安徽省江南十校2013届高三开年第一考数学(文)试题

2024年安徽省“江南十校”高三联考英语试题本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷留意事项:1. 答第I卷前,考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2. 选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

不能答在本试卷上,否则无效。

第一部分听力（共两节，满分30分）做题时,先将答案标在试卷上。

录音内容结束后,你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。

第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的 A、B、C 三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1. Where is Mr. Smith now?A. At home.B. At Sun Valley.C. In the office.2. How many times was the man late?A. 4 times.B. 8 times.C. 7 times.3. How is Steven going to spend this weekend?A. Going fishing.B. Repairing his car.C. Painting the apartment.4. Why is the woman preparing so much food?A. The woman wants to thank the man.B. The man can eat a lot.C. It’s the man’s birthday.5. What can we learn from the conversation?A. They are neighbors.B. They are both students.C. They are from the same country.其次节（共15小题；每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。

2022届安徽省江南十校高三下学期3月一模数学（文）试题一、单选题1．已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{y |y ＝2x －1，x ∈A }，则A ∩B ＝（ ） A ．{1} B ．{1，2，3} C ．{1，3} D ．{1，3，5}答案：C根据题意先求出集合B ，进而根据交集的定义求得答案. 解：集合{}1,3,5B =，{}1,3A B =. 故选：C ．2．“0＜λ＜4”是“双曲线2241x y λ=-的焦点在x 轴上”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A先根据双曲线2241x y λ=-的焦点在x 轴上得到λ的范围，进而求得答案. 解：由双曲线2241x y λ=-的焦点在x 轴上可知，0λ>.于是“04λ<<”是“双曲线2241x y λ=-的焦点在x 轴上”的充分不必要条件. 故选：A.3．已知复数z 在复平面内对应的点为()2,1，z 是z 的共轭复数，则zz=（ ）A ．34i 55-+ B ．34i 55--C ．34i 55+D ．34i 55-答案：D依题意2i z =+，再根据复数代数形式的除法运算法则计算可得；解：解：由题知2i z =+，则2i z =-，所以()()()()()22i 2i 2i 2i 34=i 2i 2i 2i 555z z ----===-++-. 故选：D.4．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()2cos cos b A C =，则角A 的大小为（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．512π 答案：A直接利用正弦定理边化角，再结合正弦的和角公式求出cos A ，进而求出角A .解：由()2cos cos b A C得)2cos cos cos b A a C c A +，由正弦定理得)2sin cos sin cos sin cos )B A A C C A A C B =+=+=，又sin 0B ≠，得cos A =6A π=.故选：A. 5．设x ∈（0，2π），则事件“2sin x ＞tan x ”发生的概率为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．23π答案：C先求出事件“2sin x ＞tan x ”对应的03x π<<，利用几何概型的概率公式直接求解.解：由2sin tan x x >且0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得1cos 2x >，解得03x π<<，得2332p ππ==.故选：C.6．已知函数f (x )=2|x |，a =f (log 0.53)，b =f (log 45)，c =f (cos 3π)，则（ ） A ．a >c >b B ．a >b >c C ．b >a >cD ．c >a >b答案：B分析函数()2xf x =的奇偶性和单调性，再判断自变量的大小关系，根据单调性和奇偶性即得解解：由题意，()22()xxf x f x --===故函数()2xf x =为偶函数，且0x >时，()2xf x =，故函数在(0，+∞)单调递增，∵2421log 3log 5log log 21,cos 32π>=>==， ∴()()0.52log 3log 3a f f b c ==>>. 故选：B7．《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一本，成于公元1世纪左右，该书内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢?″题意是：“有两只老鼠从厚五尺墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.问几日两鼠相逢?”有人设计了如图所示的程序框图解决此问题，则此题的结果为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5答案：B根据程序框图，依次执行即可得答案.解：解：第一次执行得2,5S S =<，进入循环体得12,2a b ==，2i =； 第二次执行得 4.5,5S S =<，进入循环体得14,4a b ==，3i =， 第三次执行得8.75,5S S =≥，满足条件，输出3i =. 故选：B8．为了得到函数cos 36y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只要把函数cos 2y x =图象上所有的点（ ）A ．横坐标伸长到原来的32倍，再把得到的图象向右平移6π个单位长度，纵坐标不变B ．横坐标伸长到原来的32倍，再把得到的图象向左平移6π个单位长度，纵坐标不变C ．横坐标缩短到原来的23倍，再把得到的图象向右平移18π个单位长度，纵坐标不变 D ．横坐标缩短到原来的23倍，再把得到的图象向左平移18π个单位长度，纵坐标不变答案：D根据三角函数的变换规则判断可得；解：解：首先将cos 2y x =横坐标缩短到原来的23倍（纵坐标不变）得到cos3y x =，再将cos3y x =向左平移18π个单位长度得到cos3cos 3186y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：D.9．设1F 、2F 是椭圆22:110xC y +=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上，且12PF F △的面积为7，则OP =（ ） A ．3 B ．73C ．83D ．3答案：A根据三角形12PF F △的面积可求得点P 的坐标，由此可求得OP 的值.解：在椭圆C 中，10a =，1b =，则223c a b =-=，所以，1226F F c ==，12121372PF F P P S F F y y =⋅==△，所以7P y =，所以25P x =， 则223P P OP x y =+=，故选：A.10．已知四棱锥P －ABCD 的高为3，底面ABCD 为矩形，BC ＝3，AB ＝2，PC ＝PD ，且面PCD ⊥面ABCD ．现从四棱锥中挖去一个以CD 底面直径，P 为顶点的半个圆锥，得到的几何体如图所示.点N 在弧CD 上，则PN 与侧面P AB 所成的最小角的正弦值为（ ）A ．12 B ．22C 62-D 3答案：A分别取AB ，CD 的中点为E ，F ，连接EF ，EF 与CD 交于H .记N 到侧面P AB 的距离为d ，由于PN 的长为定值，因此当且仅当d 最小时，PN 与侧面P AB 所成的角最小，即点N 在H 时，然后再解三角形即可求解. 