正比例函数的概念

19.2.1正比例函数(第1课时)一、内容和内容解析1．内容正比例函数的概念．2．内容解析一次函数是最简单的函数模型之一．正比例函数是特殊的一次函数，其特殊性表现在，函数值是自变量的值与一个常数的积．小学中，学生学习过正比例关系，正比例函数是用函数观点研究成正比例关系的两个变量而得到的简单函数模型．正比例函数是根据函数解析式进行定义的，符合y＝k x(k是常数，k≠0)的函数叫正比例函数．概括函数解析式的共同特征，得到正比例函数的概念；通过图象研究其性质，并用这种函数模型描述和研究现实中的运动变化过程．这种研究具体函数模型的方法，在今后的函数学习中还会经常用到．基于以上分析，确定本课的教学重点：正比例函数的概念．二、目标和目标解析1．目标(1)理解正比例函数的概念．(2)经历用函数解析式表示函数关系的过程，进一步发展符号意识；经历从一类具体函数中抽象出正比例函数概念的过程，发展数学抽象概括能力．2．目标解析目标(1)要求知道正比例函数的解析式特征，知道正比例函数与正比例的关系，会判断一个函数是否为正比例函数．目标(2)要求能独立地写出运动变化过程中的函数解析式，通过归纳一类函数解析式的共同特征，得到正比例函数的概念．三、教学问题诊断分析1．正比例函数是在学习了函数的概念与函数的图象之后的第一种具体函数模型，对于学生知识水平来说，他们能够判断两个变量是否存在函数关系．在得出正比例函数概念时，需要观察函数解析式，归纳其共同特点，得到正比例函数的概念．学生在进行这种归纳推理时会遇到一定的困难．2．学生在小学学习过成正比例的两个量，通过列表探索过成正比例关系的两个量之间的关系，知道两个量成正比例的条件是它们的比始终是一个固定不变的量(常量)，而且也通过方格纸画过成正比例关系的两个量之间关系的图象．初中阶段，在学习了函数概念后，用函数的观点研究正比例关系，把成正比例的两个量纳入到函数概念体系，写出其函数解析式，画出图象，研究其性质，并应用于实际．这样系统、深入地研究成正比例的两个量，对学生来说有一定的难度．同时，正比例函数的研究步骤和方法，适用于一次函数、二次函数和反比例函数等后继学习的函数模型．从本内容学习中获得学习具体一类函数的经验，对学生来说有较大困难，需要教师的概括性指导，并在今后学习中一以贯之．基于以上分析，确定本课的教学难点：理解正比例函数概念，体会具体函数模型研究的一般方法．四、教学过程设计1．创设情境，引出课题问题1 2 011年开始运营的京沪高速铁路全长1 318 km．设列车的平均速度为300 km/h．考虑以下问题：(1)乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需多少小时(结果保留小数点后一位)？(2)如果从小学学习过的比例观点看，列车在运行过程中，行程y(单位：km)和运行时间t(单位：h)是什么关系？(3)如果用函数的观点看，京沪高铁列车的行程y(单位：km)是运行时间t(单位：h)的函数吗？能写出这个函数的解析式，并写出自变量的取值范围吗？(4)乘京沪高铁列车从北京南站出发2.5 h后，是否已经过了距始发站1 100 km的南京南站？师生活动：学生个别回答，教师在黑板上板演．学生可能在第(3)问中忽视自变量的取值范围，教师应加以引导．设计意图：从现实背景问题中发现正比例关系，引导学生用函数观点看一对成正比例关系的量．追问：这个问题中得到的函数解析式有什么特点？函数值与对应的自变量的值的比有什么特点？问题2 下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式．(1)圆的周长l随半径r的变化而变化．(2)铁的密度为7.8 g/cm 3，铁块的质量m (单位：g)随它的体积V (单位：cm 3)的变化而变化．(3)每个练习本的厚度为0.5 cm ，练习本摞在一起的总厚度h (单位：cm )随练习本的本数n 变化而变化．(4)冷冻一个0℃的物体，使它每分下降2℃，物体的温度T (单位：℃)随冷冻时间t (单位：min )的变化而变化．师生活动：学生独立写出函数解析式，教师课堂巡视，并进行个别指导．设计意图：为抽象正比例函数概念提供典型样例．2．观察概括，形成概念问题3 认真观察以上出现的四个函数解析式，说说这些函数有什么共同点．师生活动：学生先思考，与小组内同学交流意见；教师通过学生回答不断引导，直至得出“这些函数都是常数与自变量的积的形式”为止．教师给出正比例函数的概念：一般地，形如y ＝k x (k 是常数，k ≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数．追问：所有这些正比例函数，函数值与相应的自变量值的比有什么特点？设计意图：概括概念．