排列组合问题的几种基本方法

排列组合1.捆绑法：主要处理相邻元素问题.例1：6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须在一起的不同排法有种.2.插空法：相离问题.例2：要排一张有6个歌唱节目和四个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不能相邻，一共有种排列方法.3.缩倍法：定序问题.例3：①今有2个红球、3个黄球、4个白球，同种颜色不加区分，将这九个球排成一列，有种不同的排法.②若把good的字母顺序写错了，有种不同的错误写法.③四张卡片上分别标有“2”“0”“0”“9”，其中“9”可当“6”用，则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数是4.优限法：定位问题.例4.计划展出10幅画，其中1幅水彩画、4张油画、5张国画，排成一列成列，要求同一品种的画必须放在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的成列方式有种.5.间接法：至多至少问题.例5：从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，至少要甲型与乙型电视机各一台，则一共有种不同的选法.6.先选后排:选排问题.例6：①四个不同的球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，则恰好有一个空盒子的方法有种②(2009重庆理)将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有种(用数字作答)．7.分类讨论法：例7：(2009重庆理)锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同。

从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的不同方法有种.8.插板法：名额分配问题.例8：某中学准备组建一个18人的足球队，这18人由高一年级10个班级的学生组成，每班至少一个，名额分配的方法有种.9.平均分配问题：例9：将12个学生平均分成四组，一共有种不同的方法.10.圆排：例10：将从10个不同的学生中选出8个，将他们分配到一个圆座上，则不同的方法有种.11.错排：例11：四个同学做了四张不同的贺卡，每个人的贺卡必须送给别人，一共有种不同送法.- 1 -。