解：如图所示，分别取AB ，CD 的中点为E ，F ，连接EF ，EF 与CD 交于H .记N 到侧面P AB 的距离为d ，由于PN 的长为定值，因此当且仅当d 最小时，PN 与侧面P AB 所成的角最小，即点N 在H 时，HPE θ=∠.面PCD ⊥面ABCD 易知PF EF ⊥，3PF =，又3EF =，1HF =，则2PH EH == 所以HPE PEF θ=∠=∠，所以3tan θ=，即1sin 2θ=.故选：A.11．函数fx=x+1+ax 的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：D令0a =、1a =、1a =-分别得到函数解析式，即可判断所对应的函数图形，即可用排除法得解；解：解：当0a =时，()1,111,1x x f x x x x +≥-⎧=+=⎨--≤-⎩，图象为A ；当1a =时，()21,111,1x x f x x x x +≥-⎧=++=⎨-≤-⎩，图象为C ；当1a =-时，()1,1121,1x f x x x x x ≥-⎧=+-=⎨--≤-⎩，图象为B.对于D ：当1x ≥-时()()111f x x ax a x ==++++为常数函数，则10a +=，解得1a =-，显然与B 的图象矛盾，故D 错误； 故选：D.12．已知函数f （x ）＝a e x －2－ln x ＋2ln a ，若f （x ）≥3，恒成立，则a 的取值范围为（ ）A ．[1，＋∞）B ．∞）C ．[e ，＋∞）D ．[2e ，＋∞）答案：C根据特殊值法，再结合构造函数法，通过放缩法、导数的性质进行验证即可. 解：由题设可知，要使()3f x ≥成立，则()13f ≥，即1e 2ln 3a a -⋅+≥，设1'2()e 2ln 3()h a a a h a a a-=⋅+-⇒=+，因为0a >， 所以'()0,()h a h a >单调递增，而(e)0h =，由()0(e)h a h >=，∴e a ≥.下证：当e a ≥时，()3f x ≥恒成立，∵e a ≥，∴()1e ln 2xf x x -≥-+，构造函数1e x y x -=-，1e 1x y -'=-，当1x >时，'0y >，函数单调递增， 当1x <时，'0y <，函数单调递减，所以当1x =时，函数有最小值0，即 11e 0e x x y x x --=-≥⇒≥（当1x =时，两式等号成立），构造函数ln 1y x x =-+，'111x y x x-=-=， 当1x >时，'0y <，函数单调递减，当01x <<时，'0y >，函数单调递增，所以当1x =时，函数有最大值0，即ln 10ln 1y x x x x =-+≤⇒≤-（当1x =时，两式等号成立），则()1e ln 2)123(xf x x x x -≥-+≥--+=，得证.所以[)e,a ∞∈+.故选：C.点评：关键点睛：构造不等式的形式，构造函数，根据函数运用放缩法进行求解是解题的关键. 二、填空题13．已知向量(,2)a t =，(,1)b t =-，满足a b a b -=+，则t ＝__________．答案：解：因为a b a b -=+，所以222222()()220a b a b a b a b a b a b a b -=+⇒+-⋅=++⋅⇒⋅=，()22120a b t t t ⋅=⨯-+⨯=-+=，得2t=±. 故答案为：2±14．若x ，y 满足约束条件20,320,20,x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩则z ＝x 2＋y 2的最小值为__________．答案：2根据代数式的几何意义，结合点到直线的距离公式进行求解即可. 解：画图如下：由22z x y =+可构造(),P x y ，()0,0O ，则2z PO =，动点P 在阴影区域，由图可知其最小值为点O到直线20x y +-=的距离的平方，2min 22002211z +-==+. 故答案为：215．过坐标原点且与曲线ln 1y x x =--相切的直线方程为__________． 答案：0x y +=y x =-设切点为()000,ln 1x x x --，求出切线的方程，将原点的坐标代入切线方程，求出0x 的值，可得出切线的方程.解：设切线的切点为()000,ln 1x x x --，对函数ln 1y x x =--求导得ln 1y x '=--， 则切线的斜率为01ln k x =--，所以切线方程为()()0000ln 1ln 1y x x x x x ++=---， 将原点的坐标代入切线方程可得01x =，则1k =-， 因此，所求切线方程为y x =-，即0x y +=. 故答案为：0x y +=.16．半正多面体亦称阿基米德多面体，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体．如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，它们的边长都相等，称这样的半正多面体为二十四等边体．现有一个体积为1V 的二十四等边体，其外接球体积为2V ，则21V V =_________________.22π利用割补法可得二十四等边体的体积，再结合对称性可得外接球球心与半径，可得外接球体积，进而得解.解：设该半多面体是由棱长为2的正方体沿正方体各棱的中点截去8个三棱锥所得，内侧即为二十四等边体，其体积111202228111323V =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=；由二十四等边体的对称性可知， 如图所示，其外接球的球心即为正方体中心O ，半径为中心到一个顶点的距离，则22112R OA AB +=+故3248223V ππ==从而2122V V π22π. 三、解答题17．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，13a =，点(),N n S n n n *⎛⎫∈ ⎪⎝⎭在斜率为1的直线上.(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求数列12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．答案：(1)21n a n =+ (2)152522n n n T ++=- （1）根据斜率公式可得出()222n S n n n =+≥，可知13S =满足()222n S n n n =+≥，可得出22n S n n =+，再利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩可求得数列{}n a 的通项公式；（2）求得1212n n n c ++=，利用错位相减法可求得n T . (1)解：由13a =，点,n S n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭在斜率为1的直线上，知1111n S S n n -=-，即()222n S n n n =+≥.当1n =时，113S a ==也符合上式，故22n S n n =+.当2n ≥时，()()221212121n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=+⎣⎦； 13a =也满足上式，故21n a n =+.(2) 解：112122n n n n a n c +++==. 则2341357212222n n n T ++=++++， 所以，3412135212122222n n n n n T ++-+=++++， 上式-下式得1232211113111213214212422224212n n n n n n n T -++⎛⎫- ⎪++⎛⎫⎝⎭=++++-=+- ⎪⎝⎭- 252542n n ++=-， 因此，152522n n n T ++=-. 18．如图所示，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，分别以边AB 和BC 为一边向外侧作矩形ABDE 和菱形BCFG ，满足BD ＝BG ，再将其沿AB ，BC 折起使得BD 与BG 重合，连结EF ．(1)判断A ，C ，F ，E 四点是否共面？并说明理由；(2)若BC ＝2AB ＝4，∠BCF ＝120°，设M 是线段FC 上一点，连结EM 与DM ．判断平面EDM 与平面BCFD 是否垂直？并求三棱柱ABC －EDF 的侧面积. 答案：(1)四点共面，理由见解析； (2)垂直，243+（1）由题可得AE CF ∥，即得；（2）由题可得AB ⊥平面BCFD ，进而可得ED ⊥平面BCFD ，即可判断，再利用面积公式可求侧面积. (1)A ，C ，F ，E 四点共面，证明如下：∵AE BD ∥，BG CF ∥，又因为D ，G 重合，∴AE CF ∥，故A ，C ，F ，E 四点共面； (2)因为AB BD ⊥，AB BC ⊥且BD BC B ⋂=， ∴AB ⊥平面BCFD ，又AB ED ∥，则ED ⊥平面BCFD .因为M 是线段FC 上一点，则E ，D ，M 三点共面， 又DE ⊂面EDM ， 所以面EDM ⊥面BCFD .