3．辨别概念问题4 下列式子中，哪些表示y 是x 的正比例函数？(1)2y x ＝；(2)3x y ＝－； (3)2y x ＝； (4)2 1.5y x ＝； (5)y x ＝；(6)71y x ＝＋()． 追问：如果y 是x 的正比例函数，请你说出其中的比例系数．师生活动：判断两个变量是否是正比例函数关系，要回归到定义．这种学习方法是学生学习数学所必需掌握的．设计意图：及时的练习有利于学生巩固概念，反馈学习效果．4．学以致用问题5 列式表示下列问题中的y 与x 的函数关系，并指出哪些是正比例函数．(1)正方形的边长为x cm ，周长为y cm ；(2)某人一年内的月平均收入为x 元，他这一年(12个月)的总收入为y 元；(3)一个长方体的长为2 cm ，宽为1.5 cm ，高为x cm ，体积为y cm 3．师生活动：学生独立完成后，小组内交流成果．追问：在(2)中，此人若每月收入6 000元，则一年收入是多少？若一年收入是84 000元，则每月收入又是多少？设计意图：帮助学生进一步理解正比例函数解析式的特点，体会正比例函数解析式的特征与对应关系．5．回顾总结教师引导学生带着下列问题回顾总结课堂学习收获：(1)本节课我们学习了哪一种函数？这种函数的解析式有什么特点？(2)正比例函数的函数值与相应的自变量的比值有什么特点？正比例函数与正比例关系有什么相同点和不同点？(3)怎样判断一个函数是否是正比例函数？请举一个生活中正比例函数的实例．设计意图：通过学生小结，梳理本节课所学内容，促进形成结构化、简约化的记忆． 布置作业：教科书第87页练习第1题．五、目标检测设计1．下列式子中，哪些表示y 是x 的正比例函数？如果y 是x 的正比例函数，请指出比例系数．(1)0.1y x ＝－；(2)2x y ＝； (3)22y x ＝； (4)24y x ＝； (5)π1y x ＝－()．设计意图：考查正比例函数的概念．2．写出下列各题中两变量之间的函数关系式，并判断是否为正比例函数？(1)直角三角形中一个锐角的度数为α，另一个锐角的度数β随α的变化而变化；(2)某种报纸的单价为1元，x 表示购买这种报纸的份数，那么购买报纸的总价y (单位：元)随x 的变化而变化；(3)某打字店打印文稿的标准为每页4元，打印费y (单位：元)随文稿页数x (单位：页)的变化而变化；(4)地面气温是28℃，如果每升高1 km ，气温下降6℃，则气温y (单位：℃)随高度x (单位：km )的变化而变化；(5)圆的面积y (单位：cm 2)与半径x (单位：cm )的关系．设计意图：考查学生先求函数解析式，再判断是否正比例函数的能力．3．已知△ABC的底边BC＝8，移动顶点A，改变BC边上的高线的大小，△ABC的面积也随之变化．(1)写出△ABC的面积y与高x之间的函数解析式，并指明它是什么函数；(2)当x＝7时，求出y的值．设计意图：考查应用正比例函数解析式描述运动变化过程．4．已知y与x成正比例，当x＝2时，y＝8．(1)写出y与x之间的函数关系式；(2)当x＝－2时，求函数值y；(3)当y＝12，求自变量x的值．设计意图：考查正比例函数的解析式特点和用待定系数法求正比例函数解析式．参考答案：1．(1)(2)(5)是正比例函数，(1)的比例系数为－0.1，(2)12，(5)的比例系数为y＝(π－1)．2．(1)β＝90－α，不是正比例函数；(2)y＝x，是正比例函数；(3)y＝4x，是正比例函数；(4)y＝28－6x，不是正比例函数；(5)y＝πx2，不是正比例函数．3．(1)y＝4x，(2)当x＝7时，y＝28．4．(1)y＝4x，(2)y＝－8x，(3)x＝3．。

1 5、关于函数 y ＝ 2 x
，下列结论正确的是（ A. 函数图象必经过点（1，2） B．函数图象经过二、四象限 C． y 随 x 的增大而减小 D． y 随 x 的增大而增大
）
问题探究
如图所示，在同一直角坐标系中，正比例函数 y k1 x 、y k2 x、 y k3 x 、y k4 x的图象分别为 l1 、 l2 、 l3 、 l4 ，
待定系数法
待定系数法 y 正比例函数中只有一个待定系数 k ，故只要有一对 x ， 的值或一个非原点的点，就可以求得 k 值. 一次函数中有两个待定系数 k ，b ，需要两个独立条件 确定两个关于 k ，b 的方程，这两个条件通常为两个点或两 y 的值. 对x ，
待定系数法
1、根据函数的图象，求函数的解析式．
22Biblioteka 一次函数的性质3.已知一次函数 y 2m 4 x 3 n ． n 是什么数时，y 随 x 的增大而增大； （1）当m 、 n 是什么数时，函数图象经过原点； （2）当 m 、 （3）若图象经过一、二、三象限，求 m 、 n 的取值范围.
