将相邻元素捆绑在一起作为一个整体和其它元素进行排列与组合。

例题2：计划展出10 幅不同的画，其中1 幅水彩画、4 幅油画、5 幅国画，排成一行陈列，要求同品种的必须连在一起，那么共有多少陈列方式的种数?解析：把 4 幅油画必须相邻看成一个整体、5 幅国画必须相邻看成一个整体，则加上水彩画一共有3 个整体，所以排列方式是A33 。

招数三：插空法插空法，即先考虑其它元素，再将不相邻的元素插入他们的间隙。

例题3：某论坛邀请了6 位嘉宾，安排其中三人进行单独演讲，另三人参加圆桌对话节目。

可以秒杀的排列组合题型根据国考分数的统计分析可知数学运算得分率非常的低，大部分考生认为数学运算考试范围太广，难度大，甚至直接蒙。

数量关系考点看似杂乱，做题花的时间也很长，其实对于数学运算的每种题型都有解题技巧，甚至部分题型有相应的秒杀技巧。

在这里，向广大学员分享2017年国家公务员考试排列组合问题中秒杀题型，供广大考生复习参考。

对于排列组合问题，首先我们要认真审题，抓住问题的本质特征，再用对应的技巧解题．排列组合题型有以下2种题型可以秒杀！题型一：错位重排错位重排问题是一种比较难理解的复杂的数学模型问题，是伯努利和欧拉在错装信封时发现的，因此又叫做伯努利-欧拉装错信封问题。

表述为：编号是1、2、…、n 的n 封信，装入编号为1、2、…、n 的n 个信封，要求是每封信和信封的编号不同，问共有多少种方法? 答案：D(n)=[D(n-1)+D(n-2)]×(n-1)，其中D(1)=0，D(2)=1，根据递推公式算出D(n)。

【例】相邻的4个车位中停放了4辆不同的车，现将所有车开出后再重新停入这4个车位，要求所有车都不得停在原来的车位中，则一共有多少种不同的停放方式？A.9B.12C.14D.16【解析】方法一：根据错位排列的公式，直接得到4个车位的错位排列为种。

因此，本题选择A 选项。

方法二：假设A 、B 、C 、D 四辆车，停在一、二、三、四十个车位，最开始的排列为ABCD ，则A 车错位后有三种选择，假设A 车停在第二个车位，则B 车有三种选择，B 车选择后，C 、D 两车的停车方法只有一种，故总的方法数为3×3×1＝9种。

因此，本题选择A 选项。

备注：方法二比较复杂，如果记住方法和技巧就可以直接秒杀咯。

题型二：插空法特例题目特征：n 个相同的物品分给m 个人，每人至少分得1个物品，则共有多少种分配方法呢？49D我们的答案是：--11m n c备注：对于题型特征各位考生需要注意的有2点：相同的物品和每人至少分1个物品。

公务员行测考试错位重排指导谈起行测数量关系的排列组合问题，都令很多考生头疼不已，由于这类型的题目较为灵活，变化比较多，而且一些概念的判定相对来讲比较抽象，故正确率不高。

下面作者给大家带来关于，期望会对大家的工作与学习有所帮助。

公务员行测考试错位重排指导一、作甚错位重排错位重排就是指元素与本来的位置关系均没有一一对应。

这样的概念可能仍旧比较抽象，但是这样抽象的概念如果放到生活中，就会造成啼笑皆非的现象。

比如说：4个妈妈去幼儿园接孩子放学，但是每位妈妈接的都不是自己的孩子、6个游客拖了鞋在沙滩边玩耍，结束之后每位游客穿的都不是自己的鞋子等等，这样的其实就属于我们所描写的错位重排现象二、错位重排如何解错位重排简单的原因就在于，不同元素的个数所对应的错位重排情形数，是固定的，因此只要我们提早进行记忆，那么就可以很好的运用于题干了。