又ED ⊥平面BCFD ，∴ED ⊥FC ， 当DM ⊥FC 时，由于ED DM D ⋂=， 故FC ⊥平面EDM ，则FC ⊥EM .在菱形BDFC 中，120BCF ∠=︒，4DF =， 则sin 6023DM DF =⋅︒=2ED AB ==， 则()222234EM +=.故三棱柱ABC －EDF 的侧面积为()422342483⨯+=+19．碳中和，是指企业、团体或个人测算在一定时间内，直接或间接产生的温室气体排放总量，通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放，实现二氧化碳的“零排放”.碳达峰，是指碳排放进入平台期后，进入平稳下降阶段.简单地说就是让二氧化碳排放量“收支相抵”.中国政府在第七十五届联合国大会上提出：“中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和.”减少碳排放，实现碳中和，人人都可出一份力．某中学数学教师组织开展了题为“家庭燃气灶旋钮的最佳角度”的数学建模活动.实验假设：①烧开一壶水有诸多因素，本建模的变量设定为燃气用量与旋钮的旋转角度，其他因素假设一样；②由生活常识知，旋转角度很小或很大，一壶水甚至不能烧开或造成燃气浪费，因此旋转角度设定在10°到90°间，建模实验中选取5个代表性数据：18°，36°，54°，72°，90°． 某支数学建模队收集了“烧开一壶水”的实验数据，如下表：以x 表示旋转角度，y 表示燃气用量. (1)用列表法整理数据（x ，y ）； (2)假定x ，y 线性相关，试求回归直线方程y bx a =+（注：计算结果精确到小数点后三位） (3)有队员用二次函数进行模拟，得到的函数关系为22190310 1.472150.33y x x -=⨯-+．．求在该模型中，烧开一壶水燃气用量最少时的旋转角度．请用相关指数R 2分析二次函数模型与线性回归模型哪种拟合效果更好？（注：计算结果精确到小数点后一位） 参考数据：51712i i y ==∑，()()511998i ii x xy y =--=∑，()5213240ii x x =-=∑，()5211501.2i i y y=-=∑，线性回归模型()521269.1i ii y y =-≈∑，二次函数模型()521196.5i ii y y =-≈∑． 参考公式：()()()121niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-，()()221211nii i n ii yy R yy==-=--∑∑．答案：(1)列表见解析； (2)0.617109.098y x =+； (3)38.7︒，二次函数拟合效果更好. （1）根据题中数据直接填表即可；（2）根据题中所给的数据和公式进行求解即可；（3）根据题中所给的公式，结合所给的函数关系进行求解判断即可. (1)整理数据如图：(2)54x =，142.4y =，()()()5152119980.61673240iii i i x x y y b x x==--==≈-∑∑， 142.40.616754109.0982109.098a =-⨯=≈，故回归直线方程为0.617109.098y x =+； (3)21.47238.72 1.90310x --=-≈︒⨯⨯，即旋转角约为38.7︒时，烧开一壶水燃气用量最少()3min121.9dm y ≈. 回归直线与二次函数拟合两者关系时，相关指数分别为21R ，22R ，则21269.110.820.81501.2R =-≈≈，22196.510.870.91501.2R =-≈≈.因为2212R R <，所以二次函数拟合效果更好.20．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于P ，A 两点，且PF λFA =． (1)若λ＝1，求直线l 的方程；(2)设点E （a ，0），直线PE 与抛物线C 的另一个交点为B ，且PE EB μ=．若λ＝4μ，求a 的值. 答案：(1)1x =； (2)4.（1）根据抛物线的对称性可以判断PA x ⊥轴，进而解出答案；（2）设出点的坐标和直线,PA PB 的方程，将直线方程代入抛物线方程并化简，进而根据平面向量间的关系及根与系数的关系得到,λμ间的关系. (1)由PF FA →→=，知焦点()1,0F 是PA 的中点，又抛物线C ：24y x =关于x 轴对称，所以PA x ⊥轴，所以直线l 的方程1x =. (2)设点()()000,0P x y y ≠，()()111,0A x y y ≠，由PF λFA →→=得01y y λ=-①， 设直线l ：1x my =+与抛物线C ：24y x =联立得2440y my --=，所以()21610m ∆=+>，014y y =-②， 由①②可得204y λ=，设点()22,B x y ，由PE EB μ→→=得02y y μ=-③， 直线PB ：x ny a =+与抛物线C ：24y x =联立得2440y ny a --=，所以需要满足()2160n a ∆=+>，024y y a =-④，由③④可得204y aμ=，又4λμ=，所以2200444y y a=⋅，因为00y ≠，解得4a =，此时()()22161640n a n ∆=+=+>.所以a 的值为4.点评：本题为压轴题，注意本题的突破口. 根据PF λFA→→=得到01y y λ=-之后会发现，本题应该涉及根与系数的关系，当得到204y λ=之后，应该确定了最终方向，即得到20,y μ间的关系，最后解决问题.21．已知函数()()11ln 2,R f x ax a x a x=+-+-∈． (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 只有一个零点，求a 的取值范围． 答案：(1)答案见解析； (2)0a ≤或1a =或e a =.（1）求出导函数并因式分解，进而讨论a 的范围，然后根据导数的符号求出单调区间； （2）结合（1）中函数的单调性及零点存在定理即可求得答案. (1)函数()f x 的定义域为()0,∞+，()()()221111ax x a f x a x x x -+-+-='=， ①若0a ≤，()0f x '<，则()f x 在()0,∞+单调递减；②若0a >，10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增.综上：0a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递减；0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. (2)若0a ≤，111e 2=1e 1>0e e e a f a a ⎛⎫⎛⎫=+-+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()110f a =-<.结合函数的单调性可知，()f x 有唯一零点.若0a >，因为函数在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以要使得函数有唯一零点，只需()()()()min 111ln 211ln 0f x f a a a a a a ⎛⎫==--+-=--= ⎪⎝⎭，解得1a =或e a =.综上：0a ≤或1a =或e a =.点评：第（2）问较难，我们一定要注意，导数中的零点问题往往与函数的单调性和零点存在定理联系紧密.22．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为sin cos ρθθ=+. (1)求曲线C 的直角坐标方程； (2)求曲线C 围成的图形的面积．答案：(1)22x y x y +=+(x ，y 不同时为0)(2)2π+（1）按照极坐标方程和直角坐标方程互化即可；（2）先计算出第一象限图形的面积，再结合对称性求出整个图形的面积. (1)由sin cos ρθθ=+，可知0ρ>，所以2sin cos ρρθρθ=+，又222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，则曲线C 的直角坐标方程为22x y x y +=+(x ，y 不同时为0).(2)当0,0x y >>时，得曲线C 的第一象限内的直角坐标方程：22x y x y +=+，配方得22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则曲线C 在第一象限内的图形由一个直角边为12易知，曲线C 在第一象限内的围成的图形面积为124π+.结合对称性可知曲线C 围成的图形的面积为2π+. 23．已知函数()2f x x a =+，()21g x x =-. (1)当2a =时，求不等式()()4f x g x +≥的解集；(2)若存在0x R ∈，使得()()004f x g x a <-+，求a 的取值范围．答案：(1)54x x ⎧≤-⎨⎩或34x ⎫≥⎬⎭(2){}35a a -<<（1）分情况解绝对值不等式；（2）利用绝对值不等式求得最值，进而可得参数取值范围. (1)当2a =时，则22214x x ++-≥，当1x <-时，不等式化为414x --≥，可得54x ≤-；当112x -≤<时，不等式化为34≥，不成立； 当12x ≥时，不等式化为414x +≥，可得34x ≥；综上可得不等式的解集为54x x ⎧≤-⎨⎩或34x ⎫≥⎬⎭； (2)因为存在0x R ∈，使得()()004f x g x a <-+成立， 即使得0024221x a x a +<-+-成立，()00min 22214x a x a ∴+++-<，由绝对值不等式可知：0000222122211x a x a x a x a a +++-≥+--+=-+， 即14a -<，可得a 的取值范围为{}35a a -<<.。