排列组合常见的九种方法
1. 直接排列法：将元素按照一定次序排列，每种排列方案都是一个不同的结果。

例如，3个元素的排列数为 3! = 3 × 2 × 1 = 6。

2. 递归法：将问题逐步分解成每一步只有相对简单的子问题，从而不断求解。

通过递归，经过一系列不同的子过程，得到最终的结果。

3. 循环法：使用循环来枚举所有的可能的排列组合情况。

通常用于数组、字符串等元素的排列组合问题。

4. 分组排列法：将待排列的元素按照一定属性分组，再对每组内的元素进行排列组合，最终将每组的结果进行组合得到最终的结果。

5. 交换法：通过元素间的交换，对所有可能的排列组合进行枚举。

该方法需要注意元素交换时的顺序。

6. 邻项对换法：将相邻的两项进行对换，直到所有项都被排列组合了一遍。

7. 插入法：将新的元素依次插入已有元素的任意位置，直到所有元素都被排列组合了一遍。

8. 非递增排列法：将待排列的元素按照一定属性进行排序，然后将元素从最大的开始进行排列组合。

9. 非递减排列法：将待排列的元素按照一定属性进行排序，然后将元素从最小的开始进行排列组合。

排列组合问题的解决方法排列组合问题是数学中的一个重要概念，也是许多实际问题中常见的一种情况。

在解决排列组合问题时，我们需要运用一定的方法和技巧，以得到准确的答案。

本文将介绍一些常见的解决排列组合问题的方法。

一、排列问题的解决方法排列是从若干个元素中选取一部分进行排序的问题。

在解决排列问题时，我们可以运用以下方法：1.全排列法：全排列法适用于待排元素个数较少的情况。

通过穷举待排元素的所有可能排列，我们可以得到准确的答案。

但当待排元素个数较多时，全排列法的计算量会变得非常大，不适用于实际问题。

2.递归法：递归法是解决排列问题的常用方法之一。

通过不断缩小问题规模，并通过递归调用自身来解决子问题，最终得到排列问题的解。

递归法的优点是代码简洁易懂，但在处理大规模问题时，其效率可能较低。

3.数学公式法：对于一些特殊的排列问题，我们可以运用数学公式来求解。

比如，计算从n个元素中选取m个元素进行排列的方法数，可以使用排列组合公式P(n,m) = n! / (n-m)!来计算。

二、组合问题的解决方法组合是从若干个元素中选取一部分进行组合的问题。

在解决组合问题时，我们可以运用以下方法：1.枚举法：枚举法是解决组合问题的常用方法之一。

通过枚举待选元素的所有可能组合，我们可以得到准确的答案。

但同样地，当待选元素个数较多时，枚举法的计算量会非常大。

2.递归法：递归法同样适用于解决组合问题。

通过不断缩小问题规模，并通过递归调用自身来解决子问题，最终得到组合问题的解。

递归法的优点是代码简洁易懂，但在处理大规模问题时，其效率可能较低。

3.数学公式法：对于一些特殊的组合问题，我们可以运用数学公式来求解。

比如，计算从n个元素中选取m个元素进行组合的方法数，可以使用排列组合公式C(n,m) = n! / (m!(n-m)!)来计算。

三、排列组合问题的综合应用在实际问题中，排列组合常常与其他数学概念和方法相结合，以解决更为复杂的问题。

排列组合的计算方法排列组合的计算方法有：一、穷举法（枚举法）适合题目类型：①答案选项数字偏小或者题目中总数较小——10个左右；②骰子问题。

（一枚骰子6种情况，2枚骰子36种情况）注意事项：枚举法是最简单也是最容易出错的方法，所以在枚举时要按照一定的规律去列举，切不可想到一种列一种，这样容易列少或者列多。

二、捆绑法适合题目类型：“相邻”或“在一起”的排列组合问题注意事项：对于某几个要求相邻的排列组合问题，可将相邻的元素看做一个“元”与其他元素排列，然后对“元”的内部进行排列。

三、插空法适合题目类型：“不相邻”或“不在一起”的排列组合问题注意事项：对于某几个元素不相邻的排列问题，可先讲其他元素排好，再将不相邻的元素在已排列好的元素之间空隙中及两端插入即可。

四、隔板法适合题目类型：处理相同的东西分给不同的人，每人至少一个的排列组合问题。

注意事项：隔板法就是在n个元间的n-1个空中插入若干个隔板，可以把n个元素分成（n+1）组的方法，应用隔板法必须满足三个条件：（1）这n个元素必须互不相异；（2）所分成的每一组至少分得一个元素；（3）分成的组彼此相异。

基本公式：n个元素产生n-1个空，分成m组，插入m-1块板，所以总数为。

五、分组除序法适合题目类型：处理不同的元素分给不同的组的排列组合问题。

注意事项：不同的元素分给不同的组，如果有出现人数相同的这样的组，并且该组没有“名称”，则需要除序，有几个相同的就除以几的阶乘，如果分的组有名称，则不需要除序。

六、特殊元素优先安排适合题目类型：对于带有特殊元素的排列组合问题，一般应先考虑特殊元素，再考虑其他元素。

注意事项：根据题目找到“特殊元素”，这才是解题的切入点。

七、正难反易法适合题目类型：对于一些直接求解较为复杂的问题，从正面入手很难解决，这时可从反面入手，从而将其转化为一个简单的问题来处理。

注意事项：要能够准确的找到一些问题的反面，比如“至少一个”的反面是“一个都没有”等等。

排列组合常用的十五种方法一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1, 2, 3, 4, 5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有C；.〔I.然后排首位共有C：, 甲最后排其它位置共有& | | J由分步计数原理得C：C；A； = 288 C] A：C；练习题：1. 7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

由分步计数原理可得共有疋斎崙=480种不同的排法要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用捆绑法来解决问题•即将需要相邻的元素合并为一个元素，再与其它元素一起作排列，同时要注意合并元素内部也必须排列.练习题：2.某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为_____________ 三•不相邻问题插空策略例3. 一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱，舞蹈节目不能连续出场, 则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有&种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种犹不同的方法，由分步计数原理，节目的不同顺序共有貳处____________ 种元素相离问题可先把没有位宜要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两练习题：3.某班新年联欢会原定的5个节目己排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 _______四•定序问题倍缩空位插入策略例4. 7人排队，其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解：（倍缩法）对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一起进行排列，然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数，则共有不同排法种数是：（空位法）设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种方法，其余的三个位置甲乙丙共有丄种坐法，则共有A；丽法。