例1.四位厨师聚餐时各做了一道拿手菜。

现在要求每人去品味一道菜，但不能尝自己做的那道菜，问共有几种不同的尝法?A.6种B.9种C.12种D.15种【答案】B。

解析：根据题意可知，四位厨师均不能尝自己做的那道菜，即满足了每个元素与自己的位置均没有一一对应，而4个元素的毛病重排情形数为9种，故挑选B选项。

例2.五个瓶子都贴了标签，其中恰好贴错了三个，贴错的可能情形共有多少种?A.6B.10C.12D.20【答案】D。

解析：根据题意可知，5个瓶子中有3个贴错了，即有3个元素满足了错位重排的条件。

而这3个瓶子的情形数也有种情形，而这3个瓶子错位重排包括2种情形，故共有20种情形，挑选D选项。

通过上面讲授，相信各位考生对错位重排已经有所了解，期望对大家有所帮助。

对于这块内容，大家一定要明确其中的规律，多加练习，只有在不断强化练习的进程中，做起题来才会得心应手。

最后祝大家在成功的道路上能够不畏艰巨，勇往直前!拓展：省考行测考试主旨观点(一)什么是计策建议句所谓计策建议句，是指在文段中显现的表达作者对某些问题提出的计策和建议的句子。

行测错位重排的精髓一、问题描述错位重排是一种比较难理解的复杂数学模型，是伯努利和欧拉在错装信封时发现的，因此又称伯努利-欧拉装错信封问题。

通常表述为：编号是1、2、…、n的n封信，装入编号为1、2、…、n的n个信封，要求每封信和信封的编号不同，问有多少种装法?二、题目剖析1.编号为1的1封信，装入编号为1的1个信封，要求每封信和信封的编号不同，问有多少种装法?解析：编号为1的信不能放入编号为1的信封，因此无法实现，有0种装法。

2.编号为1、2的2封信，装入编号为1、2的2个信封，要求每封信和信封的编号不同，问有多少种装法?解析：编号为1的信不能放入编号为1的信封，因此只能是编号为1的信放入编号为2的信封，编号为2的信放入编号为1的信封，有1种装法。

3.编号为1、2、3的3封信，装入编号为1、2、3的3个信封，要求每封信和信封的编号不同，问有多少种装法?解析：编号为1的信不能放入编号为1的信封，因此只能是编号为1的信放入编号为2或3的信封。

若编号为1的信放入编号为2的信封，则编号为2的信只能放入编号为3的信封，编号为3的信放入编号为1的信封;若编号为1的信放入编号为3的信封，则编号为2的信只能放入编号为1的信封，编号为3的信放入编号为2的信封，因此，有2种装法。

4.编号为1、2、3、4的4封信，装入编号为1、2、3、4的4个信封，要求每封信和信封的编号不同，问有多少种装法?解析：编号为1的信不能放入编号为1的信封，因此只能是编号为1的信放入编号为2、3或4的信封。

若编号为1的信放入编号为2的信封，则编号为2的信能放入编号为1、3、4的信封，而当编号为2的信放好信封后，剩余编号为3、4的信只有一种放信封的装法，因此，有3×3=9种装法。

5.编号为1、2、3、4......n的n封信，装入编号为1、2、3、4......的n个信封，要求每封信和信封的编号不同，问有多少种装法?解析：编号为1的信不能放入编号为1的信封，因此只能是编号为1的信放入编号为2、3、4......的(n-1)个信封。

隔板法三要素：（1）相同元素。

（2）分给不同的人。

（3）每人至少一个该元素。

（4）将n 个相同的元素分给m 个不同的人，每人至少一个该元素，共有C（n-1,m-1）种排法【注意】（1）至少分X 个该元素，则每人先分（X-1）个该元素，余下的再进行隔板法分配。

（2）如遇到至少分0 个的情况，则先“借”一个元素，再进行隔板法分配。

总之将题目转换到“至少一个”的情境①将13 个相同的小球放入编号分别为1，2，3 的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于它的编号数，则共有多少种放法？（B ）A.24B.36C.45D.60②将13 个相同的小球放入编号分别为0，1，2 的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于它的编号数，则共有多少种放法？（D ）A.24B.36C.45D.66→首选，给 1 号盒子 0 个，2 号盒子 1 个；隔板法的应用环境是每个部分至少放一个该元素，出现了 0 个，这和应用环境是不一样，可以“借”1 个小球只给 0 号的盒子，到时候“借”的小球是会归还的，不用太担心“从哪里借”的问题，最后 0 号盒子 1 个，1 号盒子 1 个，2 号盒子 2 个。