2015-2016学年安徽省江南十校联考高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A={y|y=x}，B={y|y=（）x，x＞1}，则A∩B=（）A．（0，）B．（）C．（0，1）D．∅2．已知复数z满足z•（1+i2015）=i2016（i是虚数单位），则复数z在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．下列命题中，真命题的是（）A．∀x＞0，2x＞x2B．∃x0∈R，e≤0C．“a＞b“是“ac2＞bc2”的充要条件D．“ab＞1”是“a＞1，b＞1”的必要条件4．截至11月27日，国内某球员在2015﹣2016赛季CBA联赛的前10轮比赛中，各场得分x i（i=1，2，3，…，10）的茎叶图如图①所示，图②是该运动员某项成绩指标分析的程序框图，则输出的结果是（）A．8 B．7 C．6 D．55．将函数y=cos2x的图象向右平移φ个单位得到函数y=cos2x﹣sin2x的图象，则φ的一个可能取值为（）A．B．C． D．6．某中学高一、高二各有一个文科和一个理科两个实验班，现将这四个班级随机分配到上海交通大学和浙江大学两所高校进行研学，每个班级去一所高校，每所高校至少有一个班级去，则恰好有一个文科班和一个理科班分配到上海交通大学的概率为（）A．B．C．D．7．已知实数x，y满足，且目标函数z=y﹣x取得最小值﹣4，则k等于（）A．B．C．﹣D．﹣8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，且a2=b2+c2﹣bc，则△ABC的面积S的最大值为（）A．B．C．D．9．已知△ABC的边BC上一动点D满足=n（n∈N*），=x+y，则数列{（n+1）x}的前n项和为（）A． B． C．D．10．若抛物线C1：y=x2的焦点F到双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的距离为，抛物线C1上的动点P到双曲线C2的一个焦点的距离与到直线y=﹣1的距离之和的最小时为，则双曲线C2的方程为（）A．﹣y2=1 B．x2﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=111．一个三棱锥的三视图如图所示，则它的体积为（）A ．B ．1C ．D ．212．函数f （x ）=1+x ﹣+﹣+…+﹣在区间[﹣2，2]上的零点个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置13．已知（+）5的展开式中的常数项为80，则65x 的系数为______．14．已知正数x ，y 满足2x +y=1，则4x 2+y 2+的最小值为______．15．若对于任意实数t ，圆C 1：（x +4）2+y 2=1与圆C 2：（x ﹣t ）2+（y ﹣at +2）2=1都没有公共点，则实数a 的取值范围是______．16．已知函数f （x ）=sin （ωx +φ）（ω＞0，﹣≤φ≤）的图象如图所示，若函数g （x ）=3[f （x ）]3﹣4f （x ）+m 在x 上有4个不同的零点，则实数m 的取值范围是______．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答写在答题卡的指定区域17．已知在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1=2，且2a 1，a 3，3a 2成等差数列． （Ⅰ）求等比数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若c n =a n •（），n=1，2，3，…，且数列{c n }为单调递减数列，求λ的取值范围．18．从某企业的一种产品中抽取40件产品，测量其某项质量指标，测量结果的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求这40件样本该项质量指标的平均数；（Ⅱ）从180（含180）以上的样本中随机抽取2件，记质量指标在[185，190]的件数为X ，求X 的分布列及数学期望．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2，AD=，PA=PD=CD=CB=1，E总是线段PB上的动点．（Ⅰ）当E点在什么位置时，CE∥平面PAD？证明你的结论．（Ⅱ）对于（Ⅰ）中的点E，求AE与底面ABCD所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角A﹣PD﹣C的正弦值．20．已知椭圆C的左、右焦点F1，F2在x轴上，左顶点为A，离心率e=，过原点O的直线（与x轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点，△PF1F2的周长为8+4．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求四边形MF1NF2面积的最小值．21．已知函数f（x）=e﹣ax2（其中e是自然对数的底数）．（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性；（Ⅱ）若f（x）≤0在定义域内恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若a=0，当x＞0时，求证：对任意的正整数n都有f（）＜n!x﹣n．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清楚．选修4-1：几何证明选讲22．已知AB是圆O的一条弦，过点A、B分别作AE⊥AB，BF⊥AB，交弧AB上任意一点T的切线于点E、F，OT交AB于点C，求证：（Ⅰ）∠CBT=∠CFT；（Ⅱ）CT2=AE•BF．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C的参数方程为（θ为参数）．（Ⅰ）求曲线C的普通方程；（Ⅱ）若倾斜角为45°的直线l经过点P（1，2）且与直线C相交于点A、B，求线段AB的长度．选修4-5：不等式选讲24．设f（x）=|x+3|﹣a|2x﹣1|（Ⅰ）当a=1时，求f（x）＞3的解集；（Ⅱ）若f（x）≥0对x∈[﹣1，1]恒成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年安徽省江南十校联考高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A={y|y=x}，B={y|y=（）x，x＞1}，则A∩B=（）A．（0，）B．（）C．（0，1）D．∅【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域；交集及其运算．【分析】利用函数的单调性可得：A=[0，+∞），B=，即可得出A∩B．【解答】解：A={y|y=x}=[0，+∞），B={y|y=（）x，x＞1}=，则A∩B=，故选：A．2．已知复数z满足z•（1+i2015）=i2016（i是虚数单位），则复数z在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的混合运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数单位的幂运算，然后利用复数的乘法的运算法则化简求解即可．【解答】解：复数z满足z•（1+i2015）=i2016，可得z（1﹣i）=1，可得z===．对应点的坐标（）．故选：A．3．下列命题中，真命题的是（）A．∀x＞0，2x＞x2B．∃x0∈R，e≤0C．“a＞b“是“ac2＞bc2”的充要条件D．“ab＞1”是“a＞1，b＞1”的必要条件【考点】特称命题；全称命题．【分析】根据含有量词的命题的定义进行判断即可．【解答】解：A．若x=3，则23=8，32=9，此时2x＞x2不成立，故A错误，B．∵∀x∈R，e x＞0，∴∃x0∈R，e≤0不成立，故B错误，C．当c=0，当a＞b时，“ac2＞bc2”不成立，即“a＞b“是“ac2＞bc2”的充要条件错误，故C错误，D．当a＞1，b＞1时，ab＞1成立，即“ab＞1”是“a＞1，b＞1”的必要条件成立，故D正确，故选：D4．