19.2.1正比例函数概念教案

人教版数学八年级下册19.2.1《正比例函数》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级下册19.2.1《正比例函数》是学生在学习了初中数学基础知识后，进一步深入研究函数性质的重要内容。

本节课的主要内容是正比例函数的定义、图像和性质。

教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生理解和掌握正比例函数的概念，培养学生解决实际问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了函数的基本概念，具备了一定的函数知识基础。

但是，对于正比例函数的定义和性质，以及如何运用正比例函数解决实际问题，部分学生可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行引导和讲解。

三. 教学目标1.理解正比例函数的定义，掌握正比例函数的性质。

2.能够根据正比例函数的性质，解决实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.正比例函数的定义和性质。

2.如何运用正比例函数解决实际问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究正比例函数的定义和性质。

2.利用多媒体辅助教学，展示正比例函数的图像，帮助学生直观地理解正比例函数的性质。

3.通过实例分析，让学生学会如何运用正比例函数解决实际问题。

4.小组讨论，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

六. 教学准备1.多媒体教学设备。

2.正比例函数的相关教学素材，如PPT、例题、练习题等。

3.学生分组合作的准备。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的实例，如速度与时间的关系，引导学生思考这些实例背后的数学规律。

2.呈现（10分钟）介绍正比例函数的定义，引导学生通过观察实例，总结正比例函数的性质。

3.操练（10分钟）分组讨论，让学生通过合作解决问题，进一步理解和掌握正比例函数的性质。

4.巩固（10分钟）针对学生掌握的情况，进行针对性讲解，巩固学生对正比例函数性质的理解。

5.拓展（10分钟）利用正比例函数的性质，解决实际问题。

19.2.1 正比例函数
年级八年级课题19.2.1 正比例函数课型新授
教学媒体多媒体
教学目标知
识
技
能
1.理解正比例函数，掌握正比例函数解析式特点；
2.会从实际问题中抽象出正比例函数的解析式；
过
程
方
法
1.经历从实际问题抽象得出正比例函数的过程,体会建立数学模型思想。

情
感
态
度
1.通过正比例函数的引入，使学生认识到数学与现实世界密切相关。

同时渗透热爱自然和生活的教育。

教学重点理解正比例函数的概念
教学难点从实际问题抽象得出正比例函数的概念，并掌握正比例函数解析式特点。

教学过程设计
教学程序及教学内容师生行为设计意图一、情景诱导
紫阳到红椿中学全长约30km.汽车的平均速度为
30km/h.思考以下问题：
（1）汽车从紫阳到红椿中学，需要多少小时？
（2）汽车行驶1h、2h、3h的行程分别是多少km？
（3）汽车的行程y（单位：km）与行驶时间t（单位：h）之间有何数量关系？y是t的函数吗？教师出示图片并
给出问题：
学生观察思考列
关系式
教师在学生回答
后板书
从具体情境入
手，使学生认
识到数学与现
实问题总是密
不可分的，人
们的需要产生
了数学。