排列组合的5种方法排列组合是数学中一个重要的概念，用于解决许多实际问题。

在这篇文章中，我们将介绍五种常见的方法来解决排列组合问题。

第一种方法是使用乘法原则。

乘法原则是指如果一个事件有m种可能的方式发生，另一个事件有n种可能的方式发生，那么这两个事件同时发生的方式有m * n种。

例如，如果有3个人可以选择一个水果和2种颜色的衣服，那么总共有3 * 2 = 6种可能性。

第二种方法是使用加法原则。

加法原则是指如果一个事件有m种可能的方式发生，另一个事件有n种可能的方式发生，那么这两个事件至少有m + n种可能性。

例如，如果有3个人可以选择两种不同的水果，那么至少有3 + 3 = 6种可能性。

第三种方法是使用排列。

排列是指从一组对象中选择有序的一部分对象。

如果有n个对象，要从中选择r个对象进行排列，那么排列的数量可以用以下公式来计算：P(n, r) = n! / (n - r)!。

其中，n!表示n的阶乘，即n * (n - 1) * (n - 2) * ... * 2 * 1。

例如，如果有4个人要站成一排，那么有P(4, 4) = 4! / (4 - 4)! = 4! / 0! = 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24种可能性。

第四种方法是使用组合。

组合是指从一组对象中选择无序的一部分对象。

如果有n个对象，要从中选择r个对象进行组合，那么组合的数量可以用以下公式来计算：C(n, r) = n! / (r! * (n - r)!）。

例如，如果有4个人要从中选择2个人进行分组，那么有C(4, 2) = 4! / (2! * (4 - 2)!) = 4! / (2! * 2!) = (4 * 3 * 2 * 1) / ((2 * 1) * (2 * 1)) = 6种可能性。

第五种方法是使用二项式定理。

二项式定理是一个用于展开二项式的公式。

它可以用于计算排列和组合的值。

二项式定理可以表示为：(a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + C(n, 2) * a^(n-2) * b^2 + ... + C(n, n) * a^0 * b^n。

排列组合常见21种解题方法排列组合是高中数学中的重要知识点，也是考试中常见的题型。

在解决排列组合问题时，我们可以运用多种方法来求解，下面将介绍常见的21种解题方法。

1. 直接法，根据排列组合的定义，直接计算排列或组合的个数。

2. 公式法，利用排列组合的公式进行计算，如排列公式P(n,m)=n!/(n-m)!，组合公式C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)。

3. 递推法，通过递推关系式求解排列组合问题，如利用排列数的递推关系P(n,m)=P(n-1,m)+P(n-1,m-1)。

4. 分类讨论法，将问题进行分类讨论，分别求解每种情况的排列组合个数，然后合并得出最终结果。

5. 组合数性质法，利用组合数的性质，如C(n,m)=C(n,n-m)，C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)，简化计算过程。

6. 二项式定理法，利用二项式定理展开式子，求解排列组合问题。

7. 二项式系数法，利用二项式系数的性质，如n个不同元素的排列个数为n!，n个相同元素的排列个数为1，简化计算过程。

8. 容斥原理法，利用容斥原理求解排列组合问题，排除重复计算的部分。

9. 对称性法，利用排列组合的对称性质，简化计算过程。

10. 逆向思维法，从问题的逆向思考，求解排列组合问题。

11. 生成函数法，利用生成函数求解排列组合问题，将排列组合问题转化为多项式求解。

12. 构造法，通过构造合适的排列组合模型，求解问题。

13. 图论法，将排列组合问题转化为图论问题，利用图论算法求解。

14. 动态规划法，利用动态规划算法求解排列组合问题，降低时间复杂度。

15. 贪心算法法，利用贪心算法求解排列组合问题，简化计算过程。

16. 模拟法，通过模拟排列组合过程，求解问题。

17. 枚举法，将所有可能的排列组合情况列举出来，求解问题。

18. 穷举法，通过穷举所有可能的情况，求解问题。

19. 数学归纳法，利用数学归纳法证明排列组合的性质，求解问题。

高中数学排列组合问题常用的解题方法一、相邻问题捆绑法题目中规定相邻的几个元素并为一个组( 看作一个元素 ) 参加摆列．例 1: 五人并排站成一排，假如甲、乙一定相邻且乙在甲的右侧，那么不一样的排法种数有种。

二、相离问题插空法元素相离 ( 即不相邻 ) 问题，可先把无地点要求的几个元素全摆列，再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两头．例 2：七个人并排站成一行，假如甲乙两个一定不相邻，那么不一样排法的种数是。

三、定序问题缩倍法在摆列问题中限制某几个元素一定保持必定次序，可用减小倍数的方法．例 3： A、 B、 C、 D、 E 五个人并排站成一排，假如 B 一定站 A 的右侧 (A、 B 可不相邻 ) ，那么不一样的排法种数有。