截至11月27日，国内某球员在2015﹣2016赛季CBA联赛的前10轮比赛中，各场得分x i（i=1，2，3，…，10）的茎叶图如图①所示，图②是该运动员某项成绩指标分析的程序框图，则输出的结果是（）A．8 B．7 C．6 D．5【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，得到程序的功能，由茎叶图写出所有的数据，计算得分超过20分（不包括20分）的场数即可得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得其功能是计算得分超过20分（不包括20分）的场数，有茎叶图知，各场得分的数据为：14，17，27，21，28，20，26，26，31，44，∴根据茎叶图可知得分超过20分（不包括20分）的场数有7场．故选：B．5．将函数y=cos2x的图象向右平移φ个单位得到函数y=cos2x﹣sin2x的图象，则φ的一个可能取值为（）A．B．C． D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由和差角的公式化简可得y=2cos2（x ﹣），由三角函数图象变换的规则可得．【解答】解：∵y=cos2x ﹣sin2x=2cos （2x +）=2cos （2x ﹣）=2cos2（x ﹣），∴φ的一个可能取值为．故选：D ．6．某中学高一、高二各有一个文科和一个理科两个实验班，现将这四个班级随机分配到上海交通大学和浙江大学两所高校进行研学，每个班级去一所高校，每所高校至少有一个班级去，则恰好有一个文科班和一个理科班分配到上海交通大学的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】求出所有的分配方案和符合条件的分配方案，代入概率计算公式计算．【解答】解：将这四个班级随机分配到上海交通大学和浙江大学两所高校进行研学，每所高校至少有一个班级去，则共有24﹣2=14种分配方案．恰有一个文科班和一个理科班分配到上海交通大学的方案共有2×2=4种，∴P==．故选：B ．7．已知实数x ，y 满足，且目标函数z=y ﹣x 取得最小值﹣4，则k 等于（ ）A ．B ．C ．﹣D ．﹣【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，由题意可知，直线y=x +z 经过可行域，且在y 轴上的截距的最小值为﹣4时，直线kx ﹣y +2过点（4，0），由此求得k 的值．【解答】解：如图，由题意可知，直线y=x +z 经过可行域，且在y 轴上的截距的最小值为﹣4．∴直线kx ﹣y +2过点（4，0），从而可得k=．故选：D ．8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，且a2=b2+c2﹣bc，则△ABC的面积S的最大值为（）A．B．C．D．【考点】余弦定理．【分析】由已知及余弦定理可得cosA=，解得A=，由余弦定理可得：b2+c2=3+bc，利用基本不等式可求bc≤3，根据三角形面积公式即可得解．【解答】解：∵a2=b2+c2﹣bc，∴由余弦定理可得：cosA==，A为三角形内角，解得A=，∵a=，∴3=b2+c2﹣bc，可得：b2+c2=3+bc，∵b2+c2≥2bc（当且仅当b=c时，等号成立），∴2bc≤3+bc，解得bc≤3，∴S△ABC=bcsinA=bc≤．故选：C．9．已知△ABC的边BC上一动点D满足=n（n∈N*），=x+y，则数列{（n+1）x}的前n项和为（）A． B． C．D．【考点】数列的求和；向量的共线定理．【分析】通过=n（n∈N*）可知=+，与=x+y比较可得x=，进而计算可得结论．【解答】解：∵=n（n∈N*），∴=+，又∵=x+y，∴x=，∴数列{（n+1）x}是首项、公差均为1的等差数列，∴则数列{（n+1）x}的前n项和为，故选：C．10．若抛物线C1：y=x2的焦点F到双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的距离为，抛物线C1上的动点P到双曲线C2的一个焦点的距离与到直线y=﹣1的距离之和的最小时为，则双曲线C2的方程为（）A．﹣y2=1 B．x2﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【考点】圆锥曲线的综合．【分析】确定抛物线的焦点坐标，双曲线的渐近线方程，利用抛物线C1：y=x2的焦点F到双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的距离为，可得=，再利用抛物线的定义，结合抛物线C1上的动点P到双曲线C2的一个焦点的距离与到直线y=﹣1的距离之和的最小时为，可得c2+1=5，从而可求双曲线的几何量，可得结论．【解答】解：抛物线C1：y=x2的焦点F（0，1），双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为bx﹣ay=0，∵抛物线C1：y=x2的焦点F到双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的距离为，∴=，∵直线y=﹣1是抛物线的准线，抛物线C1上的动点P到双曲线C2的一个焦点的距离与到直线y=﹣1的距离之和的最小时为，∴根据抛物线的定义可知，当P，F及双曲线C2的一个焦点三点共线时最小，∴c2+1=5，∴c=2，∵c2=a2+b2，∴b=，a=1，∴双曲线的方程为x2﹣=1．故选：B．11．一个三棱锥的三视图如图所示，则它的体积为（ ）A ．B ．1C ．D ．2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知该三棱锥为棱长为2的正方体切割得到的，作出图形，结合图形代入体积公式计算．【解答】解：由三视图可知该三棱锥为棱长为2的正方体切割得到的．即三棱锥A 1﹣MCD ．∴V=××2×2×2=． 故选C ．12．函数f （x ）=1+x ﹣+﹣+…+﹣在区间[﹣2，2]上的零点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】求导f ′（x ）=1﹣x +x 2﹣x 3+…+x 2014﹣x 2015，分类讨论以确定f （x ）的单调性，从而确定函数的极值的正负，从而利用函数的零点判定定理判断即可． 【解答】解：∵f （x ）=1+x ﹣+﹣+…+﹣，∴f ′（x ）=1﹣x +x 2﹣x 3+…+x 2014﹣x 2015， 当x=﹣1时，f ′（x ）=2016＞0，当x ≠﹣1时，f ′（x ）=，故当﹣2＜x ＜﹣1或﹣1＜x ＜1时，f ′（x ）＞0； 当1＜x ＜2时，f ′（x ）＜0；故f （x ）在[﹣2，1]上单调递增，在（1，2]上单调递减， 又∵f （﹣2）＜0，f （1）＞0，f （2）＜0，∴f （x ）在（﹣2，1）和（1，2）内各有一个零点， 故选：B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置13．已知（+）5的展开式中的常数项为80，则65x 的系数为 40 ．【考点】二项式定理．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项，再根据常数项等于80求得实数a 的值，从而求得65x 的系数．【解答】解：∵（+）5的展开式中的通项公式为 T r+1=•a r •，令=0，求得r=3，即常数项为•a 3=80，求得a=2．故展开式中的通项公式为 T r+1=•2r•，令r=2，可得则65x 的系数为40，故答案为：40．14．已知正数x ，y 满足2x +y=1，则4x 2+y 2+的最小值为 ．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】由基本不等式可得0＜xy ≤，令t=xy ，0＜t ≤，由4t ﹣在0＜t ≤递增，可得最小值．【解答】解：正数x ，y 满足2x +y=1， 可得2x +y ≥2， 即有0＜xy ≤，则4x 2+y 2+=（2x +y ）2﹣4xy +=1﹣（4xy ﹣），令t=xy ，0＜t ≤，由4t ﹣在0＜t ≤递增，可得t=时，4t ﹣取得最大值，且为﹣，则4x2+y2+在xy=时，取得最小值，且为1+=．故答案为：．15．若对于任意实数t，圆C1：（x+4）2+y2=1与圆C2：（x﹣t）2+（y﹣at+2）2=1都没有公共点，则实数a的取值范围是a＜﹣或a＞0．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】通过两个圆的方程求出两个圆的圆心与半径，利用圆心距与半径和与差的关系即可求解．【解答】解：圆C2：（x﹣t）2+（y﹣at+2）2=1的圆心在直线y=ax﹣2上，∴要使圆C1：（x+4）2+y2=1与圆C2：（x﹣t）2+（y﹣at+2）2=1没有公共点，必须使圆心C1（﹣4，0）到直线y=ax﹣2的距离大于两圆半径之和，即d=＞2，∴a＜﹣或a＞0．故答案为：a＜﹣或a＞0．16．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ≤）的图象如图所示，若函数g（x）=3[f（x）]3﹣4f（x）+m在x上有4个不同的零点，则实数m的取值范围是[，）．