一次函数的性质 4.函数 y kx k (k 0) 在直角坐标系中的图象可能是（
1、为缓解用电紧张的矛盾，某电力公司制定了新的用 电收费标准，每月用电量(度)与应付电费(元)的关系 如图所示．根据图象求出与的函数关系式．
一次函数图像的应用
2.小高从家骑自行车去学校上学，先走上坡路到达点A，再走下 坡路到达点B，最后走平路到达学校C，所用的时间与路程的关 系如图所示.放学后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、 下坡路的速度分别保持和去上学时一致，那么他从学校到家需 要的时间是( ) A.14分钟 B.17分钟 C.18分钟 D.20分钟

正比例函数（基础）【学习目标】1. 理解正比例函数的概念，能正确画出正比例函数y kx =的图象；2. 能依据图象说出正比例函数的主要性质，解决简单的实际问题．【要点梳理】【高清课堂：389342 正比例函数，知识要点】要点一、正比例函数的定义1、正比例函数的定义一般的，形如y kx = （k 为常数，且k ≠0）的函数，叫做正比例函数.其中k 叫做比例系数.2、正比例函数的等价形式（1）、y 是x 的正比例函数；（2）、y kx =（k 为常数且k ≠0）；（3）、若y 与x 成正比例；（4）、k xy =（k 为常数且k ≠0）. 要点二、正比例函数的图象与性质正比例函数y kx =（k 是常数，k ≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y kx =.当k ＞0时，直线y kx =经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x 的增大y 也增大；当k ＜0时，直线y kx =经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x 的增大y 反而减小.要点三、待定系数法求正比例函数的解析式由于正比例函数y kx =（k 为常数，k ≠0 ）中只有一个待定系数k ，故只要有一对x ，y 的值或一个非原点的点，就可以求得k 值.【典型例题】类型一、正比例函数的定义1、已知1(2)m y m x -=+，当m 为何值时，y 是x 的正比例函数？【思路点拨】正比例函数的一般式为(0)y kx k =≠，要特别注意定义满足0k ≠，x 的指数为1．【答案与解析】 解：由题意得，2011m m +≠⎧⎪⎨-=⎪⎩解得 m ＝2 ∴当m ＝2时，y 是x 的一次函数.【总结升华】理解正比例函数的概念应抓住解析式中的两个主要特征：（1）k 不等于零；（2）x 的指数是1.举一反三：【变式】如果函数23(2)m y m x-=+是正比例函数，那么m 的值是________． 【答案】解：由定义得220,31,m m +≠⎧⎨-=⎩ 解得 2.2.m m ≠-⎧⎨=±⎩ ∴ m ＝2．类型二、正比函数的图象和性质2、（2014秋•灵武市校级期中）在同一直角坐标系上画出函数y=2x ，y=﹣x ，y=﹣0.6x 的图象．【思路点拨】分别在每个函数图象上找出两点，画出图象，根据函数图象的特点进行解答即可．【答案与解析】解：列表：描点，连线：【总结升华】本题考查的是用描点法画函数的图象，具体步骤是列表、描点、连线.3、（2016春•马山县期末）已知正比例函数y=kx （k ≠0）的图象经过点（﹣6，2），那么函数值y 随自变量x 的值的增大而 ．（填“增大”或“减小”）【思路点拨】根据正比例函数的性质来判断.【答案】减小；【解析】解：把点（﹣6，2）代入y=kx ，得到：2=﹣6k ，解得k=﹣＜0，则函数值y 随自变量x 的值的增大而减小.【总结升华】此题主要考查了正比例函数的性质，关键是确定函数中k 的值，当k ＞0时，随着y 的增大x 也增大；当k ＜0时，随着y 的增大x 反而减小.