四、标号排位问题分步法把元素排到指定号码的地点上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，这样持续下去，挨次即可达成．例 4：将数字 1、2、3、4 填入标号为 1、 2、 3、 4 的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不同样的填法有。

五、有序分派问题逐分法有序分派问题是指把元素按要求分红若干组，可用逐渐下量分组法。

例 5：有甲、乙、丙三项任务，甲需 2 人肩负，乙丙各需 1 人肩负，从 10 人中选出 4 人肩负这三项任务，不一样的选法总数有。

六、多元问题分类法元素多，拿出的状况也有多种，可按结果要求，分红不相容的几类状况分别计算，最后总计。

例 6：由数字 0 ，1，2，3，4，5 构成且没有重复数字的六位数，此中个位数字小于十位数字的共有个。

例 7：从 1，2，3， 100 这 100 个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法 ( 不计次序 ) 共有多少种？例 8：从 1，2， 100 这 100 个数中，任取两个数，使其和能被 4 整除的取法( 不计次序 ) 有多少种？七、交错问题会合法某些摆列组合问题几部分之间有交集，可用会合中求元素个数公式n( A B) n( A) n(B) n( A B) 。

排列组合问题常用的解题方法含答案高中数学排列组合问题常用的解题方法一、相邻问题捆绑法题目中规定相邻的几个元素并为一个组(当作一个元素)参与排列．例1:五人并排站成一排.如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边.那么不同的排法种数有种。

二、相离问题插空法元素相离(即不相邻)问题.可先把无位置要求的几个元素全排列.再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端．例2：七个人并排站成一行.如果甲乙两个必须不相邻.那么不同排法的种数是。

三、定序问题缩倍法在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序.可用缩小倍数的方法．例3：A、B、C、D、E五个人并排站成一排.如果 B必须站A的右边(A、B可不相邻).那么不同的排法种数有。

四、标号排位问题分步法把元素排到指定号码的位置上.可先把某个元素按规定排入.第二步再排另一个元素.如此继续下去.依次即可完成．例4：将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里.每格填一个数.则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有。

五、有序分配问题逐分法有序分配问题是指把元素按要求分成若干组.可用逐步下量分组法。

例5：有甲、乙、丙三项任务.甲需2人承担.乙丙各需1人承担.从10人中选出4人承担这三项任务.不同的选法总数有。

六、多元问题分类法元素多.取出的情况也有多种.可按结果要求.分成不相容的几类情况分别计算.最后总计。

例6：由数字 .组成且没有重复数字的六位数.其中个位数字小于十位数字的共有个。

例7：从…100这100个数中.任取两个数.使它们的乘积能被7整除.这两个数的取法(不计顺序)共有多少种例8：从.…100这100个数中.任取两个数.使其和能被4整除的取法(不计顺序)有多少种七、交叉问题集合法某些排列组合问题几部分之间有交集.可用集合中求元素个数公式=+-?。

n A B n A n B n A B()()()()例 9：从6名运动员中选出4个参加4×100m接力赛.如果甲不跑第一棒.乙不跑第四棒.共有多少种不同参赛方法八、定位问题优先法某个(或几个)元素要排在指定位置.可先排这个(几个)元素.再排其他元素。

排列组合方法1.相离问题插空法相离问题插空法主要用来解决2个或若干个不相邻元素的排列组合问题，是解决排列组合问题的常见方法之一。

它是指先把无位置要求，无条件限制的元素排列好，然后对有位置要求，受条件限制的元素进行整理，再将受条件限制的元素插入到已排列好的无条件限制元素的间隙或两端中。

解析：该题若轻易展开答疑较为麻烦，此时可以利用嗟乎问题插空法，可以并使问题迎刃而解。

先将原来的6个节目排序不好，这时中间和两端存有7个空位，然后用一个节目回去挂7个空位，存有a种方法;接着再用另一个节目回去挂8个空位，存有a种方法;将最后一个节目填入至9个空位中，存有a种方法，由乘法原理得：所有相同的嵌入方法aaa=种。

解析：先排好8辆车有a种方法，要求空位置连在一起，则在每2辆之间及其两端的9个空当中任选一个，将空位置插入其中有c种方法。

故共有ac种方法。

2.相连问题绑定法相邻问题捆绑法作为排列组合题最为常见的解法之一，就是在解决对于某几个元素相邻问题时，将相邻元素作为整体加以考虑，视为一个“大”元素参与排序，然后再单独对大元素内部各元素间的排列顺序进行一一分析排列。