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数的零点与方程根的关系．【分析】利用由y=Asin（ωx+φ）的部分图象可求得A，T，从而可得ω，又曲线经过（，0），|φ|＜，可得φ的值，从而可求函数f（x）的解析式，将函数进行换元，转化为一元二次函数问题，由导数求出单调区间，结合函数f（x）的图象，即可确定m的取值范围．【解答】解：由图知T=4（﹣）=2π，∴ω=1，∴f（x）=sin（x+φ），∵f（）=0，∴+φ=kπ，k∈Z．∴φ=kπ﹣，k∈Z．又|φ|≤，∴φ=，∴函数f（x）的解析式为：f（x）=sin（x+）．由f（x）的图象可知，对于f（x）∈[，1）上的每一个值，对应着[﹣，]上的两个x值，又g（x）=3[f（x）]3﹣4f（x）+m=0，⇔m=﹣3[f（x）]3+4f（x）有4个不同的零点，令f（x）=t，则m=﹣3t3+4t．∵m′=﹣9t2+4=﹣9（t+）（t﹣），∴m=﹣3t3+4t在[，]上单调递增，在[，1]上单调递减，而当t=时，m=；当t=时，m=；当t=1时，m=1，结合图象可知，对于m∈[，）上的每一个值，对应着t=f（x）∈[，1）上的两个值，进而对应着[﹣，]上的4个x值．故答案为：[，）．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答写在答题卡的指定区域17．已知在各项均为正数的等比数列{a n}中，a1=2，且2a1，a3，3a2成等差数列．（Ⅰ）求等比数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若c n=a n•（），n=1，2，3，…，且数列{c n}为单调递减数列，求λ的取值范围．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】（Ⅰ）设等比数列的公比为q（q＞0），由等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得q=2，进而得到所求通项；（Ⅱ）把数列{a n}的通项公式a n代入c n=2n•（﹣λ），由c n+1﹣c n分离λ后，求出﹣的最大值得答案．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列的公比为q（q＞0），由2a1，a3，3a2成等差数列，可得2a 3=2a 1+3a 2，即为2a 1q 2=2a 1+3a 1q ，可得2q 2﹣3q ﹣2=0，解得q=2（﹣舍去）， 则a n =a 1q n ﹣1=2n ；（Ⅱ）c n =a n •（）=2n •（），由数列{c n }为单调递减数列，可得则c n+1﹣c n =2n+1•（﹣λ）﹣2n •（）=2n •（﹣﹣λ）＜0对一切n ∈N *恒成立，即﹣﹣λ＜0，即λ＞﹣==，当n=1或2时，n +取得最小值，且为3，则﹣的最大值为=，即有λ＞．即λ的取值范围是（，+∞）．18．从某企业的一种产品中抽取40件产品，测量其某项质量指标，测量结果的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求这40件样本该项质量指标的平均数；（Ⅱ）从180（含180）以上的样本中随机抽取2件，记质量指标在[185，190]的件数为X ，求X 的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差． 【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图，计算数据的平均值是各小矩形底边中点与对应的频率乘积的和；（Ⅱ）首先分别求质量指标在[180，185]的件数：0.020×5×40=4，质量指标在[185，190]的件数有：0.010×5×40=2，然后求出X=0、1、2时的概率，进而求出X 的分布列及数学期望即可．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，这40件样本该项质量指标的平均数=162.5×0.05+167.5×0.125+172.5×0.35+177.5×0.325+182.5×0.1+187.5×0.05=174.75cm ；（Ⅱ）由频率分布直方图可知，质量指标在[180，185]的件数：0.020×5×40=4，质量指标在[185，190]的件数有：0.010×5×40=2，∴X的可能值为：0，1，2；P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，数学期望E（X）=0×+1×+2×=．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2，AD=，PA=PD=CD=CB=1，E总是线段PB上的动点．（Ⅰ）当E点在什么位置时，CE∥平面PAD？证明你的结论．（Ⅱ）对于（Ⅰ）中的点E，求AE与底面ABCD所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角A﹣PD﹣C的正弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法．【分析】（Ⅰ）取PA的中点F，连接DF，EF，由已知结合三角形中位线定理可得四边形DFEC是平行四边形，从而得到CE∥DF．再由线面平行的判定得答案；（Ⅱ）由题意证明OA，OG，OP两两互相垂直，故以OA，OG，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系Oxyz．求出所用点的坐标，求得的坐标，再求出底面ABCD的一个法向量，则AE与底面ABCD所成角的正弦值可求；（Ⅲ）分别求出平面APD与平面PCD的一个法向量，求出两法向量所成角的余弦值，则二面角A﹣PD﹣C的正弦值可求．【解答】解：（Ⅰ）当E为PB的中点时，CE∥平面PAD．证明如下：取PA的中点F，连接DF，EF，则EF∥，．由已知CD，CD=，则EF∥CD，EF=CD．∴四边形DFEC是平行四边形，∴CE∥DF．又CE⊄平面PAD，DF⊂平面PAD，∴CE∥平面PAD；（Ⅱ）取AD中点O，AB的中点G，连接OP，OG，∵PA=PD，∴PO⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PO⊥平面ABCD．由已知可得AD2+BD2=AB2，∴BD⊥AD，又OG∥BD，∴OG⊥AD，∴OA，OG，OP两两互相垂直，故以OA，OG，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系Oxyz．A（），P（0，0，），B（），E（），D（），C（，，0）．∴，是平面ABCD的一个法向量，设AE与底面ABCD所成角为θ，则sinθ=|cos|==；（Ⅲ）平面APD的一个法向量为，，=（，，﹣）．再设平面PCD的一个法向量为，由，得，取z=1，则x=﹣1，y=﹣1，∴．∴二面角A﹣PD﹣C的余弦值的绝对值为=．∴二面角A﹣PD﹣C的正弦值为．20．已知椭圆C的左、右焦点F1，F2在x轴上，左顶点为A，离心率e=，过原点O的直线（与x轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点，△PF1F2的周长为8+4．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求四边形MF1NF2面积的最小值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）根据e=，2a+2c=8+4，求解即可；（Ⅱ）设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），求出的坐标，然后求的值即可；（Ⅲ）先把四边形MF1NF2面积表示出来，然后求其最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）∵e=，2a+2c=8+4，∴a=4，c=2，∴b=2，故椭圆的方程为：（Ⅱ）设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），且，即，∵A（﹣4，0），∴直线PA的方程为y=，∴M（0，）．同理，直线QA的方程为，∴N（0，），又F 1（﹣2，0），∴，，∴=12+（Ⅲ）|MN |=||=||=||=|，∴四边形MF 1NF 2的面积S==，∵|y 0|∈（0，2]，∴当y 0=±2时，S 有最小值8．21．已知函数f （x ）=e﹣ax 2（其中e 是自然对数的底数）．（Ⅰ）判断函数f （x ）的奇偶性；（Ⅱ）若f （x ）≤0在定义域内恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）若a=0，当x ＞0时，求证：对任意的正整数n 都有f （）＜n!x ﹣n ．【考点】函数恒成立问题． 