路程、速度与时
间之间的关系
学生较熟悉，当
速度一定时，路
程是时间的函
数，用简单的实
例从现实世界
中抽象出数学
模型。

正比例函数》教案19.2.1正比例函数》教案一、教材分析：正比例函数是八年级下册数学中非常重要的内容，它是刻画和研究现实世界变化规律的重要模型之一。

正比例函数是一次函数的特例，也是初中数学中最简单、最基本的函数之一。

掌握好正比例函数对后面研究一次函数打下基础。

函数思想是一种重要的数学思想，它体现了运动变化和对立统一的观点，体现了数学的建模思想和数形结合思想。

因此，在教学中通过生活实际，引导学生观察探索，让学生在研究过程中感悟函数思想，从而激发学生研究函数的信心和兴趣。

二、学情分析：学生在小学已经研究了比例的意义与性质，在这个基础上，学生能很容易接受正比例概念。

然而，从正比例关系到正比例函数，这个年龄段的学生以感性认识为主，加上本节课内容的概念性和理论性较强，并向理性认知过渡，学生可能缺乏研究兴趣。

因此，本节课的设计是通过学生所熟悉的问题情境出发，让学生的自主探索贯穿课堂全过程。

同时，注意教师与学生的互动，加强教师的引导和示范，在对比和分组讨论中让学生在“做中学”，提高学生利用已学知识去主动获取新知识的能力。

三、教学目标：1）知识目标：掌握正比例函数的概念，理解正比例函数解析式的特点，根据正比例函数的意义，判断两个相关联的量是否成正比例。

2）能力目标：经历思考、探究过程，发展总结归纳能力，体验数形之间联系，逐步学会利用数形结合思想分析解决有关问题。

3）情感态度：积极参与数学活动，对其产生好奇心和求知欲，形成合作交流的研究惯。

四、教学重、难点：教学重点：理解正比例函数的概念及形式。

教学难点：利用正比例函数解决相关问题。

五、教法学法：本节课的重点是理解正比例函数的概念，利用正比例函数解决生活实际问题。

在教学过程中，抓住学生已有的知识点，在学生主动参与和教师引导下充分调动学生的研究积极性和主动性，使学生在自主探索的过程中掌握新知识。

教师的主导作用与学生主体地位达到了相互统一。

为了提高课堂效果，适当辅以多媒体技术，使学生获得直观的印象，激发学生的研究兴趣，增强对知识点的理解。

观摩课教案课题：19.2.1 正比例函数的概念班级：八年级（）班授课教师：单位：时间：19.2.1 《正比例函数的概念》教学设计一、教学目标知识与技能：１.理解正比例函数的概念。

２.掌握正比例函数解析式特点，并能准确判断正比例函数。

3.能利用所学知识解决相关实际问题。

过程与方法：经历思考、探究过程，发展总结归纳能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点。

情感态度与价值观：积极参与数学活动，对其产生好奇心和求知欲，形成合作、交流、思考的学习习惯。

二、教学重点难点重点：理解正比例函数的意义及解析式特点。

难点：正比例函数的理解及应用。

三、教学方法：启发式学习、合作探究式学习。

四、教学过程：（一）问题发现、感受新知2004年8月，我国著名运动员刘翔在瑞士洛桑的田径110米栏的决赛中，以12.88秒的成绩打破了尘封13年的世界纪录，为我们中华民族争得了荣誉．（1）刘翔大约每秒钟跑多少米呢？110÷12.88=8.54（米）．（2）刘翔奔跑的路程s（单位：米）与奔跑时间t（单位：秒）之间有什么关系？函数解析式为：s= 8.54t (0≤t ≤12.88)．（3）在前5秒，刘翔跑了多少米？s=8.54×5=42.7（米）．教师用多媒体呈现问题，学生思考并解答.（二）合作探究获取新知正比例函数的概念：1.下列问题中的变量对应规律可用怎样的函数表示？请指出函数解析式中的常数、自变量和自变量的函数．（1）圆的周长 l 随半径r的大小变化而变化；（2）铁的密度为7.8g/cm3，铁块的质量m（单位：g）随它的体积V （单位：cm3）的大小变化而变化；（3）每个练习本的厚度为0.5 cm，一些练习本摞在一起的总厚度 h （单位：cm）随这些练习本的本数 n的变化而变化；（4）冷冻一个0 ℃物体，使它每分下降2 ℃，物体的温度T（单位：℃）随冷冻时间t（单位：分）的变化而变化．函数解析式函数常数自变量（1）l=2πr l2πr（2）m=7.8V m7.8 V（3）h=0.5n h0.5 n（4）T= －2t T-2 t认真观察以上出现的函数解析式，分别说出哪些是常数、自变量和函数。