此时有 13+1=14 个，余下 14-0-0-1=13 个，本题转化为“13 个球分给三个盒子，每个盒子至少一个”，利用隔板法，情况数为 C（13-1,3-1）=C（12,2）=（12*11）/（2*1）=6*11=66种；因为“借”1 个给 0 号盒子，所以归还的时候让 0 号盒子去还，对应 D 项题型识别：借调人员、互换车位、交叉审核等PS：D6=（6-1）×（D5 + D4）=265（2017 年国考）某集团企业 5 个分公司分别派出 1 人去集团总部参加培训，培训后再将 5 人随机分配到这 5 个分公司，每个分公司只分配 1 人。

问5 个参加培训的人中，有且仅有 1 人在培训后返回原分公司的概率：（ D ）A.低于 20%B.在 20%～30%之间C.在 30%～35%之间D.大于 35%数量——环形排列知识点：n 人进行环形排列，有 A（n,n）/n=A（n-1,n-1）种排法（2019 陕西）主人随机安排 10 名客人坐成一圈就餐，这 10 名客人中有两对情侣，那么这两对情侣恰好都被安排相邻而坐的概率约在（ E ）A.0 到 2%之间B.2%到 3%之间C.3%到 4%之间D.4%到 5%之间E.5%到 6%之间F.6%到 7%之间G.7%到 8%之间 H.8%以上。

错位重排：错位重排是指一种比较难理解的复杂数学模型，是伯努利和欧拉在错装信封时发现的，因此又称伯努利-欧拉装错信封问题。

简介：表述为：编号是1、2、…、n的n封信，装入编号为1、2、…、n的n个信封，要求每封信和信封的编号不同，问有多少种装法？对这类问题有个固定的递推公式，记n封信的错位重排数为Dn，则D1=0，D2=1，Dn=（n-1）（Dn-2+Dn-1）此处n-2、n-1为下标。

n>2我们只需记住Dn的前几项：D1=0，D2=1，D3=2，D4=9，D5=44。

我们只需要记住结论，进行计算就可以。

【例】五个盒子都贴了标签，全部贴错的可能性有多少种？即全贴错标签，N个项数全部排错的可能数，可以总结出数列：0，1，2，9，44，265，………可以得到这样一个递推公式：（N-1）*（A+B）=C （A是第一项，B是第二项，C是第三项，N是项数）s(n)=(n-1) [ s（n-1）+s（n-2）]s(2)=1,s(3)=2s(4)=3*(1+2)=9s(5)=4*(2+9)=44s(6)=5*(9+44)=265 ....................公式由来把编号1→n的小球放到编号1→n的盒子里，全错位排列（1号球不在1号盒，2号球不在2号盒，依次类推），共有几种情况？------------------------------------------------------设n个球全放错的情况有s(n)种，那么可以有如下思路：不妨设1号球选择2号盒，接下来会有两种情况：第一种情况：2号球选择1号盒，剩下（n-2）个球去错排，有s（n-2）种情况第二种情况：2号球不选择1号盒，则题目可转化为把编号为2→n的小球分别放入编号为1、3、4……→n的盒子错位重排（即2号球不在1号盒、3号球不在3号盒…n号球不在n号盒），相当于n-1个球错位重排，有s(n-1)种因为1号球可以放到[2,n]中任意一个盒子里，共（n-1）种选择，于是s(n)=(n-1) *[s(n-1)+s(n-2)]s(1)=0s(2)=1s(3)=2s(4)=3*(1+2)=9s(5)=4*(2+9)=44s(6)=5*(9+44)=265 ....................【例题】四位厨师聚餐时各做了一道拿手菜。

数学错位排列公式错位排列，也称错位组合，是组合数学中的一种特殊排列形式。

在错位排列中，元素按照一定的规定重新排列，使得每个元素都不在其原始位置上。

错位排列在实际问题中有着广泛的应用，包括密码学、密码破解、数据加密等领域。

本文将介绍错位排列的概念、性质和计算公式。

一、错位排列的概念错位排列是指从n个元素中取出k个元素进行排列，使得每个元素都不在其原始位置上的排列方式。

具体而言，错位排列要求任意一个元素都不能出现在它原本应有的位置上。

二、错位排列的计算公式设记号D(n)表示n个元素的错位排列的个数。

1. 当n = 0，D(0) = 1；2. 当n = 1，D(1) = 0；3. 当n = 2，D(2) = 1；4. 当n > 2，D(n) = (n-1)(D(n-1) + D(n-2))。