【分析】（Ⅰ）利用定义判断，先判断定义域关于原点对称，再判断f （﹣x ）=f （x ）；（Ⅱ）不等式可整理为a ≥恒成立，只需求出右式的最大值即可，利用构造函数令g（x ）=，求出导函数g'（x ）=﹣（2x +1），得出函数的单调性，求出最大值；（Ⅲ）若a=0，f （x ）=，得出x n ＜n!e x ，利用数学归纳法证明不等式对一切n ∈N *都成立即可． 【解答】解：（Ⅰ）函数定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称， ∵f （﹣x ）=f （x ），∴函数f （x ）为偶函数；（Ⅱ）由偶函数性质可知，只需求当x ∈（﹣∞，0）时， f （x ）=﹣ax 2≤0恒成立，∴a ≥恒成立，令g （x ）=，g'（x ）=﹣（2x +1），当x ∈（﹣∞，）时，g'（x ）＞0，g （x ）递增，当x ∈（，0）时，g'（x ）＜0，g （x ）递减，∴g（x）的最大值为g（﹣）=4e﹣2，∴a≥4e﹣2，（Ⅲ）若a=0，f（x）=e，当x＞0时，f（x）=，f（）=e﹣x＜n!x﹣n．∴x n＜n!e x，（i）当n=1时，设g（x）=e x﹣x，（x＞0），∵x＞0时，g'（x）=e x﹣1＞0，∴g（x）是增函数，故g（x）＞g（0）=1＞0，即e x＞x，（x＞0）所以，当n=1时，不等式成立（ii）假设n=k（k∈N*）时，不等式成立，即x k＜k!•e x当n=k+1时设h（x）=（k+1）!•e x﹣x k+1，（x＞0）有h'（x）=（k+1）!•e x﹣（k+1）x k=（k+1）（k!•e x﹣x k）＞0故h（x）=（k+1）!•e x﹣x k+1，（x＞0）为增函数，所以，h（x）＞h（0）=（k+1）!＞0，即x k+1＜（k+1）!•e x，这说明当n=k+1时不等式也成立，根据（i）（ii）可知不等式对一切n∈N*都成立，故原不等式对一切n∈N*都成立．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清楚．选修4-1：几何证明选讲22．已知AB是圆O的一条弦，过点A、B分别作AE⊥AB，BF⊥AB，交弧AB上任意一点T的切线于点E、F，OT交AB于点C，求证：（Ⅰ）∠CBT=∠CFT；（Ⅱ）CT2=AE•BF．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）证明B，C，T，F四点共圆，可得∠CBT=∠CFT；（Ⅱ）延长EF与ABM交于P，利用△PBF∽△PTC，△PAE∽△PTC，结合切割线定理，即可证明CT2=AE•BF．【解答】证明：（Ⅰ）∵OT⊥EF，BF⊥AB，∠CTF=∠CBF=90°，∴∠CTF+∠CBF=180°，∴B，C，T，F四点共圆，∴∠CBT=∠CFT；（Ⅱ）延长EF与ABM交于P，则△PBF∽△PTC，∴=①，△PAE∽△PTC，∴=②①×②=由切割线定理可得PT2=PA•PB，∴CT2=AE•BF．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C的参数方程为（θ为参数）．（Ⅰ）求曲线C的普通方程；（Ⅱ）若倾斜角为45°的直线l经过点P（1，2）且与直线C相交于点A、B，求线段AB的长度．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（I）用x，y表示出cosθ，sinθ，根据正余弦的平方和等于1消参数得到普通方程；（II）写出直线l的参数方程，代入曲线的普通方程得到关于参数t的一元二次方程，根据参数的几何意义解出AB．【解答】解：（1）∵（θ为参数），∴cosθ=，sinθ=，∴．∴曲线C的普通方程为．（II）直线l的参数方程为（t为参数）．将l的参数方程代入得7t2+22t+14=0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=﹣，t1t2=2．∴t1，t2符号相同．∴|AB|=|t1﹣t2|===．选修4-5：不等式选讲24．设f（x）=|x+3|﹣a|2x﹣1|（Ⅰ）当a=1时，求f（x）＞3的解集；（Ⅱ）若f（x）≥0对x∈[﹣1，1]恒成立，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）当a=1时，对x分类讨论，去绝对值，分别求出f（x）＞3，得解集为（，1）；（Ⅱ）若f（x）≥0对x∈[﹣1，1]恒成立，对x分类讨论：当x=时，a∈R；当x≠时，||≥a对[﹣1，）∪（，1]恒成立，只需求出左式的最小值即可．利用分离常数法得出=+∈（﹣∞，﹣）∪（4，+∞），进而求出最小值．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，当x＜﹣3时，f（x）=x﹣4，f（x）＞3，∴无解当﹣3≤x≤时，f（x）=3x+2，f（x）＞3，∴＜x，当x＞时，f（x）=4﹣x，f（x）＞3，∴x＜1，∴解集为（，1）；（Ⅱ）若f（x）≥0对x∈[﹣1，1]恒成立，∴|x+3|≥a|2x﹣1|恒成立，当x=时，a∈R，当x≠时，∴||≥a对[﹣1，）∪（，1]恒成立，∵=+∈（﹣∞，﹣）∪（4，+∞），∴||的最小值为，∴a≤．2016年9月14日。

安徽省“江南十校”2015届高三数学联考试题 文一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、复数22ii+-（i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．35 B ．45 C ．35i D ．45i2、设集合{}ln ,1y y x x A ==>，集合{x y B ==，则()RAB =ð（ ）A ．∅B ．(]0,2C ．()2,+∞D ．()(),22,-∞-+∞3、设命题:p ()3,1a =，(),2b m =，且//a b ；命题:q 关于x 的函数()255x y m m a=--（0a >且1a ≠）是指数函数，则命题p 是命题q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4、运行如图所示的程序框图后，输出的结果是（ ）A ．0B ．1C ．12+D ．15、设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且32S =，66S =，则131415a a a ++的值是（ ）A ．18B ．28C ．32D ．144 6、若函数21x y a-=+（0a >且1a ≠）的图象经过定点(),m n P ，且过点()Q 1,m n -的直线l 被圆C :222270x y x y ++--=截得的弦长为l 的斜率为（ ） A ．1-或7- B ．7-或43 C ．0或43D ．0或1- 7、已知点()0,1A 、()2,3B -、()C 1,2-、()D 1,5，则向量C A 在D B 方向上的投影为（ ）A B ． C D ．8、已知函数()1sin 1cos 22f x a x a x ⎛⎫⎛=++ ⎪ ⎪⎝⎝⎭，将()f x 图象向右平移3π个单位长度得到函数()g x 的图象，若对任意R x ∈，都有()4g x g π⎛⎫≤⎪⎝⎭成立，则a 的值为（ ）A ．1-B ．1C ．2-D ．29、已知函数()()()()12010x x f x f x x ⎧⎪≥=⎨⎪+<⎩若函数()()g x f x x a =++在R 上恰有两个相异零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[)1,-+∞B ．()1,-+∞C ．(),0-∞D ．(],1-∞ 10、在正方体1111CD C D AB -A B 中，①经过点A 垂直于平面1D A B 的直线也垂直于平面11D C B ； ②设O 为C A 和D B 的交点，则异面直线1AB 与1C O 所成的角是6π； ③若正方体的棱长为2，则经过棱11D C 、11C B 、1BB中点的正方体的截面面积为 ④若点P 是正方形CD AB 内（包括边界）的动点，点Q 在对角线1C A 上，且满足1Q C P ⊥A ，Q PA =P ，则点P 的轨迹是线段．以上命题正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）11、命题：“存在R x ∈0=”的否定是 ． 12、()30log 2sin330213++= ．13、若实数x ，y 满足约束条件430260x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则21y x +的取值范围为 ．14、在坐标平面内横纵坐标均为整数的点称为格点．现有一只蚂蚁从坐标平面的原点出发，按如下线路沿顺时针方向爬过格点：O →()11,0A →()21,1A -→()30,1A -→()41,1A --→()51,0A -→()61,1A -→()70,1A →()81,1A →()92,1A →⋅⋅⋅→()122,2A -→⋅⋅⋅→()162,2A --→⋅⋅⋅→()202,2A -→⋅⋅⋅→()253,2A →⋅⋅⋅，则蚂蚁在爬行过程中经过的第350个格点350A 坐标为 ．