第 1 页 共 3 页19．2 一次函数19.2.1 正比例函数1．理解正比例函数的概念，并掌握正比例函数图象和性质；(重点) 2．运用正比例函数解决简单的问题．(难点) 一、情境导入 鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥(候鸟)套上标志环；大约128天后，人们在2.56万千米外的澳大利亚发现了它．(1)这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米？(2)这只燕鸥飞行一个半月(一个月按30天计算)的行程大约是多少千米？(3)这只燕鸥的行程y (单位：千米)与飞行时间x (单位：天)之间有什么关系？二、合作探究 探究点一：正比例函数 【类型一】 辨别正比例函数 下列式子中，表示y 是x 的正比例函数的是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝x ＋2 C ．y ＝x 2 D ．y ＝2x 解析：选项A ，y ＝2x，自变量次数不为1，错误；选项B ，y ＝x ＋2，是和的形式，错误；选项C ，y ＝x 2，自变量次数不为1，错误；选项D ，y ＝2x ，符合正比例函数的含义，正确．故选D.方法总结：正比例函数y ＝kx 成立的条件是：k 为常数且k ≠0，自变量次数为1.【类型二】 确定正比例函数中字母的值若函数y ＝(m －3)x |m |－2是正比例函数，则m 的值为( )A ．3B ．－3C ．±3D ．不能确定解析：由题意得|m |－2＝1，且m －3≠0，解得m ＝－3.故选B.方法总结：正比例函数自变量的指数为1，系数不能为0.探究点二：正比例函数的图象和性质【类型一】 正比例函数的图象在下列各图象中，表示函数y ＝－kx (k ＜0)的图象的是( )解析：∵k ＜0，∴－k ＞0，∴函数y ＝－kx (k ＜0)的值随自变量x 的增大而增大，且函数为正比例函数．故选C.方法总结：要知道正比例函数的图象是过原点的直线，且当k ＞0时，图象过第一、三象限；当k ＜0时，图象过第二、四象限．【类型二】 正比例函数的性质关于函数y ＝13x ，下列结论中，正确的是( ) A ．函数图象经过点(1，3) B ．不论x 为何值，总有y ＞0 C ．y 随x 的增大而减小 D ．函数图象经过第一、三象限 解析：A.当x ＝1时，y ＝13，故A 选项第 2 页 共 3 页错误；B.只有当x ＞0时，y ＞0，故B 选项错误；C.∵k ＝13＞0，∴y 随x 的增大而增大，故C 选项错误；D.∵k ＝13＞0，∴函数图象经过第一、三象限，故D 选项正确．故选D. 方法总结：解题的关键是了解正比例函数的比例系数的符号与正比例函数的关系及其增减性． 【类型三】 正比例函数的图象与系数的关系 已知正比例函数y ＝(m －1)x 的图象上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当x 1＜x 2时，有y 1＞y 2，那么m 的取值范围是( ) A ．m ＜1 B ．m ＞1 C ．m ＜2 D ．m ＞0 解析：根据题意，y 随x 的增大而减小，则m －1＜0，即m ＜1.故选A. 方法总结：直线y ＝kx 所在的位置与k 的符号有直接的关系：k ＞0时，直线必经过第一、三象限，y 随x 的增大而增大；k ＜0时，直线必经过第二、四象限，y 随x 的增大而减小． 【类型四】 正比例函数图象上点的坐标特征 点A (5，y 1)和B (2，y 2)都在直线y ＝－x 上，则y 1与y 2的关系是( ) A ．y 1≥y 2 B ．y 1＝y 2 C ．y 1＜y 2 D ．y 1＞y 2 解析：∵点A (5，y 1)和B (2，y 2)都在直线y ＝－x 上，∴y 1＝－5，y 2＝－2.∵－5＜－2，∴y 1＜y 2.故选C. 方法总结：熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 探究点三：求正比例函数的解析式 【类型一】 用定义求正比例函数的解析式 已知y ＝y 1＋y 2，y 1与x 2成正比例，y 2与x －2成正比例，当x ＝1时，y ＝5；当x ＝－1时，y ＝11，求y 与x 之间的函数表达式，并求当x ＝2时y 的值． 解析：设y 1＝kx 2，y 2＝a (x －2)，得出y＝kx 2＋a (x －2)，把x ＝1，y ＝5和x ＝－1，y ＝11代入得出方程组，求出方程组的解即可，把x ＝2代入函数解析式，即可得出答案． 解：设y 1＝kx 2，y 2＝a (x －2)，则y ＝kx 2＋a (x －2)，把x ＝1，y ＝5和x ＝－1，y ＝11代入得⎩⎪⎨⎪⎧k －a ＝5，k －3a ＝11，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，k ＝2，∴y 与x 之间的函数表达式是y ＝2x 2－3(x －2)．把x＝2代入得y ＝2×22－3×(2－2)＝8.方法总结：用定义求函数解析式，设出解析式是解题的关键一步．【类型二】 用待定系数法求正比例函数的解析式已知正比例函数y ＝kx 图象经过点(3，－6)，求：(1)这个函数的解析式；(2)判断点A (4，－2)是否在这个函数图象上；(3)图象上两点B (x 1，y 1)、C (x 2，y 2)，如果x 1＞x 2，比较y 1，y 2的大小．解析：(1)利用待定系数法把(3，－6)代入正比例函数y ＝kx 中计算出k 即可得到解析式；(2)将A 点的横坐标代入正比例函数关系式，计算函数值，若函数值等于－2，则A 点在这个函数图象上，否则不在这个函数图象上；(3)根据正比例函数的性质：当k＜0时，y 随x 的增大而减小，即可判断． 解：(1)∵正比例函数y ＝kx 经过点(3，－6)，∴－6＝3·k ，解得k ＝－2，∴这个正比例函数的解析式为y ＝－2x ；(2)将x ＝4代入y ＝－2x 得y ＝－8≠－2，∴点A (4，－2)不在这个函数图象上； (3)∵k ＝－2＜0，∴y 随x 的增大而减小．∵x 1＞x 2，∴y 1＜y 2.方法总结：将A 点的横坐标代入正比例函数关系式，求出函数值，再进一步判定是解决问题的关键．三、板书设计1．正比例函数的图象2．正比例函数的性质3．正比例函数解析式的确定本节课在教师引导下使学生通过自己的观察、研究、自学和小组的探索、讨论来发现问题、解决问题，再通过教师的点拨、总结进行知识归纳，理论提升的教学方法．由学生亲自来发现事物的特征和规律，更能使学生产生兴奋感、自信心，激发学生兴趣，产生自主学习的内在动力，更有利于发展学生的创造性思维能力．第 3 页共3 页。