举一反三：【变式】（2015•伊宁市校级一模）下列关于正比例函数y=﹣5x 的说法中，正确的是（ ）A ．当x=1时，y=5B ．它的图象是一条经过原点的直线C ．y 随x 的增大而增大D ．它的图象经过第一、三象限【答案】B ；解：A 、当x=1时，y=﹣5，错误；B 、正比例函数的图象是一条经过原点的直线，正确；C 、根据k ＜0，得图象经过二、四象限，y 随x 的增大而减小，错误；D 、图象经过二四象限，错误；故选B ．【高清课堂：389342 正比例函数，例3】4、如图所示，在同一直角坐标系中，一次函数1y k x =、2y k x =、3y k x =、4y k x = 的图象分别为1l 、2l 、3l 、4l ，则下列关系中正确的是（ ）A ．1k ＜2k ＜3k ＜4kB ．2k ＜1k ＜4k ＜3kC ．1k ＜2k ＜4k ＜3kD ．2k ＜1k ＜3k ＜4k【答案】B ；【解析】首先根据直线经过的象限，知：2k ＜0，1k ＜0，4k ＞0，3k ＞0，再根据直线越陡，|k |越大，知：2||k ＞|1k |，|4k |＜|3k |．则2k ＜1k ＜4k ＜3k【总结升华】此题主要考查了正比例函数图象的性质，首先根据直线经过的象限判断k 的符号，再进一步根据直线的平缓趋势判断k 的绝对值的大小，最后判断四个数的大小. 类型三、正比函数应用5、如图所示，射线l 甲、l 乙分别表示甲、乙两名运动员在自行车比赛中所走路程s 与时间t 的函数关系，则他们行进的速度关系是（ ）．A ．甲比乙快B ．乙比甲快C ．甲、乙同速D ．不一定【思路点拨】观察图象，在t 相同的情况下，有s s >乙甲，故易判断甲乙的速度大小．【答案】A ；【解析】由s vt =知，s v t=，观察图象，在t 相同的情况下，有s s >乙甲，故有s s v v t t=>=甲乙乙甲． 【总结升华】此问题中，l 甲、l 乙对应的解析式y kx =中，k 的绝对值越大，速度越快． 举一反三：【变式】如图，OA，BA分别表示甲、乙两名学生运动的函数图象，图中s和t分别表示运动路程和时间，根据图象判断快者的速度比慢者的速度每秒快（）A.2.5米B.2米C.1.5米D.1米【答案】C；提示：从图中可以看出甲用了8秒钟跑了64米，速度是8米/秒，乙用了8秒钟跑了52米，速度是132米/秒，所以快者的速度比慢者的速度每秒快1.5米.。

1、如果 y关于x的函数y=（k2+1） x是正比例函数，那么k的取值范 围是（ ）。 2、y与x成正比例，当x=2时，y=8, 那么当y=16时x为（ ）。 3、（中考●河北）已知正比例函 数中自变量每增加1，函数值就减 少2，那么函数的关系式是（ ）。
1、正比例函数的概念。 2、如何确定正比例表达式。
你们真棒！
y k ( k 0) x
y kx(k 0)
2、x=-2，y=10
y kx(k 0) y 2( x 1) y 1 3( x 5)
y+1与x-5成正比例
y与x成正比例 y与x+1成正比例
y+1与x-5成正比例 y 1 k ( x 5)(k 0)
一般地，我们把形如 y=kx(k为常数，且k≠0)的 函数，
1、若y=mx+m-1是关于x的正比 例函数，则m的值为（ ）。
（2018河北中考） 2 2、若函数y=（m+1）x+m -1是 正比例函数，则m的值为（ ）。
y与x成正比例
1、比例系数为-5
两个相关联的量，一种量变化 ， 另一种量也随着变化。如果这两种量 中相对应的两个数的比值（也就是商） 一定，这两种量就叫做成正比例的量， 它们的关系叫做正比例关系。
y k（一定） 正比例关系可以用 x 表示
学习目标： 1、初步理解正比例函数的概 念。 2、能够判断两个变量是否能 够构成正比例函数关系。 3、能够利用正比例函数解决 简单的数学问题。
例2：已知y与2x成正比例， 且当x=3时，y=1 2， 求y与x的函数关系式。 巩固训练：已知y-1与x+1成 正比例，且x=-2时，y=-1， 则x=-5时，y的值是多少？