15、若曲线C 上任意一点与直线l 上任意一点的距离都大于1，则称曲线C “远离”直线l ．在下列曲线中，“远离”直线:l 2y x =的曲线有 ．（写出所有符合条件的曲线C 的编号）①曲线C :20x y -=；②曲线C :2924y x x =-+-； ③曲线C :()2251x y +-=；④曲线C :1x y e =+；⑤曲线C :ln 2y x =-．三、解答题（本大题共6小题，满分75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16、（本小题满分12分）已知函数()4sin cos 16f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． ()I 求函数()f x 的最小正周期；()II 在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()2f A =，3a =，C S ∆AB 求22b c +的值． 17、（本小题满分12分）某校高三文科（1）班学生参加“江南十校”联考，其数学成绩（已折合成百分制）的频率分布直方图如图所示，其中成绩分布区间为[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，现已知成绩落在[]90,100的有5人．()I 求该校高三文科（1）班参加“江南十校”联考的总人数；()II 根据频率分布直方图，估计该班此次数学成绩的平均分（可用中值代替各组数据的平均值）；()III 现要从成绩在[)40,50和[]90,100的学生中共选2人参加某项座谈会，求2人来自于同一分数段的概率．18、（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列{}n a 满足214n n n a a a +++=-（n *∈N ），且11a =，24a =．()I 证明：数列是等差数列；()II 设121n n n n b a a ++=，{}n b 的前n 项和为n S ，求证：1n S <．19、（本小题满分13分）如图，圆柱1OO 的底面圆半径为2，CD AB 为经过圆柱轴1OO 的截面，点P 在AB 上且13AP =APB ，Q 为D P 上任意一点． ()I 求证：Q A ⊥PB ；()II 若直线D P 与面CD AB 所成的角为30，求圆柱1OO 的体积．20、（本小题满分13分）已知函数()()1ln 1a x f x a x x +=-+，其中0a ≥．()I 当1a =时，求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程； ()II 讨论()f x 在其定义域上的单调性．21、（本小题满分13分）已知椭圆C :22221x y a b +=（0a b >>）经过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭，它的左焦点为()F ,0c -，直线1:l y x c =-与椭圆C 交于A ，B 两点，F ∆AB 的周长为3a ．()I 求椭圆C 的方程；()II 若点P 是直线2:l 3y x c =-上的一个动点，过点P 作椭圆C 的两条切线PM 、PN ，M 、N 分别为切点，求证：直线MN 过定点，并求出此定点坐标．（注：经过椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上一点()00,x y 的椭圆的切线方程为00221x x y ya b+=）参考答案1.B ．22(2)342(2)(2)55i i i i i i ++==+--+，故选B2.C．{}{}0,22A x x B x x =>=-≤≤，{}=2x 2,R C B x x ><-或{}=2,R A C B x x ∴⋂>故选C3.A ．命题:320,6p m m ⨯-==；命题2:55116q m m m --==-由得或，故选A4.A ．由程序框图可知，最后输出的215sinsin sin0444p πππ=+++=，故选A 5.C ．由等比数列性质可知36396129151,S S S S S S S S S ----，，，也成等比，易求出131415151232a a a S S ++=-=, 故选C6.A ．(22),(12)P Q ，，,设2(1),20l y k x kx y k -=--+-=：即，圆C ：22(1)(1)9x y ++-=，圆心-1,1C （）到l 的距离d ==2870k k ∴++=，17,k =--或故选A7.D．(11),(32),AC BD =-=∴，，AC在BD 方向上的投影为AC BD BD===,故选D 8. D ．1()sin cos cos 2f x a x x x x =++=sin()2cos()33a x x ππ+++()()sin 2cos 3g x f x a x x π∴=-=+，由题意得(g x ）图象关于直线4x π=对称，()(0),22g g a π∴=∴=，故选D9 B ．()0()g x f x x a =⇔=--，当[)1,0x ∈-时，[)10,1x +∈，()(1)f x f x =+=故把y =[)0,1上的部分向左平移1个单位得到()f x 在[)1,0-上的图象，再把()f x 在[)1,0-上的图象每次向左平移1个单位连续平移就得到()f x 在R 上的图象，再作出y x a =--的图象，由图象可得1a -<，1a >-，故选B10.D ．易证1//A BD 面11B D C 选，∴①正确；11//A B D C ，1OC D ∠就是异面直线1AB 与1OC 所成的角．1,BD OC BD CC ⊥⊥，BD ∴⊥面1OCC ，1BD OC ∴⊥，又11122OD BD C D ==，16OC D π∴∠=，∴②正确；设棱111111,,,,,B D BC BB AB AD DD 的中点分别为,,,,,E F G H M N ，则过点,,E F G 的正方形截面就是正六边形EFGHMN ，264S =⨯=，∴③正确；连结1A P ，易证1AA AP ⊥，又1PQ A C ⊥，11,PA PQ PA PA ==，1111,Rt A PA Rt A PQ A A AQ ∴∆≅∆=，∴Q 为1AC 上定点，又P A P Q =，点P 在线段AQ 的中垂面上，∴点P 在AQ 的中垂面与正方形ABCD 的交线上，∴④正确；故选D11.对任意x R ∈0≠． 12.52 原式15sin(30)12322=-++=-+=． 13.4,45⎡⎤-⎢⎥⎣⎦21yx +可看作点()1,0P -与点(),x y 连线斜率的2倍，画出可行域，由4260x x y =⎧⎨+-=⎩ 得()4,2A -,由30260x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得()1,4B ,2,2,5PA PB k k =-=∴21yx +的取值范围为4,45⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 14.()1,9-以O 为中心，边长为2的正方形上共有格点18a =个，且蚂蚁在其上爬过的最后一个格点为()1,1以O 为中心，边长为4的正方形上共有格点216a =个，且蚂蚁在其上爬过的最后一个格点为()2,2以O 为中心，边长为6的正方形上共有格点324a =个，且蚂蚁在其上爬过的最后一个格点为()3,3………以O 为中心，边长为2n 的正方形上共有格点8n a n =个，且蚂蚁在其上爬过的最后一个格点为(),n n ，由前n 个正方形上格点的总数123n S a a a =+++…81624n a +=+++…(88)83502n n n ++=≥得9n ≥．当9n =时，前9个正方形上格点的总数99(872)3602S +==，且蚂蚁在第9个正方形（边长为18）上爬过的最后一个格点为()3609,9A ，故蚂蚁在爬行过程中经过的第350个格点350A 坐标为()1,9-．15.②③⑤ 对①：2512d ==，∴不合题意；对②：设直线1:2l y x b =+与曲线29:24C y x x =-+-相切，把2y x b =+代入2924y x x =-+-得2904x b ++=，由90404b ⎛⎫∆=-+= ⎪⎝⎭，得94b =-，此时直线1l 与l的距离91d ==>，符合题意； 对③：圆心()0,5C到直线l的距离d ==，∴圆C 上的点到l 距离的最小值为11>，符合题意；对④：设曲线C 上斜率为2的切线的切点为()00,P x y ，'x y e =，00'2,x x x k y e =∴===0ln 2x ∴=，()ln 2,3P ∴，切线：()32l n 2y x -=-，即：232ln 20x y -+-=，∴切线与C 的距离4d ==，()ln 41,2∈，()3ln41,2∴-∈2,1d ∴<，不合题意；对⑤：设切点为()00,P x y ，'1y x=， 0'012,x x k y x =∴===012x ∴=，1,2ln 22P ⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭，1,d ∴==>符合题意。