根据上述公式，我们可以计算任意数量元素的错位排列。

三、错位排列的性质1. 错位排列的个数D(n)满足递推关系 D(n) = n*D(n-1) - (-1)^n。

2. 错位排列的个数D(n)可以通过康托展开公式求得。

康托展开是将一个排列转化为一个正整数的方法，该整数可以唯一地表示该排列。

具体而言，对于错位排列而言，康托展开公式为：D = (n-1)!x1 + (n-2)!x2 + ... + 2!x(n-2) + 1!x(n-1)，其中x1, x2, ..., x(n-1)分别表示每个元素与它原本应有位置的距离。

3. 错位排列具有唯一性，不存在重复的排列。

四、错位排列的应用错位排列在实际问题中有着广泛的应用。

1. 密码学：错位排列可以用于数据的加密与解密过程中，保障数据的安全性。

2. 信息传输：通过错位排列可以实现信息的加密和解密，保护隐私和安全。

3. 排队理论：错位排列可以用于描述某个系统中的排队顺序，研究系统中的平衡和稳定性。

4. 公平分配：错位排列可以用于公平地分配资源，确保每个人都有机会获得公正的权益。

错排问题的模型解释及求解吴如光(江苏省南京航空航天大学附属高级中学　210000)摘　要:本文就排列组合问题中的一类经典模型———错位排列,给出了三种求解方法,有参考意义.关键词:错排问题;原理解释中图分类号:G632 文献标识码:A 文章编号:1008-0333(2019)03-0027-02收稿日期:2018-10-25作者简介:吴如光(1983.12-),男,安徽省滁州市全椒县人,研究生,中学一级教师,从事高中数学教学研究. 一、错排问题错排问题,又称更列问题,是组合数学中的经典问题之一.该问题有许多具体的形式,例如:①在写信时将n 封信装到n 个不同的信封里,有多少种全部装错信封的情况?②n 个人各写一张贺卡相互赠送,有多少种赠送方法?从中概括出其数学模型:一个有n 个元素的排列,若这个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上,那么这样的排列就称为原排列的一个错排,n 个元素的错排数记为D n ,求D n 的通项公式.对于它的研究最早可以追溯到十八世纪,在历史上也被称为伯努利———欧拉的错装信封问题,虽然数学家欧拉利用容斥原理已经给出n 个元素错排数通项公式为D n =n !·1-11!+12!-13!+…+(-1)nn !,但本文从不同角度解释此数学模型,得到不同的递推关系并解出其通项公式,加深对错排问题认识. 二、容斥原理解释容斥原理:设A 1,A 2,…,A n 为有限集合,用A i 表示集合A i 中的元素个数,则有:|A 1∪A 2∪…A n |=∑ni =1A i -∑1≤i <j ≤n|A i ∩A j |+∑1≤i <j <k ≤n|A i ∩A j ∩A k |-…+(-1)n -1|A 1∩A 2∩…∩A n |.以装信封为例:记第i 封信装对的事件为A i (i =1,2…,n ).不难得出:|A i |=(n -1)!,|A i ∩A j |=(n -2)!,…,|A 1∩A 2∩…A n |=1.事件A 1∪A 2∪…A n 代表至少有一封信装对,所以由容斥原理得:|A 1∪A 2∪…A n |=∑ni =1(-1)i -1C i n ·(n -i )!=∑ni =1(-1)i -1n !i !.故n 封信全装错的方法数为:D n =n !-∑ni =1(-1)i -1n !i !=n !·1-11!+12!-13!+…+(-1)nn !.三、按分步计数原理解释第1步:将1号信错放,有n -1种放法,不妨假设放在2号信封里;第2步:将2号信错放,有两类放法:①:2号信放入1号信封里,则其余n -2封信与信封将错放,有D n -2种放法.②:若2号信不放在1号信封里,此时相当于n -1封信(除1号信)放入n -1个信封(除2号信封),每封信都有一个禁止放的信封,因此有D n -1种放法.由此可得递推关系:D 1=0,D 2=1,D n =(n -1)·(D n -1+D n -2),n ≥3.