教学章节第十九章课型新授课年月日课题19.2.1第一课时正比例函数的概念课标解读理解正比函数的概念，知道比例系数，初步会用待定系数法求正比例函数解析式。

核心素养目标1.经历用函数解析式表示函数关系的过程，进一步发展符号意识;2.经历从一类具体实例中抽象出正比例函数概念的过程，发展数学抽象概括能力.3.通过列举具体实例，引进正比例函数的概念，使学生感受数学源于生活，树立学生学好数学的自信心.教学重点正确理解正比例函数的概念.教学难点根据己知条件写出正比例函数解析式.导学过程学法指导【课前预习案】问题引入问题12011年开始运营的京沪高速铁路全长1318km.设列车的平均速度为300km/h.考虑以下问题：(1)乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需多少小时(结果保留小数点后一位)？(2)京沪高铁列车的行程y(单位：km)与运行时间t(单位：h)之间有何数量关系？(3)京沪高铁列车从北京南站出发2.5h后，是否已经过了距离始发站1100km的南京南站？解：(1)京沪高铁列车全程运行时间约需1318÷300≈4.4(h)(2)京沪高铁列车的行程y是运行时间t的函数，函数解析式为：y=300t(0≤t≤4.4)(3)京沪高铁列车从北京南站出发2.5h的行程，是当t=2.5时函数y=300t的值，即y=300×2.5=750(km)这时列车尚未到达距始发站1100km的南京南站.【课堂探究案】互助探究思考1y=300t中自变量与常量用什么运算符号连接起来？思考2下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式.(1)圆的周长l随半径r的变化而变化；________.(2)铁的密度为7.8g/cm3，铁块的质量m(单位:g)随它的体积V(单位:cm3)变化而变化；________.(3)每本练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度h(单位:cm)随这些练习本的本数n的变化而变化；________.(4)冷冻一个0℃的物体，使它每分下降2℃，物体的温度T(单位:℃)随冷冻时间t(单位:min)的变化而变化.________.正比例函数认真观察以上出现的四个函数有什么共同特点？(1)l=2πr(2)m=7.8V(3)h=0.5n(4)T=-2t正如函数y=300t一样，上面这些函数都是常数与自变量的积的形式.一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.注：(1)k是常数，且k≠0；(2)自变量x的次数是1；(3)自变量x的取值范围是一切实数；(4)y=kx，则称y与x成正比例；反之，若y与x成正比例，则可设y=kx.【课堂检测案】练习1.下列式子中，哪些表示y 是x 的正比例函数？(1)y =-0.1x (2)y =2x (3)y =2x 2(4)y 2=4x 解：(1)，(2)是正比例函数.2.列式表示下列问题中的y 与x 的函数关系，并指出哪些是正比例函数.(1)正方形的边长为x cm ，周长为y cm ；(2)某人一年内的月平均收入为x 元，他这年(12个月)的总收入为y 元；(3)一个长方体的长为2cm ，宽为1.5cm ，高为x cm ，体积为y cm 3.解：(1)y =4x ，是正比例函数；(2)y =12x ，是正比例函数；(3)y =3x ，是正比例函数.【课堂训练案】1.列式表示下列问题中y 与x 的函数关系，并指出哪些是正比例函数．（1）正方形的边长为xcm ，周长为ycm.（2）某人一年内的月平均收入为x 元，他这年（12个月）的总收入为y 元．（3）一个长方体的长为2cm ，宽为1.5cm ，高为xcm ，体积为ycm3.2.下列说法正确的打“√”，错误的打“×”（1）若y=kx，则y 是x 的正比例函数（）（2）若y=2x2，则y 是x 的正比例函数（）（3）若y=2(x-1)+2，则y 是x 的正比例函数（）（4）若y=2(x-1)，则y 是x-1的正比例函数（）3.填空（1）如果y=(k-1)x，是y 关于x 的正比例函数，则k 满足_______.（2）如果y=kxk-1，是y 关于x 的正比例函数，则k=____.（3）如果y=3x+k-4，是y 关于x 的正比例函数，则k=_____4.已知y-3与x 成正比例，并且x=4时，y=7，求y 与x 之间的函数关系式.5.有一块10公顷的成熟麦田，用一台收割速度为0.5公顷每小时的小麦收割机来收割.（1）求收割的面积y（公顷）与收割时间x（h）之间的函数关系式；（2）求收割完这块麦田需用的时间.课后作业 1.若y=(k+3)x|k|-2是y 关于x 的正比例函数，试求k 的值，并指出正比例系数.2.若y 关于x-2成正比例函数，当x=３时，y=-4.试求出y 与x 的函数关系式.板书设计教学反思本节课在教师引导下使学生通过自己的观察、研究、自学和小组的探索、讨论来发现问题、解决问题，再通过教师的点拨、总结进行知识归纳，理论提升的教学方法.由学生亲自来发现事物的特征和规律，更能使学生产生兴奋感、自信心，激发学生兴趣，产生自主学习的内在动力，更有利于发展学生的创造性思维能力.。