解析：由于甲、乙两人必须陈小华在一起，故可以将甲、乙两人绑定出来做为一个整体展开考量，即将两人视作一人，再与其他四人展开全系列排序，则存有a种排法，甲、乙两人之间存有a种排法。

由分步计数原则所述，共aa=种相同排法。

解析：此题共6个球要分为5份，那么必有两个球在一起，所以从6球当中选择两球捆绑在一起的情况为c种，那么此时将捆绑的两球作为一个整体和另外4球进行全排列，则总的情况为ca=种。

故选b.3.多元问题分类法多元问题分类主要用解决元素较多，情况多种时的排列组合问题。

它是在弄清题意的基础上，按结果要求将其分成不相容的几类情况加以考虑，分别计数，最后一一相加，进行总计。

，解析：若子集a、b中没相同的元素，且都不是空集，则存有：（1）从5个元素中选出2个元素，有c=10种选法，小的给a集合，大的给b集合;（2）从5个元素中挑选出3个元素，存有c=10种选法，再分为1、2两组，较小元素的一组给a子集，很大元素的一组的给b子集，共计2×10=20种方法;（3）从5个元素中选出4个元素，有c=5种选法，再分成1、3;2、2;3、1两组，较小元素的一组给a集合，较大元素的一组的给b集合，共有3×5=15种方法;（4）从5个元素中挑选出5个元素，存有c=1种选法，再分为1、4;2、3;3、2;4、1两组，较小元素的一组给a子集，很大元素的一组的给b子集，共计4×1=4种方法;总计为：10+20+15+4=49种方法，故答案为d。

排列组合题型及解题方法
排列组合是数学中的一个重要概念，用于计算对象的不同排列或组合的数量。

在解决排列组合问题时，可以使用以下几种常见的方法：
1. 计数法：根据问题的条件，逐步计算出排列或组合的数量。

例如，如果要求从n个不同的元素中选取r个元素进行排列，可以使用计数法计算出排列的数量为n(n-1)(n-2)...(n-r+1)。

2. 公式法：排列组合问题有一些常用的公式，可以直接使用这些公式计算出排列或组合的数量。

例如，排列的数量可以使用阶乘计算，组合的数量可以使用组合公式计算。

3. 递归法：对于一些复杂的排列组合问题，可以使用递归的方法进行求解。

递归法的基本思想是将问题分解为更小的子问题，并通过递归调用解决子问题。

4. 动态规划法：对于一些具有重叠子问题的排列组合问题，可以使用动态规划的方法进行求解。

动态规划法的基本思想是将问题划分为多个阶段，并通过保存中间结果来避免重复计算。

在实际应用中，排列组合问题常常与概率、统计、组合优化等领域相关。

解决排列组合问题需要灵活运用数学知识和方法，同时也需要具
备一定的逻辑思维能力。

17 解排列组合问题常用方法（二十种）一、定位问题优先法（特殊元素和特殊位置优先法）例1、由01,2,3,4,5，可以组成多少个没有重复数字五位奇数？ 分析：特殊元素和特殊位置有特殊要求，应优先考虑。

末位和首位有特殊要求。

先排末位，从1,3,5三个数中任选一个共有13C 种组合；然后排首位，从2,4和剩余的两个奇数中任选一个共有14C 种组合；最后排中间三个数，从剩余四个数中任选三个共有34A 种排列。

由分步计数原理得113344288C C A =。

变式1、7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？分析：先种两种不同的葵花在不受限制的四个花盒中共有24A 种排列，再种其它葵花有55A 种排列。

由分步计数原理得25451440A A =。

二、相邻问题捆绑法例2、7人站成一排 ，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法？分析：分三步。

先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，将丙丁两元素也捆绑成整体看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时在两对相邻元素内部进行自排。

由分步计数原理得522522480A A A =。

变式2、某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 。

分析：命中的三枪捆绑成一枪，与命中的另一枪插入未命中四枪形成的五个空位，共有25A 种排列。

三、相离问题插空法例3、一个晚会节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈不能连续出场，则节目出场顺序有多少种？分析：相离问题即不相邻问题。

分两步。

第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种排列，第二步将4个舞蹈插入第一步排好后形成的6个空位中（包含首尾两个空位）共有46A 种排列，由分步计数原理得545643200A A =。

变式3、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新节目插入原节目单中且不相邻，那么不同插法的种数为 。