∴D n -n ·D n -1=-[D n -1-(n -1)·D n -2],∴D n -n ·D n -1=(-1)n,(n ≥2),∴D n n !-D n -1(n -1)!=(-1)n n !,累加得:D n n !=D 11!+12!-13!+…+(-1)nn !.∴D n =n !·1-11!+12!-13!+…+(-1)nn !.—72—四、按分类计数原理解释将n 封信全排列共有n !种,按照装错信封的个数进行分类,装错i 封的种类有C i n·D i 种,i =0,1,…,n ,D 0代表信全都装对,所以D 0=1.由此可得递推关系:n !=∑ni =0C in ·D i .我们将利用一个引理解出D n .引理:若{a n },{b n }是两个数列,对任意n ∈N ∗,a n =∑ni =0C i n ·b i ,则有b n =∑ni =0(-1)n -i C i n ·a i ,n ∈N ∗.证明:若n ∈N ∗,a n =∑ni =0C in ·b i ,则有:∑ni =0(-1)n -i ·C i n ·a i =∑ni =0(-1)n -i ·C i n ·∑ij =0C j i ·b j=∑n i =0∑ij =0(-1)n -i·C i n·C j i·b j =∑n i =0∑ij =0(-1)n -i·C j n·Cn -i n -j·b j =∑nj =0∑ni =j (-1)n -i·C jn ·C n -in -j ·b j=∑nj =0C j n ·b j ·∑ni =j(-1)n -i ·C n -in -j ,这里∑ni =j(-1)n -i ·C n -i n -j =0,j ≠n ;1,j =n.因此∑n j =0C j n ·b j ·∑n i =j (-1)n -i ·C n -in -j =b n .所以b n =∑ni =0(-1)n -iC in·a i ,n ∈N ∗.引理得证.只需令引理中的a n =n !,b n =D n .由引理可得:D n =∑n i =0(-1)n -i·C in ·i !=∑ni =0(-1)n -i·n !(n -i )!=n !·1-11!+12!-13!+…+(-1)nn !.以上对错排问题的几种不同看法,得到了不同的递推关系,但是殊途同归,加深了对错排问题的理解,其结论的形式优美,让我们再次感受到数学的美妙. 参考文献:[1]张仁海.解决“错位排列”问题的一般方法[J ].数学学习与研究,2017(01):114+117.[责任编辑:杨惠民]高中数学解题中思维开拓性的培养方法楚絮影(江苏省阜宁中学高三13班　224000)摘　要:同学们在学习时,必须应用多种方法培养开拓展思维,提高解题水平.本文对此进行了分析研究.关键词:高中;数学;解题;思维;开拓性;培养中图分类号:G632 文献标识码:A 文章编号:1008-0333(2019)03-0028-02收稿日期:2018-10-25作者简介:楚絮影(2002.3-),女,江苏省阜宁人,在校学生. 开拓性的思维,是指从多个角度来分析问题的特征、多渠道的分析问题的性质、多元化的思考解决问题的策略.只有具备这样的思维,同学们才能灵活地解决各种数学问题. 一、学会全方位地观察问题,找到准确的解题方向 部分同学在分析数学问题时,只能一味地套用现有的数学问题的公式来解决问题,而不能灵活地观察问题,根据数学问题的特征来分析问题.同学们在解决数学问题时,第一,要学会分析问题的特征;第二,要学会根据问题的特征灵活地转换问题.例1　已知a ,b ,c ,d 都是实数,求证:a 2+b 2+c 2+d 2≥(a -c )2+(b -d )2.很多同学一看到这道题,就觉得这个问题很复杂,他们或者应用平方法,或者尝试应用整体换元法,都很难解决问题.同学们要看到,a 2+b 2+c 2+d 2≥(a -c )2+(b -d )2的结构很像三角形的三边性质的问题.设A (a ,b ),B (c ,d ),那么可得AB=(a -c )2+(b -d )2,|OA |=a 2+b 2,|OB |=c 2+d 2,其中O 为平面直角座标系中的原点.根据三角—82—。