教
学过程一、情境展示：
1、展示高铁列车以及线路图。

同学们知道这是什么吗？
同学们知道这条高铁是哪条线路吗？这
列高铁正在那个城市里穿行？
教师顺次展示高
铁图片，并根据
图片的出现顺序
依次提出问题或
进行说明。

教学
过
程
我们芜湖也通高铁了。

二、新课引入
教师：要知道高铁的建造以及运行都离
不开数学知识，今天我们就来研究一下
高铁在运行过程中，列车的行程和运行
时间之间究竟有什么样的数学关系。

三、新课推进
请同学们解答下面的问题：教师指出这是我们芜湖的第一个高铁线路。

教学过程三、课堂练习四、课堂小结正比例函数的图象特征：1、 (k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线.2、当k>0时，经过第一、三象限；当k<0时，经过第二、四象限。

思考：你能用最简单的方法画出下列函数的图象吗？(1)3y x=-活动二、探究正比例函数的性质1、在函数 , , 和中，随着x的增大,y的值分别是如何变化的?2、我们还可以借助函数图象分析此问题观察图象可以发现：①当k>0时，从左向右逐渐上升, 即y的值随x的增大而增大；②当k<0时，从左向右逐渐下降，即y的值随x的增大而减小。

课堂练习见PPT通过本节课的学习，你所学到的正比例函数的图象是什么样的？它具有哪些特征？它又具有哪些性质呢？板书设计19.2.1正比例函数的图象与性质一、图象：经过原点的一条直线.当k>0时，经过第一、三象限；当k<0时，经过第二、四象限.二、性质：当k>0时，y的值随x值的增大而增大；当k<0时，y的值随x值的增大而减小.作业布置1、用两点法画出下列函数的图象2、课本第98页，第1、2题。

课题19.2.1正比例函数的图象与性质课型新授课时第2课时核心素养1.会画正比例函数的图象 .2.根据正比例函数的图象探究图象的特征与性质.3.利用正比例函数的性质解答有关的问题.教学重点难点重点：正比例函数的图象与性质难点：探究正比例函数的性质及其性质的应用教学准备课件、三角尺教学方法合作探究教学过程教学程序师生活动一、复习回顾二、探究新知1、用描点法画函数图象有哪几个步骤？①列表②描点③连线2、正比例函数的定义是什么？一般地，形如式（ k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k是比例系数。

活动一、探究正比例函数的图象特征1、画出下列正比例函数的图象观察函数图象，它是一条经过的直线，并且经过了象限。

2、画出下列正比例函数的图象观察函数图象，它是一条经过的直线，并且经过了象限。