元素错位重排公式嘿，咱来聊聊元素错位重排公式这回事儿。

你知道吗？在数学这个奇妙的世界里，元素错位重排公式就像是一把神奇的钥匙，能帮咱们解开不少难题。

先给您举个例子哈，就说学校组织运动会，每个班级都有自己固定的座位区域。

结果那天，老师突发奇想，说要打乱座位重新安排。

这一打乱，就跟元素错位重排差不多啦。

那元素错位重排公式到底是啥呢？简单说，就是在一定的条件下，元素原本的位置和新的位置完全不同的排列方式的计算方法。

比如说，有 n 个元素，错位重排的方法数用 D(n)表示。

当 n=1 的时候，那可没法错位，D(1)=0 。

当 n=2 时，两个元素要错位重排，只有一种方法，D(2)=1 。

再往多了说，当 n=3 时，咱们来仔细琢磨琢磨。

假设三个元素分别是 A、B、C ，原本的位置是 1、2、3 。

A 不能在 1 号位，B 不能在 2 号位，C 不能在 3 号位。

那咱们来分析分析，A 有两种选择，假设 A 选了 2 号位，那 B 就不能选 1 号位和 2 号位，只能选 3 号位，C 就只能选 1 号位，这是一种情况。

要是 A 选了 3 号位，同理分析，又是一种情况。

所以 D(3)=2 。

随着n 的增大，计算会变得复杂起来，但是有个递推公式可以帮忙，D(n)=(n - 1) * (D(n - 1) + D(n - 2)) 。

我还记得之前给学生讲这个的时候，有个小调皮鬼一直嚷嚷着不明白，我就跟他说：“你想想啊，你和你的两个好朋友约好换座位，这是不是就像三个元素错位重排？”这小家伙眼睛一下子亮了，好像突然就开窍了。

在实际生活中，元素错位重排的例子也不少。

比如说，几个小伙伴交换礼物，每个人都不能拿到自己准备的那份，这其实就是元素错位重排的应用。

学习元素错位重排公式，可不能死记硬背，得理解其中的逻辑。

多做几道题，多想想实际的例子，慢慢地就能掌握啦。

总之，元素错位重排公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们用心去琢磨，就一定能搞明白，让它成为咱们解决数学问题的得力工具。

错位排列定义：一般地，设排列τ是由1,2,3,,n 组成的有序数组，则τ的一个错位排列就是排列1i ,2i ,…,n i ，其中j i j ≠，n j ,,2,1 =。

定理一：设排列τ的错位排列数为n D ，且1≥n ，则n D 满足下面的递推关系：2112(1)(),301n n n D n D D n n N D D --≡-+≥∈⎧⎪=⎨⎪=⎩且 证明：易得10D =，21D =；设3≥n ，考虑排列1,2,3,,n 的所有的错位排列。

第一步：排列中的第一位的数字可以是2,3,,n ，共11-n C 类，令n d 表示第一位是2的错位排列数，则有nnn d C D 11-=； 现在考虑n d 中的排列，则n d 是2，2i ，…，n i 形式的错位排列数，其中j i j ≠),3(n j =。

此时：若12≡i ，则在这种情况下34,,,n i i i 就是一个2-n 级的排列的错位排列，排列数为2-n D ；若12≠i ，记此时排列2，2i ，…，1，…，n i 的错位排列数为nd '。

设1,3k i k =≥，对上述每一种错位排列调换1i 与k i 位置，形成新的排列1，2i ，…，2，…，n i ，则在此排列中，除第一位外，其他位置不改变其错位排列的特性，而此时2i ，…，2，…，n i 就是一个1-n 级的错位排列，错位排列数为1-n D ，故1nn d D -'=。

因此12n n n d D D --≡+，从而()1112n n n n D C D D ---=+，即()()121n n n D n D D --=-+，3≥n ，故定理一得证。

定理二： 设排列τ的错位排列数为n D ，且1≥n ，则()1111!111!2!3!!n n D n n ⎛⎫=-+-++- ⎪⎝⎭证明：由定理一知：当3≥n 时，有()()121n n n D n D D --=-+()()1211n n n D n D --=-+- 即 ()[]2111------=-n n n n D n D nD D 所以 ()()()nn n n a a nD D 1122121-=--=---所以()11!!!nn n D nD n n n ---=即()()11!1!!nn n D D n n n ---=-所以()()()()11211!2!1!n n n D D n n n -----=---()33213!2!3!D D --= 累加可得()()()()132111!2!!1!3!nn n D D n n n -----=+++- 所以()()32111!2!3!!nn D D n n-=+++-所以 ()111!12!3!!nn D n n ⎡⎤=-++-⎢⎥⎣⎦ 又因为 当1=n 时1D 2n ,021===，时当D 所以 ()1111!111!2!3!!n n D n n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦ 定理二得证。